Problemas de Matemática

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46. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 3x - x^2 
\). 
 Resolução: A área é \( \int_{0}^{3} ((3x - x^2) - x^2) \, dx \), que resulta em \( 9 \). 
 
47. Problema: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função \( f(x) = 2x^3 - 
6x^2 + 4x \). 
 Resolução: Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \), e testando os intervalos obtemos 
um máximo local em \( x = 2 \) e mínimo local em \( x = 0 \). 
 
48. Problema: Calcule a soma dos termos da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} 
\). 
 Resolução: A série é conhecida como a série alternada para \( \ln(2) \) e converge para \( 
\ln(2) \). 
 
49. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 \) com \( y(0) = 0 \). 
 Resolução: A solução é \( y(x) = \frac{x^3}{3} \). 
 
50. Problema: Determine a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 
\end{bmatrix} \). 
 Resolução: A matriz inversa é \( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 3 
\end{bmatrix} \). 
 
51. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx \). 
 Resolução: A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \). 
 
52. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \cos(x) \). 
 Resolução: A derivada é \( f'(x) = -\sin(x) \). 
 
53. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = x \). 
 Resolução: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + x - 1 \), onde \( C \) é uma constante. 
 
54. Problema: Determine os autovalores e autovetores da matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & 
3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \).