Problemas de Cálculo e Álgebra

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29. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{3/2} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Faça a substituição \( u = 1 - x^2 \) e utilize a regra da cadeia para resolver a 
integral. 
 
30. Problema: Determine a área da reg 
 
ião no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = x - 2 \). 
 Resposta: \( 2 - 2\ln(2) \) unidades de área. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral definida da 
diferença entre as duas funções. 
 
31. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y' = y^2 \). 
 Resposta: \( y(x) = -\frac{1}{x + C} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial separável. 
 
32. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} x\sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \pi \). 
 Explicação: Utilize integração por partes para resolver a integral definida. 
 
33. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^3 - 
6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resposta: Máximo relativo em \( (2, 3) \) e mínimo relativo em \( (3, -1) \). 
 Explicação: Encontre os pontos críticos da função e aplique o teste da primeira derivada 
para determinar onde a função cresce ou decresce. 
 
34. Problema: Calcule a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 
\). 
 Resposta: \( A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \). 
 Explicação: Utilize o método da matriz adjunta para calcular a inversa de uma matriz 
2x2. 
 
35. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).