Problemas de Cálculo Matemático

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64. Problema: Determine a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 Resposta: \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\). 
 Explicação: Utilize as identidades trigonométricas para derivar a função. 
 
65. Problema: Resolva a equação \(2^x - 4 = 0\). 
 Resposta: \(x = 2\). 
 Explicação: Escreva \(4\) como \(2^2\) e resolva para \(x\). 
 
66. Problema: Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\). 
 Resposta: \(\frac{\pi}{4}\). 
 Explicação: Utilize a identidade trigonométrica \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2 
 
x)}{2}\) e integre. 
 
67. Problema: Encontre a inversa da função \(f(x) = e^{2x} - 1\). 
 Resposta: \(f^{-1}(x) = \frac{\ln(x + 1)}{2}\), \(x \geq -1\). 
 Explicação: Troque \(f(x)\) por \(y\), troque \(x\) por \(f^{-1}(x)\) e resolva para \(f^{-1}(x)\). 
 
68. Problema: Calcule o produto escalar de \(\vec{u} = \langle -1, 2, 4 \rangle\) e \(\vec{v} = 
\langle 3, -1, 2 \rangle\). 
 Resposta: \(5\). 
 Explicação: Utilize a fórmula para o produto escalar de dois vetores tridimensionais. 
 
69. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \(y = \ln(x)\) no ponto onde 
\(x = 1\). 
 Resposta: \(y = x - 1\). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da reta tangente e a equação da 
reta tangente. 
 
70. Problema: Determine o domínio da função \(f(x) = \sqrt{4 - x^2}\). 
 Resposta: \([-2, 2]\). 
 Explicação: O radicando deve ser não negativo.