A MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA DO MERCADO - Rogério Gomes de Faria

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ROGÉRIO GOMES DE FARIA
A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
AVANÇADA DO MERCADO
Usando a HP – 12C e o EXCEL nos exercícios
Revisada em Fevereiro de 2010
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MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA
PROGRAMA
Capítulo 1
OPERAÇÃO DOS BANCOS
1. DE CURTÍSSIMO PRAZO – 9 
 1.1. Hot Money – 9
 1.1.1. Conceitos – 9
 1.1.2. Tributação – 9
 1.1.3. Exercícios Resolvidos e Propostos – 10
2. DE CURTO PRAZO – 14
2.1. Desconto Bancário – 14
 2.1.1. Conceitos – 14 
 2.1.2. Valor Atual Bancário – 14 
2.1.3. IOF – Imposto sobre Operação Financeira – 14
 Aplicação e Exemplo – 144
2.1.4. RSM – Reciprocidade do Saldo Médio – 16
 Aplicação e Exemplo – 16
2.1.5. Observação sobre o Desconto Bancário – 17
2.1.6. PIS E COFINS – 18
2.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 18
2.2. Desconto de Bordearau – 23
 2.2.1. Conceitos – 23
 2.2.2. Aplicação – 23
2.3. Desconto Racional – 25
 2.3.1. Conceito e Exemplo – 25
2.4. Empréstimo de Capital de Giro – 25
 2.4.1. Conceito e Exemplo em Juro Simples e Composto – 25
2.5. Cheque Especial – 27
 2.5.1. Conceito – 27
 2.5.2. Exemplo – 27
3. DE LONGO PRAZO – 29
3.1. Operações do Sistema BNDES – 29
3.1.1. Considerações Iniciais – 29
3.1.2. Programas – 29
 FINEM – 30
 BNDES AUTOMÁTICO – 30
 FINAME – 31
3
3.1.3. A Amortização dos Financiamentos – 32
 Conceitos – 32
 A Carência nos Programas – 32
3.1.4. A TJLP – 33
3.1.5. A URTJLP – 34
 Observações Operacionais – 34
3.1.6. Planilha de Financiamento do Finame em URTJLP – Quadro 1.1 – 35
3.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 37 
Capítulo 2
RENDAS UNIFORMES E CONSTANTES
2.1. Considerações Iniciais – 41 
 2.1.1. Classificação e Tipos –41
2.2. Rendas Imediatas ou Postecipadas – 42
 2.2.1. Cálculo do VPI e do VFI – Quadro 2.1; do PMT – Quadro 2.2 e da 
TIR – Quadro 2.3 – 44
2.3. Rendas Antecipadas – 47
 2.3.1. Cálculo do VPA e do VFA – Quadro 2.4 – 48 
2.4. Rendas Diferidas – Cálculo do VPD e do VFD – 48
2.5. Rendas Perpétuas ou Perpetuidades – Cálculo do VPP – 48 
2.6. Exercícios Resolvidos e Propostos – 49
 2.6.1. Impostos Incidentes – 49
2.7. Rendas Uniformes e Não-Constantes – 55
 2.7.1. Exercícios Resolvidos – Quadro 2.5 e Quadro 2.6 – 56
Capítulo 3
OPERAÇÕES DE PRAZO MÉDIO
3.1. O ARRENDAMENTO MERCANTIL – LEASING – 59 
3.1.1. Operações de Leasing – 59
3.1.2. Tipos de Leasing – 59
3.1.3. Impostos Incidentes – 60
3.1.4. Tipos de Operação – 60
 Comentário 1 – 61
 Comentário 2 – 62
 Comentário 3 – 63
3.1.5. Exercícios Propostos – 64 
3.2. CRÉDITO DIRETO AO CONSUMIDOR – CDC – 66
3.2.1. Generalidades – 66
3.2.2. CDC usando Rendas Postecipadas – Quadro 3.1 – 66
3.2.3. Coeficientes das Financeiras com o IOFT incluído – 67
 Tabela Completa do Crediário – Quadro 3.2 – 68 
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Capítulo 4
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A LONGO PRAZO
PAGAMENTO POR PRESTAÇÕES
1. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO SIMPLES – 69
1.1. Conceitos – 69
1.2. Tipos de Sistema – 70
1.2.1. Sistema Francês de Amortização – 70
Duas Observações Importantes – 70 
Conceitos e Fórmulas – 70
Planilha 4.1 e Quadro 4.1 da Teoria do Sistema Francês – 71 
Idem, usando a Programação Específica da HP – 12C – 73
Antecipação do Pagamento do Saldo Devedor – 74
1.2.2. Tabela Price – 75
Conceitos – 75
Exemplos – 76 
1.2.3. IOFT no Pagamento por Prestações – 76
1.2.4. IOF1 na Tabela Price a partir de 2008 – Quadro 4.2 – 78
1.2.5. Cálculo do Número de Prestações na Tabela Price pelo Método de 
Atingir Metas do Excel – Quadro 4.3 – 79
1.2.6. Sistema de Amortização Constante – SAC – 80
Conceitos – 80
Exemplo – 81 
Montagem do Quadro Teórico de Financiamento – Quadro 4.4 – 81
Equivalência do SAC com o Sistema Francês – 81
Aplicações Práticas do SAC – 82
Comparação entre o SAC e o Sistema Francês – 82
1.2.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 83
1.2.8. Sistema de Amortização Crescente – SACRE – 86
Conceitos – 86
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COM CM – 87 
 
 2.1. Esclarecimentos Iniciais sobre a Correção Monetária no SACRE – 87
 2.2. SACRE – Desenvolvimento Simulado da CEF – 88
 2.2.1. Cálculo do Valor das Prestações – 88
 2.2.2. Quadro 4.5 – Evolução do Sistema SACRE – 93
 2.3. Tabela Price – Desenvolvimento Simulado da CEF – 93
 2.3.3. Cálculo do Valor das Prestações – 93
 2.3.4. Quadro 4.6 – Evolução do Sistema Price – 93
 2.4. Considerações sobre o SAC e a Tabela Price – 97
 2.4.1. Quadro 4.7 – Evolução da Prestação e Comprometimento Renda – 97
 2.4.2. Quadro 4.8 – Evolução do Saldo Devedor – 98
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Capítulo 5
MERCADO BRASILEIRO DE TÍTULOS
5.1. COMO PROJETAR A TAXA FUTURA DE JURO
Contrato Futuro de Taxa Média de DI de 1 dia – 99 
Conceitos – 99
Especificações do Contrato – 100
Precificação das LTN – 103
Exercícios Resolvidos – 103
5.2. MERCADO DE TÍTULOS PRIVADOS
CDB – Certificado de Depósito Bancário – 106
Conceitos – 106 
Tipos de CDB – 106
IOF nas Aplicações Financeiras – Tabela I – 107 
Operações – 108
Uso de Dias Corridos dc e Dias Úteis du – 109
Exercícios Resolvidos e Propostos – CDB Prefixado – 110 
Exercícios Resolvidos e Propostos – CDB Pósfixado – 115 
5.3. MERCADO DE TÍTULOS PÚBLICOS FEDERAIS
Conceitos – 120
Política Monetária – 120
Política Orçamentária – 121 
SELIC – Serviço Especial de Liquidação e Custódia – 121
Padronização do Cálculo da Taxa de Rentabilidade dos Títulos Públicos Federais 
no SELIC – 122
Mercados Primário e Secundário – 122
NBCE – Notas do Banco Central – Série E – 123
Conceitos – 123
Características Principais – 123
Exercícios Resolvidos e Propostos – 125
LTN – Letra do Tesouro Nacional – 133
Conceitos – 133
Características Principais – 133
Exercícios Resolvidos – 129
LFT(N) – Letra Financeira do Tesouro (Nacional) – 133
Conceitos – 133
Características Principais – 133
Exercícios Resolvidos – 133
6
NTNC – Notas do Tesouro Nacional – Série C – 137
 Conceitos – 137
 Características Principais – 137
 Exercícios Resolvidos e Propostos – 139
NTND – Notas do Tesouro Nacional – Série D – 145
 Conceitos – 146
 Características Principais – 146
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1
OPERAÇÕES DOS BANCOS 
1. DE CURTÍSSIMO PRAZO
1.1. Hot Money
1.1.1. Conceitos
O “Hot Money” é o empréstimo que as grandes Empresas bem posicionadas 
no mercado e algumas pequenas e médias reconhecidamente sólidas e bem 
equilibradas, tomam junto à Rede Bancária para cobrir momentâneos desequilíbrios de 
caixa por períodos muito curtos variando de 1 a 3 dias úteis 1 e, portanto, usando taxa 
over mensal ou anual. É uma operação típica dos Bancos Comerciais e de Investimento.
Como o prazo é pequeno, aos Bancos interessa fazer a operação apenas com os 
seus clientes preferenciais e em volumes significativos, uma vez que os ganhos são 
proporcionalmente baixos, não só em função do mencionado pequeno prazo como 
também porque as boas e sólidas empresas não são de pagar altos spreads e o risco para 
o emprestador praticamente é o mesmo das operações de prazos um pouco mais longos.
Em geral não existem garantias colaterais no empréstimo, dado o pequeno prazo 
da operação que normalmente inviabiliza o seu estabelecimento, usando-se tão somente 
o contrato com uma Nota Promissória. Mesmo assim, na realidade, existe é uma disputa 
entre os Bancos para atender as empresas, visando atrair os clientes mais tradicionais 
para os outros produtos que os Bancos oferecem, estes sim, com mais rentabilidade. 
1.1.2. Tributação
Todas as operações realizadas no SFN entre as Instituições Financeiras e a 
clientela PF e/ou PJ não financeiras, estão sujeitas à cobrança do Imposto sobre 
Operações Financeiras – IOF, à exceção das operações de Leasing e as de compra da 
primeira residência que não possuem esse tributo. O IOF é devidointegralmente quando 
da entrega dos recursos ao tomador e incide apenas sobre o principal emprestado, não 
podendo, portanto, ser aplicado sobre os valores relativos ao desconto bancário ou 
racional, a comissões ou a outras despesas que os bancos costumam cobrar. É o mesmo 
imposto que vai ser visto no Desconto Bancário e Capital de Giro, tanto na forma da 
cobrança efetuada (IOF1 e IOF2) no início da operação, quanto ao posterior recolhimento 
à Receita Federal.
1 Dias úteis são os dias corridos do ano subtraídos dos sábados, domingos e feriados nacionais. Feriados estaduais ou 
municipais não entram no total a subtrair. 
9
A Instituição Financeira, auferindo uma receita líquida (receita bruta deduzida 
dos custos que a Receita Federal permite sejam abatidas através da IN nº 247 de 21 de 
novembro de 2002, modificada a partir de 01 de setembro de 2003) chamada de spread, 
sofre a cobrança do PIS (0,65%) e da COFINS (4%) sobre essa receita líquida. 
Porém, é comum no mercado as Instituições Financeiras imputarem, tanto o PIS – 
Programa de Integração Social, quanto a COFINS – Contribuição Financeira para a 
Seguridade Social ao cliente, usando o percentual invertido como vai ser mostrado logo 
à frente.
Para ilustrar, exercícios de alguns casos reais mais usados no mercado serão 
vistos a seguir, usando a calculadora HP-12 C e/ou o Excel, lembrando que os cálculos 
deverão ficar no visor das máquinas ou nas suas memórias até o encerramento do 
exercício, devido à armazenagem e arredondamento que elas fazem automaticamente. 
Assim, o que está no visor nem sempre é exatamente o que está sendo usado pelas 
calculadoras para a efetivação de determinado cálculo. Como os valores da negociação 
em geral são grandes, dá diferença, às vezes significativa.
1.1.3. Exercícios Resolvidos e Propostos 
1. A Indústria Rafa S/A está fazendo um empréstimo de curtíssimo prazo de R$ 
40.000.000,00 com o Banco Gama S/A à taxa efetiva mensal de 3,20% , líquida de 
despesas dedutíveis, de 11/03/2009 (4ª feira) para 16/03/2008 (2ª feira). Sabendo que 
o mês de março/2009 tem 22 dias úteis, calcular os valores da Receita Líquida do 
Banco e do PIS e da COFINS, que foram imputados ao cliente. Não usar IOF.
 Cálculo da Receita Líquida RL do Banco, através do uso da taxa líquida 
mensal fornecida de 3,20% ð A Receita é líquida porque o PIS e a COFINS 
devidos ao Banco foram pagos pelo cliente numa imposição do Banco.
A operação é para 3 du em 5 dc. O Banco vai trabalhar apenas com os dias úteis 
(3 du), porque nesse tipo de operação de prazo muito curto, se forem considerados 
também os dias não úteis (sábado, domingo e feriado), o custo para o cliente ficará 
muito alto e pode inviabilizar a negociação, além de não ser justo. A Receita Líquida 
é uma das incógnitas pedidas e ela é a base de cálculo para o PIS e a COFINS.
f3 = (1,032) (3/22) = 1,004305 ð t3 = f 3 –1 = 0,004305 _ taxa decimal do período 
 
 Receita Líquida do Banco = 0,004305 x 40.000.000,00 
RL = R$ 172.180,44 ð PIS e COFINS foram pagos pelo cliente no final da 
operação
Cálculo do PIS e COFINS imputados ao Cliente
 PIS = 0,0065 x 172.180,44 _ PIS = 1.126,50 reais ou
 1 – 0,0065
 PIS = 0,65 % x 0,004305 x 40.000.000,00 _ PIS = 1.126,50 reais
 0,9935
 
 COFINS = 0,04 x 172.180,44 _ COFINS = 7.174,18 reais ou
10
 1 – 0,04
 COFINS = 4% x 0,004305 x 40.000.000,00 _ COFINS = 7.174,18 reais
 0,96
2. O Banco Ipsilon S/A concedeu um hot money à Cia XYZ de Petróleo S/A no valor 
de R$ 60.000.000,00 do dia 24/03/2009 (3ª feira) até o dia 27/03/2009 (6ª feira), à 
taxa over mensal líquida para o Banco de 3,20%. Calcular os valores do PIS e da 
COFINS imputados à Cia de Petróleo pelo Banco e a Receita Líquida do Banco na 
operação. Não usar IOF.
Este exercício é praticamente igual ao anterior, com a única diferença residindo no 
tipo de taxa, que aqui é over mensal também líquida e não a efetiva mensal. Assim:
 
t3 = [1 + (3,20/3.000)] 3 − 1 = 0,003203 _ taxa do período na forma decimal 
 
a) Cálculo do PIS e COFINS pagos pelo cliente
 PIS = 0,65 % x 0,003203 x 60.000.000,00 _ PIS = 1.257,51 reais
 0,9935
 COFINS = 4 % x 0,003203 x 60.000.000,00 _ COFINS = 8.008,54 reais
 0,96
b) Cálculo da Receita Líquida do Banco
 RL = 0,003203 x 60.000.000,00 _ RL = 192.204,96 reais
 
3. A Construtora Pioneira S/A fez uma operação de curtíssimo prazo com o Banco 
Eta S/A no valor de R$ 20.000.000,00 à taxa “over” ativa de 5% a.m. Sabendo-se 
que na captação dos recursos necessários para o empréstimo o banco pagou 1,30% 
a.m. de taxa “over” (operação passiva) e que o período foi de 27/03/2009 (6ª feira) 
a 31/03/2009 (3ª feira), calcular os valores do PIS e da COFINS imputados pelo 
Banco à construtora e a despesa total da construtora, incluindo o IOF. 
 Trata-se de uma operação com 2 du e 4 dc, estes usados para o IOF.
 a) PIS e COFINS
 1°) Usando Juros Simples para se obter a taxa líquida ou spread do Banco:
 5 % − 1,30 % = 3,70 % a m _ Taxa Líquida do Banco
 Spread do Banco = [[ 1 + 3,70 ] 2 − 1] . 20.000.000,00 
 3.000
 RL = 0,002468 x 20.000.000,00 ð RL = Spread do Banco = 49.363,74 reais 
 
 PIS = 0,65 % x 49.363,74 ð PIS = 322,96 reais
 0,9935
11
 COFINS = 4 % x 49.363,74 ð COFINS = 2.056,82 reais
 0,96
 2º) Usando Juros Compostos para obtenção da taxa líquida do spread:
 Spread do Banco = [[ (1 + 5/3.000)2 ] − 1] x 20.000.000,00 = 
49.342,38 
 (1 + 1,30/3.000)2
 Sp Banco = 0,002467 x 20.000.000,00 ð Spread do Banco = 49.342,38 reais
 PIS = 0,65% x 49.342,38 ð PIS = 322,82 reais 
 0,9935
 COFINS = 4% x 49.342,38 ð COFINS = 2.055,93 reais
 0,94
 Obs - Como a diferença dos cálculos é muito pequena, usa-se qualquer regime. 
 b) Despesa Total da Construtora
 
 CT = ((1 + 5/3000)2 −1 + 0,000041 x 4 + 0,0038) x 20.000.000,00 + PIS + COFINS
 
 CT _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS onde CB = Custo Bancário
 1º CT = 66.722,24 + 3.280,00 + 76.000,00 + 322,96 + 2.056,82 ð R$ 148.381,88
 2º CT = 66.722,24 + 3.280,00 + 76.000,00 + 322,82 + 2.055,93 ð R$148.380,99
Um capital de giro de R$ 50.000.000,00 foi concedido a uma empresa do ramo de 
siderurgia à taxa anual de 56,45% por três dias consecutivos. Sabendo que o 
custo do dinheiro para o Banco que fez o empréstimo foi de 12,68% a.a., calcular 
a receita líquida do banco e o custo total da siderúrgica.
Como se trata de 3 dias consecutivos, deve-se entender por 3 du = 3 dc.
 1º) Usando Juros Simples, mas depois de calculados os fatores do prazo de 3 dias 
por Juros Compostos, porque as taxas dadas foram anuais e se não for assim a 
diferença vai ficar muito grande e fora de propósito.
 
TL3 = (1,5645) (3/252) - (1, 1268) (3/252) = 1,005342 - 1,001422 = 0,003920
RL = 0,003920 x 50.000.000,00ð RL = R$ 196.008,40 
 
PIS = 0,65 % x 196.008,40 ð PIS = 1.282,39 reais
 0,9935
COFINS = 4 % x 196.008,40 ð COFINS = 8.167,01 reais
 0,96
 Custo Total _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS 
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 CT = ((1,5645)(3/252) -1 + 0,000041 x 3 + 0,0038) x 50.000.000,00 + PIS + COFINS
 CT = (0,005342 + 0,000123 + 0,0038) x 50.000.000,00 + 1.282,39 + 8.167,01 
 CT = 0,009265 x 50.000.000,00 + 1.282,39 + 8.167,01 
 
 Custo Total = 463.269,50 + 9.449,40 
 
 1º Custo Total = R$ 472.718,90
 2º) Usando Juros Compostos através da divisão dos fatores
TL3 = [ 1,5645 ] (3/252) - 1 = 1,003915 - 1 = 0,003915 
 1,1268
 RL = R$ 195.730,05 reais
PIS = 0,65 % x 195.730,05 ð PIS = 1.280,57 reais
 0,9935
COFINS = 4% x 195.730,05 ð COFINS = 8.155,42 reais
 0,96
CT _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS
CT = (0,005342 + 0,000123 + 0,0038) x 50.000.000,00 + PIS + COFINS 
CT = 463.269,50 + 9.435,99
 
 2° Custo Total = R$ 472.705,49
5. O Banco Zeta S/A concedeu um “hot money” de R$ 20.000.000,00 a um cliente do 
dia 31/03/2009 (3ª feira) até 03/04/2009 (6ª feira) à taxa anual de 54,65 %. Se o 
custo de captação do banco foi de 18,16% ao ano, calcular a e b abaixo, sabendo que 
o banco imputou o PIS e a COFINS ao cliente.
 a) O Custo Total da operação para o cliente
 b) A Receita Líquida do Banco
 Resp. a) R$ 185.632,11 b) R$ 64.180,10
6. A CIA de Armamentos S/A tomou um empréstimo de curtíssimo prazo junto ao seu 
principal banqueiro no valor de R$ 30.000.000,00 de 18/06/2009 (5ª feira) até 
23/06/2009 à taxa mensal efetiva de 3,30 %. Se o custo do “funding” para o Banco 
na ocasião estava por volta de 1,10 % de taxa efetiva mês e sabendo que junho/2009 
tem 20 dias úteis, quais foram os valores de a, b e c abaixo, se o banco pagou o 
PIS e a COFINS do seu caixa? 
a a) A Receita Líquida do banco sem ele pagar o PIS e a COFINS.
 b) A Despesa Total do cliente na operação.
 c) Os valores do PIS e da COFINS que vão sair da Receita Líquida do Banco.
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 Resp. a) R$ 98.086,71 b) R$ 266.608,71 c) R$ 637,56 e R$ 3.923,47
2. DE CURTO PRAZO
2.1. Desconto Bancário
2.1.1. Conceitos
O Desconto Bancário ou por Fora – DB é a quantia equivalente ao juro simples 
cobrado sobre o Valor Final ou Nominal do título à taxa combinada, chamada taxa 
pré ou taxa de desconto, no prazo que decorre da negociação até o vencimento do título. 
É também uma operação típica dos Bancos Comerciais e de Investimento.
Seja F o Valor Final ou Nominal de um título que vai ser descontado em um 
banco à taxa i, n períodos antes do seu vencimento. Usando a fórmula inicial de Juro 
Simples J = Pin e colocando F no lugar de P, segundo a definição do Desconto 
Bancário, teremos DB igual a:
 DB = Fin (1)
Exemplo: Um título de Valor Final R$ 40.000,00 vai ser descontado à taxa de 5% a.m. 
de juros. Faltando 45 dias para o vencimento do título, qual é o valor do desconto 
bancário?
DB = Fin; i = taxa pré = 5% a.m.; n = 45 dias = 1,5 mês
DB = 40.000 x 0,05 x 1,5 = 3.000,00 _ DB = R$ 3.000,00 
2.1.2. Valor Atual Bancário 
O valor atual A de um título é dado pela diferença entre o seu valor final F e o 
desconto D. Sendo o desconto bancário, o Valor Atual AB é dito bancário e dado por: 
AB = F – DB ð AB = F – Fin = F (1 – in) ð AB = F (1 – in) (2)
 
Exemplo – Qual o valor atual de um título de R$ 40.000,00 disponível dentro de 45 
dias em um banco que cobra 5% a.m. de taxa pré ou de desconto?
AB = F (1 – in) ð AB = 40.000 (1 – 0,05 x 1,5) _ AB = R$ 37.000,00
 O Desconto Bancário, como todo desconto, é cobrado antecipadamente, ou seja, 
no início da operação e isso aumenta, obviamente, o custo (taxa) para o tomador, pois 
sobre uma quantia menor que lhe é creditada (valor atual bancário do título), ele pagará 
o mesmo juro calculado sobre o Valor Final.
14
Aplicação – Uma pessoa vai a um banco descontar um título de valor F por n meses à 
taxa mensal i ; na realidade, a sua taxa final postecipada X ou taxa final postecipada 
mensal t de custo, será :
F (1 – in) → líquido recebido (valor atual bancário)
F (in) → juros pagos (desconto bancário)
Assim, arma-se a seguinte regra de três simples para se obter taxa de juro pós:
F (1 – in) → F (in) 
 1 → X → X = in /(1 – in) (3)
Exemplo: Seja o caso do exemplo anterior:
F = 40.000,00 n = 45 dias = 1,5 mês i = 5% a.m. ou 0,05
X = (0,05 x 1,5) / ( 1 – 0,05 x 1,5) = 0,081081 = 8,1081%, pelo período de 1,5 mês. 
 
A taxa final postecipada mensal t será = 8,1081% /1,5 → t = 5,40% a.m., i. e, 
8% maior do que a taxa pré cobrada pelo banco. Pela simples observação da relação 
acima, pode-se ver que o valor de X (e t) será tanto maior quanto maior for o prazo do 
desconto, ou seja, X (e t) não é só função da taxa bancária i, mas também do prazo.
2.1.3. IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
 Aplicação e Exemplo 
Todos os empréstimos no sistema financeiro estão sujeitos ao imposto sobre 
operações financeiras (IOF), devido integralmente quando da entrega dos recursos ao 
tomador. Esse IOF, incidente somente sobre o principal emprestado, portanto, livre do 
valor do desconto bancário e outras despesas liberadas pela Receita Federal através da 
IN nº 247 de 21/11/2002, sempre foi exigido antecipadamente como o desconto 
bancário, mas cobrado à alíquota de 0,0041% ao dia corrido para Pessoa Física e/ou 
para Pessoa Jurídica pelo prazo da operação financeira isto é, 1,50% ao ano de 365 2 
dias. Se a entrega dos recursos era parcelada, o IOF incidia sobre cada parcela liberada.
Com o fim da CPMF – Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira 
em 29/12/2007, o governo federal instituiu o Decreto nº 6339/2007 para compensar a 
perda daquele imposto com vigência imediata a partir de 02/01/2008, no qual o IOF = 
IOF1 de PF passou a 0,0082% a.d. e o de PJ restou mantido em 0,0041% a.d. Pelo 
mesmo Decreto, foi criado também o IOF2 = 0,38%, fixo e cumulativo para qualquer 
prazo e incidente da mesma forma sobre o principal líquido, para PF e PJ.
 Entretanto, o Decreto nº 6339/2007 só vigorou na íntegra durante o ano de 2008, 
pois, na metade desse exercício o governo já havia arrecadado o total por ele projetado 
para todo o ano com a CPMF perdida e aí voltou a fixar as alíquotas do IOF1 para PF = 
PJ = 0,0041% a.d., mantendo o IOF2 = 0,38%, tudo para viger a partir de 02/01/2009. 
 Os créditos concedidos para aquisição da casa própria nos programas específicos 
criados pelo governo e as operações de “Leasing”, não estão sujeitos a nenhum IOF e 
negociações com cartão de crédito não caracterizam empréstimo, portanto, também não 
15
estão subordinadas ao IOF – Crédito, exceto quando a Administradora do Cartão toma 
financiamento para liquidação da compra efetuada pelo usuário por qualquer motivo. 
Aplicação – Um cliente descontou um título de valor F à taxa mensal i, n 
períodos antes do vencimento. De quanto é agora a taxa pós, usando os novos IOFs?
2 É a primeira e provavelmente a última vez que se vê a Autoridade Monetária usar o ano corrido de 365 dias paranormatizar assuntos pertinentes ao mercado financeiro em confronto com o estabelecido pela Convenção Internacional 
Nasd 30/360, já que 0,0041% = 1,50%/365 e não por 360 como tudo o mais, dado que o imposto é devido pelo tomador 
dos recursos ao dia corrido.
1º) Despesa Total do tomador no recebimento dos recursos = DB + IOF1 + IOF2
Fin + F(1– in) IOF1 n + F(1– in) IOF2 ou F[in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2]
2º) Líquido entregue pelo Banco ao tomador = F – Despesa Total
F – F[(in) + (1– in)IOF1 n + (1– in)IOF2] ou F[1 – [in + (1– in)IOF1 n + (1– in)IOF2]]
3º) Custo Total do tomador = Despesa Total para o cliente 
Agora, monta-se a seguinte regra de Três:
F[1 – [in + (1– in)IOF1 n + (1– in) IOF2]] → F[in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2]
 1 → X 
 1 [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 ] 
X = (4) 
 1 – [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2] 
Exemplo – Continuando com o exemplo anterior e usando n = 1,50 meses, taxa de 
desconto i = 0,05 ao mês, IOF1 = 0,000041 x 30 = 0,00123 mensal e IOF2 = 0,0038, 
qual é a taxa final mensal postecipada t para o tomador?
1º) Usando a relação (4)
 
 0,075 + (0,925)(0,00123)1,5 + (0,925)(0,0038) 0,080222
X = = 
 1 – [0,075 + (0,925)(0,00246)1,5 + (0,925)(0,0038)] 0,919778
 
X = 0,087219 ao período ð t = 5,81% ao mês
2º) Usando os conceitos com os números do exercício – 2ª forma de resolver
Valor Nominal ou Final do título = 40.000,00
DB = 400.000,00 x 0,05 x 1,5 = (3.000,00)
IOF1 = 37.000,00 x 0,000041 x 45 = (68,26) 
IOF2 = 37.000,00 x 0,0038 = (140,60)
Líquido recebido pelo tomador = 36.791,14
Obs – O tomador usará o líquido recebido e terá que recompor o valor nominal do título 
no vencimento, pagando os juros e os impostos antecipados no total de R$ 3.208,86. 
Assim, a nova regra de três abaixo nos fornece:
16
36.791,14 → 3.208,86 donde X = 8,721828% ao período ou t = 5,81% ao mês
 100 → X
2.1.4. RSM – Reciprocidade do Saldo Médio 
Aplicação e Exemplo
Não é raro os bancos exigirem de seus clientes uma reciprocidade na concessão 
de empréstimos ou desconto de títulos, chamado de saldo médio. Esse SM, que é um 
depósito à vista ou a prazo com taxa quase zero, é função do valor do título descontado 
e do seu prazo e, obviamente, só vai aumentar o custo da operação para o cliente, pois 
implica em ele deixar depositada sem nenhuma remuneração, uma importância 
chamada número de capital, que nada mais é do que o produto da alíquota do SM pelo 
valor do título e pelo nº de dias da operação. Pode ser formado no prazo que o cliente 
quiser desde que não ultrapasse o prazo da negociação. O comum é ser constituído ao 
longo da operação, quando o banco bloqueia o valor do SM pelos dias da negociação e, 
no final, devolve o SM ao cliente, sem nenhum acréscimo.
Aplicação: Um cliente vai a um banco descontar um título F por n meses à taxa mensal 
i. Se a reciprocidade para o banco for um SM de Y% sobre o valor F do título, qual a 
taxa mensal postecipada t de custo para o tomador?
1º) Despesa Total do tomador na entrega dos recursos = DB + IOF1 + IOF2 
Fin + F(1– in)IOF1 n + F(1– in)IOF2 ou F[in + (1– in)IOF1 n + (1– in) IOF2]
2º) Líquido recebido utilizável pelo tomador = F – Despesa Total – YF 
F [1 – [ (in) + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 + Y]]
3º) Custo Total para o tomador = Despesa Total
F [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2)]
Montando a regra de três abaixo, vamos obter:
1– [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2+ Y] ð in + (1– in) IOF1 n + (1– n)IOF2 
 1 ð X
 1 [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 ]
X = (5)
 1 – [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 + Y] 
Exemplo – No exemplo anterior, se fosse acrescentada a reciprocidade de Y = 10% 
sobre o valor do título, qual seria a taxa final mensal postecipada t a ser paga pelo 
tomador ?
X = 0,081928 / 0,818072 = 0,100148 ou 10,01% ao período ð t = 6,67% a.m.
2.1.5. Observação sobre o Desconto Bancário 
17
O Desconto Bancário deve ser usado para prazos curtos e taxas baixas porque seu uso 
para prazos longos e taxas mais altas pode ocasionar distorções graves. Assim, seja um 
título de R$ 40.000,00 que vai ser descontado à taxa de 5% a.m., 20 meses antes de seu 
vencimento. O Desconto Bancário será:
DB = 40.000,00 x 0,05 x 20  DB = 40.000,00 x 1 _ DB = R$ 40.000,00 
isto é, o Desconto Bancário é igual ao Valor Final do título e assim, o Valor Atual 
Bancário AB será nulo.
 
AB = F – DB = 40.000,00 − 40.000,00 _ AB = R$ 0,00 o que não faz sentido.
Esse é um dos motivos pelos quais não se deve usar o Desconto Bancário para 
prazos longos ou taxas altas. Quando o prazo da operação de crédito é superior a 40 ou 
50 dias, usa-se o Empréstimo de Capital de Giro que trabalha com eficiência nos dois 
Sistema de Juros.
2.1.6. PIS e COFINS
Existem mais obrigações que a Receita Federal cobra das Pessoas Jurídicas que 
negociam qualquer espécie de Ativo, inclusive dinheiro, ou seja, as instituições 
financeiras e assemelhadas também estão incluídas: o PIS = Plano de Integração Social 
e a COFINS = Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social.
A Base de Cálculo para a incidência das respectivas alíquotas do PIS e da 
COFINS de 0,65% e 3% que vão gerar os valores mensais a serem recolhidos pelas 
empresas no dia 20 do mês seguinte ao referenciado, obedece à Instrução Normativa nº 
247 de 21/11/2002 da Receita Federal. Esta Base de Cálculo é formada pelo somatório 
de valores do razão do Cosif das empresas que faturaram no mês em referência: Base de 
Cálculo = Total das Receitas – Total das Exclusões – Total das Deduções + Total de 
outras Adições – Total de outras Exclusões.
Em 01/09/2003 houve um aumento na alíquota da COFINS de 3% para 4%, 
conservando o mesmo valor para a do PIS = 0,65%. Para facilitar as empresas a calcular 
corretamente a Base de Cálculo, a Receita fornece um mapa chamado de Anexo I à IN 
nº 247, onde figuram cinco colunas auto explicativas: Razão, Conta Cosif nº, Saldo 
Atual do mês em referência, Saldo do mês anterior e Movimento do mês em referência.
2.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos
(salvo indicação contrária, é obrigatório usar o IOF)
1. O proprietário de um título de valor nominal R$ 200.000,00 com vencimento em 3 
meses tem duas opções: a) vendê-lo por R$ 166.500,00 à vista, oferta de um 
particular; b) descontá-lo em um Banco que cobra 5% a.m. de taxa de desconto pré e 
comissão de 0,25% sobre o valor final de todos os títulos que desconta. Qual é a 
melhor opção?
 Resp. A segunda.
18
2. Em pagamento da dívida de R$ 88.936,60 um engenheiro vai a um Banco e assina 
uma NP para 60 dias. Qual o valor nominal desse título, supondo que o desconto 
tenha sido feito à taxa de 5% a.m. e sabendo que o Banco cobra uma comissão de 
0,50% sobre todos os títulos que desconta? 
 Resp. R$ 100.000,00
3. A empresa AMT S/A quer abrir seu capital e para isso está emitindo novas ações 
preferenciais ao valor nominal de R$ 1,00 cada. A operação foi entregue ao BIO – 
Banco de Investimento Operacional S/A que sugeriu o montante de 500 milhões de 
ações para subscrição“stand by”, com 50% pagos no ato e 50% ao fim de 3 meses. 
Sendo o juro do mercado para desconto de títulos de 3,50% a.m. e com o Banco BIO 
cobrando pela coordenação geral e colocação das ações, 6% à vista sobre o valor 
nominal de toda a emissão, qual é o valor líquido que a empresa AMT vai receber?
 Solução:
Façamos o cálculo do valor à vista de 1 (uma) ação.Depois, multiplicando esse valor 
pelo nº de ações a emitir, obtém – se o valor líquido total que a empresa vai receber.
R$ 0,50 à vista ð 6% x R$ 1,00 da comissão de coordenação do BIO ð K = R$ 0,06 
DB = 0,50 x 0,035 x 3 = 0,0525 ð AB = 0,50 – 0,0525 ð AB = R$ 0,4475
IOFT = (0,000041 x 90 + 0,0038) x 0,4475 = 0,007490 x 0,4475 ð IOFT = 0,003352
VL = (0,50 – 0,06) + 0,4475 – 0,003352 ð R$ 0,884148 ð valor de uma ação
Valor Líquido Total que a empresa vai receber com o “underwriting”:
VLT = 0,884148 x 500.000.000 ð VLT = R$ 442.074.000,00
4. Dois títulos são descontados. O primeiro, 40 dias antes do seu vencimento à taxa de 
36% a.a. e o segundo, 100 dias antes do vencimento. A diferença entre o primeiro 
título e o segundo é da R$ 40.000,00. Se o desconto sofrido pelo segundo título foi 
R$ 4.600,00 maior do que o do primeiro e igual a 20% do valor do segundo título, 
quais são os valores nominais dos dois títulos e a taxa de desconto ou pré do 
segundo? Não usar IOF.
 Resp. F1 = R$ 78.750,00 F2 = 38.750,00 i2 = 72% ao ano.
5. Um agiota que cobra 10% a.m. de taxa pós recebeu R$ 104.000,00 em pagamento por 
um empréstimo concedido e emprestou metade do valor a outro cliente pelo prazo de 
18 dias. Sabendo que o total de juros dos dois empréstimos foi de R$ 7.120,00, qual o 
valor e o prazo do primeiro?
 Resp. P1 =R$ 100.000,00 d1 = 12 dias
6. Uma Cia descontou uma duplicata de R$ 120.000,00 num banco que trabalha com 
taxa pré de 2,70% a.m. 20 dias antes do vencimento. Calcular: a) o custo total do 
cliente; b) A receita líquida do banco na operação, depois de recolhidos à Receita 
Federal o PIS de 0,65% e a COFINS de 4,00%. Os recursos para o banco realizar a 
operação lhe custaram 1,10% numa captação de CDB.
 Solução:
19
a) Custo Total CT do cliente = DB + IOFT
DB = 120.000,00 x (2,70/3.000) x 20 ð DB = R$ 2.160,00
AB = 120.000,00 – 2.160,00 ð AB = R$ 117.840,00
IOFT = 117.840,00 x ((0,000041 x 20) + 0,0038) ð R$ 544,42
CT = 2.160,00 + 544,42 ð CT = R$ 2.704,42
b) Receita Líquida RL do Banco = Faturamento – (PIS + COFINS)
Taxa Líquida do banco = 2,70% − 1,10% = 1,60% ao mês
Faturamento líquido do Banco = 120.000,00 x (1,60/3.000) x 20 = 1.280,00
 
PIS = 0,65% x 1.280,00 = 8,32 reais
COFINS = 4% x 1.280,00 = 51,20 reais
Total do PIS e COFINS que o Banco deverá recolher à Receita = 59,52 reais 
RL do Banco após PIS + COFINS = 1.280,00 – 59,52 ð RL = R$ 1.220,48
Obs: Parte dos bancos imputa o pagamento do PIS e da COFINS para o cliente, 
que passa a ter o seu custo majorado na operação em benefício de um aumento 
na RL dos bancos. Para isso é usado o processo do percentual invertido que é 
possível dado que a taxa de aplicação das Instituições Financeiras é livre. Assim, 
os bancos aumentam o faturamento líquido aplicando uma taxa maior para o 
cliente, de tal maneira que ao incidir os percentuais dos impostos sobre o 
faturamento e recolhido o produto à Receita Federal, o que resta é exatamente o 
faturamento dos bancos, agora líquido do PIS e COFINS. Vejamos:
PIS = 0,65% x (1.280,00/(1 – 0,65%)) = 0,65% x (1.280,00/(1 – 0,0065))
 
PIS = 0,65% x (1.280,00/0,9935) = 0,65% x 1.288,374434 ð PIS = R$ 8,37 
Retirando R$ 8,37, que é o novo PIS da RL do Banco convenientemente aumentada 
para recolhimento à Receita Federal, resta exatamente a RL = R$ 1.280,00 para o 
Banco, que era o seu faturamento líquido antes da cobrança do PIS. Assim, o Banco 
não paga o PIS que fica por conta do cliente e ligeiramente aumentado, de 5 cents ou 
de R$ 8,32 para R$ 8,37, no caso. 
Mesma coisa acontece com a COFINS, cujo valor para o cliente pagar muda dos R$ 
51,20 devidos ao Banco para R$ 53,33, agora devidos ao cliente, permanecendo a RL 
do Banco nos mesmos R$ 1.280,00.
NCTC = DB + IOFT + PIS + COFINS ð Novo Custo Total Cliente = R$ 2.766,12
7. A Cia Cinematográfica Raposa do Século Vinte e Um descontou um título no Banco 
Áureo S/A 27 dias antes do vencimento à taxa pré de 2,60% a.m. Sendo de R$ 
250.000,00 o valor da duplicata e sabendo que o Banco exige 5% de SM (saldo 
20
médio) de todos os títulos que desconta, qual foi o Valor Líquido VL creditado na c/c 
(conta corrente) da empresa? Que custo mensal percentual a Cia acabou pagando? 
 Solução:
SM = 5% x 250.000,00 ð R$ 12.500,00 
DB = 250.000,00 x (2,60/3.000) x 27 = 5.850,00 reais 
 AB = (250.000,00 – 5.850,00) reais
AB = R$ 244.150,00
IOFT = (0,000041 x 27 + 0,0038) x 244.150,00 = 0,004907 x 244.150,00 reais 
IOFT = R$ 1.198,04
VL = AB – IOFT – SM = 244.150,00 – 1.198,04 – 12.500,00 
 
VL = R$ 230.451,96
onde VL = valor líquido na c/c da Cia = quantia que ela vai usar pelos 27 dias.
 230.451,96 5.850,00 + 1.198,04 = 7.048,04
 100 X
X = 704.804,00 / 230.451,96 ð X = 3,058355 % pelos 27 dias 
t = 3,40 % ao mês
8. Um médico descontou uma NP (Nota Promissória) de R$ 60.000,00 no Banco Dracma 
S/A com antecedência de 32 dias corridos à taxa mensal de 2,70%. Com o Banco 
exigindo reciprocidade de SM = 5% sobre os títulos que desconta e imputando o PIS 
(0,65%) e a COFINS (4,00%) ao cliente, qual o valor líquido que o médico pôde usar 
e que custo mensal percentual ele acabou pagando? Considerar que os recursos que o 
Banco usou na operação lhe custaram 0,90% ao mês e o IOFT foi pago pelo cliente 
através de débito na sua c/c (conta corrente) no dia do desconto.
 Resp. VL = R$ 54.974,12 e t = 3,55% a.m. 
 Observação – Lembrar que o DB e o IOFT são pagos pelo cliente no início da 
operação e que o Banco quando imputa o PIS e a COFINS ao cliente, recebe os dois 
impostos no vencimento da operação. 
9. Um título de R$ 70.000,00 foi descontado num Banco que cobrou 2,40% ao mês de 
taxa de desconto, 27 dias antes do seu vencimento. Com o produto líquido recebido a 
empresa que fez a operação bancária pagou seus compromissos já vencidos e no 
mesmo dia aplicou a sobra num CDB do próprio Banco recebendo a remuneração 
mensal de 1,40% até o vencimento da operação de desconto. Sabendo que o valor do 
resgate bruto da aplicação foi de R$ 8.254,64, qual o valor dos compromissos pagos 
pela Empresa? 
 Resp. R$ 60.000,00
21
10. Ao detectar possibilidades concretas para a realização de um bom negócio de curto 
prazo, um conceituado Grupo Siderúrgico necessitou de recursos da ordem de 200 
milhões de reais, por cerca de 3 semanas. Recorreu a um dos Bancos com quem 
trabalha que lhe deu as condições para a efetiva realização do capital de giro 
pretendido e que foram: taxa pós mensal de 1,85%, PIS e COFINS por conta do 
tomador, reciprocidade no SM = 2% do valor do empréstimo, além do IOFT 
tradicionalmente pago pelo cliente. Para evitar problemas decorrentes de possíveis 
atrasos na finalização da empreitada, a Siderúrgica pediu para aumentar o prazo até 
24 dias. Calcular: a) a taxa mensal postecipada real que a Siderúrgica pagou, 
sabendo-se que os recursos que o banco utilizou tiveram um custo de 1,05% a.m.; b) 
se o retorno da negociação apresentou uma entrada de caixa para a Siderúrgica de R$ 
520.000.000,00, qual foi o resultado do Grupo Siderúrgico? 
Solução:
 a) Cálculo da taxa mensal postecipada =T
 1º) Valor Liberado pelo banco = VL = 200.000.000,00 – (IOFT + SM)
 IOFT = IOF1 + IOF2 = 200.000.000,00 x (0,000041 x 24 + 0,0038)
 IOFT = 200.000.000,00 x (0,000984 + 0,0038)= 200.000.000,00 x 0,004784 
 IOFT = R$ 956.800,00 
 SM = 2% x 200.000.000,00 ð SM = R$ 4.000.000,00 
 VL = 200.000.000,00 – (956.800,00 + 4.000.000,00) ð VL = R$ 195.043.200,00
2º) Faturamento F do banco não levando em conta o produto do uso do SM cobrado ao 
cliente mas, imputando a ele o custo do PIS e COFINS devidos.
 F = 200.000.000,00 ((1,85 −1,05)/(3.000)) x 24 = 200.000.000,00 (0,80/3.000) x 24 
 F = R$ 1.280.000,00 
 
 PIS = 0,65 % (1.280.000,00/0,9935) = 0,65 % x 1.288.374,43 ð PIS = R$ 8.374,43
 COFINS = 4% (1.280.000,00/0,96) = 4% x 1.333.333,33 ð COFINS = R$ 53.333.33
3º) Pagamento do empréstimo de R$ 200.000.000,00 à 1,85% a.m. por 24 dias = P
 P = 200.000.000,00 x (1 + (1,85/3.000) x 24) ð P = R$ 202.960.000,00
4º) Valor a pagar pelo cliente ao fim do empréstimo = VT = PIS + COFINS + P – SM 
 VT = 8.374,43 + 53.333,33 + 202.960.000,00 – 4.000.000,00 
 VT = R$ 199.021.707,70
5º) Diferença entre o valor pago ao final e o liberado pelo banco no início = VT − VL
 VT – VL = 199.021.707,70 – 195.043.200,00 = 3.978.507,70 ou custo total cliente
 195.043.200,00 3.978.507,70
 100 X
22
X = 397.850.770,00 / 195.043.200,00 = 2,039808% pelos 24 dias ou
T = 2,549761 % ao mês ð T = 2,55% a.m.
b) Cálculo do resultado obtido pelo Grupo Siderúrgico = R
R = 520.000.000,00 – 199.021.707,70 ð R = 320.978.292,30 reais
Obs – Os R$ 4.000.000,00 do SM exigidos trouxeram lucros para o Banco que não 
foram computados nesse exercício, pois esses recursos a custo zero foram 
obviamente aplicados em outras operações. Para o Grupo Siderúrgico só serviram 
para diminuir o VL que o Banco lhe emprestou e com isso aumentar o seu custo 
financeiro na operação, dado que, para usar um valor menor de R$ 195.043.200,00 
(já deduzidos o IOFT e o SM)), o Grupo Siderúrgico pagou o resgate calculado 
sobre o valor combinado de R$ 200.000.000,00 que foi de R$ 199.021.707,70, 
depois de deduzido o SM conforme o acordado. 
2.2. Desconto de Borderau 
2.2.1 Conceitos
O desconto de um borderau formado com títulos de vencimentos e valores finais 
diferentes, consiste em se calcular o Prazo Médio Ponderado – PMP desses títulos, 
usando como peso ou ponderação seus valores finais e depois procedendo a apenas uma 
operação de desconto do total do borderau, exatamente igual ao desconto bancário já 
mostrado individualmente, utilizando a taxa pré ou de desconto praticada pelos Bancos 
e também o IOFT alterado recentemente pela Receita Federal. Mesmo com os títulos 
possuindo valores nominais e prazos de vencimento desiguais, mas o Banco levando 
isso em consideração no cálculo do AB e as alíquotas do IOFT para obter o imposto 
correto, o Valor Líquido – VL do borderau, que deveria ser igual ao que o cliente 
obteria se descontasse os títulos um por um numa mesma data, não acontece, devido ao 
pequeno número de casas decimais usadas e à maior quantidade de títulos. O VL do 
borderau unificado acaba sendo um pouco maior, como vai ser visto a seguir. Para 
diminuir essa diferença, aumenta-se as decimais para quatro, porém, mantém-se o 
número de títulos do borderau, dado que isso é uma necessidade do cliente. 
O Prazo Médio Ponderado – PMP dos papéis que compõem o borderau é 
calculado pela relação abaixo ou usando a programação da HP – 12C.
Exemplo: Calcular o PMP do borderau composto pelos três títulos abaixo:
R$ 25.000,00 para 28 dias de prazo
R$ 18.500,00 para 22 dias de prazo
R$ 32.000,00 para 25 dias de prazo
1º) Usando o método algébrico: 
 28 x 25 + 22 x 18,5 + 25 x 32 1.907
PMP = = = 25,258278 ð PMP = 25,2583
23
 25 + 18,5 + 32 75,5
2º) Usando a HP – 12C ð digitar cada prazo, dar o Enter, o peso respectivo e Σ+:
 PRESSIONAR VISOR PRESSIONAR VISOR
f 4 0,0000 (4 decimais)
28, Enter 28,0000 25, Σ+ 1,0000
22, Enter 22,0000 18,5 Σ+ 2,0000
25, Enter 25,0000 32, Σ+ 3,0000
g xw 25,2583 = PMP
Obs. Como se pode ver, o PMP pelos dois processos fornece o mesmo número de dias.
2.2.2. Aplicação
Utilizando os números do borderau acima e a taxa de desconto de 3% a.m. (taxa pré) 
cobrada pelo Banco, calcular: o Desconto Bancário DB, o Valor Atual Bancário AB, o 
Imposto Total sobre Operação Financeira IOFT, o valor VL que o cliente poderá usar, 
uma vez descontadas as despesas (DB e IOFT), a taxa efetiva TEP no período e a taxa 
mensal TEM, efetivamente pagas pelo tomador. 
F = R$ 75.500,00; i = 3% a.m.; d = 25,2583
a) Cálculo do DB
DB = 75.500,00 x 3 x (25,2583/3000) ð DB = 1.907,0017 reais
b) Cálculo do AB
AB = 75.500,00 – 1.907,00 ð AB = 73.593,00 reais
c) Cálculo do IOFT:
IOFT = 73.593,00 [ (0,000041 x 25,2583) + 0,0038 ]
IOFT = 73.593,00 x 0,0048 ð IOFT = 355,8656 reais 
d) Cálculo do Valor Líquido VL que o cliente poderá usar: 
VL = AB – IOFT = 73.593,00 – 355,8656 ð VL = 73.237,13 reais 
e) Cálculo da Taxa Efetiva no Período TEP:
73.237,13 ð (75.500,00 – 73.237,17) = 2.262,87
 100 ð TEP
TEP = 3,0898 ð TEP = 3,09% ao período 
 
f) Cálculo da Taxa Mensal TEM:
TEM = 3,0898% (30/25,2583) ð TEM = 3,6698% a.m. ð TEM = 3,67% a.m.
g) Comprovação dos Cálculos:
24
VL1 = 25.000,00 [[ 1 – (0,03(28/30) + 0,000041 x 28 + 0,0038 ]]
VL1 = 25.000,00 x 0,9671 ð VL1 = 24.177,50 reais
VL2 = 18.500,00 [[ 1 – (0,03(22/30) + 0,000041 x 22 + 0,0038 ]]
VL2 = 18.500,00 x 09733 ð VL2 = 18.006,01 reais
VL3 = 32.000,00 [[ 1 – (0,03(25/30) + 0,000041 x 25 + 0,0038 ]]
VL3 = 32.000,00 x 0,9702 ð VL2 = 31.045,60 reais
VL = VL1 + VL2 + VL3 ð VL = 73.229,11 reais
Como se pode ver, o valor do borderau unificado é realmente um pouco 
maior do que o conjunto dos títulos descontados isoladamente.
2.3. Desconto Racional e Valor Atual 
2.3.1. Conceito e Exemplo
Valor Atual Racional ou por dentro de um título é o valor do título que aplicado à 
taxa de juros pactuada produz um juro que somado a ele reproduz seu Valor Final: 
AR + ARin = Fn → AR (1 + in) = Fn → AR = Fn/(1 + in) (6)
 
onde: 
AR = Valor Atual Racional
Fn = Valor Final ou Nominal do Título
n = prazo para o vencimento do Título
i = taxa de juro pós
 Como se sabe, desconto de um título é a diferença entre o seu Valor Final e o 
Valor Atual; se o Valor Atual é Racional o Desconto é também Racional e a incidência 
da taxa de juro para se calcular o desconto é sobre o Valor Atual do Título: 
DR = AR x i x n ou DR = Fn – AR = Fn – Fn/(1 + in) = Fn (1 + in)/(1 + in) – Fn/(1 + in)
DR = Fn (1 + in – 1)/(1 + in) → DR = Fn x in/(1 + in) (7)
Exemplo: Qual é o Desconto Racional DR de um Título de Valor Nominal igual a R$ 
40.000,00 com vencimento para 45 dias e à taxa (pós) de 5% ao mês? 
DR = 40.000,00 x 0,05 x 1,5/(1 + 0,05 x 1,5) = 2.790,697674 = 2.790,70
 
DR = R$ 2.790,70 
 
Como AR = F – D → AR = 40.000,00 – 2.790,70= 37.209,30 → AR = R$ 37.209,30 
25
2.4. Empréstimo de Capital de Giro
 2.4.1. Conceitos e Exemplos em Juro Simples e Composto
Além da operação de “Hot Money” oferecida pelos bancos comerciais e de 
investimento para cobrir momentâneos desequilíbrios de caixa das empresas num prazo 
de 1 a 3 dias úteis (du), todos os bancos operam também o segmento mais longo dessa 
modalidade, chamado de Capital de Giro.O prazo agora varia de 1 a 3 meses e a 
negociação pode ser efetuada em dias corridos (dc) no regime de juro simples (1º 
Exemplo abaixo) e no de juro composto (2º Exemplo a seguir).
 
Normalmente, a garantia que os bancos exigem neste caso é uma NP – Nota 
Promissória – emitida pela empresa e avalizada pelos diretores e esposas ou 
companheiras, para não haver meação na única garantia do crédito.
 1º Exemplo – A empresa de cosméticos Laura & Nívea Ltda tomou por empréstimo a 
quantia de R$ 100.000,00 para 65 dias à taxa efetiva de 3,50% ao mês no Banco Duta 
S/A. Que taxa mensal realmente foi paga pela empresa, considerando os Decretos do 
final de 2007 e de 2008 que modificaram as alíquotas do IOF? Fig. 1.1 
 
 F65 = a ser pago no final
 0 65
 VL utilizado
 Fig. 1.1
 
VL = P (1 – IOF1 x 65 – IOF2) = 100.000,00 (1 – 0,000041 x 65 – 0,0038)
 
VL = 100.000,00 (1 – 0,006465) 
VL = 99.353,50 reais
F65 = P (1 + (3,50/3.000) x 65) = 100.000,00 x1,075833 
F65 = 107.583,33 reais ð Despesa = 107.583,33 – 99.353,50 
 
Despesa = R$ 8.230,33 ð montando a regra de três simples:
99.353,50 ð 8.230,33
100 ð X
X = 8,283927% pelos 65 dias ou 
t = 3,82% a.m.
 
26
2º Exemplo – o exemplo anterior no regime de juros compostos, usando taxa efetiva e 
dias corridos dc. Mesma Fig.1.1 também.
VL = R$ 99.353,50 ð o mesmo valor anterior
F65 = 100.000,00 x (1 + (3,5/100))(65/30) = 100.000,00 x 1,077385
F65 = R$ 107.738,46 
t = ((107.738,46/99.353,50)(30/65) − 1) x 100 ð t = 3,81% a.m. 3
 
3 A taxa do 2º Exemplo no cálculo pelo regime de juro composto foi um pouco menor que a do juro simples do 1º Exemplo, 
devido à capitalização que ocorre naquele regime e que faz com que o fator do multiplicador da quantia emprestada seja 
maior e venha a produzir um valor de resgate maior. Basta reparar nos valores de resgate dos dois regimes e ver que o de 
juro composto (R$ 107.738,46) é maior que o de juro simples (R$ 107.583,33), embora a sua taxa de juro menor. 
2.5. Cheque Especial
2.5.1. Conceito
O cheque especial é uma autorização que o Banco Comercial concede ao cliente 
para ele sacar contra a sua conta corrente, mesmo quando esta não apresenta saldo, isto 
é, trata-se de um saque a descoberto ou empréstimo com limite previamente autorizado 
pelos Bancos que possuem reserva bancária
Esta autorização, concedida através de um contrato celebrado com a clientela, 
tem um dos maiores custos do mercado, com a taxa efetiva (incluindo os tributos), 
alcançando quase 10% ao mês e com capitalização mensal ou praticamente 214,00 ao 
ano. A título de comparação, a taxa preferencial do mercado brasileiro chamada taxa 
Selic, que já é muito alta para a inflação anual de 4,50% hoje no Brasil e que foi criada 
para balizar as taxas das Instituições Financeiras e financiar a nossa dívida pública 
interna, está atualmente em 8,75% ao ano (fevereiro de 2010). Realmente um disparate 
muito grande e de difícil explicação por parte das autoridades.
A operacionalização do Cheque Especial consiste na aplicação sobre o saldo 
devedor, da taxa pactuada entre o cliente e a Instituição Financeira, usando o conhecido 
método hamburguês, ou seja, sem a incorporação diária do juro ao valor que lhe deu 
origem, como se faz em juro simples. Cada Banco elege um dia (em geral o último dia 
útil do mês) para fazer a capitalização ou incorporação dos juros contabilizados a cada 
variação do saldo devedor desse mês ao saldo do mês que se inicia e então ter o novo 
saldo sobre o qual vai começar a cobrar juro para o mês iniciante. Em outras palavras, 
durante o mês é aplicado o juro simples e, mensalmente, ele é capitalizado. O devedor 
pode fazer amortizações a qualquer dia, zerando ou apenas reduzindo o saldo devedor. 
Obviamente, também são cobrados a TAC – Taxa de Abertura de Crédito 
recentemente ressuscitada e o custo de implantação periódica anual do Cheque Especial, 
além dos altos tributos de que os governantes não querem abrir mão, a exemplo do 
IOFT, escandalosamente aumentado há dois anos passados, para cobrir receitas perdidas 
com o fim da provisória Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira – 
CPMF, o conhecido imposto do cheque, que é repassado para a Receita Federal no 
princípio do novo mês que começa,
27
2.5.2. Exemplo
Calcular o saldo devedor em 31/07/2009 de um contrato de cheque especial firmado em 
09/07/2009 com a TAC de R$ 230,00 e tarifa mensal de manutenção da c/c no valor de 
R$ 36,00, ambos pagos em espécie pelo cliente no mesmo dia. A taxa de juro sobre o 
saldo devedor foi estabelecida em 8,70% ao mês com limite de R$ 10.000,00, tendo 
ocorrido os seguintes eventos financeiros em julho/2009:
1) 09/07/07 → saque de R$ 1.870,00 → SD = − 1.870,00 por 4 dias
2) 13/07/07 → saque de R$ 2.450,00 → SD = − 4.320,00 por 7 dias
3) 20/07/07 → saque de R$ 3.000,00 → SD = − 7.320,00 por 4 dias
4) 24/07/07 → depósito de R$ 5.000,00 → SD = − 2.320,00 por 7 dias
Desenvolvimento → 8,70/3.000 = 0,0029 → coeficiente diário do juro mensal 8,70%
A) Cálculo dos juros contabilizados ao longo do mês sobre os Saldos Devedores:
1) j = 0,0029 x 1.870,00 x 4 = 21,69
2) j = 0,0029 x 4.320,00 x 7 = 87,70
3) j = 0,0029 x 7.320,00 x 4 = 84,91
4) j = 0,0029 x 2.320,00 x 7 = 47,10
Total de juro no mês = 241,40 reais
B) Cálculo do IOFT contabilizado ao longo do mês
1) = (0,000041 x 4 + 0,0038) x 1.870,00 = 0,003964 x 1.870,00 = 7,41
2) = (0,000041 x 7 + 0,0038) x 4.320,00 = 0,004087 x 4.320,00 = 17,66
3) = (0,000041 x 4 + 0,0038) x 7.320,00 = 0,003964 x 7.320,00 = 29,02
4) = (0,000041 x 7 + 0,0038) x 2.320,00 = 0,004087 x 2.320,00 = 9,48
 IOFT no mês = 63,57 reais
O SD para 31/07/2009 = 2.320,00 + 241,40 + 63,57 = R$ 2.703,46, sendo que o 
IOFT é recolhido à Receita Federal de uma única vez no princípio do mês seguinte e a 
capitalização dos juros é realizada realmente no último dia do mês em pauta. 
 
28
3. DE LONGO PRAZO
3.1. OPERAÇÕES DO SISTEMA BNDES
3.1. 1. Considerações Iniciais
Constituído pelo BNDES – Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico e 
Social e pelas subsidiárias, FINAME – Agência Especial de Financiamento Industrial e 
BNDESPAR – BNDES Participações S/A, o sistema tem como objetivo financiar 
projetos e investimentos nas aquisições de máquinas e equipamentos nacionais e 
importados sem similar nacional, obras civis incluindo montagens e instalações, móveis 
e utensílios, estudos e projetos de engenharia, despesas pré-operacionais, gastos com 
treinamento de pessoal, capital de giro associado e outros mais, destinados a empresas 
sediadas no País, desde que tais projetos sigam a lista de critérios do sistema.
Contando com uma rede credenciada de agentes financeiros públicos e 
privados, onde estão presentes os Bancos Comerciais,Bancos de Investimento, Bancos 
de Desenvolvimento, e Bancos Múltiplos, as tratativas dos interessados nos diversos 
programas oferecidos começam através de uma consulta prévia ao BNDES onde 
são especificados os dados cadastrais das empresas solicitantes para fins de 
enquadramento operacional. Dependendo do programa pretendido, os interessados 
devem procurar os roteiros de informações para enquadramento junto à Área de 
Planejamento do BNDES ou o agente financeiro credenciado de sua preferência. 
Os setores básicos de atividade contemplados com variadas linhas de 
empréstimo, são os de Indústria, Infra-Estrutura, Comércio e Serviços e Agropecuária, 
sendo que o objetivo de todos os projetos deverá beneficiar um ou mais dos itens: 
implantação, expansão, modernização, capacitação tecnológica, melhoria de qualidade 
e o conseqüente aumento de produtividade, reestruturação, racionalização empresarial, 
exportação de máquinas e equipamentos etc. 
29
As participações, condições e facilitações, às vezes até taxas de juro e outras 
condescendências sobre os financiamentos, dependem muito da capacidade de 
pagamento dos beneficiários, obviamente depois de atendidos os critérios de porte dos 
pretendentes, que interferem nos percentuais dos valores e nos destinos dos recursos. 
Para isso, as empresas interessadas, considerado todo o grupo financeiro, comercial e 
industrial a que pertencem, foram classificadas pelo seu faturamento anual em:
a) micros – faturamento anual até R$ 1.200.000,00.
b) pequenas – idem de R$ 1.200.000,00 a R$ 10.500.000,00. 
c) médias – ídem de R$ 10.500.000,00 a R$ 60.000.000,00. 
d) grandes – idem acima de R$ 60.000.000,00. 
 
3.1.2. Programas
 
Existe uma variedade muito grande de programas de financiamento oferecidos 
pelo BNDES. No presente estudo que se vai fazer, serão abordados os mais procurados, 
FINEM, BNDES Automático e FINAME.
FINEM – FINANCIAMENTO A EMPREENDIMENTO
Basicamente, o FINEM é utilizado nos financiamentos de valor superior a R$ 10 
milhões destinados a investimentos, incluindo aquisição de máquinas e equipamentos 
novos de fabricação nacional e importados, exclusivamente para empresas do setor 
industrial e realizados diretamente com o BNDES ou através de agentes credenciados. 
Se o valor a ser financiado for inferior a R$ 10 milhões, o financiamento deverá 
ser feito através das instituições financeiras credenciadas. Os custos do programa, se 
resumem ao somatório de :
i) custo financeiro variável 4 + remuneração do BNDES 5 + :
ii) se com apoio direto do BNDES _ + taxa de risco de crédito 6 
iii) se com apoio de agente credenciado _ + taxa de intermediação financeira 7 + 
remuneração do agente financeiro.8
As operações com micros, pequenas e médias empresas estão isentas da taxa de 
intermediação financeira e o prazo total da operação é determinado em função da 
capacidade de pagamento do empreendimento, por parte da empresa beneficiária.
A parcela de capital de giro associado será calculada em função das necessidades 
específicas do empreendimento.
As garantias serão definidas na análise da operação (apoio direto) ou negociadas 
entre o agente financeiro e a beneficiária. 
O nível máximo de participação do BNDES varia de 60% a 100% e é indicativo 
para cada segmento de atuação, incidindo sobre o valor total do financiamento. 
 BNDES AUTOMÁTICO
30
Destinado a financiar as obras civis, montagens e instalações de um projeto para 
abrigar os móveis e utensílios, as máquinas e equipamentos nacionais e importados, 
também financiados da mesma maneira, enfim a própria empresa, o BNDES Automático 
é o financiamento mais abrangente que existe para uma Cia, pois dá apoio financeiro 
completo aos projetos de implantação, ampliação, recuperação e modernização de ativos 
fixos, até o limite de R$ 10 milhões. Inclusive gastos com estudos e projetos de 
engenharia, despesas pré-operacionais e gastos com treinamento de pessoal, além de 
capital de giro associado, são também objeto de financiamento deste programa, que só 
pode ser implementado através de agentes credenciados.
O custo total do financiamento é a taxa de juro resultante do somatório do custo 
financeiro variável, da remuneração básica do BNDES, das taxas de intermediação 
financeira e remuneração do agente financeiro, cujos valores seguem na nota abaixo. 
 
4 TJLP ou UMBNDES (Unidade Monetária do BNDES) + ECM (encargos da cesta de moeda) ou dólar USA + Libor ou 
IPCA + encargos.
5 Até 3% ao ano.
6 De 1,80% ou de 0,80% ao ano, conforme o risco do crédito e se tiver fiança bancária, respectivamente.
7 0,8% ao ano.
8 Até 4% ao ano, negociada entre o agente e o cliente.
O prazo total da operação, incluindo carência e amortização, é determinado de 
acordo com as características do projeto e da capacidade de pagamento do 
empreendimento, pela beneficiária.
O limite máximo do capital de giro associado ao investimento fixo varia em 
função do porte da beneficiária, devendo ser comprovada sua real necessidade.
 
Microempresa _ até 70%
Pequena e média empresa _ até 40%
Grande empresa _ até 15%
A participação máxima do BNDES nos investimentos financiáveis varia de 70% 
a 100% e as garantias serão negociadas entre o agente financeiro e a beneficiária.
Os beneficiários podem ser:
1. pessoas jurídicas de direito privado.
2. idem de direito público
3. empresários individuais.
4. pessoas físicas do setor agropecuário.
5. cooperativas.
6. associações.
7. fundações.
Obs – O produto BNDES AUTOMÁTICO está sujeito às normas e procedimentos 
estabelecidos pela circular nº 198 de 18/08/06
FINAME
O produto FINAME tem por objetivo precípuo, o financiamento da produção e 
da comercialização de máquinas e equipamentos novos de fabricação nacional, 
devidamente credenciados no BNDES e sempre através da intermediação financeira de 
um agente credenciado.
31
A aquisição de máquinas e equipamentos importados sem similar nacional, 
constantes da lista de ex-tarifário, estabelecida pelo Ministério do Desenvolvimento, 
Indústria e Comércio Exterior, também pode ser financiada pelo programa FINAME.
O custo total do financiamento é igual ao do BNDES AUTOMÁTICO com 
exceção da remuneração básica do BNDES, que aqui varia de 1% a 3% e da taxa de 
intermediação financeira, que não existe para as micros, pequenas e médias empresas.
Os prazos das operações, definidos em função da capacidade de pagamento das 
beneficiárias, de uma maneira geral devem respeitar o máximo de 60 meses, ressalvados 
alguns casos, como operações do transportador autônomo de cargas (até 72 meses), 
operações de financiamento à concorrência internacional (até 144 meses) e outros.
A parcela de capital de giro associado é limitado a 50% do valor do equipamento, 
no caso das microempresas; para as pequenas e médias empresas, o limite cai para 30%.
Não existem valores mínimos ou máximos para o financiamento de 
equipamentos. Todo equipamento credenciado pelo BNDES é passível de 
financiamento, independentemente do seu valor. Entretanto, para valores superiores a R$ 
10 milhões, as operações devem ser submetidas à etapa de enquadramento no BNDES.
A participação máxima do BNDES no investimento varia de 70% a 100%. 
Os beneficiários podem ser:
1. pessoas jurídicas de direito privado.
2. idem de direito público.
3. empresários individuais.
4. pessoas físicas do setor de transporte autônomo de cargas.
5. cooperativas.
6. associações.
7. sindicatos.
8. condomínios e assemelhados.
9. clubes.
 
Obs – O produto FINAME está sujeito às normas e procedimentos estabelecidos pela 
circular nº 195 de 28/07/06. 
3.1.3. Amortização dos Financiamentos
Conceitos
A amortização dos três financiamentos vistos, obedece ao SAC – Sistema de 
AmortizaçãoConstante, adaptado a algumas modificações realizadas pela equipe técnica 
do Banco. Assim, o sistema de amortização criado pelo BNDES é composto de 
prestações periódicas que englobam amortização e juro, como os sistemas de 
amortização usados no Brasil e nos outros países, ou por outra, cada prestação é a soma 
de uma parcela de amortização com outra de juro, sendo a parcela de juro dada pelo 
produto da taxa pactuada com o saldo devedor do período anterior. A parcela de 
amortização é constante, se todos os cálculos forem efetuados numa moeda estável, a 
URTJLP – Unidade de Referência da Taxa de Juro de Longo Prazo ou Unidade de 
32
Referência do BNDES, que é o que se usa fazer. Assim, ao se dividir o valor do 
empréstimo em reais pelo valor da URTJLP em reais do dia inicial da operação, obtém-
se o valor da dívida em URTJLP. Daí para a frente se passa trabalhar com a nova moeda, 
começando por determinar a parcela de amortização em URTJLP ao dividir a dívida 
pelo número de amortizações, o que obviamente vai resultar num valor constante na 
nova moeda URTJLP ao longo de todo o período da operação. A URTJLP, como vai ser 
mostrado, tem um valor em reais para cada dia e então, através do produto do número de 
URTJLPs pelo seu valor em reais do dia em que se deve fazer qualquer pagamento, se 
tem o valor desse pagamento em reais e ele é efetuado na nossa moeda corrente. 
Os períodos de carência dos programas são trimestrais como vai ser mostrado e 
os pagamentos normais são mensais e ocorrem nos dias 15 de cada mês, desde que sejam 
dias úteis. Caso contrário, postergam-se os pagamentos para o primeiro dia útil.
Nem é preciso falar nas vantagens que existem ao se usar a URTJLP para os 
cálculos da Planilha Financeira do Financiamento, tanto para o agente financeiro quanto 
para o cliente final, que passa a visualizar melhor o programa. Por isso é que os agentes 
e/ou o BNDES usam este método, que vai ser mostrado mais à frente.
A Carência dos Programas
Carência é o prazo durante o qual não existem amortizações e as prestações 
pagas pelo beneficiário final são formadas apenas pelos juros J (somatório simples 
dos custos de cada programa) ou encargos ENCK, a cada período k da carência. Esses 
encargos são obtidos através da aplicação de J sobre o Saldo Devedor do período 
anterior, como em todos os sistemas de pagamentos periódicos. Acontece que na 
composição de J, pelas normas do BNDES, só entram 6 pontos percentuais anuais da 
TJLP (custo financeiro variável mais usado) e assim, aquele saldo devedor tem que ser 
corrigido pelo que exceder aos 6% da TJLP e que não foram pagos pelo empresário a 
cada prestação, tanto no período da carência quanto nas prestações normais, que incluem 
as amortizações, enquanto a TJLP exceder 6% a.a. Vide relação (8) abaixo.
ENCK = ((1 + J/100)(t/360) – 1) x ((1 + TJLP/100)/(1,06))(t/360) x D(K-1) (8)
onde:
ENCK → encargos totais pagos na prestação de ordem k.
J → somatório de 6% da TJLP + até 3% do BNDES + até 1,80% de taxa de risco + 
até 4% da remuneração do agente financeiro, se for o caso.
 t → nº de dias corridos entre os momentos (k −1) e k ou entre dois eventos 
financeiros consecutivos, isto é, eventos que modificam o saldo devedor de um 
contrato.
D(k-1) → saldo devedor no momento (k −1). 
TJLP → expressa em %
O período da carência é sempre o trimestre e a fixação do seu início obedece aos 
seguintes critérios:
a) se a data de formalização jurídica da operação entre o BNDES ou o Agente e o 
Cliente Final se der depois do dia 15 (quinze) do mês, a carência só terá início a partir 
do dia 15 (quinze) do mês seguinte; equivale dizer que se a formalização jurídica da 
operação se der, por exemplo, a 16/01/07 e o período de carência for 2 (dois) trimestres, 
o início da contagem da carência só se dará a 15/02/07, terminando, portanto, em 
33
15/08/07 (na realidade 211 dias de carência) e assim a amortização mensal começará a 
17/09/07, pois 15/09/07 é sábado (244 dias depois da entrada dos papéis no BNDES), 
com os encargos e forma já mostrados. 
b) se a data de formalização jurídica da operação se der antes do dia 15 (quinze) do mês, 
a carência terá início a partir do primeiro dia 15 (quinze) próximo, portanto, no próprio 
mês de formalização, ou seja, o Cliente Final terá a sua carência reduzida, com o restante 
da operação se passando como no caso anterior.
3.1.4. TJLP – Taxa de Juro de Longo Prazo
A TJLP é uma taxa anual com vigência trimestral, criada no dia 1º/12/94 para 
vigir inicialmente até 1º/03/95 com o valor de 26,01% ao ano. A sua fórmula de cálculo 
era através do somatório simples entre a taxa de juro da nossa dívida externa com peso 3 
e a da dívida interna com peso 1, tomando por base os três meses anteriores, isto é, 
setembro, outubro e novembro de 1994. Posteriormente, devido a problemas surgidos
no mercado internacional com as taxas de juro da dívida externa de um país emergente 
(Rússia, em setembro de 1998), o que veio a contaminar todos os outros, a fórmula foi 
modificada para a média aritmética das doze últimas TJLPs mais 10% e a sua vigência 
também, embora continuando trimestral, passou para o trimestre civil, a partir de janeiro 
de 1999. Ainda no ano de 1999, precisamente para o último trimestre, outubro, 
novembro e dezembro, a fórmula outra vez foi modificada, passando a representar o 
somatório simples da projeção da inflação brasileira para os 12 meses à frente com a 
projeção da taxa internacional de juro, também para 12 meses adiante, obviamente taxa 
anual, mas, mantendo a vigência trimestral.
3.1.5. URTJLP – Unidade de Referência do BNDES
A URTJLP teve o seu início em 1º/12/94 por ocasião da criação da TJLP, com 
o valor de R$ 1,00. Seu cálculo nos dias subseqüentes foram e são assim encontrados:
a) descapitaliza-se a TJLP anual, com vigência para um trimestre e já 
descontada da taxa de 6% a.a. paga periodicamente pelo beneficiário, por 360 dias, que é 
o número de dias do ano comercial, obtendo-se então o fator diário que vai corrigir a 
URTJLP ao longo de todo aquele trimestre. Se a TJLP atingir 6% ao ano ou valor 
mais baixo, não será mais preciso de se corrigir o D(k-1) da relação (8), pois a TJLP 
estará sendo paga integralmente nas prestações normais. Assim vejamos:
TJLP de 1º/12/1994 a 1º/03/1995 = 26,01% a.a. (1º TJLP)
 [ 1,2601 ] (1/360) = (1,188774) (1/360) = 1,000480 → fator diário 
 1,06
URTJLP de 1º/12/94 = 1,00 real
URTJLP de 02/12/94 = 1,00 x 1,000480 = 1,000480 reais 
URTJLP de 03/12/94 = 1,000480 x 1,000480 = 1,000961 reais
URTJLP de 04/12/94 = 1,000961 x 1,000480 = 1,001442 reais etc.
34
até o dia 1º/03/1995 inclusive, quando foi publicada a 2ª TJLP. Daí em diante o cálculo 
continuou a ser dessa forma com a mudança do fator corretivo se dando a cada nova 
TJLP.
Atualmente, como já foi dito, a vigência da TJLP é a cada trimestre civil.
b) vale a pena ressaltar que a TJLP do trimestre dezembro/1998 – 
fevereiro/1999 com o valor de 18,06% a.a. e que só valeu para os 31 dias de 
dezembro/1998, porque a fórmula de cálculo foi modificada e o trimestre de vigência 
também, passando ao trimestre civil, entrou no cálculo para se chegar aos valores atuais 
de URTJLP, obviamente com o peso dos seus 31 dias. Foi mencionado com o problema 
russo. 
Assim temos: 
 [ 1,1806 ] (1/360) = 1,000299 → fator diário
 1,06
 
