Cálculo Vetorial: Derivadas e Integrais

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1.
		Seja a função vetorial r(t) = (t2 - 1).i + (et).j + (3.t3 + t2 + 2).k. Qual a o valor da função derivada de r(t) em t = 0:
	
	
	
	r'(0) = 0.i + 1.j - 2.k
	
	
	 r'(0) = 0.i + 1.j + 2.k
	
	
	r'(0) = 0.i + 1.j + 0.k
	
	
	r'(0) = - 1.i + 1.j + 2.k
	
	
	r'(0) = 0.i + 0.j + 0.k
	
Explicação: 
Derivando cada ¿coordenada¿ : r'(t) = (2t).i + (et).j + (9.t2 + 2t).k e substituindo por t = 0, tem-se r'(0) = 0.i + 1.j + 0.k
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a derivada vetorial  r→(t)=(t2+3)i→+3tj→+sentk→
		
	
	
	
	r→′(t)=ti→+3j→+2cos2tk→
	
	
	
	r→′(t)=2ti→+j→+2cos2tk→
	
	
	
	r→′(t)=2ti→+3j→+cos2tk→
	
	
	
	r→′(t)=2ti→+3j→+costk→
	
	
	
	r→′(t)=2ti→+3j→+2cos2tk→
	
	
Explicação: 
Deriva cada uma das posições 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada a função  vetorial r(t) = 2t2i + 4t j - 3tk,   as componentes do vetor que será a representação da sua derivada será :
	
	
	
	(4,4,-3)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(4,-4,3)
	
	
	(4,0,3)
	
	
	(-3,4,4)
	
Explicação: 
Derivando a  função vetorial temos : 4ti +4j- 3k, onde suas componentes são iguais a ( 4,4,-3)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dada a função  vetorial r(t) = 2t2i + 4t j - 4tk,  a sua derivada será :
	
	
	
	 r'(t) =4ti + 4 j 
	
	
	 r'(t) =ti + 4 j - 4k, 
	
	
	 r'(t) =4ti + 4 j - 4k, 
	
	
	 r'(t) =4ti  - 4k, 
	
	
	 r'(t) =4i + 4 j - 4k, 
	
Explicação: 
Derivar cada uma das componentes separadamente
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a função vetorial r(t) = (t2 - 1).i + (et).j + (3.t3 + t2 + 2).k. O valor de r(0) é:
 
	
	
	
	 r(0) = - i + j - 3k
	
	
	 r(0) = i + j + k
	
	
	 r(0) = - i - j - k
	
	
	 r(0) = - i + j - k
	
	
	 r(0) = - i + j + 2k
	
Explicação: 
: r(t) = (t2 - 1).i + (et).j + (3.t3 + t2 + 2). = r(0) = - i + j + 2k
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Integrando a função vetorial r(t) = 3t2i + 6t2k - 6t2k, temos  a seguinte função vetorial:
	
	
	
	 t3i + 2t3k +2t3k
	
	
	 -t3i + 2t3k - 2t3k
	
	
	 t3i + 2t3k - 2t3k
	
	
	 t3i + t3k - 2t3k
	
	
	 3t3i + 2t3k - 2t3k
	
Explicação: 
Integral simples
		.
	
	 
		
	
		1.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t,  em movimento em um plano é dado por r(t)=4t3i+3t2j
		 . Determine a sua velocidade quando t = 2
	
	
	
	v(2)= 8i+12j
	
	
	v(2)= 48i+12j
	
	
	v(2)= -48i+2j
	
	
	v(2)= 48i-12j
	
	
	v(2)= -48i-12j
	
Explicação: 
v(2)=12∙22i+6∙2j
v(2)=48i+12j
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O vetor posição de um móvel, em unidades do S.I., por r(t) = (t3 - 3t + 2).i + (et + 2)j + (t + 4)k. Determine o vetor aceleração a(t)
	
	
	
	a(t) = 6t.i + (t.et)j + 0k
	
	
	a(t) = (6.t - 2).i + etj + 1k
	
	
	a(t) = (3.t2 - 3).i + etj + 1k
	
	
	a(t) = 6t.i + etj + 0k.
	
	
	a(t) = 6t.i + etj + 4k
	
Explicação: 
v(t) = r'(t) = (3.t2 - 3).i + (et)j + 1k   e     a(t) = v'(t) = 6t.i + etj + 0k.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A função horária da velocidade de um móvel é dada pela derivada da função horária da posição, ou seja, v = dr/dt. Suponha que o vetor posição de um móvel seja dado, em unidades do Sistema Internacional, por r(t) = (t3 - 3t + 2).i + (et + 2)j + (t + 4)k. Determine a velocidade inicial desse móvel.
 
	
	
	
	v(0) = - 2i - 3j - 5k.
	
	
	v(0) =  2i + 3j + 5k.
	
	
	v(0) = 1i + 1j + 1k.
	
	
	v(0) =   3i + 1j + 1k.
	
	
	v(0) = - 3i + 1j + 1k.
	
Explicação: 
v(t) = r'(t) = (3.t2 - 3).i + (et)j + 1k. Substituindo t = 0, tem-se: v(0) = - 3i + 1j + 1k.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O vetor posição de um móvel, em unidades do S.I., por r(t) = (t3 - 3t + 2).i + (et + 2)j + (t + 4)k. Determine o vetor velocidade v(t)
	
	
	
	v(t) = (3.t2 - 2).i + (et)j + 1k
	
	
	v(t) = (3.t2 - 3).i + (et)j + 1k
	
	
	v(t) = (3.t2 - 3).i + (et+2)j + 1k
	
	
	v(t) = (3.t2 - 3).i + (et)j + (t + 4)k
	
	
	v(t) = (t2 - 3).i + (et)j + 1k
	
Explicação: 
v(t) = r'(t) = (3.t2  - 3).i + (et)j + 1k.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O vetor posição de um móvel, em unidades do S.I., por r(t) = (t3 - 3t + 2).i + (et + 2)j + (t + 4)k. Determine o vetor aceleração inicial.
	
	
	
	a(0) =  - 3i + 1j + 1k
	
	
	a(0) = - 2i + 1j + 1k
	
	
	a(t) = 0i + 1j + 0k
	
	
	a(0) = 0i + 0j + 0k
	
	
	a(t) = 0.i + 1j + 1k.
	
Explicação: 
v(t) = r'(t) = (3.t2 - 3).i + (et)j + 1k   e     a(t) = v'(t) = 6t.i + etj + 0k. Substituindo t = 0, tem-se a(0) = 0i + 1j + 0k
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 2t4i+3tj. Determine a sua velocidade quando t = 4
	
	
	
	v(4)= 510i+3j
	
	
	v(4)= 512i+3j
	
	
	v(4)= 512i-3j
	
	
	v(4)= 502i+3j
	
	
	v(4)= 12i+3j
	
Explicação: 
v(4)=8∙43i+3j
	v(4)= 512i+3j
	
		
	
	 
		
	
		1.
		Uma definição de quando e como se deve utilizar  o teorema de Green, está melhor representada  nas resposta :
 
 
	
	
	
	 Pode ser utilizada em qualquer integral de linha em campo algébrico.
 
	
	
	Não se pode utilizar em integral de linha
 
 
	
	
	 Pode ser utilizada em qualquer tipo de integral de linha
 
	
	
	Deve ser utilizada em uma integral de linha de curva fechada onde haja uma área limitada para sua integração
	
	
	Pode ser utilizada em qualquer integral de linha em campo vetorial
 
	
Explicação: 
Essa representação serve para enfatizar que a integral é calculada sobre uma curva fechada  C, onde a sua orientação é positiva . A limite da região de integração é representada por D, onde sua denotação se dá por , com isso  podemos reescrever o teorema de Green pode ser anunciado da seguinte forma
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcular a integral ∫C(y−ex)dx−(x+∛(lny))dy
		  ,  onde C é a circunferência de raio 1
	
	
	
	−6π
	
	
	
	−3π
	
	
	
	−4π
	
	
	
	−2π
	
	
	
	−π
	
	
Explicação: 
Utilizar o teorema de green 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o campo vetorial F(x,y) = (3x-2y)i + (4 - ax -3y)j. Considerando o campo F conservativo, determine o valor de a.
	
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	2
	
Explicação: 
Derivadas parciais: - 2 = -a, a = 2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a integral ∮C(x+y)dx+(4x+2y+4)dy
		em que o o caminho C é dado pela equação do círculo x2 + y2 = 4.
	
	
	
	9p
	
	
	6p
	
	
	4p
	
	
	8p
	
	
	12p
	
Explicação: 
Teorema de Green
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy)
		onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule ∮cy2dx+3xydy
  em que C é a fronteira da região semianular  contida no semiplano superior entre os círculos x2+y2=4ex2+y2=9
		
	
	
	
	7π/2
	
	
	3π/2
	
	
	11π/2
	
	
	
	5π/2
	
	
	
	9π/2
	
	
Explicação: 
Utilize a integral ∫∫D(∂B/∂x−∂A/∂y)dA
	para resolver
		1.
		Se F(x,y,z)=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k
		 o div F é :
	
	
	
	divF=xz3+6xy2z
	
	
	
	divF=2xz3+6xy2z
	
	
	
	divF=2xz3+6y2z
	
	
	
	divF=2z3+6xy2z
	
	
	
	divF=2xz3+6
	
	
Explicação: 
Derivada Parcial 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a integral ∮C(2x+3y)dx+(4x+y+1)dy
		em que o o caminho C é dado pela equação do círculo x2 + y2 = 9.
	
	
	
	12p
	
	
	8p
	
	
	4p
	
	
	6p
	
	
	9p
	
Explicação: 
Teorema de Green
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere a função F(x, y, z) = x2y.i + y2z.j + z2.k. Determine o rotacional de F.
	
	
	
	y2.i + 0.j - x2.k
	
	
	-2y2.i + 0.j + 2x2.k
	
	
	-y2.i + 0.j - x2.k
	
	
	2xy.i + 2yz.j + 2z.k
	
	
	y2.i + 0.j + x2.k
	
Explicação: 
Produto vetorial
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a função F(x, y, z) = x2y.i + x.y2.j + z2.k. Determine o divergente de F.
	
	
	
	x2y + x2 + z2
	
	
	Xy + 4z
	
	
	x2 + y2 + z2
	
	
	2xy + 4z
	
	
	4xy + 2z
	
Explicação: 
div = 2xy + 2xy + 2z = 4xy + 2z5.
		Determine a Rotacional da Função F tal que F(x,y,z)=xyzi+x2yk
		
	
	
	
	(2x−xy)j−xzk
	
	
	
	2xi+(2x−xy)j
	
	
	
	2xi+(2x−xy)j−xzk
	
	
	
	2xi+(2x−xy)j−xk
	
	
	
	xi+(2x−xy)j−xzk
	
	
Explicação: 
Produto Vetorial 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada a função f(x,y)=x3y4−x4y3
		determine o seu gradiente.
	
	
	
	∇f(x,y)=(4x3y3−3x4y2)j
	
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i
	
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−4y2)j
	
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−3x4y2)j
	
	
	
	∇f(x,y)=(x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−3x4y2)j
	
	
Explicação: 
encontrar fx e fy
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se F(x,y,z)=senyzi+senzxj+senxyk
		 o div F é :
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	3
	
Explicação: 
Efetuando as Derivadas Parciais encontraremos 0
		1.
		Determine a integral ∫Cds
		onde C é a circunferência cuja equação é x2 + y2 = 1
	
	
	
	p/2
	
	
	p
	
	
	2p
	
	
	2p/3
	
	
	p/3
	
Explicação: 
Parametrizar a curva x =  cost e y = sent
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule ∫CF∙dr
 onde F(x,y,z)=xyi+yzj+zxk onde x=ty=t2z=t30≤t≤1
		C é a cúbica retorcida dada por 
	
	
	
	28/29
	
	
	30/31
	
	
	27/28
	
	
	31/32
	
	
	25/26
	
Explicação: 
Parametrizar as funções
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule  ∫CF∙dr
 onde F(x,y,z)=2yi+yxj+3zk onde  C é a cúbica retorcida dada porx=ty=t2z=t20≤t≤1
		
	
	
