Problemas de Matemática

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95. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x + y - z = 5 \\ 
 x - y + z = 3 \\ 
 3x - 2y + 2z = 8 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 0\). Explicação: Podemos resolver este sistema usando 
eliminação Gaussiana ou substituição. 
 
96. Problema: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \(y = e^x\) no ponto \(x = 
0\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \(y = x + 1\). Explicação: Usamos a derivada de 
\(y = e^x\) para encontrar a inclinação da reta tangente e então usamos o ponto dado para 
encontrar a equação da reta. 
 
97. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva \(y = 
\ln(x)\), o eixo \(x\) e as linhas \(x = 1\) e \(x = 3\). 
 Resposta: A área é \(2 - \ln(3)\). Explicação: Usamos integração definida para encontrar 
a área sob a curva \(y = \ln(x)\) entre \(x = 1\) e \(x = 3\). 
 
98. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(2x\sec^2(x^2)\). Explicação: Usamos a regra da 
 
 cadeia e a derivada da tangente. 
 
99. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' + y = \cos(x)\). 
 Resposta: A solução é \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. 
 
100. Problema: Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 Resposta: A integral indefinida é \(\arcsin(x) + C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos a integral do seno inverso.