Cálculos Matemáticos

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Resposta: \( A = PDP^{-1} \), onde \( P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) e \( 
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Explicação: Diagonalize a matriz encontrando sua forma diagonal. 
 
11. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = e^{xy} \) no ponto \( (1, 
2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (3, 4) \). 
 Resposta: \( D_{\mathbf{v}} f(1, 2) = 20e^2 \). 
 Explicação: Utilize a definição de derivada direcional para calcular a taxa de variação de 
\( f \) na direção de \( \mathbf{v} \) no ponto dado. 
 
12. Problema: Resolva a integral definida \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{3\pi}{8} \). 
 Explicação: Utilize uma técnica de redução para simplificar a integral e, em seguida, 
calcule-a. 
 
13. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' = xy \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{\frac{x^2}{2}} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial separável. 
 
14. Problema: Determine os valores próprios e os vetores próprios da matriz \( A = 
\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: Valores próprios: \( \lambda_1 = 4 \) com vetor próprio \( \mathbf{v}_1 = (1, 1) 
\), \( \lambda_2 = 2 \) com vetor próprio \( \mathbf{v}_2 = (1, -1) \). 
 Explicação: Encontre os autovalores resolvendo o polinômio característico e, em 
seguida, os autovetores associados. 
 
15. Problema: Calcule a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y = 
x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( \frac{1}{6} \) unidades de área. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral definida da 
diferença entre as duas funções. 
 
16. Problema: Determine o volume