Matematica ensino medio-952

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Resposta: A derivada direcional é \( -2 \). 
 Explicação: Aplicamos a fórmula da derivada direcional. 
 
89. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x, y) = x^4 
- 4x^2 + 4y^2 \). 
 Resposta: Mínimo em \( (0, 0) \). 
 Explicação: Usamos a primeira e segunda derivada para encontrar os pontos críticos e 
analisamos a concavidade. 
 
90. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = Ae^x - \frac{1}{3}e^x \), onde \( A \) é uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do operador diferencial para encontrar a solução. 
 
91. Problema: Encontre a série de Taylor da função \( f(x) = \sin(x) \) centrada em \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 
\frac{\pi}{4})^2 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})^3 - \ldots \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da série de Taylor e derivadas da função seno. 
 
92. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)} \). 
 Resposta: \( \frac{3}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite. 
 
93. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = x^2 \) e a linha \( y = 4x 
- 2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{16}{3} \). 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre a 
curva e a linha. 
 
94. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{2x} - \frac{1}{3}e^x \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método de integração de fatores integrantes.