Áreas de Polígonos Regulares

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30. Problema: Calcule a área de um pentágono regular com lado 7cm. 
 Resposta: Podemos dividir o pentágono em cinco triângulos isósceles congruentes e 
então calcular a área de um desses triângulos. Usando a fórmula \(A = \frac{1}{2} \times 
base \times altura\), onde a base é 7cm e a altura pode ser encontrada usando o teorema 
de Pitágoras, a área de um triângulo é \(\frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{7^2 - 
\left(\frac{7}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{49 - \frac{49}{4}} = \frac{1}{2} 
\times 7 \times \sqrt{\frac{147}{4}} = \frac{7}{2} \sqrt{147}\). Como há cinco desses 
triângulos, a área total do pentágono é \(5 \times \frac{7}{2} \sqrt{147} = \frac{35}{2} 
\sqrt{147}\). 
 Explicação: Calculamos a área do pentágono dividindo-o em triângulos e usando a 
fórmula da área do triângulo. 
 
31. Problema: Se \(3(x - 2) = 2(x + 5)\), qual é o valor de \(x\)? 
 Resposta: Primeiro, distribuímos os coeficientes para obter \(3x - 6 = 2x + 10\), então 
subtraímos \(2x\) de ambos os lados para obter \(x - 6 = 10\), e finalmente adicionamos 6 
de ambos os lados para obter \(x = 16\). 
 Explicação: Isolamos \(x\) seguindo as operações. 
 
32. Problema: Qual é a solução da equação \(3x^2 - 12x + 12 = 0\)? 
 Resposta: Usando a fórmula quadrática, \(x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 3 
\times 12}}{2 \times 3}\), então \(x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{6}\), então \(x = \frac{12 
\pm 0}{6}\), então \(x = \frac{12}{6} = 2\). Portanto, a equação tem apenas uma solução 
real. 
 Explicação: Encontramos a solução usando a fórmula quadrática. 
 
33. Problema: Resolva a expressão \(4(2x - 3) = 3(3x + 1)\). 
 Resposta: Primeiro, distribuímos os coeficientes para obter \(8x - 12 = 9x + 3\), então 
subtraímos \(8x\) de ambos os lados para obter \(-12 = x + 3\), e finalmente subtraímos 3 
de ambos os lados para obter \(-15 = x\). 
 Explicação: Isolamos \(x\) seguindo as operações. 
 
34. Problema: Calcule a área de um hexágono regular com lado 9cm. 
 Resposta: Podemos dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros congruentes e 
então calcular a área de um desses triângulos. Usando a fórmula \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} 
\times lado^2\), a área de um triângulo é \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} 
\times 81 = \frac{81\sqrt{3}}{4}\). Como há seis desses triângulos, a área total do hexágono 
é \(6 \times \frac{81\sqrt{3}}{4} = \frac{243\sqrt{3}}{2}\).