Problemas Matemáticos Resolvidos

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cial em relação a \( y \), tratamos \( x \) e \( z \) como constantes e derivamos em relação a 
\( y \). 
 
48. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 2y = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. 
 
49. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais o vetor \( \mathbf{v} = \langle k, 
-1, 2 \rangle \) é paralelo ao vetor \( \mathbf{u} = \langle 1, 2, -4 \rangle \). 
 Resposta: O vetor é paralelo quando \( k = -2 \). 
 Explicação: Dois vetores são paralelos quando um é um múltiplo escalar do outro. 
 
50. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x,y) = x^3 + 3xy^2 - 12x - 4y \). 
 Resposta: O ponto crítico é \( (2,-1) \). 
 Explicação: Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar os 
pontos críticos. 
 
51. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx \). 
 Resposta: \( 2 \). 
 Explicação: Utilizando identidades trigonométricas, podemos reduzir a integral a uma 
forma mais simples. 
 
52. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = x \). 
 Resposta: \( y(x) = e^{-x^2} \left( \int xe^{x^2}e^{-x^2} \, dx + C \right) \). 
 Explicação: Podemos resolver esta equação utilizando o método do fator integrante. 
 
53. Problema: Determine os limites \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x^2 + 3}{x^3 + 4} \). 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 Explicação: Para determinar o limite de uma função racional quando \( x \) tende ao 
infinito, consideramos o termo de maior grau no numerador e no denominador.