Aula exericico de matematica-154

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Resolução: A derivada é \( f'(x) = 2e^{2x} \). 
 
29. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = 2 \). 
 Resolução: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + 2 \), onde \( C \) é uma constante. 
 
30. Problema: Determine os autovalores e autovetores da matriz \( A = \begin{bmatrix} 3 & 
1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \). 
 Resolução: Os autovalores são \( \lambda_1 = 4 \) com autovetor \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 
\end{bmatrix} \), e \( \lambda_2 = 2 \) com autovetor \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} 
\). 
 
31. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 Resolução: A integral é \( -\frac{1}{x} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
32. Problema: Resolva a equação \( e^x = 5 \). 
 Resolução: \( x = \ln(5) \). 
 
33. Problema: Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resolução: Utilizando a definição de tangente, o limite é \( 1 \). 
 
34. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resolução: A área é \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx \), que resulta em \( 
\sqrt{2} - 1 \). 
 
35. Problema: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função \( f(x) = x^3 - 6x + 
1 \). 
 Resolução: Encontramos um mínimo local em \( x = 1 \) e um máximo local em \( x = -1 
\). 
 
36. Problema: Calcule a soma dos termos da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \). 
 Resolução: A série é conhecida como a série de Taylor para \( e \) e converge para \( e \). 
 
37. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) \) com \( y(0) = 0 \).