	
	76/30
	
	
	79/30
	
	
	77/30
	
	
	80/30
	
	
	78/30
	
Explicação: 
Parametriza as funções e integra 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a integral ∫C(x+y)ds
		, onde C é uma circunferência de equação dada por x2 + y2 = 4
	
	
	
	p/2
	
	
	p/4
	
	
	2p
	
	
	p
	
	
	0
	
Explicação: 
Parametrizar a curva x = 2 cost e y = 2sent
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a integral de linha ∫Cydx+∫Cxdy
		onde C consiste   nos segmentos de retas  de (1,2) a (1,1)
	
	
	
	17/2
	
	
	17/6
	
	
	17/5
	
	
	17/3
	
	
	17/4
	
Explicação: 
Parametrizar a função e integrar 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a integral ∫Cds
		onde C é o quarto de circunferência do primeiro quadrante cuja equação é x2 + y2 = 4
 
	
	
	
	p/2
	
	
	2p
	
	
	3p/2
	
	
	2p/3
	
	
	p
	
Explicação: 
Parametrizar a curva x = 2 cost e y = 2sent
		1.
		Seja o paraboloide definido pela expressão z = x2 + y2 . Determine o volume do sólido contido entre essa região e o plano z = 1.
	
	
	
	p/3
	
	
	2p
	
	
	p/2
	
	
	p/4
	
	
	p
	
Explicação: 
Coordenadas cilíndricas - integrar
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sendo as coordenadas cilíndricas (2,2π/3,1)
		transforme em Coordenadas Cartesiana.
	
	
	
	(−1,√3,1)
	
	
	
	(1,√3,1)
	
	
	
	(−1,√2,1)
	
	
	
	(−1,√2,0)
	
	
	
	(−1,√3,0)
	
	
Explicação: 
Utilizando as seguintes transformações x=rcosθy=rsenθz=z
	 encontraremos a resposta 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o paraboloide definido pela expressão z + x2 + y2 = 1. Determine o volume do sólido contido entre essa região e o plano z = 0.
	
	
	
	p
	
	
	2p
	
	
	p/2
	
	
	4p
	
	
	3p
	
Explicação: 
Coordenas cilíndricas - integrar
	
	
	
	 
		
	
		4.
		 Os pontos (2,π/4,π/3)
		estão em coordenadas esféricas, reescreva esses pontos em coordenadas  retangulares.
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),1)
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),3)
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),2)
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),4)
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),6)
	
	
Explicação: 
Transforme as coordenas 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sabendo que a coordenada cartesiana é (3, -3, -7) transforme em coordenadas cilíndricas.
	
	
	
	(3√2,6π/4,−7)
	
	
	
	(3√2,7π/4,−7)
	
	
	
	(3√2,7π/4,−1)
	
	
	
	(3√2,7π/4,−6)
	
	
	
	(2√2,7π/4,−7)
	
	
Explicação: 
Numa coordenada cartesiana temos  as seguintes coordenadas (x, y, z), sendo assim as usaremos
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere os dois sistemas de coordenadas: cartesiano e cilíndrico. Um mesmo ponto A pode ser representado em ambos. Suponha que, em coordenadas cartesianas, o ponto A seja dado por (Ö2, Ö2, 1).
	
	
	
	(2, p/4, 2)
	
	
	(Ö2, p/4, 1)
	
	
	(2, p, 1)
	
	
	(2, p/2, 1)
	
	
	(2, p/4, 1)
	
Explicação: 
r2 = (Ö2)2 + (Ö2)2= 4, logo r = 2 / argumento tem tangente igual a 1, logo p/4 e z = 1.
		
	
	 
		
	
		1.
		Determine a integral tripla ∫30∫20∫10zdzdydx
		
	
	
	
	0
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	9
	
	
	3
	
Explicação: 
Integrando em relação a z, y e x e substituindo os limites de integração: 3 - 0 = 3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sejam os conjuntos A = {-1, 0 } e B = {1, 2,}, determine o produto cartesiano de  A x B
 
 
 
	
	
	
	{(1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 1)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(-1, 1), (1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 0)}
	
Explicação: 
Relacionar A  com B
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a integral I = ∫30∫20∫10xdzdydx
		
	
	
	
	0
	
	
	6
	
	
	3
	
	
	8
	
	
	9
	
Explicação: 
Integrando em relação a z, y e x, tem-se x2yz/2. Substituindo os limites de integração: 9 - 0 = 9
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule  o volume de uma figura em três dimensões sabendo que  seus limites estão definidos da seguinte maneira [0,1]x[1,2][0,3]
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	4
	
Explicação: 
Integrando ∫10∫21∫30dxdydz
	 encontraremos 3 U. V
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule o volume  utilizado a integral   ∭dv
		 onde  a região  que gera o volume é do primeiro octante limitado por  x = 4 - y2 , y = x, x = 0 e z =0 
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	2
	
Explicação: 
Resolvendo a integral teremos 0 como resposta 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		 Calcule  o volume de uma figura em três dimensões sabendo que  seus limites estão definidos da seguinte maneira : [0,1]x[1,2]x[0,4]
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	1
	
Explicação: 
Integrando ∫10∫21∫40dxdydz
 teremos  4 UV como resposta  
		1.
		Calcular a área de uma semi- circunferência, utilizando as coordenadas polares, sabendo que a essa semi- circunferência fica na parte superior  tem seu centro na origem e  4 de raio.
	
	
	
	3π
	
	
	
	2π
	
	
	
	5π
	
	
	
	4π
	
	
	
	6π
	
	
Explicação: 
Resolvendo a integral dupla ∫π0∫40rdrdθ
	 encontraremos  2 pi
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a superfície definida pela equação x2 + y2 + z2 = 1. Determine o volume delimitado pela superfície e o plano z = 0.
	
	
	
	2p
	
	
	p/3
	
	
	2p/3
	
	
	3p/2
	
	
	p
	
Explicação: 
Integral dupla em coordenadas polares
	
	
	
	 
		
	
		3.
		 Transforme as coordenadas polares (5,π/6)
		em coordenada cartesiana
	
	
	
	((5√3)/2;5/2)
	
	
	
	((4√3)/2;5/2)
	
	
	
	((3√3)/2;5/2)
	
	
	
	((5√3)/2;3/2)
	
	
	
	((5√2)/2;5/2)
	
	
Explicação: 
Utilize as fórmulas de conversão de coordenadas polares para cartesianas.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a superfície definida pela equação x2 + y2 + z2 = 9. Determine o volume delimitado pela superfície e o plano z = 0.
	
	
	
	18p
	
	
	36p
	
	
	12p
	
	
	32p
	
	
	16p
	
Explicação: 
Integral dupla em coordenadas polares
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Transforme as coordenadas cartesianas(−√3,1)
		em coordenada polar.
	
	
	
	(4,3π/6)
	
	
	
	(3,3π/6)
	
	
	
	(2,3π/6)
	
	
	
	(2,5π/6)
	
	
	
	(2,5π/8)
	
	
Explicação: 
Utilize as fórmulas de  transformação de coordenadas cartesianas para polares 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o ponto A (1, Ö3) representado em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares esse ponto tem a seguinte representação:
	
	
	
	(2,p/3)
	
	
	(2, p/4)
	
	
	(2,p)
	
	
	(2, p/6)
	
	
	(1,p)
	
Explicação: 
Módulo = 2 e argumento= tgÖ3 = p/3
		1.
		Calcular a integral iterada ∫10∫20(x2+2y)dydx
		
	
	
	
	32/3
	
	
	32/7
	
	
	32/4
	
	
	33/6
	
	
	32/5
	
Explicação: 
Integral dupla iterada, a ordem de integração não importa. 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a área limitada  pelas funções  y = 2x e  y = x2 contidas no paraboloide z =x2+ y2 no plano xy
	
	
	
	216/35
	 
	
	
	216
	
	
	
	215/35
	
	
	
	21/35
	
	
	
	35
	
	
Explicação: 
Integrar a função de maneira  onde os limites são  \(x^2<y<x\)< span="">  e \(0<x<2\)< span=""></x<2\)<></y<x\)<>
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o valor da seguinte integral ∫21∫51xdydx
		
	
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	1
	
Explicação: 
integrando em relação a y e depois em relação a x e substituindo os limites de integração, 6
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a integral dupla ∫∫xsenydA,
onde R=(x,y)/0≤x≤2,0≤y≤π/2
		
	
	
	
	3
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	6
	
	
	2
	
Explicação: 
Calcular a integral dupla usando os limites dados e usando o teorema de Fubinni
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor da seguinte integral ∫10∫10(x.y)dydx
		
	
	
	
	1/8
	
	
	1/2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	1/4
	
Explicação: 
integrando em relação a y e depois em relação a x e substituindo os limites de integração, 1/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A melhor utilização do teorema de Fubini  está representado  na seguinte resposta:
	
	
	
	Integral com várias variáveis
 
	
	
	 
 Integral cujo os limites são funções
 
	
	
	Todos os tipos de integral dupla
 
	
	
	 
Em todos os tipos de integrais
	
	
	Integral Iterada 
	
Explicação: 
O teorema de fubini é usando em integrais iteradas
		1.
		Considere a função f(x,y) = x3.y2 - 3.x2y + 5.y2. Seja fy a derivada parcial de f em relação à variável y. Determine fy
	
	
	
	fy = 3.x2.y2 - 6.x.y
	
	
	fy = 2.x3.y - 3.x2 + 10.y
	
	
	fy = 2y - 3 + 10xy
	
	
	fy = 3.x2.y2 - 6.x.y + 5.y2
	
	
	fy = 6x2.y - 6x + 10.y
	
Explicação: 
Se f(x,y) = x3.y2 - 3.x2y + 5.y2, fy = 2x3y - 3x2 + 10y
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine fxx da função :f(x,y)=x4+y3-3xy
	
	
	
	6y
	
	
	6
	
	
	12x - 3
	
	
	12
	
	
	12x2
	
Explicação: 
Derivar 2 vezes a função em x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a derivada fy da funçãof(x,y)=exln(xy)
		.
	
	
	
	fy=ex
	
	
	
	fy=ex.1/xy
	
	
	
	fy=−ex.1/xy
	
	
	
	fy=1/xy
	
	
	
	fy=ex.1/2xy
	
	
Explicação: 
derivar somente y 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja a função f(x,y) = x3.y - 3xy + y2. Determine o valor de f(0,2)
	
	
	
	-1
	
	
	5
	
	
	-8
	
	
	4
	
	
	0
	
Explicação: 
f(0,2) = 03.2 - 3.0.2 + 22 = 4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine fyy da função :f(x,y)=x3+y3-3xy
	
	
	
	6x
	
	
	6x- 6
	
	
	x - 6
	
	
	6
	
	
	6y
	
Explicação: 
Derivar 2 vezes a função em y
 
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a função f(x,y) = x3.y - 3xy + y2. Seja fx a derivada parcial de f em relação à variável x. Determine fx
	
	
	
	fx = 3x2.y - 3y
	
	
	fx = 3x3 - 3 + y2
	
	
	fx = x3 - 3x + 2y
	
	
	fx = x3 - 3x + y2
	
	
	fx = 3x3.y - 3
	
Explicação: 
Se f(x,y) = x3.y - 3xy + y2, fx = 3x2y - 3y
	Integrando a função vetorial r(t) = 3t2i + 6t2k - 6t2k, temos  a seguinte função vetorial:
		
	
	 t3i + 2t3k - 2t3k
	
	 t3i + t3k - 2t3k
	
	 3t3i + 2t3k - 2t3k
	
	 -t3i + 2t3k - 2t3k
	
	 t3i + 2t3k +2t3k
	Respondido em 15/04/2021 21:13:42
	
	Explicação: 
Integral simples
	
		2a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 2t4i+3tj. Determine a sua velocidade quando t = 4
		
	
	v(4)= 12i+3j
	
	v(4)= 510i+3j
	
	v(4)= 512i-3j
	
	v(4)= 502i+3j
	
	v(4)= 512i+3j
	Respondido em 15/04/2021 19:35:13
	
	Explicação: 
v(4)=8∙43i+3j
		v(4)= 512i+3j
	
		3a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Considere a função f(x,y) = x3.y2 - 3.x2y + 5.y2. Seja fy a derivada parcial de f em relação à variável y. Determine fy
		
