Problemas de Cálculo e Álgebra

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10. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(3x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{3}{3x} \). 
 Explicação: A derivada da função \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \), onde \( u = 3x \) neste caso. 
 
11. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \). 
 Resposta: \( y = Ce^x \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
12. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Este é um limite fundamental em cálculo. 
 
13. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 Resposta: Os pontos críticos ocorrem em \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 Explicação: Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. 
 
14. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
de \( x = 1 \) a \( x = 2 \). 
 Resposta: A área é aproximadamente 0.48 unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
15. Problema: Calcule a soma dos termos da série aritmética \( 3 + 7 + 11 + 15 + \ldots \) 
até o termo 50. 
 Resposta: A soma é \( 1275 \). 
 Explicação: A soma de uma série aritmética é dada por \( \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \), onde \( 
a_1 \) é o primeiro termo, \( a_n \) é o último termo e \( n \) é o número de termos. 
 
16. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} - 2y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = Ce^{2x} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes 
constantes.