Problemas e Soluções Matemáticas

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Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: Calculamos a diferença entre as áreas 
das curvas usando integração. 
 
100. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + e^{-x} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Resolvemos a equação diferencial usando o método do fator integrante. 
Claro, desafios são ótimos! Aqui estão 100 problemas de matemática do ensino superior 
para o primeiro período, cada um com resposta e explicação: 
 
1. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = 2x + 3 \). Explicação: Aplicando a regra da 
potência e a regra da soma para derivadas. 
 
2. Problema: Resolva a equação \( 2x - 5 = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{5}{2} \). 
 Explicação: Adicionamos 5 em ambos os lados e depois dividimos por 2 para isolar \( x 
\). 
 
3. Problema: Determine a integral indefinida de \( \int 3x^2 \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( x^3 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Aplicamos a regra da potência para integrais. 
 
4. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 Resposta: O limite é 4. 
 Explicação: Simplificamos a expressão e substituímos \( x = 2 \). 
 
5. Problema: Encontre a solução para o sistema de equações: \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 
x - 3y = -7 \end{cases} \). 
 Resposta: \( x = 4 \) e \( y = -3 \). 
 Explicação: Usamos o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
6. Problema: Determine o valor de \( \sin(\frac{\pi}{6}) \). 
 Resposta: \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).