Exericico fixação-185

Prévia do material em texto

Resolução: Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou indefinida. A derivada 
de \( f(x) \) é \( 3x^2 - 6x \), que é zero em \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 
10. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 
11. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resolução: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| \). Substituindo os limites de integração, 
obtemos \( \ln|4| - \ln|1| = \ln(4) \). 
 
12. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3} \). 
 Resolução: Podemos usar a regra do poder para derivar \( \sqrt{x^3} \). A resposta é \( 
\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \). 
 
13. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2 \). 
 Resolução: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = x^3 - 3x^2 + 2x + C \), onde \( C \) 
é uma constante de integração. 
 
14. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{x^3 - 2x + 1} \). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 
\frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \). O termo \( \frac{3}{x} \) e \( \frac{2}{x^2} \) vão 
para zero quando \( x \) tende ao infinito. Portanto, a resposta é \( \frac{2}{1} = 2 \). 
 
15. Problema: Determine a solução da equação \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \). 
 Resolução: Podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as soluções desta 
equação quadrática. As soluções são \( x = -\frac{1}{2} \) e \( x = -2 \). 
 
16. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 Resolução: Usando a regra do poder, a derivada de \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) é \( -
\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \). 
 
17. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resolução: As soluções para esta equação são \( \frac{\pi}{3} +