 (1,000299) 31 = 1,009322 → fator dos 31 dias de dezembro de 1998
Observações Operacionais no Uso da URTJLP
 Já se falou no ítem Conceitos, da maior simplicidade e transparência ao se 
trabalhar com a URTJLP no lugar da TJLP.
 AsCondições Gerais de Financiamento são as mesmas nos dois casos, a não ser 
a distribuição dos encargos cobrados a cada prestação, onde as parcelas do BNDES – 
somatório dos 6% a.a. da TJLP (descontados na formação da URTJLP) com as outras 
remunerações – são calculadas sobre o Saldo Devedor do período anterior e abatidas dos 
Encargos Totais, ficando a sobra para o agente financeiro. O Total dos encargos do 
BNDES são assim calculados de maneira exata. 
A parte do agente financeiro nunca vai corresponder percentualmente ao encargo 
dos seus “spreads”, é claro; é sempre menor, em oposição ao que cabe ao BNDES, como 
vai ser mostrado.
É conveniente lembrar que, nesse segundo caso estamos trabalhando com a 
“moeda” URTJLP e assim todos os cálculos apresentam resultados nessa “moeda”. A 
qualquer dia podemos fazer a conversão para R$, como já foi falado.
3.1.6. Planilha do Financiamento do FINAME em 
URTJLP – Quadro 1.1
Reparar que a relação (8) dos ENCK mostrada no item a Carência dos 
Programas BNDES, apenas com o intuito de tornar mais fácil o entendimento da 
cobrança da TJLP até o valor de 6% ao ano, resultando daí a necessidade de se fazer a 
35
correção do saldo D(k−1) naquilo que deixou de ser pago na época da prestação de ordem 
(k−1), é muito fácil ver que nos cálculos usando URTJLP isso não é necessário, dado 
que a própria Unidade de Referência faz a correção.
Como já falado, a distribuição dos encargos cobrados ao cliente pelo Sistema 
BNDES e o agente financeiro, não é da maneira mais justa, pois o BNDES tira a sua 
parte, no caso 8,50% e o que sobrar do total é entregue ao agente, que obviamente não 
recebe a sua parte combinada, que seria de 3%.
Exemplo: Vejamos um empréstimo do Programa Finame realizado entre a FINAME e 
um Agente Financeiro nas condições abaixo, para posterior repasse ao tomador final:
 Valor a Liberar = R$ 168.000,00 
Custo Financeiro Variável =TJLP 
“Spread” BNDES = 2,5% a.a. 
“Spread” de Risco = 3% a.a. 
 Data da formalização da operação =14/06/99
 Data da liberação dos recursos =17/06/99 
 Carência = 2 períodos 
 Número Total de Amortizações = 36
Moeda usada nos cálculos _ URTJLP
Quadro 1.1
 
36
Como foi explicado em Conceitos da Amortização dos Financiamentos, o 
valor liberado de R$ 168.000,00 no dia 17/06/99 é dividido pela URTJLP desse dia 
(1,465711) e assim se obtém a dívida L = D0 = 114.620,1408 em unidades de 
URTJLPs.
D1 = D2 = D0 = 114.620,1408 URTJLPs, pois as duas primeiras prestações pagaram 
os encargos da carência cobrada.
As Amortizações A = A1 = A2 = - - - A36 = 114.620,1408 ÷ 36 _ A = 3.183,8928 
URTJLPs
D3 = 114.620,1408 – 3.183,8928 x 1 _ D3 = 111.436,2480 URTJLPs etc.
ENC1 = [(1,115) (90/360) − 1] . 114.620,1408 _ ENC1 = 3.162,0571 URTJLPs 
ENC5 = [(1,115) (29/360) − 1] . 108.252,3552 _ ENC5 = 953,4201 URTJLPs etc. 
 
 
P5 = A + ENC5 = 3.183,8928 + 953,4201 _ P5 = 4.137,3129 URTJLPs etc. 
 
ENC5 FINAME = [(1,085) (29/360) − 1] . 108.252,3552 _ ENC5 FINAME = 713,7470
ENC5 AGENTE = 953,4201 − 713,7470 _ ENC5 AGENTE = 239,6731 ∴ 
 
239,6731 = [(1 + i) (29/360) − 1] . 108.252,3552 ∴ 
 
i = 2,7834% a.a. e não os 3% a.a. pretendidos pelo agente financeiro.
3.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos
Obs – Nos exercícios que seguem observar que a data da entrega dos documentos ao 
BNDES ou ao AGENTE tem como objetivo determinar a vigência dos períodos de 
carência e consequentemente do início efetivo das prestações completas ou com 
amortização.
1. Em uma operação de Finame com URTJLP intermediada pelo Banco Strongarms 
S/A, os dados da negociação foram :
Valor do Financiamento = R$ 400.000,00
Custo Financeiro Valor Variável = TJLP
Remuneração Básica do BNDES = 2,50 % a.a.
Comissão do Agente Financeiro = 2,00 % a.a.
 Data da entrega dos documentos a FINAME = 19/07/06 
 Data da Liberação dos recursos = 25/07/06 _ URTJLP = 1,950747 reais
 Carência = 1 período
 Número de Amortizações = 30 (trinta)
a) Calcular o valor da 8ª prestação em URTJLP
b) Quais foram os o valores dos encargos do Agente e do BNDES contidos na 
8ª prestação ?
37
a) Cálculo de P8 
 P8 = A + ENC8
 1º) Cálculo da Quota de Amortização = A
 A = 400.000,00 . 1 = 205.049,6553 . 1 
 1,950747 30 30
 A = 6.834,9885 URTJLPS
 2º) Cálculo dos Encargos Totais ENC8 contidos na 8ª prestação 
 Total dos encargos (juros) efetivamente pagos em cada Prestação:
 J = (6,00 + 2,50 + 2,00) % = 10,50 % a.a.
 
 ENC8 = [ (1,105) (30/360) − 1 ] . D7 
ENC8 = (0,008355) . (D0 − 6 x A) _ A 1ª prestação não teve amortização.
 
ENC8 = (0,008355) . (205.049,6553 − 6 x 6.834,9885)
 
ENC8 = (0,008355) . (205.049,6553 − 41.009,9310)
 
ENC8 = (0,008355) . (164.039,7243) → ENC8 = 1.370,5519 URTJLPS 
 
 P8 = 6.834,9885 + 1.370,5519 = 8.205,5440 URTJLPS
 b) Cálculo dos ENC8 BNDES e do Agente
 
 ENC8 BNDES = [(1,085) (30/360) −1] . 164.039,7243
 ENC8 BNDES = 0,006821) . 164.039,7243 
 ENC8 BNDES = 1.118,9958 URTJLPS
 ENC8 AGENTE = 251,5561 URTJLPs 
2. Numa operação de BNDES Automático foram usados os seguintes valores:
Valor Total a Liberar = R$ 180.000,00
Custo Financeiro Variável = TJLP
“Spread” Básico do BNDES = 2,50 % a. a.
“Spread” do Agente (“Del Credere”) = 2,70 % a. a.
Data da formalização da operação = 10/07/06
Os recursos foram liberados em duas parcelas:
 1ª) 24/07/06 = R$ 80.000,00 _ URTJLP = R$ 1,950671
 2ª) 03/08/06 = R$100.000,00 _ URTJLP = R$ 1,951431
 Carência = 2 períodos : o 1º com 91 dc e o 2º com 91 dc
38
 Número de Amortizações = 30 (trinta)
Calcular o valor da 5ª Prestação (em 16/04/07), desmembrando o valor da 
amortização e os encargos do BNDES e do Agente
a) Cálculo da Dívida em URTJLP
 L1 = 80.000,00 = 41.011,5289 URTJLPS
 1,950671
 L2 = 100.000,00 = 51.244,4457 URTJLPS
 1,951431
 D0 = D1 + D2 = 92.255,9746 URTJLPS
b) Cálculo do valor de cada Amortização:
 A = 92.255,9746 = 3.075,1992 _ A = 3.075,1992 URTJLPs 
 30
c) Cálculo do Saldo Devedor da época 4 (anterior) D4:
 D4 = D0 − A X 2 _ dado que só houve duas amortizações
 
 D4 = 92.255,9746 − 3.075,1992 x 2 = 92.255,9746 − 6.150,3984 
 D4 = 86.105,5762 URTJLPs
d) Cálculo dos Encargos ENC5 da 5ª Prestação:
Total dos Encargos de cada Prestação = (6 + 2,50 + 2,70) % = 11,20 % a.a.
 
 ENC5 = [(1,1120 (32/360) −1] . D4 = 0,009481 x 86.105,5762 
 ENC5 = 816,3778 URTJLPs
e) Cálculo dos ENC5 do BNDES
 ENC5 BNDES = [(1,085) (32/360) − 1] . D4 
 ENC5 BNDES = 626,6687 URTJLPS 
f) Cálculo dos ENC5 do Agente:
 ENC5 AGENTE = 816,3778 − 626,6687 
 ENC5 AGENTE = 189,7091 URTJLPS
 Obs – O ENC5 AGENTE deveria ser de 204,1544 URTJLPS para representar os 
2,70 % a.a. previamente acordados. Como está, a remuneração paga foi de:39
 ENC5 AGENTE _ [[ 189,7091 + 1] (360/32) − 1] . 100 
 86.105.5762 
 ENC5 AGENTE _ 2,5068 % a.a.
g) Cálculo da 5ª Prestação = P5
 P5 = A + ENC5 = 3.075,1992 + 816,3778 
 P5 = 3.891,5770 URTJLPS
3. O Banco Sotoma S/A intermediou uma operação do Programa BNDES 
Automático Simplificado para um de seus clientes preferenciais, junto à FINAME, 
nas seguintes condições:
Valor da Operação = R$ 620.000,00
Custo Financeiro Variável = TJLP
Remuneração Básica d0 BNDES = 2,00 % a.a.
Remuneração do Agente = 4,00 % a.a.
Data da entrega dos documentos à AGÊNCIA _ 20/07/07
Data da liberação dos recursos = 27/07/07 _ URTJLP = 1,964915 reais
Carência = 2 períodos
Número de Amortizações = 40 (quarenta)
a) Calcular o valor dos juros (encargos) contidos na 5ª prestação.
b) Qual é a parcela dos juros da 5ª prestação devida ao Agente ?
Resp. a) ENC5 = 1.928,6360 URTJLPs 
 b) ENC5 AGENTE
 = 915,6820 URTJLPs ou 3,7279% dos ENC5 totais
4. A empresa Balança & Quase S/A tomou recursos do Programa BNDES 
Automático, através do seu banco, nos seguintes valores e encargos:
Valor da Operação = R$ 620.000,00
Custo Financeiro Variável = TJLP
Remuneração Básica de BNDES = 2,50 % a.a.
Remuneração do Agente = 3,50 % a.a.
Data da formalização do pedido à FINAME = 12/07/07
Data da liberação dos recursos = 20/07/07 _ URTJLP = R$ 1,964825
Carência = 2 (dois) períodos : o 1º com 91 dias e o 2º com 92 dias
Número de Amortizações = 36 (trinta e seis)
a) Calcular o valor da 2ª prestação.
 b) Idem o valor da 7ª prestação e dos encargos do Agente nela contidos
Resp. a) P2 = 7.776,9409 URTJLPs 
 b) P7 = 13.697,1115 URTJLPs e ENC7 AGENTE = 655,3512 URTJLPs 
 ou 3,2496% dos ENC7 totais 
40
Capítulo 2
RENDAS UNIFORMES E CONSTANTES
2.1. Considerações Iniciais
As operações de CDC – Crédito Direto ao Consumidor e CP – Crédito 
Pessoal são exclusivas das Financeiras. As de Leasing pertencem somente às 
Sociedades de Arrendamento Mercantil ou Empresas de Leasing e/ou Bancos Múltiplos 
que possuem essas Carteiras e embora ambas usem a Tabela Price para os seus cálculos, 
as operações de Leasing não estão sujeitas ao IOF, por serem consideradas operações 
comerciais. Como vai ser visto, a Tabela Price se constitui no caso particular e mais 
usado do Sistema Francês de Amortização, que no fim de tudo é a cópia “ipsis 
literis” das Rendas Uniformes e Constantes na Capitalização Composta.
Por isso é que vamos repassar o estudo dessas Rendas ou Série de Pagamentos, 
lembrando da sua definição como sendo “uma série de capitais que vão sendo 
disponíveis periodicamente, todos submetidos a uma determinada taxa de juros em 
41
relação a esses períodos”. Se todos os capitais forem iguais, cada um na sua época e os 
períodos de tempo entre dois capitais consecutivos forem sempre os mesmos para uma 
mesma renda, tem-se a Renda Constante e Uniforme. Esse caso é o que mais interessa 
por ser o mais usado, mas vamos ver também as rendas não-constantes. 
O estudo das Rendas se constitui basicamente no cálculo do seu Valor Presente 
VP, que é a soma dos valores presentes (na época zero ou época de contrato) dos seus 
capitais ou fluxos, também chamados de termos ou “Payments” PMT, no cálculo do seu 
Valor Futuro VF (idem dos valores futuros de seus fluxos na época do último deles ou 
um período após) e no cálculo da taxa de juros i a que estão submetidas as variáveis 
mencionadas, com as abreviaturas adotadas na terminologia das calculadoras Hewlett 
Packard quando os cálculos forem feitos pela HP – 12C. O cálculo da variável n = 
número de termos, embora possa ser feito, não é usado, pois, inclusive o manual da HP 
– 12C adverte para não tentar fazê-lo pela calculadora, pois, a máquina não possui este 
programa correto. Sempre fornece um resultado inteiro para o valor de n imediatamente 
superior ao valor fracionário verdadeiro. Por isso esta variável é sempre dada.
2.1.1. Classificação e Tipos
 As rendas se classificam segundo o vencimento do seu primeiro termo em 
Rendas Imediatas ou Postecipadas, quando esse primeiro termo vence ou é devido no 
fim do primeiro período e Rendas Antecipadas, quando o primeiro termo é devido 
antecipadamente já no início do primeiro período. Existem também as Rendas 
Diferidas, quando o primeiro termo se torna disponível ao fim de (m + 1) períodos 
(renda com diferimento ou carência de m períodos, porque as Rendas Postecipadas são a 
referência) e Rendas Perpétuas, aquelas com número “infinito” de termos e vencendo o 
primeiro no fim do primeiro período, pelo mesmo motivo das Postecipadas. Vejamos 
estes conceitos e tipos com figuras que realçam as suas definições, dado que as Rendas 
se constituem no tema teórico e prático mais importante da Matemática Financeira e por 
isso mesmo deve ser muito bem entendido. 
Rendas Imediatas ou Postecipadas – Já definida, está representada graficamente na 
Fig. 2.1 abaixo. A época zero é também chamada de Época do Contrato.
 T T T T
 
 
 0 1 2 n-1 n 
Fig. 2.1 Renda Imediata ou Postecipada de n termos
Rendas Antecipadas – Representação gráfica → Fig. 2.2
 T T T T T
 
 0 1 2 n – 2 n - 1 n
 
Fig. 2.2 – Renda Antecipada de n termos
42
Rendas Diferidas (ou com Carência) – Representação gráfica → Fig. 2.3 
 T T T T T
_____________________ 
0 1 2 m + 0 m + 1 m + 2 m + n - 2 m + n - 1 m + n
Fig. 2.3 – Renda Diferida de m períodos com n termos
 Rendas Perpétuas ou Perpetuidades – Representação gráfica → Fig. 2.4 
 T T T T
 0 1 2 3 ∞ 
Fig. 2.4 – Rendas Perpétuas ou Perpetuidades
2.2. Rendas Imediatas ou Postecipadas
Cálculo do VPI e VFI 
Suponhamos uma renda imediata ou postecipada de n termos T à taxa i de 
juro. Como sabido, o seu valor presente VPI é a soma dos valores presentes dos seus 
termos, isto é, a soma de todos os n valores T descapitalizados à taxa i da época em 
que estão para a época zero (Fig. 2.5).
 T T T T
 0 1 2 n-1 n 
 VP1 VF1
 VP2 VF2
 VPn-1 VFn-1
 VPnVFn 
 
 VPI VFI
Fig. 2.5
VPI = VP1 + VP2 + .............................. + VPn-1 + VPn , onde:
VP1 = T/(1 + i)1
VP2 = T/(1 + i)2
43
VPn-1 = T/(1 + i)n-1
VPn = T/(1 + i)n → VPI = T/(1 + i) 1 + T/(1 + i) 2 +........... + T/(1 + i) n-1 + T/ 1 + i)n 
VPI = T [1/(1 + i) 1 + 1/(1 + i) 2 +................. + 1/(1 + i) n-1 + 1/(1 + i) n ] 
 
 p = n
VPI = T. Σ 1/(1 + i)p cujo somatório é a soma dos termos de uma PG decrescente
 p = 1 onde o último termo é 1/(1 + i)n e o 1º termo e a razão são 
iguais a 1/(1 + i). (9)
 
Aplicando a fórmula da soma dos termos da PG ð Sn = (an x q − a1)/(q – 1) 
ao somatório da relação (21) e desenvolvendo os cálculos, vamos chegar a VP’= Valor 
Presente de uma Renda Postecipada de n termos unitários (já que T = 1,00) à taxa i:
p = n
Σ 1/(1 + i) p = [(1 + i) n − 1] /i (1 + i) n = a n i ð símbolo internacional (10) 
p =1
Pelas relações (9) e (10), podemos escrever ð VPI = T. a n i (11) 
 
Como T = PMT =“payment”, também temos a relação VPI = PMT. a n i (12) 
VPI = PMT[[(1 + i) n −1]/i (1 + i)n] (13) 
PMT =VPI [i (1 + i)n / [(1 + i)n −1]] (14)
1º Exemplo: Calcular o VPI de uma renda imediata de 6 termos mensais de valor 
R$ 100,00 cada um à taxa mensal de 3%. 
a) Usando matematicamente a relação (15):
VPI = PMT[[(1 + i) n −1]/i (1 + i)n]→ VPI = 100,00 [[(1,03) 6 −1]/0,03 x(1,03) 6] 
VPI = R$ 541,719144 ou VPI = R$ 541,72
b) Usando o programa da HP −12C e calculando primeiro o seu a 6 3 = 5,417191: 
 6 n 3 i 1,00 CHS PMT PV’I = a 6 3 _ visor = 5,417191 
VPI = 100,00 x 5,417191 _ VPI = 541,719144 = 541,72 reais 
c) Usando a programação específica da HP − 12C para o cálculo de VPI:
 6 n 3 i 100,00 CHS PMT VPI _ visor = 541,719144 
VPI = 541,72 reais
44
d) Usando a programação do Excel 
Quadro 2.1
2º Exemplo: Calcular o valor de cada termo T = PMT de uma renda imediata de 6 
termos mensais cujo VPI é igual a R$ 541,719144, à taxa de 3% a.m.
a) Usando matematicamente a relação (11) ou a (12), devidamente transformadas 
em (16) ou (17), já que temos o valor de 1/a n i:
 T = VPI (1/a n i) (16) ou PMT = VPI/ a n i (17) 
T = 541,719144 x (1/5,417191) = 541,719144 x 0,184598 _ T = 100,00 reais
 
b) Usando o inverso de a n i = 1/a n i pelas programações unitárias da HP – 12C: 
6 n 3 i 1,00 CHS PMT PV’I = a 6 3 _ visor = 5,417191 1/x = 0,184598
ou
6 n 3 i 1,00 CHS PVI PMT = 1/ a 6 3 _ visor = 0,184598
T = 541,719144 x 0,184598 _ T = 100,00 reais
 
c) Usando a programação específica da HP – 12 C:
6 n 3 i 541,719144 CHS PVI PMT = T _ visor = 100,00 reais
d) Usando a relação (16) no Excel (fórmula usada com os dados do exercício) ð fx: 
Quadro 2.2
45
3º Exemplo: Calcular a taxa de juros i (TIR) da renda postecipada de seis termos iguais 
a R$ 100,00 cada um, cujo valor atual ou valor presente é igual a R$ 541,719144.
a) Usando a programação específica da HP – 12C:
6 n 541,719144 CHS PVI 100,00 PMT i ð visor = 3 (em %)
Da relação (15) ð a n i = VPI / PMT ð 5,417191 = [(1 + i) 6 − 1]/i (1 + i) 6
 
 A calculadora HP-12C vai estimando valores para a taxa i que vão alterando os 
valores do segundo membro da relação acima até que esse 2º membro se iguale ao 
primeiro já conhecido = VPI / PMT = 5,417191. A taxa da igualdade é a taxa da renda.
c) Usando a programação do Excel 
Quadro 2.3 9
46
Olhando a Fig.2.5 podemos ver que, analogamente ao valor presente VPI, o 
VFI de uma renda imediata de n termos de valor T ou PMT cada um à taxa i e 
calculado na época do último termo, é o somatório dos montantes ou valores finais 
desses termos capitalizados da época em que estão para a época do último deles à taxa i 
, o que é o mesmo que capitalizarmos o VPI da época zero para a época n, através 
da fórmula fundamental dos Juros Compostos. Assim: 
VFI = VPI . (1 + i) n _ VFI = T [[(1 + i) n − 1]/i (1 + i) n]. (1 + i) n 
 VFI = T [[(1 + i) n − 1 ] /i ] = FVI onde: (18) 
 
[(1 + i) n − 1] /i = s n i ð (19) por convenção e VFI = T. s n i ð (20) 
Obs 1 – Pode-se ver com facilidade que aqui também, a expressão (19) é o VF’ de 
uma Renda Postecipada de n termos unitários a uma taxa i .
Obs 2 – Os mesmos passos usados para calcular VPI no Excel, quando os dados Pgto = 
PMT, n e i forem fornecidos, podem ser usados para o cálculo de FVI e também para a 
TIR, esta, quando os FVI, Pgto = PMT e n forem conhecidos. É só usar as variáveis 
adequadamente.
9 Os cálculos da TIR efetuados acima pela programação específica do Excel podem ser feitos também num outro programa do 
Excel chamado “Atingir Metas”. Este programa tem várias serventias no cálculo de variáveis, além da taxa de juro.
Rendas Antecipadas
47
Cálculo do VPA e VFA
Fazendo um diagrama das Rendas Antecipadas conjugado com o das Imediatas 
correspondentes, fica muito fácil compreender as fórmulas de VPA e VFA – Fig. 2.6
 T T T T T 
R.A.
 0 1 2 n – 2 n – 1 n
 VPA = VPI x (1+i) 
VFA = VFI x (1+i) 
 T T T T T
 R
.I. 
 0 1 2 3 n – 1 n n + 1
VPI = T a n i VFI = T s n i 
 Fig. 2.6
 
