Cálculos Matemáticos Básicos

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Explicação: O limite de \( \frac{\sin(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima de 0 é bem 
conhecido como 1. 
 
45. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \ln|\ln(x)| + C \). 
 Explicação: Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. 
 
46. Problema: Encontre a derivada de \( y = \ln(\sin^2(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 Explicação: Usamos a regra do quociente e a derivada da função natural para calcular a 
derivada. 
 
47. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 12x \) no 
intervalo \( [-2, 4] \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = -2 \) e o ponto de mínimo é \( x = 2 \). 
 Explicação: Encontramos os pontos críticos dentro do intervalo e testamos os extremos 
para determinar os máximos e mínimos. 
 
48. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = \frac{1}{1 + e^x} \). 
 Resposta: A solução é \( y = \ln|1 + e^x| + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Podemos integrar 
 
 ambos os lados em relação a \( x \) para encontrar a solução. 
 
49. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} - 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a área entre duas curvas, subtraímos a função inferior da 
função superior e integramos com relação a \( x \). 
 
50. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = x^2 \) quando \( x \) se aproxima de 
2. 
 Resposta: O limite pela esquerda é 4 e o limite pela direita é 4. 
 Explicação: Conforme \( x \) se aproxima de 2, \( f(x) \) se aproxima de \( 2^2 = 4 \).