Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

1. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \). 
 Resposta: A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Substituindo os limites de integração, 
obtemos \( \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \). 
 
2. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 2x} \). 
 Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada de \( f(x) \) é \( \frac{3x^2 + 
2}{2\sqrt{x^3 + 2x}} \). 
 
3. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ae^{2x} + Be^{-2x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 
4. Problema: Encontre os pontos de máximo e mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 
9x + 1 \). 
 Resposta: Os pontos de máximo e mínimo local ocorrem onde \( f'(x) = 0 \) e \( f''(x) \) 
muda de sinal. Após calcular, os pontos são \( (1, 5) \) e \( (3, -13) \), respectivamente. 
 
5. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: Utilizando a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor, o limite é \( 1 \). 
 
6. Problema: Resolva a equação \( \tan(x) = 2x \). 
 Resposta: Esta equação não pode ser resolvida analiticamente, mas pode ser 
encontrada numericamente. 
 
7. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \). 
 Resposta: A área é dada pela integral \( \int_{0}^{2} (2x - x^2 - x^2) \, dx \), que resulta em 
\( \frac{8}{3} \). 
 
8. Problema: Resolva a equação diferencial não homogênea \( y'' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução particular é \( y_p(x) = -\frac{\sin(x)}{2} \), então a solução geral é a 
soma da solução homogênea mais a particular. 
 
9. Problema: Encontre o ponto de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \).