Exericico fixação-140

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Explicação: Utilizamos o método de contorno fechado para calcular a integral. 
 
90. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+3}x^{2n} \). 
 Resposta: O intervalo de convergência é \( -1 \leq x \leq 1 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
91. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = \sin(x) + e^x \). 
 Resposta: \( y = e^{-x^2} \left( C + \int (\sin(x) + e^x) e^{x^2} \, dx \right) \), onde \( C \) é 
uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear. 
 
92. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = \cos(x) + 3 
\). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^x + \frac{1}{5}\cos(x) + 3 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
93. Problema: Calcule a integral \( \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \), onde \( R \) é a região 
delimitada pelo círculo \( x^2 + y^2 = 9 \). 
 Resposta: A integral é \( 81\pi \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas polares para avaliar a integral dupla sobre a região 
\( R \). 
 
94. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2y - 2xy + 4 \) no 
ponto \( (2, -1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (3, 4) \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \nabla f(2, -1) \cdot \frac{\mathbf{v}}{\| \mathbf{v} \|} 
= 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada direcional e o vetor unitário na direção 
de \( \mathbf{v} \). 
 
95. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \).