Problemas de Cálculo e Integral

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Resposta: O intervalo de convergência é \( -1 < x \leq 1 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
55. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - y = e^x \). 
 Resposta: \( y = e^x + Ce^x \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separando as variáveis e integrando. 
 
56. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x + 
\sin(x) \). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^x + e^x - \cos(x) + \sin(x) - 1 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
57. Problema: Calcule a integral \( \iint_R x^2 \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada pelo 
círculo \( x^2 + y^2 = 4 \). 
 Resposta: A integral é \( 8\pi/3 \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas polares para avaliar a integral dupla sobre a região 
\( R \). 
 
58. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = 3x^2 - 2xy + 4y \) no 
ponto \( (1, -1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (2, 3) \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \nabla f(1, -1) \cdot \frac{\mathbf{v}}{\| \mathbf{v} \|} 
= 4 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada direcional 
 
 e o vetor unitário na direção de \( \mathbf{v} \). 
 
59. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = \ln(2) \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades de área. 
 Explicação: Calculamos a área da região entre a curva e o eixo \( x \) integrando a função 
\( e^x \) entre \( 0 \) e \( \ln(2) \).