Exericico fixação-156

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84. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
85. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). 
 Explicação: Use a definição de tangente \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) e o limite 
fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). 
 
86. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x \) 
no intervalo \( [0, 2] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
87. Problema: Encontre a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^2} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 Explicação: Esta é a série de Basel, cuja soma é conhecida. 
 
88. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = x^3 \). 
 Resposta: A concavidade é para cima em \( (-\infty, +\infty) \). Não existem pontos de 
inflexão. 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
89. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi/2] \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{\pi}{4} \) unidades quadradas.