Exericico fixação-148

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Resposta: A soma é 2. 
 Explicação: Use a fórmula da soma de uma série geométrica \( \frac{a}{1 - r} \), onde \( a 
\) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. 
 
38. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = \sin(x) \). 
 Resposta: A concavidade é para cima em \( \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi 
n\right) \) e para baixo em \( \left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi n\right) \), onde \( n 
\) é um número inteiro. Não existem pontos de inflexão. 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
39. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) e o eixo \( 
x \) no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( 1 \) unidade quadrada. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e o eixo \( x \) 
no intervalo dado. 
 
40. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto onde \( 
x = 0 \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
41. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 y \) com a condição 
inicial \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = e^{\frac{x^3}{3}} \). 
 Explicação: Separe as variáveis e integre para resolver a equação diferencial, em 
seguida, use a condição inicial para encontrar a constante de integração. 
 
42. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int x^2 \ln(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \), onde \( C \) é 
uma constante. 
 Explicação: Use integração por partes para integrar o produto de \( x^2 \) e \( \ln(x) \).