Material extenso de matematica (179)

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33. Problema: Encontre a derivada direcional da função \( f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \) no 
ponto \( (1,2,-1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (2,1,3) \). 
 Resolução: A derivada direcional de \( f(x,y,z) \) na direção de \( \mathbf{v} \) é dada pelo 
gradiente de \( f \) no ponto dado, dotado com \( \mathbf{v} \). Após os cálculos, obtemos 
a derivada direcional \( D_{\mathbf{v}}f = 9 \). 
 
34. Problema: Resolva a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin(x)\cos(x) \, dx \). 
 Resolução: Usando a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), podemos 
reescrever a integral como \( \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx \). Resolvendo, obtemos 
\( \frac{1}{2} \) como resultado. 
 
35. Problema: Determine os pontos de inflexão da curva \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resolução: Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos determinar onde a 
concavidade da curva muda. Calculamos a segunda derivada \( y''(x) = 6x - 12 
 
 \) e encontramos as raízes \( x = 2 \). Testando a concavidade, vemos que a concavidade 
muda de côncava para convexa em \( x = 2 \). Portanto, \( (2, -3) \) é um ponto de inflexão. 
 
36. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y' - 6y = e^{3x} \). 
 Resolução: Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea associada \( y'' - 
y' - 6y = 0 \), que é \( y_h(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{3x} \). Para encontrar uma solução 
particular da equação não homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar. 
Após os cálculos, obtemos \( y_p(x) = \frac{1}{13}e^{3x} \). Portanto, a solução geral é \( 
y(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{3x} + \frac{1}{13}e^{3x} \). 
 
37. Problema: Calcule a soma dos primeiros 10 termos da sequência \( 1, \frac{1}{2}, 
\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots \). 
 Resolução: Esta é uma sequência geométrica com primeiro termo \( a = 1 \) e razão \( r = 
\frac{1}{2} \). A soma dos primeiros \( n \) termos de uma sequência geométrica é dada por 
\( \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \). Portanto, a soma dos primeiros 10 termos é \( \frac{1(1 - 
(\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1023}{512} \). 
 
38. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = 2x - 3y \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos 
reescrever como \( \frac{dy}{dx} + 3y = 2x \), e então usar o fator integrante \( e^{3x} \). Após 
os cálculos, obtemos a solução \( y(x) = Ce^{-3x} + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9} \).