Exericico fixação-144

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14. Problema: Determine a equação da tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto onde \( x = 
1 \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
15. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y' - 6y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
16. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo \( x \) 
no intervalo \( [0, 4] \). 
 Resposta: A área é \( 8/3 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e o eixo \( x \) 
no intervalo dado. 
 
17. Problema: Encontre a soma dos termos da série alternada \( \sum_{n 
 
=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{\pi^2}{12} \). 
 Explicação: Esta é a série de Leibniz, cuja soma é bem conhecida. 
 
18. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 Resposta: A concavidade muda de côncava para cima para côncava para baixo em \( (0, 
1) \) e \( (2, +\infty) \). Os pontos de inflexão são \( (1, 0) \) e \( (2, 0) \). 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
19. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e as retas \( y = 
1 \) e \( x = 0 \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas.