Exercício De Cálculo 24

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‘ 
Anderson Maicon De Souza 
 
Cálculo 3 
 Lista de Exercícios – Integrais Duplas 
 
1) Calcular as integrais duplas: 
 a) dydxy
y
x
y
 
= =
2
0 0
2
 Resposta: 16/5 
 b) dydxx  +
1
0
2
0
)2( Resposta: 5 
 c) dxdy
yx
e y
  +
1 0
22
1
 Resposta: /4 
d) dxdyy
y
  +
4
0 0
29 Resposta: 98/3 
e) dxdy
x
y
y
y
 
4
1 2
 Resposta: -49/5 
 
2) Utilizando a integração dupla, calcule a área retangular R. 
 
 
 
 
 
 Resposta: 8 
 
 
 
 
3) Calcule o valor da integral 
R
2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]. Resposta: 13,5 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule 
R
dAxyysen )( , onde R = [1,2] x [0,]. Resposta: 0 
3 
2 
x 
1 
0 
R 
Prof. Amintas Paiva Afonso Exercícios Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 1 
 
5) Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1º Quadrante. Resposta: 4 
 
6) Determinar a área da região limitada pelas curvas xy 2= e y = x no 1º Quadrante. Resposta: 2/3 
 
7) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por y = x3 e y = 4x. 
 Resposta: 
 
 
8) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por y2 = x, x + y = 2 
 e y = 0. Resposta: 
 
9) Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 = 4x; x = 4 e y = 0 no 1º 
Quadrante. Resposta: 107,28 
 
10) Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 = 4x; x + y = 3 e y = 0 no 
1º Quadrante. Resposta: 8,97 
 
11) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3 no 1º octante. 
 Resposta: 9/2 u.v. 
 
12) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. Resposta: 32 u.v. 
 
13) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2. 
 Resposta: 2a3/3 u.v. 
 
14) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = −x − y + 2 
e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas y = x2 – 4 e 
2
2
x
y
2
−= . Resposta: 138/15 u.v. 
 
15) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos 
x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Resposta: 48 
 
16) Calcule  +
D
dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Resposta: 32/15 
 
17) Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy 
limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Resposta: 216/35 
18) Calcule 
D
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Resposta: 36
 
Prof. Amintas Paiva Afonso Exercícios Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 2 
19) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Resposta: 1/3 
 
20) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem 
D
xdAcosy2 , onde D é a região do 
plano xy limitada pelos gráficos de 
6
x

= , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 
Resposta: Na forma 1), as integrais iteradas são:   
−
+
4
1
3
10
1
6
3
1
cos2cos2 dxxdyydxxdyy
x
x
 
 Na forma 2), as integrais iteradas são:   
−
+
3
2
310
6
2
1
6
cos2cos2
2
dyxdxydyxdxy
yy

 
 
21) Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a 
função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y. Resposta: (3/8, 11/16) 
 
 
22) Ache o volume do sólido sob a superfície 
3),( xyyxf = , no domínio definido pela figura abaixo. 
 Resposta: 42. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) Se f(x,y) = 4 + x2, integrar esta função em dois domínios diferentes, dados abaixo: 
a) Domínio quadrado: 1  x  2 e 1  y  2. Resposta: 19/3. 
b) Domínio triangular, definido pelos pontos no plano xy: (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Resposta: 25/12. 
 
y = 2x 
y 
x 1 2 
Domínio