Problemas de Cálculo Matemático

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65. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sinh(2x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 
66. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{ 
 
x^2 - 1} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{2}\ln|x - 1| + \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
67. Resolva a equação logarítmica \( \ln(2x - 1) = 3 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{e^3 + 1}{2} \). 
 
68. Determine a solução da equação diferencial \( y' + y = \sinh(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 
69. Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \), o eixo \( x \), e as retas \( x 
= 1 \) e \( x = e^2 \). 
 Resposta: A área é \( e^2 - 1 \). 
 
70. Encontre a matriz adjunta de \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \). 
 Resposta: A matriz adjunta de \( A \) é \( \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \). 
 
71. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = x^3 \) 
e \( y = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{15}{4}\pi \). 
 
72. Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{1}{3} \). 
 
73. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = Ce^{-x} + De^{-2x} + \frac{\sin(x)}{3} + 
\frac{\cos(x)}{3} \), onde \( C \) e \( D \) são constantes.