 VPA = T a n i (1 + i) = PVA (da HP – 12C) (21)
 
VFA = T s n i (1 + i) = FVA (idem) (22)
A HP-12C tem uma programação específica para as rendas antecipadas que 
consiste em acionar a função BEGIN antes de proceder aos cálculos, que então poderão 
ser feitos exatamente como nas rendas imediatas, obedecendo a mesma seqüência lá 
usada. Para se ter BEGIN no visor, basta pressionar a tecla g e depois o espelho BEG (de 
cor azul) da tecla 7. A palavra BEGIN aparecerá na parte inferior do visor. Para retirar 
BEGIN, pressione a tecla g e depois a tecla 8 (espelho END). BEGIN saido visor.
Exemplo: Calcular o VPA e o VFA de uma renda antecipada de 6 termos mensais 
de valor R$ 100,00 cada um, à taxa de 3 % a.m. 
a) Usando a HP − 12C (com o BEGIN no visor):
6 n 3 i 100,00 CHS PMT VPA = PV (HP) ð visor = 557,970719 reais.
6 n 3 i 100,00 CHS PMT VFA = FV (HP) ð visor = 666,246218 reais.
Obs − O VPA = R$ 557, 97 tinha mesmo que ser maior do que o VPI = R$ 541,72 da 
renda postecipada correspondente, pois, nas antecipadas, se está pagando 
antecipadamente todas as prestações (Fig. 2.6). Idem com o VFA e VFI, pois, o 
cálculo de VFA na HP –12C acontece um período após o último termo, o que já não 
ocorre com as postecipadas.
48
b) Usando o Excel: 
Quadro 2.4
2.4. Rendas Diferidas – Cálculo de VPD e VFD
É só fazer o m = zero e trabalhar como se tratasse de uma renda postecipada. 
O VPD terá que ser descapitalizado para a época zero original, porque, usando a HP – 
12C ele vai ser calculado para a época m como nas postecipadas. O VFD não, pois 
olhando a Fig. 2.3 se vê que o montante para as duas rendas, diferida e postecipada 
correspondente, é calculado para mesma época do último termo.
2.5. Rendas Perpétuas ou Perpetuidades
 2.5.1. Cálculo do VPP
 T T T T
 0 1 2 3 ∞
 VPP
Fig. 2.7
 
VPP = somatório de todos os termos T na época zero, descontados à taxa i: 
49
 VPP = T + T + T + ……….+ T 
 (1 + i)1 ( 1 + i)2 ( 1 +i)3 ( 1 +i)∞
 VPP = T ( 1 + 1 + 1 + ………….+ 1 )
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 ……………………….... (1 + i)∞ 
O somatório das frações entre parênteses é a soma S dos infinitos termos 
de uma PG decrescente de razão 1/(1 + i). Assim:
 1 . 1 − 1 
 (1 + i)∞ (1 + i) (1 + i)
Como (1 + i)∞ é um número muito grande, o 
 1 − 1 seu inverso tende para zero e então temos:
 (1 + i)
 − 1
S = (1 + i) _ S = 1 _ VPP = T (23) 
 − i i i 
 (1 + i) 
Exemplo: O Valor Presente de uma perpetuidade anual de termos iguais a R$ 100,00 à 
taxa de 20 % a.a. é dada por:
VPp = 100,00/0,20 = 500,00 reais _ VPP = R$ 500,00
2.6. Exercícios Resolvidos e Propostos 
 2.6.1.Impostos Incidentes
 Também aqui existe a mesma tributação – IOF, PIS, COFINS etc – já que se trata 
de uma operação financeira de crédito. Porém, a cobrança desses impostos não será 
incluída neste ítem porque o IOF no pagamento de empréstimos por prestações vai ser 
mostrado mais à frente, no item Sistema de Amortização por Prestações da Tabela 
Price e o PIS e a COFINS serão vistos a seguir ao abordar o “Leasing”, o qual, como é 
sabido, não sofre a incidência do IOF por se tratar de operação comercial.
1. A CEF concede um financiamento de R$ 120.000,00 para ser pago em seis 
prestações mensais com carência ou diferimento de três meses (a primeira 
prestação vence no quarto mês a contar do empréstimo). Se, durante a carência, o 
mutuário (devedor) pagar os juros mensais de 2,30 %, qual será o valor de cada 
prestação? E o valor dos juros pagos a cada período de carência?
 Resp. PMT = R$ 21.640,50 e J = R$ 2.760,00
2. A Cia. Siderúrgica Bonferro S/A contratou um financiamento de R$ 
4.000.000,00 para ser liquidado em 12 prestações semestrais de R$ 580.000,00 
cada, sendo que a primeira foi liquidada com uma carência de um ano, isto é, no 
fim do terceiro semestre após o contrato, e as demais nos finais dos semestres 
subseqüentes. Calcular a taxa interna de retorno TIR = “IRR” da operação para 
o mutuante (órgão emprestador). 
50
 
 580.000,00 580.000,00
 __________________________ 
 0 1 2 3 12 13 14
4.000.000,00
Fig. 2.8
− 4.000.000,00 + 0 + 0 + 580.000,00 + 580.000,00 + .......... + 580.000,00 = 0
 (1 + IRR)3 (1 + IRR)4 (1 + IRR)14 
 
Usando a programação especial da HP – 12C para calcular a “IRR”:
Resolvendo a equação acima, encontraremos a “IRR” = TIR, que como se pode 
ver é a taxa que anula o fluxo de caixa da Fig. 2.8, ou por outra, é a taxa que vai formar 
o fator de descapitalização adequado para igualar a soma dos fluxos positivos com os 
negativos da equação, descontado-os da época em que estão para uma mesma época 
(época ZERO, no caso). Como o FXC dessa figura é do mutuante, o empréstimo CF0 de 
R$ 4.000.000,00 leva o sinal negativo, porque significa o seu desencaixe; os fluxos de 
caixa, neste caso, figuram todos com o sinal positivo, já que representam encaixes para o 
emprestador ou os pagamentos do devedor usados na liquidação do contrato, à exceção 
dos dois primeiros que são nulos, dada a carência.
 Como se pode constatar, a equação mencionada nada mais é do que uma 
equação de equivalência de capitais, ou seja, a comparação de todos os fluxos da 
operação levados de suas épocas para a época zero através de descontos à “IRR” = 
TIR, que é a taxa que queremos calcular. Convenhamos que, embora a solução 
matemática seja possível, pois é uma equação de uma incógnita, o trabalho braçal é 
extremamente mutilador, pois, se trata de uma equação do 14º grau. A melhor maneira 
para resolver a equação é usar a programação específica de uma calculadora financeira, 
no caso, a HP − 12C com a qual estamos trabalhando ou o “software” de um 
computador preparado para tal a ser visto mais à frente.
Dado que os fluxos da Fig. 2.8 não são iguais (os dois primeiros são nulos), 
trata-se de uma renda de termos não constantes e aí não se pode usar as teclas brancas da 
calculadora HP-12C, embora a renda seja uniforme – períodos semestrais. Vamos ter 
que trabalhar com as funções azuis e amarelas da máquina, em conjunto com as brancas. 
O empréstimo ou investimento inicial é o CF0 azul da máquina – espelho da tecla 
branca PV; os fluxos são os CFJ também azuis – espelho da tecla branca PMT; a 
“IRR” é a função amarela no corpo da máquina acima da tecla branca FV. Usando a 
programação, temos que lançar todos os fluxos da Fig. 2.8 na ordem em que estão, 
inclusive os dois primeiros nulos, pois, como é óbvio, a calculadora tem que saber o 
valor de cada expoente dos denominadores (fatores) das frações da equação e, como eles 
não são informados diretamente em nenhum momento do cálculo pela programação, 
como se vai ver, há que proceder assim para que a calculadora possa saber os expoentes 
corretos e levar em conta nos seus cálculos.
51
 
 f REG visor = 0,00
4.000.000,00 CHS g CF0 visor = − 4.000.000,00
 0,00 g CF1 visor = 0,00
 0,00g CF2 visor = 0,00
 580.000,00 g CF visor = 580.000,00
 12,00 g NJ visor = 12,00
 f IRR visor = 7,082216
Resp. “IRR” = 7,08 % a.s. = 14,67 % a. a. 
 
3. Um contrato de mútuo obriga o devedor a fazer 10 pagamentos bimestrais de R$ 
3.000,00 cada, com os juros sendo contados à taxa efetiva de 18 % a.a. Calcular o 
VP do contrato, sabendo que existe uma cláusula de carência de 5 meses.
 3.000,00 3.000,00
 
 0 carência c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 VP VP’
Fig. 2.9
 Resp. PV = R$ 24.134,64
4. Calcular o valor mensal do depósito a ser efetuado ao fim de cada mês, numa conta 
remunerada a 1,35 % a. m., de forma que se possa constituir em 12 meses um fundo 
tal que, permita quatro saques bimestrais e consecutivos de R$ 2.000,00 cada, 
sendo o primeiro no final do 15º mês a contar da data original das mensalidades.
 Resp. R$ 571,04
5. Um advogado deposita R$ 10.000,00 no fim de cada mês na Caixa de Poupança de 
um Banco Multinacional que remunera os depósitos em 1,40 % a.m. Após seis 
meses o advogado quer retirar a sua poupança em 12 parcelas mensais, iguais e 
sucessivas, sendo a primeira ao fim de 30 dias. Supondo que a taxa de juros subisse 
para 1,50 % depois dos seis primeiros meses, qual o valor parcela de saque ? 
 Resp. R$ 5.696,96
6. Uma loja de Departamento oferece uma geladeira anunciando da seguinte forma: R$ 
800,00 ou (0 + 6) de R$ 143,30 . Qual é a taxa de juros que a loja é obrigada a 
colocar também no reclame ?
 800,00 CHS PV 6 n 143,30 PMT i ð visor = 2,099376% 
 
52
 Resp. 2,10 % a.m
7. Se no exercício anterior o anúncio fosse: R$ 800,00 ou (1 + 5) de R$ 140,36, 
qual seria a taxa mensal ? Trata-se de CDC com entrada igual ao valor das 
prestações.
 Rendas Antecipadas ð BEGIN no visor:
 
 800,00 CHS PV 6 n 140,36 PMT i ð visor = 2,101328 %
 
 Resp. 2,10 % a.m
 
 Obs – É lógico que o valor PMT = 140,36 reais neste caso, vai ser menor do que o 
do primeiro exercício, já que neste segundo o cliente está pagando 
antecipadamente cada uma das prestações em relação ao primeiro. Se fosse mantida 
a mesma prestação do primeiro exercício, a taxa do segundo seria maior que a do 
primeiro, por razões óbvias:
 800,00 CHS PV 6 n 143,30 PMT i ð visor = 2,977173
 Resp. 2,98 % a.m
8. Uma casa é vendida por R$ 250.000,00, sendo 20 % de entrada e o restante em 24 
parcelas mensais, iguais e sucessivas. Calcular o valor de cada prestação à taxa de 
1,20 % a.m .
 Resp. R$ 9.640,41
9. Numa negociação entre dois comerciantes, o primeiro propõe ao segundo vender uma 
loja bem localizada, através de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 
10.000,00 cada, intercaladas de 4 trimestrais de R$ 20.000,00 . Se a taxa efetiva de 
juros mensal da praça anda por volta de 2 % a. m., calcular por qual valor à vista o 
vendedor proponente está estimando a sua loja .
 Resp. R$ 174.865,52
10. Um Crédito Pessoal – CP de R$ 8.000,00 foi concedido para ser pago em 12 
meses à taxa de 4 % a.m. Após o pagamento da 5ª mensalidade, o devedor quer 
pagar todo o saldo restante, mas solicita que a Financeira lhe faça os cálculos à taxa 
de 4,20 %. Se o credor concordar, qual o valor que o devedor deverá pagar ?
a) Cálculo da mensalidade inicial 
 8.000,00 CHS PV 4 i 12 n PMT ð visor = 852,417382
b) Cálculo do saldo restante D5 
 D5 = PMT . a 12 − 5 4,20 ð D5 = PMT . a 7 4,20 
 
 852,42 CHS PMT 4,20 i 7 n PV ð visor = 5.078,669889 
 PV = D5 = R$ 5.078,67
 Se a taxa permanecesse em 4 %, o desconto seria menor e logicamente o saldo 
maior:
53
 852,42 CHS PMT 4,00 i 7 n PV′ ð visor = 5.116,271442
 PV′ = D′ 5 = R$ 5.116,27
11. Uma dívida de R$ 47.023,98 deve ser paga através de 5 prestações de mesmo 
valor P cada, vencíveis respectivamente a 23 dias, 59 dias, 78 dias, 95 dias e 
120 dias a contar de hoje. Sendo a taxa efetiva mensal de 2,50 %, calcular o valor 
das prestações. ð Exercício de Renda Constante e Não-Uniforme. 
 P P P P P
 
 0 23 59 78 95 120
 
 
 47.023,98
Fig. 2.10
47.023,98 = P + P + P + P + P 
 (1,025)(23/30) (1,025)(59/30) (1,025)(78/30) (1,025)(95/30) (1,025)(120/30)
47.023,98 = P [ 0,981247 + 0,952598 + 0,937817 + 0,924786 + 0,905951] 
 
47.023,98 = 4,702398 P → P = R$ 10.000,00
12. Uma dívida de R$ 1.000.000,00 deve ser paga por prestações quadrimestrais de R$ 
200.000,00 cada. Calcular o número de prestações necessárias para uma taxa de 
juros de 7 % ao quadrimestre.
D = PV = PMT . a n i 
 
1.000.000,00 = 200.000,00 . a n i ou:
1.000.000,00 CHS PV 200.000,00 PMT 7 i n → visor = 7,000000 
 Ora, é muito difícil um cálculo do número de prestações de valor conhecido e 
destinadas a pagar uma dívida de valor também conhecido a uma determinada taxa 
de juros, é muito difícil, repito, esse número ser exato. No caso de ele ser calculado 
pela HP – 12 C, o manual da máquina informa que, nesse caso, a programação está 
feita para, em não sendo exato o número procurado, a máquina arredondar sempre 
para o primeiro número inteiro acima. Veja a prova de tudo isso que foi falado:
 7 n 7 i 200.000,00 CHS PMT PV → visor = 1.077.857,88
 Pois é. Com 7 prestações quadrimestrais de R$ 200.000,00 e à taxa de 7 
% a.q. se paga uma dívida, não de R$ 1.000.000,00 e sim de um pouco mais no 
valor de R$ 1.077.857,88, que não é a dívida contratada. Isso mostra com clareza 
54
total que o número de prestações para pagar a dívida de R$ 1.000.000,00 não é 7 
e nem tampouco 6, pois com 6 prestações de R$ 200.000,00 a juro de 7% a.q. não 
se paga toda a Dívida de R$ 1.000.000,00 na época zero e sim R$ 953.307,93, como 
se pode ver abaixo.
 6 n 7 i 200.000,00 CHS PMT PV → visor = 953.307,93
 Então o que fazer? Muito simples, se paga 6 prestações de R$ 200.000,00 cada 
nas épocas inicialmente acordadas e uma parcela adicional P cujo valor depende 
da época em que vai ser paga.
200.000,00 200.000,00
 P P′ P” 
 
 
 0 1 23 4 5 6 7 8
 
 
 
1.000.000,00
Fig. 2.11
P = 1.000.000,00 − 956.307,93 
P = 46.692.07 reais _ na época zero, ou seja, tudo se passa como se a 
dívida contratada fosse de R$ 953.307,93, ou
P′ = P (1,07) 6 = 46.692,07 x1,500730 ou P′ = R$ 70.072,21 no sexto período 
P″ = P′ (1,07) = 70.072,21 x1,07 _ P″ = R$ 74.977,26 no sétimo período. 
Obs – Na realidade, essa parcela de prestação é paga no momento em que as 
partes acordarem, com o valor devidamente ajustado.
13. Uma Indústria tomou dinheiro emprestado no valor de R$ 220.000,00 para ser 
pago em 24 prestações mensais iguais e postecipadas (que nada mais é do que a 
famosa Tabela Price) a juros de 2 % a.m. Após o pagamento da 6ª prestação, a 
Indústria, passando por dificuldades momentâneas, solicitou ao órgão emprestador 
que refinanciasse o saldo devedor em 4 prestações trimestrais, iguais e consecutivas, 
vencendo a primeira 6 meses após a interrupção das mensalidades, com o que o 
mutuante concordou desde que se aumentasse a taxa de juro para 6,30 % ao 
trimestre. Acordadas ambas as partes, calcular o valor das prestações trimestrais.
 Resp. R$ 53.863,59
14. Numa Loja de eletrodomésticos o seu custo de financiamento mensal é da ordem de 
2%. Para incrementar as vendas, o Gerente está oferecendo a possibilidade de 
pagamento nas compras com valor total acima de R$ 100,00 em 10 vezes sem juro.
 a) Em termos percentuais, qual é o valor máximo de desconto que pode ser dado a 
um cliente se ele quiser pagar à vista, considerando o incentivo?
 b) E, também em termos percentuais, calcular o valor mínimo do acréscimo que 
deve ser cobrado de outro cliente que precisa comprar mercadoria mas só pode pagar 
em 18 prestações iguais.
 Resp. a) 10,17% b) 7,85%
55
 15. O valor de mercado do carro de um médico é R$ 15.000,00 e ele deseja trocá-lo por 
outro cotado à vista por R$ 30.000,00. Na Concessionária escolhida, além de à 
vista, a diferença pode ser paga em 12 prestações mensais de R$ 1.392,39. 
Considerando cada possibilidade abaixo, o que o médico deve fazer?
 Solução: primeiramente é feito o cálculo do custo do financiamento que a 
Concessionária oferece e se encontra o valor de 22,42% ao ano. A seguir as 
respostas em função de cada possibilidade.
a) Ele tem uma poupança que apresenta um saldo de R$ 60.000,00 e cuja 
rentabilidade anda por volta de 6% ao ano.
a) A poupança rende menos que o custo da Concessionária. O médico deve 
sacar o necessário da poupança e pagar a diferença à vista e se possível, sacar o 
resto e aplicar melhor.
 b) Além da poupança o médico tem também uma aplicação de R$ 60.000,00 num 
Fundo de Renda Fixa com rentabilidade de 12,60% ao semestre ou 26,79% ao ano.
 b) Nesse caso, a aplicação que ele tem é mais vantajosa e assim, a melhor opção
 é usar o financiamento da Concessionária, deixando a sua aplicação rendendo 
mais.
 c) O banco do médico lhe oferece um CDC ao custo anual de 20%.
c) Usar o CDC do Banco, devido à aplicação que ele tem render mais.
d) Outro banco oferece ao médico uma linha de crédito ao custo de 3% ao mês o que 
equivale a 42, 57% ao ano.
 d) Esse custo está mais alto do que o da Concessionária, então, descartá-lo. 
Rendas Uniformes e Não Constantes
O Mercado Financeiro Brasileiro, tão rico na variedade dos produtos oferecidos 
ao público quanto na paradoxal simplicidade e sofisticação operacional desses bens e 
serviços, é reconhecido internacionalmente como um mercado adulto ou de primeiro 
mundo, pelos colegas de outros países.
 
Dando seqüência ao trabalho iniciado neste Capítulo 2, passamos a tratar das 
Rendas Uniformes e Não-Constantes, que mesmo não sendo as mais usadas, também 
têm o seu lugar no mercado e não podem ser ignoradas, razão por que aí estão.
Dentre os programas de pagamento de dívida através de prestações uniformes e 
não-constantes de emprego mais procurado em todo o planeta, tanto no uso direto quanto 
no indireto como auxiliar de outros programas, se encontra o SAC – Sistema de 
Amortização Constante. No Brasil existem as operações de longo prazo oferecidas às 
indústrias pelo BNDES e o Sistema de Amortização Crescente – SACRE, da CEF com 
CM da TR e recálculo periódico do Saldo Devedor, destinado à compra da casa própria, 
sendo que as operações do BNDES já foram vistas e as da CEF ainda vão ser abordadas.
2.7.1. Exercícios Resolvidos 
56
1. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 4.000.000,00 junto ao Banco de 
Investimento do Mato Fino S/A para pagar em 6 prestações semestrais crescentes em 
PG de razão 1,20, com a primeira de R$ 600.000,00.Calcular a taxa anual de juro.
Quadro 2.5
 
 2. Uma dívida foi concedida para ser paga em 4 pagamentos trimestrais consecutivos com 
os valores que seguem: o primeiro de R$1.100.000,00, o segundo de R$1.000.000,00, o 
3º de R$ 900.000,00 e o 4º de R$ 1.500.000,00. Sabendo que a taxa trimestral da 
negociação foi de 9,50% e que o credor concedeu ao devedor uma carência de 2 
períodos trimestrais, qual o valor da dívida contraída na época zero? Resolver pela 
programação da HP – 12C ou do Excel.
 
 NPV = PV – CF0 ð se CF0 = 0 ð PV = NPV na HP – 12C 
 
 VPL = VP – CF0 ð se CF0 = 0 ð VP = VPL
 VP
 
 
 1.500.000,00 
 1.100.000,00 1.000.000,00 900.000,00
 0 0
 0 1 2 3 4 5 6 
Fig. 2.12
 Pode-se fazer o cálculo de VP pela HP – 12C ou pelo Excel, através dos 
programas específicos de cada um deles, usados para encontrar NPV = VPL, porém 
fazendo CF0 = 0, como foi mostrado acima.
a) Usando a programação da HP – 12C:
57
 
 f REG visor = 0,00 (operando com 2 casas)
 0,00 g CF0 visor = 0,00
 0,00 g CF1 visor = 0,00
 0,00 g CF2 visor = 0,00
 1.100.000,00 g CF3 visor = 1.100.000,00
 1.000.000,00 g CF4 visor = 1.000.000,00
 900.000,00 g CF5 visor = 900.000,00
 1.500.000,00 g CF6 visor = 1.500.000,00
 9,50 i visor = 9,50
 f NPV visor = 2.975.273,31
 VP = D = R$ 2.975.273,31
b) Fazendo pelo Excel ð Quadro 2.6
Quadro 2.6
58
59
Capítulo 3
OPERAÇÕES DE MÉDIO PRAZO
3.1. O ARRENDAMENTO MERCANTIL
3.1.1. Operações de Leasing
No princípio da década de 70, chegou ao Brasil a chamada operação de 
Arrendamento Mercantil ou Leasing, isto é, umaoperação de locação de determinados 
ativos como máquinas e equipamentos principalmente, diferenciada do simples aluguel 
por conter cláusula de aquisição definitiva do bem ao fim da locação, por iniciativa 
exclusiva do locatário (arrendatário) através do pagamento de um valor previamente 
acordado entre as partes, chamado Valor Residual Garantido – VRG.
A primeira empresa de Leasing no Brasil foi montada em 1972 – BMG Leasing, 
liderada pelo BMG – Banco de Minas Gerais S/A. Logo em seguida, os outros grandes 
grupos financeiros nacionais, baseados na iniciativa vencedora do BMG, também 
criaram a sua empresa de Arrendamento Mercantil e obtiveram sucesso semelhante, pois 
trata-se de uma operação comercial altamente vantajosa para o arrendatário (locatário), 
permitindo-lhe o uso do bem enquanto as prestações vão sendo efetuadas e coberta pela 
melhor garantia para o arrendador (empresa de Leasing), pois lhe mantém a posse do 
bem até a liquidação final e completa das prestações do contrato, através da alienação 
fiduciária, instrumento de garantia mais eficiente do mercado. 
A vantagem maior para o arrendatário, no caso de ser PJ, está na prerrogativa de 
se poder contabilizar as contraprestações ou pagamentos periódicos que se constituem na 
maior parte do valor do bem, como despesas operacionais, o que vem possibilitar às 
empresas reduzirem o lucro sobre o qual incide o IR a pagar. Findo o arrendamento, a 
empresa paga o VRG (um percentual do valor total do bem) e entra na posse (o uso ele 
já tinha) do produto negociado. Esta foi a grande mola propulsora que fez do Leasing 
uma tentadora e convidativa operação que atraiu e continua atraindo tantos clientes.
3.1.2. Tipos de LEASING
1. Leasing Operacional – Funciona, na prática, como uma simples locação (aluguel), 
pois o arrendatário pode rescindir o contrato a qualquer momento, mediante simples 
aviso prévio e não existe a opção de compra.
2. Lease-back – Quando a empresa vende parte do seu ativo permanente (em geral 
maquinário) e readquire no mesmo instante o seu uso de volta, mediante uma operação 
de Leasing onde obtém as seguintes vantagens:
a) Liberação do Capital de Giro
b) Tributária – Aproveitamento do valor das contraprestações como despesa
c) Continuado uso do bem, sem qualquer interrupção.
60
3. Leasing Financeiro – É a modalidade de Leasing na sua definição clássica. Em geral 
existem três participantes: o arrendador (empresa de Arrendamento), o arrendatário 
(cliente) e o fornecedor ou fabricante do bem arrendado, o qual no fim das contas vende 
o seu produto à vista e sai do circuito. A bola fica com o arrendador e o arrendatário. 
Nesses casos o VRG está sempre presente.
3.1.3. Impostos Incidentes
Embora as empresas de Leasing sejam hoje consideradas como Instituições 
Financeiras (Resolução nº 2.309 Bacen de 28/08/96) as operações de Leasing são 
entendidas como operações comerciais e assim não sofrem a incidência do IOF ou IOC, 
e sim do PIS e COFINS sobre a receita líquida do arrendador (receita bruta deduzida 
dos abatimentos permitidos pela IN nº 247 de 1º/09/2003 da Receita Federal) e também 
do ISS sobre o total de cada contra-prestação. Atualmente as alíquotas são: PIS = 0,65%, 
COFINS = 4,00% e ISS = 0,50%, muitas vezes também imputadas pelo arrendador ao 
cliente, a exemplo do que já foi mostrado anteriormente em outro tipo de operações.
3.1.4. Tipos de Operação
 (As operações de Leasing obedecem aos cálculos da Tabela Price). 
1º Exercício – A Companhia Arrendadora Mercantil ∆ tem um custo médio de captação 
de recursos da ordem de 15% a.a. ou de 1,17% a.m. e está realizando as suas operações 
ativas na taxa de 20,98% a.a. ou de 1,60% a.m. Numa operação de 12 meses de prazo 
para PJ e valor total de R$ 100.000,00, onde VRG = 15%, calcular os valores mensais 
de: PMT Ativo (faturamento sem os impostos), PMT Passivo (despesas dedutíveis), 
“spread”, PIS, COFINS, ISS e valor da contraprestação paga mensalmente pelo cliente.
a) Cálculo do PMT Ativo
 12 n 1,60 i 85.000 CHS PV PMT → Visor = 7.841,42
b) Cálculo do PMT Passivo
 
 12 n 1,17 i 85.000 CHS PV PMT → Visor = 7.633,50
c) Cálculo do “Spread” ou Receita Líquida do Arrendador
 SP = 7.841,42 – 7.633,50 → Sp = 207,92 reais por prestação
d) Cálculo do PIS, do COFINS e do ISS, com imputação dos tributos para o cliente
PIS = 0,65% 207,92 = 0,65% x 209,28 → PIS = 1,36 reais por mês
 0,9935
COFINS = 4% 207,92 = 4% x 216,58 → COFINS = 8,66 reais por mês 
 0,96
Cálculo do ISS → Base = PMT ATIVO + PIS + COFINS 
 Base = 7.841,42 + 1,36 + 8,66 → Base = 7.851,44 reais
ISS = 0,50% x 7.851,44 → ISS = 39,45 reais por mês
 0,995
61
e) Cálculo da Contraprestação mensal PMTF
PMTF = Base + ISS ou PMTF = Base 
 0,995
PMTF = 7.851,44 + 39,45 → PMTF = 7.890,89 reais ou 
PMTF = 7.849,21 → PMTF = 7.890,89 reais
 0,995
OBS – Nessas condições a taxa do Leasing para o cliente sobe para:
12 n 85.000 CHS PV 7.890,89 PMT i → Visor = 1,701382% 
ou 1,70% a.m. e o spread ou a receita líquida do arrendador passa a ser a mesma que ele 
obteve, líquida desses impostos imediatos, exatamente como no caso dos Bancos já 
mostrado.
Comentário 1
O VRG, teoricamente, pode ser pago no início da operação ou no final ou ainda 
em qualquer época durante a sua vigência .Se pago no início, depois de liquidadas todas 
as contraprestações, o cliente entra na posse do bem e assunto liquidado. Se o VRG for 
pago no final há que se adicionar os juros, em geral na mesma taxa com ou sem os 
impostos, para o cliente liquidar a fatura. No exercício n.º 1, o cliente pagaria no final:
VRG = 15.000,00 (1,016)12 = 18.147,46 reais
Agindo dessa maneira o cliente só vai poder deduzir do seu lucro tributável as 
contraprestações efetivamente pagas ao longo do ano. Nem o VRG inicial de R$ 
15.000,00 ou o final de R$ 18.147,46 podem ser usados para esta finalidade. Apenas o 
juro financeiro de R$ 3.147,46 correspondente à diferença entre o VRG final e o inicial 
é que podem ser utilizados na dedução do lucro tributável, como custo financeiro que é.
2º Exercício – Com os dados do 1º Exercício, calcular o valor do PMT Ativo somado 
com os juros mensais de R$ 240,00 referentes a 1,60% s/ R$ 15.000,00 (VRG a ser 
pago no final), sem os impostos (PMT') e com os impostos devidos (PMT).
a) Cálculo do PMT’ ativo somado aos juros mensais do VRG, porém, sem os 
impostos legais
PMT’ = 7.841,42 + 1,60% x 15.000,00 = 7.841,42 + 240,00 = 8.081,42 reais
12 n 1,60 i 100.000 CHS PV 15.000 FV PMT’ → Visor = 8.081,42
b) Cálculo do Spread
SP = 8.081,42 – 7.633,50 → Sp = 447,92 reais
c) Cálculo do PIS e da COFINS 
62
PIS = 0,65% 447,92 = 0,65% x 450,86 → PIS = 2,93 reais
 0,9935
COFINS = 4% 447,92 = 4% x 466,58 → COFINS = 18,66 reais
 0,96
d) Cálculo do ISS
Base = PMT’ + PIS + COFINS 
Base = 8.081,42 + 2,93 + 18,66 
Base = 8.103,01 
ISS = 0,50% 8.103,01 = 0,50% x 8.143,73 → ISS = 40,72 reais
 0,995
e) Cálculo do PMTF ativo com todos os impostos, inclusive já com o ISS 
PMTF = 8.103,01 + 40,72 → PMTF = 8.143,73 reais
OBS – Agindo dessa forma a taxa paga pelo cliente sobe para:
 
 12 n 85.000 CHS PV 8.143,73 PMT i → visor = 2,204578% 
ou 2,20% a.m. Em compensação o cliente abate um maior valor sobre a base de cálculo 
do seu IR e no final só paga o VRGde R$ 15.000,00 sem juros, pois os juros já foram 
pagos ao longo dos doze meses.
Comentário 2
As empresas de Leasing às vezes diluem o VRG nas n mensalidades (12 
no caso) que assim passam a incluir uma parcela constante e igual a VRG/n (R$ 
1.250,00 nesse exemplo). A inclusão dessa parcela constante é feita à parte para evitar a 
incidência dos impostos também sobre ela. Assim teríamos:
 12 n 1,60 i 100.000 CHS PV PMT → visor = 9.225,20 reais
 
PMT’ = 9.225,20 – 15.000,00
 12
PMT’ = 9.225,20 – 1.250,00 = 7.975,20 reais → contra-prestação sem impostos
Na realidade, a prestação será formada de três partes:
PMT = 7.975,20 + (impostos sobre 7.975,20) + 1.250,00
3º Exercício – Usando ainda os dados do 1º Exercício, calcular a prestação mensal 
PMT da maneira descrita anteriormente, com a inclusão dos impostos.
63
a) PMT Ativo = 7.975,20 reais
b) PMT Passivo = 7.633,50 reais ( já calculado sobre PV = 85.000,00 )
c) Spread → Sp = 341,70 reais
d) PIS = 0,65% 341,70 → PIS = 2,24 reais
 0,9935
e) COFINS = 4% 341,70 → COFINS = 14,24 reais
 0,96
f) Cálculo do ISS
Base = 7.975,20 + 2,24 + 14,24 → Base = 7.991,68 reais 
ISS = 0,50% x 7.991,68 → ISS = 40,16 reais 
 0,995
g) Cálculo da Contra-prestação final PMTF
PMTF = 7.991,68 → PMTF = 8.031,84 reais ou PMTF = Base + ISS
 0,995
h) Cálculo da prestação mensal total PMT"
PMT" = 8.031,84 + 1.250,00 → PMT" = 9.281,84 reais
OBS – Com o VRG diluído, a taxa mensal para o cliente sobe para:
 12 n 100.000 CHS PV 9.281,84 PMT" i → Visor = 1,692233% 
ou 1,69% a.m, sensivelmente a mesma do exercício nº 1. Vencidas e pagas as 12 
contraprestações de R$ 8.031,84 acrescidas de R$ 1.250,00 do VRG diluído 
totalizando R$ 9.281,84, o arrendatário entra na posse do veículo, pois não deve mais 
nada ao arrendador, inclusive os juros sobre o VRG.
Comentário 3
Reparem que no Leasing com o VRG diluído, o desembolso mensal do 
arrendatário, é o mesmo que se ele comprasse o bem através do financiamento no CDC 
de uma Financeira = R$ 100.000,00, a serem pagos por 12 prestações mensais de 
R$ 9.281,84 (com os impostos de R$ 56,62) à taxa mensal de 1,69 % ou por 12 
prestações mensais de R$ 9.225,20 (sem os impostos = R$ 9.281,84 − R$ 56,62) à taxa 
mensal de 1,60 %. O que faz a diferença é que no Leasing, quando o cliente é PJ, 
ele pode abater o valor das contraprestações pagas da base de cálculo para o IR a pagar. 
 12 n 1,60 i 100.000,00 CHS PV PMT → visor = 9.225,20 reais 
 Vamos entender porque os juros do VRG diluído são iguais a R$ 133,78 = R$ 
7.975,20 - R$ 7.841,42 e não a R$ 240,00 =1,60% x 15.000,00.
64
Antes de mais nada, lembremo-nos que no Leasing se toma como forma de 
cálculo a Tabela Price, caso particular do Sistema Francês de Amortização. Deduzindo 
15.000,00/12 = 1.250,00 do PMT = 9.225,20 temos vamos obter PMT’: 
PMT’ = 9.225,20 – 1.250,00 = 7.975,20 reais → valor da prestação sem os impostos
Doze (12) prestações mensais de R$ 7.975,20 equivalem a um Valor Presente 
PV = 86.450,15 à taxa de 1,60 % a m . Vejamos:
 12 n 1,60 i 7.975,20 CHS PMT PV → visor = 86.450,15 reais
Como o valor arrendado foi de R$ 85.000,00 na data zero ou data do PV, ao 
pagarmos a parcela mensal de R$ 7.975,20 estamos liquidando uma dívida, não de R$ 
85.000,00 e sim, de R$ 86.450,15, portanto R$ 1.450,15 a mais, na época zero, que é 
exatamente o valor das 12 (doze) parcelas de juros mensais de R$ 133,78 sobre o 
VRG, na época zero e à taxa de 1,60% a.m. Esta é a explicação matemática para os 
juros serem realmente diferentes . 
 12 n 1,60 i 1.450,15 CHS PV PMT → visor = 133,78 reais
Conceitualmente podemos ver ainda com mais facilidade o porquê dessa 
diferença. Pagando pelo VRG diluído, que na verdade se compõe de duas parcelas: 
uma de R$ 8.031,84 da contraprestação mais a segunda de R$ 1.250,00 do VRG 
mensal, como já foi mostrado, totalizando R$ 9.278,14, o arrendatário está 
amortizando mensalmente o próprio VRG. Assim é óbvio que ele vá pagar menos 
juros, pois o saldo devedor do VRG segue diminuindo.
Para finalizar é bom lembrar que, no Leasing, principalmente de veículos, o 
VRG quase sempre é dado no início da operação, através de outro veículo usado e de 
menor valor, o que é válido também para qualquer outro bem.
1.5. Exercícios Propostos
 (Usar Alíquota PIS = 0,65% e COFINS = 3%, que era a original da IN nº 247)
1. Calcular o valor final (PMTF) da contra-prestação de uma operação de Leasing com 
os seguintes dados:
 Valor Operação = R$ 100.000,00 ; VRG = Zero; Carência = Zero; n = 24 meses 
 Multiplicador Ativo = 0,0560567 → 34,855739 % a. a.
 Multiplicador Passivo = 0,0505944 → 21,199922 % a. a.
 Resp. PMTF = R$ 5.654,40
2. Um economista realizou uma operação de Leasing para a compra do seu primeiro 
automóvel nas seguintes condições:
 Valor do Automóvel = R$ 35.000,00; VRG (diluído) = R$ 3.500,00 (10 %)
 Taxa Mensal do Empréstimo = 2,50 % a.m 
 Taxa Mensal de Captação para a Arrendadora = 1,02 % a. m
65
 Prazo da Operação = 35 meses 
 Calcular o dispêndio mensal do economista e que taxa mensal ele pagou ao todo ?
 Resp. R$ 1.532,00 e 2,5862 % a. m
3. Calcular o Valor do dispêndio mensal total de uma operação de Leasing de VRG 
diluído e com as seguintes características:
 Valor Total = R$ 42.000,00; VRG = 20 % ; Carência = Zero
 Taxa Ativa = 2,10 % a. m; Taxa Passiva = 1,60 % a. m; n = 24 prestações
 Resp. R$ 2.262,83
4. A Cia. de Brinquedos Troy Ltda fez uma operação de “Leasing” para renovação de 
suas máquinas no valor de R$ 800.000,00 no prazo de 36 meses , com o VRG de 
10 % . Sendo as taxas da Arrendadora de 2,05 % a. m na aplicação e 1,20 % a. 
m na captação e sabendo-se que o VRG foi pago no início da operação 
através das máquinas que foram substituídas , calcular :
 a) O total mensal de impostos imputados ao cliente pela Arrendadora
 b) O dispêndio mensal da Arrendatária
 c) A receita da Cia de Leasing
 Resp. a) R$ 283,84 b) R$ 28.758,82 c) R$ 3.726,98
5. Uma operação de Leasing foi fechada com a Cia. de Transportes Pássaro Marrom no 
valor global de R$ 2.000.000,00, para o prazo de 36 meses sem carência e VRG 
diluído de 15 % . Sabendo-se que o custo de captação de recursos da Sociedade de 
Arrendamento Mercantil foi de 1,40 % a.m. e a sua aplicação foi a 1,90 % a.m., 
calcular:
 a) O valor da contra- prestação mensal adicionada ao VRG diluído e
 b) Que taxa mensal a operação representou para a Cia. de Transportes ?
 Resp. a) 77.874,97 b) 1,95 % a. m. 
66
3.2. CRÉDITO DIRETO CONSUMIDOR - CDC 
3.2.1. Generalidades
De maneira geral, o povo da classe média não dispõe de dinheiro à vista para 
comprar as mercadorias de que necessita ou que gostaria de ter, precisando, portanto, de 
quem o financie para poder efetuar suas aquisições. Havendo quem o financie e em 
prestações, a maior parte desse pessoal vai se endividar ao extremo, às vezes até além 
disso. A taxa de juro cobrada pelos financiadores não importa tanto; o que leva o 
comprador a consumir é o valor das prestações caberem no seu orçamentomensal, pois é 
mensalmente que os pagamentos são realizados. As operações de CDC são realizadas 
exatamente como as de uma renda uniforme e constante na capitalização composta nos 
seus três primeiros tipos já vistos: postecipada, antecipada e diferida, onde a mais usada 
é a primeira, isto é, a postecipada, que como sabemos é a famosa Tabela Price. 
3.2.2. CDC com Rendas Postecipadas
Exemplo 1 – Uma geladeira com valor à vista de R$ 1.800,00 é oferecida nas Casas 
Alagoas através do crediário de uma Financeira em 10 prestações mensais à taxa de 
2,50% ao mês. Calcular o valor das prestações, sem o IOFT e depois com IOFT.
1º) Sem o IOFT - Usando a HP – 12C:
10 n 2,50 i 1.800,00 CHS PV PMT = 205,665774 ð R$ 205,67
2º) Sem o IOFT, depois os IOF1, IOF2 (= IOFT) e o Fator do IOFT – Usando o Excel:
Quadro 3.1 
67
Acontece que os vendedores das lojas não possuem e não saberiam lidar com 
uma HP–12C. Há também o IOFT, como em toda operação de crédito, que é cobrado à 
vista e incluído no financiamento ao cliente quando da concretização da operação, para o 
bem ser pago à vista, com a base de cálculo e alíquotas iguais às que foram vistas.
 Quem faz o cadastro do cliente e também os cálculos das prestações na hora, é o 
vendedor da loja, previamente instruído pela Financeira dentro das normas da 
instituição. Como as normas cadastrais são fáceis de seguir, não há problema em relação 
a isso; mas o cálculo das prestações é sofisticado para o nível dos vendedores, que, além 
de não saberem fazer, o que não é tão simples assim, possuem apenas uma simples 
máquina de calcular e que só faz as quatro operações, não sendo, portanto, suficiente. 
Para evitar o inconveniente de um cálculo errado, as Financeiras fornecem uma 
tabela de coeficientes em função do número de prestações sempre mensais e da taxa de 
juro já agravada pelo IOFT que o cliente vai pagar e assim, o cálculo do valor das 
prestações, que é sempre igual dentro de um mesmo financiamento, é realizado pela 
simples multiplicação do coeficiente apropriado pelo valor à vista do produto que está 
sendo comprado. A taxa de juro é assunto da Financeira e normalmente é comum os 
vendedores nem saberem qual é o seu valor.
3.2.3. Coeficientes das Financeiras já com o IOFT
Usemos os valores para o IOFT e seu Fator encontrados no Quadro 3.1 (pag. 
anterior), uma vez que se trata do mesmo Exemplo 1.
Calculado o Fator do IOFT = 19,47/1.800,00 = 0,010817 para determinado 
arcabouço de financiamento (taxa do empréstimo e número de prestações do cálculo do 
quadro a seguir), multiplica-se esse fator pelo principal que vai ser financiado (0,010817 
x 1.800,00) e se obtém previamente o IOFT = 19,47 da operação de crédito acima ou de 
qualquer outra operação de mesmos prazo e taxa, logo depois de fechada a negociação. 
Em seguida adiciona-se o IOFT ao principal do financiamento e se calcula o total que, na 
realidade, vai ser financiado, no caso de R$ 1.819,47, pois o IOFT = 19,47 é pago no 
início da operação e o comprador quer receber a importância do empréstimo de R$ 
1.800,00 líquida do imposto e pagar o bem à vista, liquidando o assunto com o lojista. 
Então, no exemplo, o total a ser financiado por 10 meses a 2,50% a.m. passa a 
R$ 1.819,47 com o financiamento também do IOFT = 19,47. Nestas condições a 
prestação vai subir um pouco, pois o valor total do financiamento aumentou. 
10 n 2,50 i 1.819,47 CHS PV PMT = 207,89 ð R$ 207,89
e como o cliente só vai usar R$ 1.800,00, a taxa sofre também um pequeno aumento:
10 n 1.800,00 CHS PV 207,89 PMT i = 2,708710 % ð i = 2,708710 %a.m.
ATENÇÃO: Esta taxa agravada pelo financiamento do IOFT é usada para se 
calcular os coeficientes das Tabelas das Financeiras, como vai ser mostrado logo à 
frente e por isso ela é tão importante.
 
A Tabela 1 apresenta os coeficientes de multiplicação usados pelos vendedores 
das lojas para se obter o valor definitivo das prestações já acrescido do IOFT em função 
do número delas e do valor à vista do produto. Isso viabiliza enormemente o trabalho das 
68
lojas na concessão do CDC 10 e para exemplificar, vamos usar a mesma geladeira citada 
com preço à vista de R$ 1.800,00.
Tabela Financeira Completa do Crediário 
Quadro 3.2 – Tabela 1
Procedimentos análogos são feitos com os CDCs Antecipados e Diferidos e 
assim se pode ver todos os tipos dessas operações de enorme uso no Brasil, mostrando 
com que facilidade elas são programadas pelo calculista responsável da Financeira.
 O Banco Central obriga os lojistas a veicular nos periódicos e a colocar nas 
próprias lojas, sobre os bens de maior valor, detalhes sobre o assunto do tipo a seguir:
 Geladeira de 2 portas e tantos litros por R$ 1.800,00 à vista 
 ou
 (0 + 10) de R$ 207,89 com taxa mensal de 2,71%
 Valor pago no total = R$ 2.078,90 sendo R$ 278,90 de juros
significando que não existe entrada. Caso contrário, (1 + 9) de R$ 202,40, isto é, valor 
obtido ao usar a Tabela de coeficientes para CDC com entrada de mesmo valor das 
prestações. É o caso dos CDCs antecipados, ao se usar a teoria das Rendas Antecipadas.
Como se pode ver, a dificuldade em fazer as tabelas dos coeficientes está em se 
calcular o IOFT antecipadamente para recolhimento à Receita Federal. Porém, usando os 
Fatores do IOFT para os arcabouços mais utilizados, a operação se torna muito simples. 
10 O CDC é o chamado crédito direcionado para comprar um determinado bem, por exemplo, a geladeira. Porém, as 
Financeiras também fazem o Crédito Pessoal CP , onde o prestamista leva apenas o dinheiro e paga da mesma forma que o 
CDC, através de prestações. A diferença fica só na taxa do CP que normalmente é mais alta do que a do CDC.
69
Capítulo 4
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A
 LONGO PRAZO
PAGAMENTO POR PRESTAÇÕES 
Seguramente o BNDES e a CEF são os dois órgãos financeiros estatais que 
realmente ajudam as empresas e a população dentro da realidade do país, seja pelo prazo 
bastante elástico concedido e acrescido de generosas carências, seja pelos custos 
financeiros bastante acessíveis nos seguintes programas: i) Financiamento de máquinas, 
equipamentos e implantação e expansão das empresas – caso do BNDES – Banco 
Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social e ii) Recursos para a compra da 
primeira casa própria residencial, concedidos de maneira paternal, com prazos que 
chegam até 25 anos e custos os mais baixos do mercado – a cargo da CEF – Caixa 
Econômica Federal
 Dados os longos prazos das duas Instituições em receber os financiamentos 
facultados, as liquidações dos empréstimos são realizadas através de prestações mensais 
que englobam amortização do principal e juros.
As operações do BNDES já foram vistas no último tópico do Capítulo 1. Agora 
vamos tratar das efetuadas pela CEF – Caixa Econômica Federal e Sociedades de 
Crédito Imobiliário, que como já foi dito, se concentram mais nos recursos destinados 
aos imóveis de um modo geral, em especial, à compra da casa própria.
1. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO SIMPLES
1.1. Conceitos 
No Brasil, os Sistemas de Amortização de empréstimos para a compra da casa 
própria a médio e longo prazo são capitaneados pela CEF, que adota três modelos 
principais: Sistema Francês de Amortização ou Sistema de Prestações Constantes – SPC 
(cópia ipsis literis das Rendas Uniformes e Constantes na capitalização composta, já 
revista anteriormente), Sistema de Amortização Constante – SAC e Sistema de 
Amortização Crescente – SACRE (uma cópia estilizada do SAC). Este último foi criado 
em 1998 pela equipe da Caixa Econômica Federal – CEF e atualmente é o mais 
procurado. Todos os três modelos com e/ou sem correção monetária serão vistos neste 
Capítulo 4 e o leitor tomará conhecimentodo recálculo periódico das prestações com o 
uso da CM da TR – Taxa Referencial, exatamente como a CEF e as Sociedades de 
Crédito Imobiliário privadas trabalham. 
70
1.2. Tipos de Sistemas
1.2.1. Sistema Francês de Amortização 
O Sistema Francês caracteriza-se pelo fato de o mutuário pagar a sua dívida 
periodicamente, por meio das prestações ou termos de uma Renda Imediata ou 
Postecipada Uniforme e Constante, com os quais reembolsará o mutuante do capital 
emprestado (principal) e dos respectivos juros.
Duas Observações Importantes
Todo e qualquer Sistema de Amortização através de prestações 
constantes ou não e uniformes ou não, segue duas premissas básicas:
1ª) Cada prestação é a soma de duas parcelas: a primeira é a de juro e a segunda de 
amortização. Esta segunda parcela pode ser ZERO nas primeiras prestações, quando 
existe carência ou diferimento dado pelo Sistema de Amortização; se não houver 
carência ou outra norma em contrário, a parcela de amortização existirá com o seu 
valor diferente de ZERO.
 2ª) A parcela de juro existirá sempre, sendo o seu pagamento efetuado nas prestações 
normais ou incorporado à dívida ou saldo devedor, para ser paga nos períodos em 
que existirem as prestações com amortizações e é obtida pelo produto entre a 
taxa pactuada e o saldo devedor do período anterior.
Essas duas premissas constituem a base sobre a qual se assentam todos 
os cálculos de pagamento de dívida, através de prestações.
Conceitos e Fórmulas
Pela definição do Sistema Francês, se pode ver que o valor atual ou presente AI = 
VPI das n prestações PMT = T à taxa i de uma Renda Postecipada, se confunde 
com a dívida D = D0 contraída no financiamento. Assim, na Fig. 4.1:
VPI = AI = PMT x a n i ð da Renda Imediata (12) 
D = D0 = T x a n i ð no Sistema Francês (24) 
O valor da prestação será dado por: T = PMT = PVI (1/a n i ) (25) 
 
