A2 - Calculo 1 - 020

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Resultado da 
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10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 71 horas, 48 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 
• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande 
complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, 
torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, 
as funções trigonométricas. 
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, V. 
Resposta Correta: 
V, F, F, V. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas 
estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada 
da função cossecante é dada por Por fim, a afirmativa III também é falsa desde 
quando a derivada da cotangete é 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras 
operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as 
 
regras operatórias da potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas 
as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função 
adequadamente, obtendo o resultado de . 
 
 
 
 
 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um 
intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de uma função 
aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, 
dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo 
, enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo 
. Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em 
metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do 
movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a 
40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante. 
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o 
período de tempo que começa quando e é igual a 40,0 m/s. De fato: . A 
afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando é igual a 
. De fato: A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre 
constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é é 
igual a . De fato: 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para 
determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. 
Para funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, 
através da regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por 
Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o polinômio 
, utiliza-se o quadrado da diferença, portanto: . Para fatorar o polinômio de 
grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer 
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar 
as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é 
um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado 
obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
4. 
Resposta Correta: 
4. 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o 
polinômio , utiliza-se a diferenças dos quadrados , portanto, , e o 
cálculo do limite é justificado da seguinte forma: . 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva 
da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do 
quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste 
contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que = Derivada 
do Quociente. = Derivada da Soma. = Derivada do Produto. = 
Derivada da Cadeia. 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a 
função é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 (função 
potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função 
potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
 
. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir, o valor correto é 
. 
 
 
 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não se 
apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada como , como, 
por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a variável 
dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a . 
Pois: 
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde quando a 
asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é igual a e é claro 
que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual a . 
Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta 
tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possívelencontrar as equações da reta 
tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta 
normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta normal é 
igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o coeficiente da reta normal é 
igual ao valor oposto inverso do valor do coeficiente angular da reta tangente, a 
equação da reta normal é igual a 
 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: funções 
contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada, funções 
contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe 
. Toda função polinomial racional é uma função de classe , ou seja admite as 
derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a alternativa 
que indique qual é o resultado obtido para . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente, deve-se utilizar a 
regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a: . Daí, deriva-se 
novamente para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do 
quociente. Portanto, temos: