Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

27. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n^2}x^n \). 
 Resposta: \( R = \frac{1}{2} \). Utilize o teste da razão para determinar o raio de 
convergência. 
 
28. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{e^4 - 1}{2} \). Esta é uma integral simples que pode ser resolvida 
usando as propriedades básicas da integral. 
 
29. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = 2x^3 + 1 \). 
 Resposta: A função inversa é \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}} \). Troque \( x \) e \( y \) e 
resolva para \( y \). 
 
30. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = x^2 \). 
 Resposta: \( y(x) = ce^{x^2} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \). Esta é uma equação diferencial 
linear de primeira ordem. 
 
31. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x, y) = \ln(xy) \) em relação a \( x \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x} \). 
 
32. Problema: Determine a solução da equação \( \log(x+2) = 4 \). 
 Resposta: \( x = 14 \). Utilize as propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
33. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = e^{-x} 
\). 
 Resposta: \( 2 \). Calcule a integral da diferença entre as duas funções. 
 
34. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{2}\ln|x - 1| + \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C \). Utilize a técnica de frações 
parciais para resolver essa integral. 
 
35. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-x} \). Esta é uma equação diferencial linear de segunda 
ordem com coeficientes constantes.