 
 T T T T T T
 0 1 2 3 (n – 2) (n – 1) n 
 
 
 D = D0 = AI 
Fig. 4.1
71
D = D0 = AI = VPI _ é, obviamente, a Dívida ou o Valor Atual dos n 
pagamentos T da Dívida ou também o Valor Presente das n prestações PMT da Renda, 
respectivamente. 
O Saldo Devedor D = D0 = SD é o valor que deverá ser pago ao mutuante 
(emprestador) devidamente acrescido dos encargos que representam o ganho do 
emprestador. A quitação da dívida D = D0 puro e simples é o pagamento apenas do SD 
e não significa lucro do emprestador, nem quitação do compromisso do devedor, apenas 
é o retorno do capital emprestado a quem de direito. Assim, o SD ou D diz respeito tão 
somente à divida pura ou a parte dela que ainda não foi amortizada, do que se deduz que 
amortizar é pagar apenas a dívida ou parte sem juro, significando liquidação ou redução 
da dívida ou do saldo devedor e nada tendo a ver com encargos.
Acontece que nenhum emprestador (Banco ou qualquer I.F.) empresta recursos 
para serem quitados separadamente em épocas diferentes, na forma dos juros (encargos) 
somados à amortização (pagamento do principal). As prestações ou pagamentos 
periódicos englobam as duas partes (vide 1ª Observação Importante). Destarte, para se 
liquidar uma dívida antecipadamente numa determinada época, é preciso calcular o saldo 
devedor nessa época e efetuar o pagamento do valor alcançado pelo SD = D no dia do 
cálculo. Daí a importância de se conhecer o valor do saldo devedor em um período 
qualquer, antes do vencimento do empréstimo.
Exemplo – Um empréstimo de R$ 600.000,00 é concedido para ser pago pelo Sistema 
Francês de Amortização em 6 prestações semestrais à taxa de 20% a.s. Calcular o valor 
de cada prestação e montar a planilha teórica do financiamento.
a) Cálculo do valor de cada prestação:
T = 600.000,00 x 1 
 a 6 20
T = 600.000,00 x 0,300706 → T = R$ 180.423,45
Planilha 4.1 e Quadro 4.1 da Teoria de Financiamento
 180.423,45 180.423,45 
 0 1 2 3 4 5 6
 600.000,00
Fig. 4.2 
Usando o exemplo anterior, pode-se ver que o empréstimo de R$ 600.000,00 será 
pago em 6 prestações semestrais de R$ 180.423,45 a juros de 20% a.s. Cada prestação 
vai conter duas parcelas: uma relativa aos juros e outra relativa à amortização de parte 
do principal, o que acontece com todos os sistemas de amortização por prestações, de 
acordo com as duas observações importantes no início da página anterior.
72
Na época 1 (Fig.4.1), quando se vai pagar a primeira prestação, o SD = D ainda é 
o do período anterior (que aqui se confunde com a própria dívida), ou seja, R$ 
600.000,00. Chamando de J1 os juros contidos nessa primeira prestação, tem-se:
J1 = 20% x 600.000,00 = 0,20 x 600.000,00 _ J1 = 120.000,00
Consequentemente, a diferença entre o valor da prestação paga que é constante 
neste sistema e os juros apurados é levada para amortizar parte do saldo devedor de R$ 
600.000,00, ou seja, é a cota de amortização A1 da primeira prestação.
A1 = 180.423,45 – 120.000,00 _ A1 = R$ 60.423,45
Isso posto, o novo saldo devedor D1, no fim da época 1 será:
D1 = 600.000,00 – 60.423,45 _ D1 = R$ 539.576,55
 
Na época 2, tudo se repete. Ao pagar a segunda prestação, o SD anterior é D1 = 
539.576,55 e é sobre ele que incide a taxa (20%) para se ter os juros contidos nessa 
prestação.
J2 = 020 x 539.576,55 
J2 = R$ 107.915,31
 
A2 = 180.423,45 – 107.915,31 
 
A2 = R$ 72.508,14
 
D2 = 539.576,55 – 72.508,14
 
D2 = R$ 467.068,42
 Na época 3 tudo volta a acontecer, assim como nas épocas 4, 5 e 6. É evidente 
que, na época 6, o saldo devedor D6, após ter sido paga a sexta prestação, deverá ser 
ZERO. Assim, pode-se montar a Planilha e o Quadro Teórico de Financiamento do 
Sistema Francês, como está a seguir: 
 Planilha 4.1
n T J A D
0 600.000,00
1 180.423,45 120.000,00 60.423,45 539.576,55
2 180.423,45 107.915,31 72.508,14 467.068,42
3 180.423,45 93.413,68 87.009,76 380.058,65
4 180.423,45 76.011,73 104.411,72 275.646,93
5 180.423,45 55.129,39 125.294,06 150.352,87
6 180.423,45 30.070,57 150.352,87 0,00
TOTAIS 1.082.540,70 482.540,68 600.000,00
73
Quadro 4.1
Obs: A Montagem da Planilha 4.1 poderia também ser feita usando a programação 
específica que a HP – 12C tem e é mostrada a seguir. Todavia, é bom lembrar que 
em geral os Sistemas de Amortização da casa própria têm prazos muito longos e 
normalmente as prestações são mensais, o que implica em quadros bastante 
extensos, como será visto na apostila Matemática Financeira Avançada. Assim, é 
melhor usar o programa Excel mostrado no Quadro 4.1 acima. Porém, apenas a 
título de exercício, vamos ver como se usa o Programa Específico da HP – 12C. 
 
Idem, usando o Programa Específico da HP – 12 C
1. Inicialmente calcula-se o valor de cada prestação T ou PMT do financiamento.
 6 n 20 i 600.000,00 CHS PV PMT = T _ visor = 180.423,45
2. Pressionando 1 f AMORT _ visor = 120.000,00 = J1 = juro da 1ª prestação
 X 
>
< Y _ visor = 60.423,45 = A1= amortização da 1ª prestação
 RCL PV _ visor = − 539.576,55 = D1 = saldo devedor após se pagar a 1ª 
prestação, com sinal negativo, pois se trata de saldo devedor.
3. Pressionando 1 f AMORT _ visor = 107.915,31 = J2 = juro da 2ª prestação
 X 
>
< Y _ visor = 72.508,14 _ A2 = amortização da 2ª prestação etc. 
Para saber o valor de J ou A contidas na 4ª prestação sem desenvolver a planilha: 
74
 6 n 20 i 600.000,00 CHS PV PMT = T _ visor = 180.423,45
 3 f AMORT _ visor = 321.328,99 = juros acumulados 
 RCL PV = D3 = − 380.058,65
 J4 = 20% s/ D3 = 76.011,73 e A4 = 180.423,45 − 76.011,73 = 104.411,72 
 e também: D4 = D3 − A4 = − 380.058,65 + 104.411,72 _ D4 = 275.646,93 
Observando o Quadro 4.1 ou a Planilha 4.1, pode-se ver que, a princípio, se 
paga muito juro e se amortiza pouco. Com o decorrer dos períodos, vai-se pagando 
menos juros e, consequentemente, amortizando mais do principal.
Antecipação do Pagamento do Saldo Devedor
Os empréstimos concedidos pelos órgãos financeiros semelhantes à Caixa 
Econômica Federal geralmente são por prazos longos. Assim, é muito comum o 
mutuário desejar saber o valor do saldo devedor em uma determinada época anterior ao 
vencimento contratado, para quitar antecipadamente toda ou parte da Divida ou mesmo, 
saber qual o valor da cota de amortização de uma certa prestação. Nesses casos, elaborar 
toda a planilha teórica de financiamento para se ter as variáveis desejadas se torna 
extremamente trabalhoso. Porém, como é justa a pretensão do mutuário, resolve-se o 
impasse usando a programação da HP – 12C dada anteriormente e/ou a aplicação da 
relação (26) e suas variações que atendem às Duas Observações Importantes dadas 
anteriormente, o que vai permitir encontrar os valores isolados de uma maneira mais 
fácil. Suponha uma dívida D financiada no Sistema Francês em n, T, e i (Fig. 4.3):
 T T T T T T T
 0 1 2 (k – 1) k (k + 1) (k + n – 1) n
 T T T
 
 
 0 1 n–k+1 n-k
 
 D 
 DK
 
 Fig. 4.3
Seja k uma época qualquer, em que 0 ≤ k≤ n
1. Cálculo do saldo devedor após ter sido paga a prestação de ordem k.
O Saldo Devedor em uma época k qualquer é exatamente a soma das (n – k) 
cotas de amortizações contidas nas prestações restantes, ou seja, é o Valor Atual (na 
época k) das (n – k) prestações restante (sem os juros). Estas prestações restantes podem 
ser vistas como uma nova Renda Imediata de (n – k) termos e com a época zero 
coincidindo com a época k original. Assim, tem-se :
 DK = T a (n – k) i (26) 
75
No exemplo do Quadro 4.1, calcular o SD após ter sido paga a 3ª prestação.
 k = 3 ⇒ D3 = 180.423,45 x a (6 – 3) 20
 D3 = 180.423,45 x a 3 20
 D3 = 180.423,45 x 2,106481
 D3 = R$ 380.058,65
2. Cálculo da cota de juros contida em uma prestação de ordem k.
 JK = DK–1 x i (27)
em que DK–1 é dado pela relação (24) 
No exemplo dado, calcular o juro contido na 3ª prestação.
DK–1 = T a (n-k+1) i
k = 3 ⇒ D2 = 180.423,45 x a (6-3+1) 20
D2 = 180.423,45 x a 4 20
D2 = 180.423,45 x 2,588735 _ D2 = 467.068,42 
J3 = 467.068,42 x 0,20 _ J3 = R$ 93.413,68
3. O Calculo de AK é também muito simples:
 AK = T – JK ð k = 3 ð A3 =180.423,45 − 93.413,68 ou A3 = R$ 87.009,76 
 
1.2.2. Tabela Price 
Conceitos
A Tabela Price 11 (Richard Price, economista inglês) é um caso particular do 
Sistema Francês de Amortização quando a prestação é mensal. É comum a taxa de juro 
vir como taxa nominal anual e assim é necessário dividi-la por 12 para usar a taxa 
mensal proporcional, mesmo se tratando de um sistema submetido ao regime de juros 
compostos. Cada termo da renda será:
 T = D/ 1/a m i , (28)
 O fator mensalidade 1/a m i é encontrado na Tabela Price dado em função de 
alguns valores de m e de i. Porém, como esse fator é o mesmo que o inverso de a n i, 
através da HP –12 C pode ser mais simples determiná-lo como segue:
 Para n = 30 e i = 1% a.m. ⇒ taxa anual (nominal) de 12%
 30 n 1 i 1 CHS PV PMT _ visor = 0,038748 
 Tabela Price _ m = 30 e i = 12% a.a. _ 1/a m i = 1/a 30 12 = 38,748113 11
76
11 Os coeficientes da Tabela Price costumam vir multiplicados por 1.000 por estética da tabela. Assim, é preciso estar atento 
e, se for o caso, dividir os resultados encontrados por esse mesmo valor 1.000.
Exemplos
1º) Qual o valor da prestação mensal necessária para liquidar uma dívida de R$ 
100.000,00 em 2 anos a juros de 12% a.a.?
1° Processo: usando a Tabela Price
T = D 1  T = 100.000,00 x 1 ð T = 100.000,00 x 47,07347
 a m i a 24 12 1.000
T = 100 x 47,07347 = 4.707,35 ð T = R$ 4.707,34
2° Processo: usando a programação da HP – 12 C
24 n 1 i 1 CHS PV PMT’ _ visor = 0,047073
T = PMT = 100.000,00 x 0,047073 ð T = R$ 4.707,35 ou
24 n 1 i 100.000,00 CHS PV PMT _ R$ 4.703,35
A utilização do Sistema Francês e principalmente da Tabela Price é 
extraordinariamente grande no mundo todo. No Brasil usa-se a Tabela Price nas 
operações de CDC/CP das Financeiras, nas operações de “Leasing” das Sociedades de 
Arrendamento Mercantil, no pagamento dos empréstimos a Médio e Longo Prazo, 
particularmente no financiamento da casa própria junto à CEF etc.
1.2.3. IOFT no Pagamento por Prestações
As operações financeiras realizadas para liquidação através de prestações, como 
é o caso do CDC, CP e outros, também sofrem a incidência do IOF, além do PIS, 
COFINS etc. A incidência do IOF é sobre os saldos devedores pelos dias em que 
eles vigorarem ou sobre as amortizações, também pelos dias de suas vigências, o que 
dá exatamente no mesmo, como vai ser mostrado. Esse tipo de imposto, como se sabe, é 
devido exclusivamente ao cliente e incide tão somente sobre o principal do 
financiamento, não podendo de forma alguma ser cobrado sobre os encargos.
Como já foi comentado, para repor as perdas de arrecadação com a extinção da 
CPMF no finalde 2007, o governo federal instituiu o Decreto nº 6339/2007 na 
mesma data, para viger a partir de 02/01/2008, através do qual aumentou o valor do 
IOF – Imposto sobre Operações Financeiras, não só na alíquota (dos tomadores de 
crédito Pessoas Físicas para 0,0082% ao dia, isto é, 3% ao ano de 365 dias, mantendo a 
de Pessoas Jurídicas em 0,0041% ao dia ou 1,50% ao ano), a que vamos chamar de IOF1 
e criou também uma nova alíquota, esta fixa que vamos cognominar de IOF2 = 0,38% 11, 
a incidir sobre o principal do financiamento, tanto para PF quanto para PJ e 
independente do prazo da operação. 
A arrecadação atingida pelo novo sistema de cobrança do IOF em troca da 
extinção obrigatória da CPMF foi tão grande em 2008, que o governo, ao perceber o erro 
proposital ou não, reverteu a alíquota do IOF1 de PF para 0,0041% a.d., com vigência a 
partir do início de 2009; a outra, não. Em outras palavras, o término de uma 
77
11 Qualquer semelhança com o IOF2 = 0,38% da CPMF que foi encerrada, é “mera coincidência” do Governo Federal.
contribuição provisória e a criação de novas regras para um tributo antigo no intuito de 
equilibrar a arrecadação “perdida” com o exercício da lei, trouxe foi vantagens para o 
governo federal e aumento de despesas sobre uma população, que infelizmente, não tem 
o discernimento para ver esses absurdos. Isto é lamentável.
Os dois IOFs = IOFT são cobrados antecipadamente no início da operação. Como 
o valor do IOF1 é variável em função dos saldos devedores ou amortizações efetuadas ao 
longo do pagamento das prestações e dos dias em que eles vigoram, o mais fácil e 
prático para se obter o seu valor é calcular um coeficiente que, multiplicado pelo valor 
do financiamento, fornece esse valor no início da operação, já que o órgão financiador é 
o responsável pela retenção e recolhimento aos cofres da Receita Federal.
Esse coeficiente, batizado de fator do IOF1 = f1, obviamente é função do número 
de dias correspondentes aos respectivos saldos devedores ou às amortizações efetuadas e 
dado que esses saldos e amortizações dependem da taxa de juros cobrada, em última 
instância, o fator do IOF1 passa a ser função da taxa e dos prazos dos saldos 
devedores e/ou das amortizações. Dessa maneira, pode-se elaborar tabelas do fator do 
IOF1 = f1 para prazos e taxas que se queira e assim, fazendo incidir o f1 do mesmo 
arcabouço de taxa e prazo desejados sobre o principal financiado, obteremos o valor 
do IOF1 logo de saída. Mostraremos a seguir, como essa elaboração das tabelas é 
bastante facilitada ao se usar o programa Excel.
Já o IOF2 é o seu próprio fator, pois ele é fixo e incide sobre o valor do 
principal financiado abatido das deduções permitidas pela IN nº 247 já citada. Somando 
IOF1 e IOF2 obteremos o IOFT, que se o cliente pagar no início do financiamento, o 
assunto do IOF está encerrado. Porém, é preciso atentar para o fato de que, se o cliente 
está pagando todo o IOF (IOFT) no início, à vista, tudo se passa como se a Financeira 
tivesse reduzido o valor do principal financiado ao debitar o IOFT na c/c do cliente para 
posterior recolhimento à Receita, mas continuando com o mesmo valor das prestações e 
prazo. Isso, além de implicar num aumento da taxa de juro, pode não atender ao cliente.
Para que o tomador tenha em mãos o valor integral do financiamento de que 
necessita desembolsando à vista a quantia do IOFT, é preciso que a Instituição Financeira 
financie também o IOFT, aumentando o valor do principal. Ao creditar o principal 
aumentado na c/c do cliente, o que, mantidos a mesma taxa e prazo originais como é 
usual, aumenta também o valor das prestações. Como a Financeira irá reter o IOFT para 
recolhimento à Receita, isso vai representar para o cliente um aumento na taxa de juro da 
operação, pois ele estará recebendo uma quantia menor e pagando as mesmas prestações 
referentes a um principal maior. Em geral é o que acontece e é por isso que quando se 
consulta a taxa que as Financeiras estão praticando, a resposta não confere com os 
valores das prestações, pois elas fornecem as taxas sem o IOFT. 
Além do mais, isso poderia ser interpretado como um novo financiamento, o que 
de fato é e assim, se poderia ter que calcular um novo IOF’T do IOFT via os mesmos f1 
e f2, (IOF’1 + IOF’2). Adicionando IOFT e IOF’T ao principal inicial, a Financeira iria 
passar a financiar o principal, os dois IOFs iniciais e os dois IOF’s dos IOFs iniciais. Isto 
faria com que o valor das prestações subisse mais um pouco, o mesmo acontecendo com 
a taxa de juro, pois agora se está financiando um principal maior ainda e se retirando o 
valor dos dois IOFs.
Felizmente, o bom senso prevaleceu e como vai ser visto à frente, a Receita 
Federal aquiesceu e passou a cobrar apenas um IOFT nesses financiamentos.
78
1.2.4. IOF1 na Tabela Price a partir de 2008
Uma empresa obteve financiamento de uma máquina no valor de R$ 100.000,00 
no dia 31/01/2008 através da Tabela Price (CDC) a juros mensais de 2,15%. Sabendo 
que o prazo total do financiamento é de um ano e que as prestações vencem no último 
dia de cada mês subseqüente, calcular: a) o valor PMT das prestações sem IOF; b) o 
valor do IOF1 e do seu fator f1 e do IOF2; c) o valor do IOFT relativo à soma dos valores 
dos dois IOFs (IOF1 + IOF2), o valor das novas prestações no caso de os IOFs serem 
financiados nas mesmas condições iniciais e da nova taxa de juro para o cliente, caso ele 
venha a pagar o IOFT que foi financiado no início, à vista; d) o valor das novas 
prestações com a inclusão do financiamento dos dois novos IOFT’s (IOF’1 + IOF’2) e da 
nova taxa de juro, com o cliente pagando também o IOF’T no início; e) o total de IOFT 
a ser recolhido à Receita, considerando a questão anterior. Vide Quadro 4.2 abaixo.
 Quadro 4.2 
a) Cálculo da Prestação sem usar o IOF (usando só HP – 12 C) 
12 n 100.000,00 CHS PV 2,15 i PMT _ visor = 9.543,28 reais
b) Cálculo do valor do IOF1 (usando o Quadro 4.2. acima), o seu fator f1 e o IOF2 
Principal = 100.000,00; Taxa mês = 2,15%; Prazo = 12 meses ; IOF = 0,0041% a.d. 
Calculando o IOF1
Usando amortização: 1ª prestação _ 7.393,28 x 29 x 0,000041 = 8,79
 2ª prestação _ 7.552,24 x 60 x 0,000041 = 18,58
 3ª prestação _ 7.714,61 x 90 x 0,000041 = 28,47
 
79
 etc
 IOF1 Total = 840,84
 ou
Saldo Devedor: 1ª prestação _ 100.000,00 x 29 x 0,000041 118,90
 2ª prestação _ 92.606,72 x 31 x 0,000041 117,70
 3ª prestação _ 83.934,31 x 30 x 0,000041 104,62
 etc
 IOF1 Total = 840,84
Obs – Reparar que, embora o IOF1 de cada prestação nos dois cálculos, tanto pela 
amortização quanto pelo saldo devedor, não seja igual, o total do IOF1 é.
 
