Problemas de Matemática

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37. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: A função não possui pontos críticos. 
 Explicação: A função não possui derivada no domínio real, portanto, não tem pontos 
críticos. 
 
38. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 
\frac{1}{x} \) de \( x = 1 \) a \( x = 2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{17}{6} \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
39. Problema: Calcule a soma dos termos da série aritmética \( 5 + 9 + 13 + 17 + \ldots + 
97 \). 
 Resposta: A soma é \( 1200 \). 
 Explicação: A soma de uma série aritmética é dada por \( \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \), onde \( 
a_1 \) é o primeiro termo, \( a_n \) é o último termo e \( n \) é o número de termos. 
 
40. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^x + y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = Ce^x - e^x \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser 
resolvida usando o método do fator integrante. 
 
41. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \). 
 Resposta: \( 2\sqrt{x} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função \( \frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 
42. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \). 
 Explicação: Usando a regra do quociente para derivar a função. 
 
43. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 - 1 \). 
 Resposta: \( y = \tanh(x + C) \), onde \( C \) é a constante de integração.