Cálculo e Funções Matemáticas

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Resposta: \( f'(x) = \tan(x) \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
72. Calcule a integral definida de \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2} - 
\left(-\frac{\cos(0)}{2}\right) = -\frac{0}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \). Explicação: Aplique 
a regra fundamental do cálculo. 
 
73. Resolva a equação \( \log_5(x) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 5^2 = 25 \). Explicação: A propriedade dos logaritmos permite isolar \( x 
\). 
 
74. Determine a derivada da função \( f(x) = e^{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x) \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada de 
\( e^x \). 
 
75. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx \). 
 Resposta: \( 2\sqrt{x} + C \). Explicação: Use a regra do quociente e a regra da potência. 
 
76. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( y = -\ln|\csc(x) - \cot(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
77. Determine a soma dos termos de uma série geométrica infinita com primeiro termo \( 
3 \) e razão \( \frac{1}{5} \). 
 Resposta: \( \frac{3}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{15}{4} \). Explicação: Use a fórmula da soma 
de uma série geométrica infinita. 
 
78. Encontre a derivada da função \( f(x) = \arctan(e^x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada 
do arctan. 
 
79. Calcule a integral definida de \( \int_0^{\ln(2)} e^{2x} \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{\ln(2)} = \frac{1}{2}e^{\ln(4)} - \frac{1}{2}e^0 
= \frac{1}{2}(4 - 1) = \frac{3}{2} \). Explicação: Aplique a regra fundamental do cálculo.