Aula exericico de matematica-86

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3. Problema: Encontre a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 Resposta: A solução é \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a \( x \) e adicione 
uma constante de integração. 
 
4. Problema: Calcule a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} 
\). 
 Resposta: A matriz inversa de \( A \) é \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 
\end{bmatrix} \). 
 Explicação: Utilize o método da matriz adjunta para encontrar a matriz inversa. 
 
5. Problema: Determine a solução geral para a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Resolva a equação característica e utilize o método da superposição para 
obter a solução geral. 
 
6. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é igual a 1. 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental trigonométrico. 
 
7. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das duas curvas e calcule a integral da 
diferença entre elas. 
 
8. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \( 2x + 3y = 5 \) 
 \( 4x - y = 7 \) 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = -1 \). 
 Explicação: Utilize métodos de substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
9. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (4, 2).