Problemas de Matemática Avançada

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\frac{{dy}}{{dt}} = x + y 
 \end{cases} 
 \] 
 - Resposta: \( x(t) = c_1e^t\cos(t) + c_2e^t\sin(t) \), \( y(t) = c_1e^t\sin(t) - c_2e^t\cos(t) \). 
 
71. Calcule o determinante da matriz \( L = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 
 
3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \). 
 - Resposta: \( \det(L) = 0 \). 
 
72. Determine a solução da equação diferencial \( y' = \frac{1}{xy} \). 
 - Resposta: \( y(x) = \sqrt{c^2 - \ln|x|} \), onde \( c \) é uma constante. 
 
73. Calcule a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^{n+1}}{n^4} \). 
 - Resposta: A soma é \( \frac{\pi^4}{90} \). 
 
74. Determine os valores de \( x \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n^4} \) converge. 
 - Resposta: A série converge para todos os \( x \) reais. 
 
75. Encontre a matriz inversa de \( M = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \). 
 - Resposta: \( M^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \). 
 
76. Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}} \). 
 - Resposta: \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}} = 3 \). 
 
77. Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{x}{{(1 - x^2)}^{3/2}} \). 
 
78. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 5y' + 6y = 0 \). 
 - Resposta: \( y(x) = c_1e^{2x} + c_2e^{3x} \).