Exercícios de Cálculo 1 - Semana 14

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 14
Temas abordados: Integral indefinida; Regra de substituição; Áreas
Seções do livro: 5.5; 5.6
Questão 1. Calcule a área limitada pelos gráficos das funções f(x) = 2− 2x2 e g(x) =
∣
∣sen(πx)
∣
∣,
com x ∈ [−1, 1] (veja Figura 1).
Figura 1
Questão 2. O volume de ar V (t) nos pulmões no instante t, medido em litros, pode ser modelado
supondo-se que a sua taxa de variação V ′(t) seja dada por uma função periódica V ′(t) = a sen(bt),
em que a e b são constantes. Supondo ainda que a taxa de variação máxima seja de 0.5 L/s e que
um ciclo respiratório completo, de iguais peŕıodos de inalação e exalação, tenha a duração de 5 s,
a) determine as constantes a e b;
b) determine a função V (t) supondo que V (0) = 0;
c) determine o volume de ar inalado durante um peŕıodo de inalação.
Questão 3. Uma part́ıcula de massa m > 0 se move retilineamente sob a ação de uma força F que
é proporcional à velocidade v(t) da part́ıcula e atua em sentido contrário ao deslocamento. Desse
modo F = −k v(t), com k > 0 constante. Supondo que v(0) = v0 > 0 resolva os itens a seguir.
a) Lembrando que também temos F = mv′(t) (Segunda Lei de Newton), em que v′(t) é a
aceleração da part́ıcula, obtenha a equação que relaciona m, k, v(t) e v′(t).
b) Lembrando que a derivada de ln(v(t)) é igual a v′(t)/v(t), use o item anterior para obter v(t)
em termos de v0, k e m.
c) Determine o espaço s(t) percorrido pela part́ıcula até o instante t, supondo s(0) = 0.
d) Calcule a distância total d percorrida pela part́ıcula, dada por d = lim
t→∞
s(t).
Questão 4. Suponha que a temperatura T (t) de um corpo, imerso em um meio com temperatura
constante e igual a 20, seja tal que T (0) = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento
de Newton, a taxa de variação T ′(t) é proporcional à diferença entre as temperaturas T (t) e 20.
Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a −2, segue que
T ′(t) = −2(T (t)− 20), t > 0.
a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T (t).
b) Determine o instante t0 em que T (t0) = 40.
c) O que acontece com a temperatura T (t) após muito tempo?
Questão 5. Nem tudo o que sobe desce! De fato, pode-se imaginar que um corpo seja lançado
com uma velocidade tão grande que acabe escapando da atração gravitacional da Terra. Para se
ter uma idéia dessa velocidade, denote por v0 a velocidade inicial, por m a massa e por h(t) a altura
do corpo a partir do solo no instante t. Desconsiderando a resistência do ar, o corpo está sujeito
apenas à força gravitacional F = −mM G/(R + h(t))2, em que G é constante, M é a massa e R
é o raio da Terra. Usando a segunda lei de Newton F = mh′′(t), em que h′′(t) é a aceleração do
corpo, segue-se que h(t) satisfaz às condições
R
h(t)(∗)









mh′′(t) = −
mM G
(R+ h(t))2
h(0) = 0
h′(0) = v0
a) Cancelando a massa m e multiplicando a equação em (∗) por h′(t),
obtém-se que h′(t)h′′(t) = −M Gh′(t)/(R + h(t))2. Use substi-
tuição de variáveis para determinar a integral indefinida de cada
uma das funções h′(t)h′′(t) e −M Gh′(t)/(R+ h(t))2.
b) Usando o item anterior, verifique que h′(t)2 pode ser expressa em
termos da função h(t), das constantes M e G e de uma constante
arbitrária K.
c) Use as condições iniciais h(0) = 0 e h′(0) = v0 para determinar a constante K.
d) Determine agora uma outra constante ve tal que, se v0 > ve, então a velocidade h
′(t) é sempre
positiva. A constante ve é dita a velocidade de escape da Terra.
Gabarito
1. A área é igual a
8
3
−
4
π
2. a) a = 0, 5 e b = 2π/5 b) V (t) =
5
4π
(
1− cos
(
2π
5
t
))
c) 5/2π litros
3. a) mv′(t) = −kv(t) b) v(t) = v0e
−kt/m c) s(t) =
mv0
k
(
1− e−kt/m
)
d) mv0/k
4. a) T (t) = 20 + 60e−2t b) t0 =
ln 3
2
c) se aproxima de 20 graus.
5. a) as integrais indefinidas são
1
2
h′(t)2+K1 e
MG
R+ h(t)
+K2, respectivamente, onde K1, K2 ∈ R
são constantes de integração
b) h′(t)2 =
2M G
R+ h(t)
+ K, com K = 2(K2 −K1)
c) K = v2
0
− 2M G/R
d) ve =
√
2M G/R
Exerćıcios recomendados do livro
Seção Assunto Exerćıcios
5.5 Integrais indefinidas 3, 7, 9, 15, 19, 25, 33, 43, 47, 55, 61
5.6 Substituição e áreas 5, 7, 11, 13, 27, 37, 45, 49, 53, 59, 67, 73, 95, 109