Problemas de Cálculo Avançado

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**Resposta:** \( f''(x) = \frac{-2}{(1+x)^3} \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
71. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y + z) \, dV \) sobre o tetraedro 
com vértices em \( (0,0,0) \), \( (1,0,0) \), \( (0,1,0) \) e \( (0,0,1) \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Dividimos o tetraedro em sub-regiões e calculamos a integral em cada 
uma delas. 
 
72. **Problema:** Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{dx}{dt} = 3x + 2y \\ 
 \frac{dy}{dt} = 4x + y 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta:** \( x = (C_1 + C_2t)e^{5t} \) e \( y = (C_1 + C_2t)e^{5t} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos as equações diferenciais separadamente e combinamos 
as soluções. 
 
73. **Problema:** Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{n^2}{2^n}x^n \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( 2 \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teste da razão ou o teste da raiz para encontrar o raio de 
convergência. 
 
74. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 3e^{-x} \). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} + 3x - 3 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e adicionamos uma solução 
particular.