Problemas de Cálculo e Álgebra

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Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando a 
 
 divisão de polinômios. 
 
80. Problema: Determine os limites \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser provado utilizando técnicas 
como a regra de L'Hôpital. 
 
81. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1,0) 
\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a reta tangente, calculamos a derivada da função e 
utilizamos o ponto dado. 
 
82. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x,y,z) = x^2yz \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2z \). 
 Explicação: Para encontrar a derivada parcial em relação a \( y \), tratamos \( x \) e \( z \) 
como constantes e derivamos em relação a \( y \). 
 
83. Problema: Resolva a integral \( \int e^{3x}\cos(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{13}e^{3x}(3\cos(2x) + 2\sin(2x)) + C \). 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando integração por partes. 
 
84. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais a matriz \( A = \begin{pmatrix} k 
& 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) é simétrica. 
 Resposta: A matriz é simétrica quando \( k = 1 \) ou \( k = 2 \). 
 Explicação: Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. 
 
85. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\cos(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 
\) são constantes arbitrárias. 
 Explicação: Podemos resolver esta equação diferencial utilizando o método dos 
coeficientes a serem determinados.