Aula exericico de matematica-46

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Resposta: As soluções são \(x = \frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{5\pi}{6}\), \(x = \frac{7\pi}{6}\) e 
\(x = \frac{11\pi}{6}\). 
 Explicação: Resolvemos a equação trigonométrica utilizando identidades 
trigonométricas e encontramos os valores de \(x\) no intervalo dado. 
 
37. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \cos(x)\) e \(y = \sin(x)\) 
entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: A área é \(\frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função superior menos a integral da função 
inferior entre os limites de integração adequados. 
 
38. Problema: Determine os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(\sqrt{2x+1} - 
\sqrt{x} = 1\). 
 Resposta: A solução é \(x = 1\). 
 Explicação: Podemos resolver a equação isolando uma das raízes quadradas e então 
elevando ao quadrado. 
 
39. Problema: Calcule a derivada de \(f(x) = \tan(x)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = \sec^2(x)\). 
 Explicação: Utilizamos a definição de tangente e as identidades trigonométricas para 
encontrar a derivada. 
 
40. Problema: Resolva a integral indefinida de \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 
 Resposta: A integral é \(\frac{1}{5}e^{2x}(\sin(x) - 2\cos(x)) + C\), onde \(C\) é uma 
constante de integração. 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando integração por partes. 
 
41. Problema: Determine a equação da reta perpendicular à reta \(3x - 2y = 4\) e que passa 
pelo ponto \((-1, 2)\). 
 Resposta: A equação da reta é \(2x + 3y = 8\). 
 Explicação: As retas perpendiculares têm inclinações negativas recíprocas, então 
utilizamos a inclinação dada e o ponto dado para determinar a equação da reta. 
 
42. Problema: Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 Resposta: O limite é \(3\).