Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - Cálculo Integral

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1 - Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque:
RESPOSTA CORRETA = relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois elementos.
2 - No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x).
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = I e IV.
3 - O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (V) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. (F) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
III. (V) h(x) é uma função.
IV. (V) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, F, V, V.
4 - A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam.
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. (F) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
II. (V) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
III. (V) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
IV. (F) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = F, V, V, F.
5 - O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo.
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características:
1) f(x) = sen(x).
2) f(x) = cos(x).
3) f(x) = tg(x).
4) f(x) = sec(x).
(1) Sua derivada segunda é f(x)*(-1).
(4) Sua derivada é 
(2) Sua derivada terceira é sen(x).
(3) Sua derivada é sec²(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = 1, 4, 2, 3.
6 - Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = II, III e IV.
7 - De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas a seguir.
I. A propriedade  define uma regra para integração de polinômios.
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função primitiva.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
IV.  é um exemplo de integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
RESPOSTA CORRETA = I, II e III.
8 - O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, entre outras.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s):
I. (V) cos² x + sen² x = 1 é uma relação trigonométrica.
II. (F) cos x = sen x = 1 é uma relação trigonométrica.
III. (V) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x).
IV. (F) cos(x) e sen(x) são equivalentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = V, F, V, F.
9 - Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (F) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
II. (F) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0.
III.(V) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))).
IV. (V) f’’(x) = -f(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
RESPOSTA CORRETA = F, F, V, V.
10 - Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque:
RESPOSTA CORRETA = permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou.