Exericico fixação-190

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50. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y(x) = (C_1e^x + C_2e^{2x}) \), onde \( C_1 \) e 
\( C_2 \) são constantes. 
 
51. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \). 
 Resolução: A integral de \( e^x \) é \( e^x \). Substituindo os limites de integração, 
obtemos \( e 
 
^1 - e^0 = e - 1 \). 
 
52. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x} \). 
 Resolução: Usando a regra do quociente, a derivada de \( \frac{\sin^2(x)}{x} \) é \( 
\frac{2\sin(x)\cos(x)x - \sin^2(x)}{x^2} \). 
 
53. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) - e^x \). 
 Resolução: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = \sin(x) - e^x + C \), onde \( C \) é 
uma constante de integração. 
 
54. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x \). 
 Resolução: Este é o limite fundamental que define o número de Euler, \( e \). Portanto, a 
resposta é \( e \). 
 
55. Problema: Determine a solução da equação \( x^2 + 3x + 2 = 0 \). 
 Resolução: Podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as soluções desta 
equação quadrática. As soluções são \( x = -1 \) e \( x = -2 \). 
 
56. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(3x) \). 
 Resolução: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \). Portanto, a derivada de \( \ln(3x) \) é \( \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \). 
 
57. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 Resolução: As soluções para esta equação são \( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) e \( \frac{5\pi}{3} 
+ 2\pi n \), onde \( n \) é um número inteiro.