Cálculos de Cálculo e Álgebra

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17. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: \( \ln|x| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função \( \frac{1}{x} \). 
 
18. Problema: 
 
 Encontre a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^3} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2} \). 
 Explicação: A derivada da função raiz quadrada de \( u \) é \( \frac{1}{2\sqrt{u}}u' \), onde 
\( u = x^3 \) neste caso. 
 
19. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y^2 \). 
 Resposta: \( y = -\frac{1}{3x + C} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
20. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{4x^2 - x + 1} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{4} \). 
 Explicação: O termo dominante de cada polinômio é \( x^2 \), então o limite é a razão 
dos coeficientes desses termos. 
 
21. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \). 
 Resposta: O ponto crítico ocorre em \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 
 Explicação: Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. 
 
22. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1) \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
23. Problema: Calcule a soma dos termos da série harmônica \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} 
+ \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \). 
 Resposta: A soma é aproximadamente \( 5.19 \).