Cálculos Matemáticos Avançados

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Resposta: A integral é \( x\sin(x) + \cos(x) + C \). 
 Explicação: Podemos usar integração por partes para resolver essa integral. 
 
82. Problema: Encontre a derivada de \( y = \arctan(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = \frac{\cos(x)}{1 + \sin^2(x)} \). 
 Explicação: Usamos a regra do quociente e a derivada da função inversa da tangente 
para calcular a derivada. 
 
83. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x 
+ 2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = -\frac{1}{3} \) e o ponto de mínimo é \( x = 2 \). 
 Explicação: Encontramos os pontos críticos e testamos os intervalos para determinar 
os máximos e mínimos. 
 
84. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y = \cosh(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1\cosh(x) + C_2\sinh(x) + \frac{1}{2}\cosh(x) \), onde \( C_1 
\) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
85. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) e as 
linhas \( x = 0 \) e \( x = \ln(2) \). 
 Resposta: A área é \( e^{\ln(2)} - 0 = 2 \). 
 Explicação: Para encontrar a área sob uma curva, integramos a função com relação a \( 
x \). 
 
86. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \) quando \( x \) se 
aproxima de 0. 
 Resposta: O limite pela esquerda é \( -\infty \) e o limite pela direita é \( +\infty \). 
 Explicação: O limite de \( \frac{\tan(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima de 0 tende para \( -
\infty \) pela esquerda e para \( +\infty \) pela direita. 
 
87. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 4}} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 - 4}| + C \).