Problemas de Cálculo e Álgebra

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42. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \). 
 Resolução: Podemos usar a regra da cadeia para derivar \( \tan^2(x) \). A resposta é \( 
2\tan(x)\sec^2(x) \). 
 
43. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^x - \cos(x) \). 
 Resolução: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = e^x + \sin(x) + C \), onde \( C \) é 
uma constante de integração. 
 
44. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 Resolução: Usando a definição de seno, \( \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \). Portanto, \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin(x) - 4\sin^3(x)}{x} \). Aplicando a 
regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(x) - 12\sin^2(x)\cos(x)}{1} = 3 \). 
 
45. Problema: Determine a solução da equação \( x^2 - 8x + 16 = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação quadrática que pode ser fatorada como \( (x - 4)^2 = 0 
\). Portanto, a única solução é \( x = 4 \). 
 
46. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resolução: Usando a regra do quociente, a derivada de \( \frac{\sin(x)}{x} \) é \( 
\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). 
 
47. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resolução: As soluções para esta equação são \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) e \( \frac{5\pi}{6} 
+ 2\pi n \), onde \( n \) é um número inteiro. 
 
48. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^x \cos(x) \, dx \). 
 Resolução: Podemos usar integração por partes para resolver essa integral. A resposta é 
\( \frac{1}{2} e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 
49. Problema: Encontre o ponto crítico da função \( f(x) = \ln(x + 1) \). 
 Resolução: A derivada de \( f(x) \) é \( \frac{1}{x + 1} \), que é zero quando \( x = -1 \). No 
entanto, \( x = -1 \) não está no domínio da função \( f(x) \).