Aula exericico de matematica-45

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Explicação: Utilizamos a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
31. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = x^3\) e o eixo \(x\) entre \(x 
= 0\) e \(x = 2\). 
 Resposta: A área é \(\frac{8}{4} = 2\) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função superior menos a integral da função 
inferior entre os limites de integração adequados. 
 
32. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' = \frac{1}{x}\). 
 Resposta: A solução é \(y = \ln|x| + C\), onde \(C\) é uma constante. 
 Explicação: Integrando ambos os lados da equ 
 
ação, obtemos a solução. 
 
33. Problema: Determine a soma dos termos de uma série geométrica infinita com o 
primeiro termo \(a_1 = 3\) e a razão \(r = \frac{1}{2}\). 
 Resposta: A soma dos termos é \(S = \frac{a_1}{1 - r} = 6\). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica para 
calcular a soma. 
 
34. Problema: Encontre a equação da reta paralela à reta \(y = 2x + 3\) e que passa pelo 
ponto \((1, -2)\). 
 Resposta: A equação da reta é \(y = 2x - 4\). 
 Explicação: As retas paralelas têm a mesma inclinação, então utilizamos a inclinação 
dada e o ponto dado para determinar a equação da reta. 
 
35. Problema: Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx\). 
 Resposta: A integral é \(\ln|x^2 + 4| + C\), onde \(C\) é uma constante de integração. 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando a substituição trigonométrica ou a 
substituição \(u\)-\(du\). 
 
36. Problema: Determine os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(\cos(2x) = 
\frac{1}{2}\) no intervalo \([0, 2\pi]\).