	
	fy = 2.x3.y - 3.x2 + 10.y
	
	fy = 6x2.y - 6x + 10.y
	
	fy = 2y - 3 + 10xy
	
	fy = 3.x2.y2 - 6.x.y
	
	fy = 3.x2.y2 - 6.x.y + 5.y2
	Respondido em 15/04/2021 20:31:27
	
	Explicação: 
Se f(x,y) = x3.y2 - 3.x2y + 5.y2, fy = 2x3y - 3x2 + 10y
	
		4a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Calcular a integral iterada ∫10∫20(x2+2y)dydx
	
		
	
	32/3
	
	32/7
	
	32/5
	
	33/6
	
	32/4
	Respondido em 15/04/2021 20:27:39
	
	Explicação: 
Integral dupla iterada, a ordem de integração não importa. 
	
		5a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Considere o ponto A (1, Ö3) representado em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares esse ponto tem a seguinte representação:
		
	
	(1,p)
	
	(2, p/6)
	
	(2, p/4)
	
	(2,p)
	
	(2,p/3)
	Respondido em 15/04/2021 21:06:41
	
	Explicação: 
Módulo = 2 e argumento = tgÖ3 = p/3
	
		6a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	 Calcule  o volume de uma figura em três dimensões sabendo que  seus limites estão definidos da seguinte maneira : [0,1]x[1,2]x[0,4]
		
	
	2
	
	3
	
	0
	
	1
	
	4
	Respondido em 15/04/2021 20:18:01
	
	Explicação: 
Integrando ∫10∫21∫40dxdydz
		 teremos  4 UV como resposta 
	
		7a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Considere os dois sistemas de coordenadas: cartesiano e cilíndrico. Um mesmo ponto A pode ser representado em ambos. Suponha que, em coordenadas cartesianas, o ponto A seja dado por (Ö2, Ö2, 1).
		
	
	(Ö2, p/4, 1)
	
	(2, p/4, 1)
	
	(2, p/4, 2)
	
	(2, p/2, 1)
	
	(2, p, 1)
	Respondido em 15/04/2021 20:09:53
	
	Explicação: 
r2 = (Ö2)2 + (Ö2)2= 4, logo r = 2 / argumento tem tangente igual a 1, logo p/4 e z = 1.
	
		8a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Determine a integral ∫Cds
	onde C é o quarto de circunferência do primeiro quadrante cuja equação é x2 + y2 = 4
 
		
	
	2p/3
	
	p/2
	
	2p
	
	3p/2
	
	p
	Respondido em 15/04/2021 20:00:31
	
	Explicação: 
Parametrizar a curva x = 2 cost e y = 2sent
	
		9a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Se F(x,y,z)=senyzi+senzxj+senxyk
	 o div F é :
		
	
	0
	
	2
	
	1
	
	3
	
	4
	Respondido em 15/04/2021 19:53:15
	
	Explicação: 
Efetuando as Derivadas Parciais encontraremos 0
	
		10a
          Questão 
	Acerto: 0,0  / 1,0 
	
	Calcule ∮cy2dx+3xydy
  em que C é a fronteira da região semianular  contida no semiplano superior entre os círculos x2+y2=4ex2+y2=9
	
		
	
	3π/2
	
	
	5π/2
	
	
	9π/2
	
	
	7π/2
	
	
	11π/2
	
	Respondido em 15/04/2021 19:50:25
	
	Explicação: 
Utilize a integral ∫∫D(∂B/∂x−∂A/∂y)dA
para resolver
	Calcular a área de uma semi- circunferência, utilizando as coordenadas polares, sabendo que a essa semi- circunferência fica na parte superior  tem seu centro na origem e  4 de raio.
		
	
	2π
	
	
	3π
	
	
	4π
	
	
	6π
	
	
	5π
	
	
Calcule o volume  utilizado a integral   ∭dv
	 onde  a região  que gera o volume é do primeiro octante limitado por  x = 4 - y2 , y = x, x = 0 e z =0 
		
	
	1
	
	0
	
	3
	
	4
	
	2