IOF1 = 840,84 reais _ Fator do IOF1= f1 = 840,84/100.000,00 ð f1 = 0,840840%
Como o fator do IOF2 = f2 = 0,38% ð IOF2 = 0,0038 x 100.000,00 = 380,00 reais
c) Cálculo do IOFT = (IOF1 + IOF2), das novas prestações e da nova taxa de juro 
IOFT = 840,84 + 380,00ð IOFT = 1.220,84 reais
12 n 101.220,84 CHS PV 2,15 i PMT ð visor = 9.659,79 reais 
12 n 100.000,00 CHS PV 9.659,79 PMT i ð visor = 2,3490% a.m. 
d) Cálculo das novas PMTs e da nova taxa com o financiamento dos dois IOF’S: 
Novo Principal a ser financiado = 100.000,00 + 1.220,84 + 14,91 = 101.235,75
onde 14,91 = 0,840840% x 1.220,84 + 0,38 x 1.220,84 = 10,270 + 4,64 = 14,91 
12 n 101.235,75 CHS PV 2,15 i PMT _ visor = 9.661,22 reais 
 12 n 100.000,00 CHS PV 9.661,22 PMT i ð visor = 2,3514% a.m.
e) Cálculo do IOFTOTAL a ser recolhido à Receita Federal
IOF TOTAL = 1.220,84 + 10,27 + 4,64 ð IOFTOTAL = 1.235,75reais 
Obs – Se quiséssemos aplicar IOF sobre os IOF’s = 14,91, teríamos: IOF”s = 
0,840840% x 14,91 = 0,13 reais e 0,38% x 14,91 = 0,06 ou um total de 0,19 reais, uma 
quantia inexpressiva, porque o IOF vai se reduzindo com muita velocidade. Pode-se ver 
porque a Receita Federal não faz questão de que se prossiga nessa cobrança 
indefinidamente.
1.2.5. Cálculo do Número de Prestações na Tabela 
Price usando o Programa Atingir Metas do Excel
Um financiamento a juros efetivos de 2% ao mês foi quitado através de certo 
número de mensalidades postecipadas iguais – Tabela Price – de valor R$ 
4.243,17 cada uma. Sabendo-se que o total dos juros pagos no período de vigência 
do financiamento foi de R$ 1.215,84, determinar o número de prestações pagas.
80
Solução: Conforme se viu no exercício nº 12 da pag. 63 deste Capítulo, a calculadora 
HP – 12 C não está programada para fazer o cálculo específico de n (nº de prestações) 
de uma Renda quando este número for fracionário. Vamos mostrar um caminho do 
Excel com Atingir Metas, que resolve também este cálculo, se n for inteiro.
 Vide Quadro 4.1 dado anteriormente e depois o Quadro 4.2 à frente:
6 x 180.423,45 = 600.000,00 + 482.540,68
n x PMT = J + D ð n = J/PMT + D/PMT = J/PMT + (PMT x a n i)/PMT
n = J/PMT + a n i = J/PMT + ((1 + i)n − 1)/(i x (1+i)n)
 n = 1.215,84/4.243,17 + ((1,02)n −1)/(0,02 x (1,02)n) 
APLICAÇÃO - Usando o Programa de Atingir Metas do Excel se encontra ð n = 5 
 n − ((1,02)n − 1)/(0,02 x (1,02)n = 0,286540 (29)
 
Quadro 4.3
1.2.6. Sistema de Amortização Constante – SAC
Conceito
No SAC – Sistema de Amortização Constante, o mutuário paga a dívida 
contraída também por meio de prestações que englobam juro e amortização, como já foi 
afirmado anteriormente. Nesse caso, porém, o que é constante é a amortização do Saldo 
81
Devedor, como o próprio nome do sistema sugere. As prestações têm valor decrescente, 
uma vez que são o resultado da soma da parcela de juro decrescente, com a parcela 
constante de amortização.
Exemplo
Considerando os números do primeiro exemplo do Sistema Francês, montar a 
planilha teórica de financiamento (Fig. 4.4)
 220.000,00 200.000,00 180.000,00 160.000,00 140.000,00 120.000,00
 0 1 2 3 4 5 6
 600.000,00 
Fig. 4.4 
 
a) Cálculo do valor da parcela A de amortização:
A = D/n ∴ A = 600.000,00/6 ∴ A = R$ 100.000,00
Cálculo das Variáveis :
D1 = D0 – A ∴ D1 = 600.000,00 – 100.000,00 ∴ D1 = R$ 500.000,00
J1 = D0 x i ∴ J1 = 600.000,00 x 0,20 ∴ J1 = R$ 120.000,00
T1 = A + J1 ∴ T1 = 100.000,00 + 120.000,00 ∴ T1 = R$ 220.000,00 
e assim por diante se realiza toda a montagem da Planilha.
Montagem do Quadro Teórico de Financiamento
Quadro 4.4 
n A D J T
0 600.000,00
1 100.000,00 500.000,00 120.000,00 220.000,00
2 100.000,00 400.000,00 100.000,00 200.000,00
3 100.000,00 300.000,00 80.000,00 180.000,00
4 100.000,00 200.000,00 60.000,00 160.000,00
5 100.000,00 100.000,00 40.000,00 140.000,00
6 100.000,00 0,00 20.000,00 120.000,00
Totais 600.000,00 420.000,00 1.020.000,00
Equivalência do SAC com o SPC
Comparando o Quadro 4.4 do SAC com o Quadro 4.1 do Sistema Francês, se 
vê que no primeiro se paga menos juros que no segundo. Isso se deve única e 
exclusivamente ao fato de que, no SAC, se desembolsa mais dinheiro no pagamento das 
primeiras prestações do que no Sistema Francês e as primeiras prestações sendo 
82
maiores, significa maiores amortizações e no início dos pagamentos, o que é mais 
importante ainda. Se o mutuário possui recursos para desembolsar mais nas primeiras 
prestações, aparentemente ele irá pagar menos juro, inclusive se ele dispuser de todo o 
recurso de precisa, aos olhos de um leigo no assunto ele não vai pagar juro nenhum, se 
usar o seu disponível. Engano, é necessário se considerar o custo de oportunidade do 
capital em toda aplicação financeira, que nada mais é do que o montante que se perde ao 
fazer um investimento em detrimento de outro, ou seja, neste caso, não se fez o 
financiamento por nenhum Sistema, apenas lançou mão do que já possuía. Aparecendo 
novo investimento, o nosso capitalista estará impossibilitado de participar, pois já não 
possui mais a disponibilidade de antes, a menos que contraia uma dívida. 
Matematicamente, pode-se verificar que os dois sistemas são equivalentes, 
assim como qualquer sistema de pagamentos periódicos de prestações iguais ou 
não, desde que se trate de dívida com os mesmos valores, prazos, taxa de juros e 
que não haja CM ou outro instrumento que possa alterar o Saldo Devedor de 
maneira forçada. Para verificar essa verdade, basta aplicar a Equivalência de Capitais, 
vista anteriormente, aos dois sistemas e a quaisquer outros com as mesmas 
características, da seguinte forma: escolhe-se uma data de comparação absolutamente 
qualquer e se leva todos os fluxos e valores principais (dívidas) para esta época na 
mesma taxa, capitalizando ou descapitalizando conforme a posição de cada um no seu 
Fluxo de Caixa. Então se soma os valores do PRICE e também os valores do SAC. Uma 
soma será igual à outra, o que prova a equivalência entre os dois sistemas.
Aplicações Práticas do SAC
O SAC tem grande aplicação nos empréstimos de Longo Prazo tanto no Brasil 
quanto no exterior.
Os programas Finame e BNDES-Automático da Finame – Agência Especial 
de Financiamento Industrial, o órgão operacional do BNDES, também são baseados 
no SAC. Apenas porque são indexados à TJLP, a variação trimestral dessa taxa 
mascara a visualização do SAC. Porém, se os mencionados programas forem feitos da 
forma simplificada, em URTJLP, que inclusive é a maneira mais usada, ficará 
constatada com facilidade a presença marcante do SAC. Os programas da Finame, em 
volume e prazo, são os mais procurados pelos industriais e demais empresários do país.
Isso tudo sem falar nos programas de financiamento, com ou sem correção 
monetária, que fazem uso direto do SAC e que são utilizados por diversos órgãos 
financiadores.
Comparação entre o Sistema Francês e o SAC
Olhando os dois exercícios resolvidos logo à frente, mesmo sem desenvolver toda a 
planilha teórica dos financiamentos, podemos perceber, como foi falado, que no 
Sistema SAC se paga aparentemente menos juros, porque se amortiza o saldo 
devedor mais rapidamente através de prestações de maior valor do que no Francês: 
J48 = 2.340,00 reais → no SAC
83
Nos exercícios nos 1 e 2 resolvidos
à frente
J48 = 3.401,91 reais → no Francês
D47 = 130.000,00 reais → no SAC
D47 = 188.995,07 reais →no Francês
Isto acontece porque no SAC o mutuário começa pagando prestações de maior 
valor do que no Francês . Por exemplo, nos dois exercícios:
T1 = A + J1 = 20.800,00 reais → no SAC
T1 = T = 16.435,18 reais → no Francês
Ora, se no SAC as prestações iniciais são maiores do que no Sistema 
Francês (de valor constante), significa que lá se está amortizando mais e no 
princípio , quando o Saldo Devedor é maior; então é lógico que, aparentemente, se vai 
pagar menos juros com o decorrer das prestações, como já foi mostrado. Pagar maiores 
prestações é para quem possui maior disponibilidade de recursos naquele momento e 
isso depende do mutuário, é claro. Seja uma situação extrema, de o mutuário ter todo o 
dinheiro de que necessita. Nesse caso, ele não vai precisar fazer empréstimo nenhum e 
sim lançar mão das suas disponibilidades, portanto, aparentemente, não vai pagar 
juro. Ledo engano, porque, repetindo, existe o que se chama “custo de oportunidade”, 
que como se sabe, neste caso nada mais é do que, agindo assim, o mutuário em potencial 
também não vai poder aplicar aquele dinheiro em outro Ativo que possa lhe trazer 
maior valor ou rentabilidade, simplesmente porque ele já não existe mais. Assim, o 
capitalista deixa de ganhar juro, o que significa perder ou pagar um prêmio que poderia 
auferir, caso a aplicação dos recursos fosse utilizada de maneira diferente. Isso é o que 
se chama custo de oportunidade 12
A realidade matemática é essa. Tudo na vida tem um valor diferente, se olhado 
em épocas diferentes. Com o dinheiro essa verdade ainda é mais visível, pelo próprio 
princípio em que se baseia a Matemática Financeira: “todo Capital aplicado cresce com 
o tempo” ou “R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanhã”. 
1.2.7. Exercícios Resolvidos e Propostos
1. Um empréstimo de R$ 600.000,00 foi concedido para ser pago em 60 prestações 
mensais a juros de 1,80 % a.m. através do Sistema Francês. Calcular:
a) O valor de cada prestação
b) O saldo devedor após ter sido paga a 47ª prestação
c) As parcelas de juro e de amortização contidas na 48ª prestação
 a) Valor das prestações PMT
 PMT = PV/a n i → PMT = 600.000,00/a 60 1,80 → PMT = 600.000,00 x 0,027392 
PMT = 16.435,18 reais ou
 60 n 1,80 i 600.000,00 CHS PV PMT → visor = 16.435,17984
PMT = 16.435,18 reais
84
Nos exercícios nos. 1 e 2 resolvidos
à frente
12 PINDYCK Robert & RUBINFELD Daniel, na obra conjunta “MICROECONOMIA” – 5ª Edição – Pearson Education – 
Prentice Hall - 2002 , definem Custos de Oportunidade como sendo “Custos associados às oportunidades perdidas 
quando os recursos não são utilizados de forma a produzir o maior retorno possível”
b) Saldo Devedor D47
D47 = PV′ das 13 = (60 − 47) prestações que ainda não foram pagas
D47 = PMT . a 13 1,80 ∴
D47 = 16.435,18 x 11,499422 _ D47 = 188.995,07 reais ou
13 n 1,80 i 16.435,18 CHS PMT PV′ = D47 → visor = 188.995,0690
 
D47 = 188.995,07 reais
c) Cálculo do juro e da amortização contidos na prestação de ordem 48
T48 = T = J48 + A48 ∴ J48 = D47 . i ∴ J48 = 0,018 x 188.995,07 ∴
J48 = 3.401,91 reais
A48 = T − J48 ∴
A48 = 16.435,18 − 3.401,91 → A48 = 13.033,27 reais
2. Mesmo exercício anterior, mas com o empréstimo realizado através do SAC.
a) Cálculo da Amortização Constante A
A = A1 = A2 = ..................................= A30 = D0 / 60
A = 600.000,00 / 60 ð A = 10.000,00 reais
b) Cálculo do Saldo Devedor
D0 = 600.000,00 reais
 
D1 = D0 − (1 x A) = 600.000,00 − (1 x 10.000,00) = 590.000,00 reais
D2 = D0 − (2 x 10.000,00) = 600.000,00 − (2 x 10.000,00) = 580.000,00 reais
D3 = D0 − (3 x 10.000,00) = 600.000,00 − (3 x 10.000,00) = 570.000,00 reais
e assim por diante
Então se pode ver que o Saldo Devedor se comporta como uma Progressão 
Aritmética PA decrescente, de razão igual ao valor da Amortização, o primeiro 
termo igual ao empréstimo e o número de termos igual ao número de amortizações.
c) Cálculo dos Juros
J1 = i x D0 = 0,018 x 600.000,00 ∴ J1 = 10.800,00 reais
85
J2 = 0,018 x D1 = 0,018 (D0 − 1 x A) ∴
J2 = 0,018 (600.000,00 − 2 x 10.000,00) ∴
J2 = 0,018 x 580.000,00 ∴ J2 = 10.620,00 reais
J3 = 0,018 (600.000,00 − 2 x 10.000,00) ∴
J3 = 0,018 x 580.000,00 ∴ J3 = 10.440,00 reais
e assim sucessivamente
Por serem desta maneira, as parcelas de juro formam também uma PA 
decrescente, de razão igual ao produto da taxa de juros pelo valor da Amortização, o 
primeiro termo dado pelo produto da taxa de juros com o valor do empréstimo e o 
número de termos igual ao número de prestações. Assim o Termo Geral Jn toma a 
seguinte forma :
an = a1 + (n − 1) r → na PA , ou como a razão é negativa (PA decrescente): 
an = a1 + (1 − n) r → Jn = D0 . i + (1 − n) (A . i) 
 
Aplicação: calcular a parcela de juro da trigésima prestação do exercício :
J30 = 600.000,00 x 0,018 + (1 − 30) (10.000,00 x 0,018) ∴
J30 = 10.800,00 + (− 29) x 180 ∴
J30 = 5.580,00 reais
Querendo o juro contido na 60ª (última) prestação , tem-se :
J60 = 10.800,00 + (1 − 60) . 180,00 ∴
J60 = 10.800,00 − 10.620,00 ∴
J60 = 180,00 reais, isto é, o juro da última prestação é igual à razão da P.A.
 ou o produto da taxa de juros pelo valor da Amortização.
Voltando ao problema:
a) A prestação Tn sendo a soma da parcela de Amortização (constante) com a 
de juro (decrescente em PA) só pode ser também uma PA decrescente e de mesma 
razão que a do juro e com o número de termos igual ao número de prestações. 
T1 = A + J1
T1 = 10.000,00 + 10.800,00 ∴ T1 = 20.800,00 reais etc.
b) Cálculo do D47
D47 = 600.000,00 − (47 x 10.000,00) ∴
D47 = 600.000,00 − 470.000,00 ∴ D47 = 130.000,00 reais 
86
c) Cálculo da Amortização e do juro da 48ª prestação
A48 = A = 10.000,00 reais 
J48 = 10.800,00 + (1 − 48) .180 ∴
J48 = 10.800,00 − 8.460,00 ∴ 
J48 = 2.340,00 reais
Querendo saber: T48 = 12.340,00 pois T48 = A48 + J48 = 10.000,00 + 2.340,00
3. Um apartamento de valor R$ 500.000,00 está sendo negociado com entrada de 16% 
e o Saldo Devedor financiado em 10 anos através de prestações mensais a juros 
de 1% a.m. Em que momento do financiamento os valores das prestações seriam 
iguais, se fizéssemos os cálculos pelo SAC e pela Tabela Price ?
 Resp. n = 48,834857 meses → um pouco antes da 49ª prestação
4. Uma Dívida foi contraída devendo ser paga em 6 prestações anuais e a juros 
efetivos de 48 % a.a. através do Sistema Francês de Amortização . Quando o 
Saldo Devedor será igual à metade da Dívida ?
Resp. k = 4,46 anos ou aproximadamente no fim do 1º semestre após a 
4ª prestação .
1.2.8. Sistema de Amortização Crescente – SACRE
Conceito
O SACRE é um sistema de amortização de empréstimos de longo prazo criado 
pela Caixa Econômica Federal em 1998, para ser usado com juros e correção monetária 
das TR – Taxa Referencial, introduzindo o recálculo periódico das prestações mensais, 
que permanecem fixas por um período maior que o mês. Este recálculo é para evitar que 
a população, não sofrendo altos reajustes reais nas suas mensalidades, porém, com 
aumentos significativos segundo a inflação sobre os Saldos Devedores, os tornassem 
impossíveis de pagamento, como aconteceu na década de 80 e viessem a criar o sério 
problema do FCVS – Fundo das Compensaçãodas Variações Salariais, que até os dias 
de hoje ainda preocupam o país. 
 A verdade é que não se pode pretender pagar uma dívida com o Saldo Devedor 
corrigido mensalmente pela CM integral e as prestações, mesmo que também mensais, 
mas sem correção ou com correção menor. No fim, o sistema de financiamento não 
fecha, como não fechou no passado, embora naquela época todas as prestações 
estivessem pagas, o mutuário ainda continuava com um enorme Saldo Devedor a 
pagar. Estava criado o FCVS, gerando um passivo a descoberto de grandes proporções 
que o governo federal teve que assumir para liberar os mutuários, pois foi ele o maior 
culpado no processo. A assunção foi através da CEF que só não quebrou porque era 
órgão estatal federal, mas ficou sem poder fechar balanço durante três anos 
consecutivos, por se encontrar com as reservas em vermelho: 1994,1995 e 1996. 
87
O SACRE é hoje o sistema mais usado para o financiamento de Longo Prazo na 
aquisição da casa própria, dadas as suas vantagens, mais psicológicas que materiais, 
como será visto a seguir, exatamente da forma usada pela CEF através de um exemplo 
idealizado no sistema SACRE em comparação com o mais antigo e até então o mais 
usado – Sistema Price – para efeito de “marketing” do SACRE. 
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO C/ CM 
2.1. Esclarecimentos Iniciais sobre o SACRE
Desde o ano de 1998 a Caixa Econômica Federal – CEF vem oferecendo 
um novo tipo de financiamento para aquisição da casa própria com a sigla SACRE – 
Sistema de Amortização Crescente. Trata-se de um Sistema de Amortização de Longo 
Prazo diferente de todos os outros conhecidos e foi criado e desenvolvido pela Caixa 
Econômica Federal no intuito de proporcionar ao mutuário, aparentemente, condição de 
pagar menos juros do que nos outros sistemas, pois no SACRE as prestações são 
proporcionalmente maiores no início do Programa como se vai ver, constituindo-se 
numa sofisticação do já conhecido SAC.
O sistema tem sido usado com a CM mensal da TR acoplada a uma taxa de 
juro nominal não superior a 12 % a.a. e as prestações mensais são constantes dentro de 
um período de tempo pré-estipulado, período esse que pode ser, trimestral, 
quadrimestral, semestral ou anual, desde que seja o mesmo para cada programa 
contratado. Findo cada período de tempo pré-estipulado, é feito o chamado recálculo e o 
valor das novas prestações para o período seguinte são determinadas. No SACRE, o 
cálculo das prestações do primeiro período obedece a um critério diferente em relação 
aos outros períodos: o candidato ao financiamento, quando entrega os documentos 
exigidos, opta por um % (máximo de 30%) sobre a renda líquida familiar consolidada, 
o que fornece o valor máximo das suas prestações, até o primeiro recálculo.
Transcorrido o primeiro período procede-se ao primeiro recálculo: o Saldo 
Devedor, ainda sem a CM, é dividido pelo número de amortizações que faltam (igual 
no SAC) encontrando-se a parcela de amortização auxiliar para composição da nova 
prestação e que não vai ser a parcela real de amortização desta nova prestação, como se 
vai ver ; ainda sobre o Saldo Devedor Simples, sem a CM, aplica-se a taxa mensal 
de juro (proporcional à taxa anual, posto que ela é nominal) obtendo-se a parcela de 
juro também auxiliar e que não vai ser a parcela real de juros da nova prestação. 
Somando-se as duas parcelas auxiliares obtém-se o valor das prestações relativas ao 
novo período, após o primeiro recálculo. 
Qual é realmente a função do recálculo ? Qual a sua importância ? O recálculo é 
fundamental para se poder corrigir apenas o Saldo Devedor mensalmente, enquanto as 
prestações o são por um período maior do que um único mês (3, 4, 6 ou 12), a fim 
de dar ao mutuário condições de melhor ajustar o seu fluxo de pagamentos aos seus 
recebimentos e o programa não deixar resíduos significativos no saldo devedor ao final 
do contrato. Como já falado, esse problema sério dos resíduos aconteceu há poucos anos 
com outros programas de financiamento e que deram origem ao malfadado FCVS – 
Fundo de Compensação das Variações Salariais, no governo José Sarney. 
Seja anual o período de recálculo do exemplo que vem a seguir. A parcela real de 
juro contida na primeira das doze prestações é o resultado da aplicação da taxa mensal 
88
sobre o saldo devedor, agora já corrigido pela TR; a diferença entre esta parcela real de 
juro e a prestação é a parcela de amortização real desta nova prestação e é levada para 
amortizar parte do saldo devedor, já corrigido anteriormente, de onde resulta o novo 
Saldo Devedor Simples do mês em curso, portanto sem correção ainda. Daí, se corrige 
esse novo Saldo Devedor Simples e para a frente tudo se repete exatamente da mesma 
maneira, até se chegar ao novo recálculo, 12 meses à frente. 
O desenvolvimento do cálculo dos Juros, Amortizações, Saldo Devedor Simples 
e Corrigido mostrado no parágrafo anterior, é universal, isto é, se aplica a qualquer 
sistema de pagamentos periódicos que tenha correção monetária ou não. 
Como as doze prestações de cada intervalo anual são constantes e no princípio do 
financiamento o Saldo Devedor é maior e ainda corrigido mensalmente, o que acontece 
é que no início as amortizações podem ser até decrescentes, o que aliás ocorre com o 
exemplo da planilha de cálculo a ser apresentada no fim deste subitem. Com as parcelas 
de juro se passa exatamente o inverso, ou seja, elas serão crescentes enquanto as parcelas 
de amortização forem decrescentes. No terceiro período anual do nosso exemplo, as 
parcelas de amortização passam a assumir valores crescentes e, ato contínuo, as parcelas 
de juro passam a decrescentes e dessa forma se prossegue até o fim com as parcelas de 
amortização cada vez maiores e as de juro menores. 
O valor das prestações também cresce, porém suavemente e até um certo 
momento – no nosso exemplo até o 12º período anual – a partir do qual o valor começa 
a diminuir. Através do exemplo da planilha de cálculo a ser vista logo à frente, vai ser 
possível se entender melhor o funcionamento deste Sistema de Amortização através de 
prestações, que tal como já foi dito, obedece como todos os outros às duas premissas 
mencionadas no início do Sistema Francês de Amortização, sob o título de Duas 
Observações Importantes.
 É apresentado a seguir, a título de comparação como faz a CEF, o mesmo 
exemplo usando a Tabela Price e com os dois sistemas trabalhando com as mesmas 
variáveis, obviamente. A diferença entre os dois está no cálculo das prestações e nos 
recálculos posteriores pois, na sua essência, os dois sistemas são diferentes, embora 
equivalentes. No SACRE se usa o Sistema de Amortizações Constantes – SAC para 
a formação das prestações a partir do primeiro recálculo, passado o primeiro ano. Na 
Tabela Price o cálculo das prestações é feito pela teoria do Sistema Francês de 
Amortização – SPC como foi visto na parte anterior deste Capítulo 4, utilizando-se da 
HP – 12C ou do EXCEL como foi realizado no exemplo, tanto para as prestações do 
primeiro período como para as dos períodos seguintes, apenas mudando a cada recálculo 
o número de prestações ainda restantes. 
2.2. SACRE – Desenvolvimento Simulado da CEF
 PREMISSAS: TR = 0,6000 % a.m. em toda a operação
 Taxa de Juros (nominal) = 10,50 % anual = 0,875 % a.m. 
 Prazo da operação = 180 meses
 Renda do mutuário = R$ 2.384,26
89
 Comprometimento máximo da Renda Inicial = 30 %
Cálculo do Valor das Prestações 
I - Cálculo das 12 primeiras (da 1ª a 12ª) = T1
T1 = 30 % s/ 2.384,26 = R$ 715,28
II − Cálculo das 12 segundas (da 13ª a 24ª) = T2
T2 = A2 + J2 = 50.323,65 / 168 + 50.323,65 x 0,00875 = 299,55 + 440,33 = R$ 739,88
III − Cálculo das12 seguintes (da 25ª a 36ª) = T3
T3 = A3 + J3 = 50.389,31 / 156 + 50.389,31 x 0,00875 = 323,01 + 440,91 = R$ 763,91
etc.
Quadro 4.5 Evolução do Sistema Sacre
Nota: A partir do segundo recálculo lança-se mão de amortizações e juros 
auxiliares para se obter o valor das 12 prestações que vão vigorar no período anual 
seguinte.
Prestação T J A DS DC
0,00875
1,0060
0 50.000,00 50.300,00 
1 715,28 440,13 275,15 50.024,85 50.325,00 T1=30% x 2.384,26
2 715,28 440,34 274,93 50.050,06 50.350,36 
3 715,28 440,57 274,71 50.075,65 50.376,10 
4 715,28 440,79 274,49 50.101,62 50.402,23 
5 715,28 441,02 274,26 50.127,97 50.428,74 
6 715,28 441,25 274,03 50.154,71 50.455,64 
7 715,28 441,49 273,79 50.181,85 50.482,94 
8 715,28 441,73 273,55 50.209,38 50.510,64 
9 715,28 441,97 273,31 50.237,33 50.538,76 
10 715,28 442,21 273,06 50.265,69 50.567,29 
11 715,28 442,46 272,81 50.294,47 50.596,24 
12 715,28 442,72 272,56 50.323,68 50.625,62 
13 739,88 442,97 296,90 50.328,72 50.630,69 299,55 440,33
14 739,88 443,02 296,86 50.333,83 50.635,83 
15 739,88 443,06 296,81 50.339,02 50.641,05 
16 739,88 443,11 296,77 50.344,28 50.646,35 
17 739,88 443,16 296,72 50.349,63 50.651,72 
18 739,88 443,20 296,68 50.355,05 50.657,18 
19 739,88 443,25 296,63 50.360,55 50.662,71 
20 739,88 443,30 296,58 50.366,14 50.668,33 
21 739,88 443,35 296,53 50.371,80 50.674,03 
22 739,88 443,40 296,48 50.377,55 50.679,82 
23 739,88 443,45 296,43 50.383,39 50.685,69 
24 739,88 443,50 296,38 50.389,31 50.691,65 
25 763,91 443,55 320,36 50.371,28 50.673,51 323,01 440,91
90
26 763,91 443,39 320,52 50.352,99 50.655,11 
27 763,91 443,23 320,68 50.334,43 50.636,43 
28 763,91 443,07 320,85 50.315,59 50.617,48 
29 763,91 442,90 321,01 50.296,47 50.598,25 
30 763,91 442,73 321,18 50.277,07 50.578,73 
31 763,91 442,56 321,35 50.257,38 50.558,92 
32 763,91 442,39 321,52 50.237,40 50.538,82 
33 763,91 442,21 321,70 50.217,12 50.518,42 
34 763,91 442,04 321,88 50.196,55 50.497,72 
35 763,91 441,86 322,06 50.175,66 50.476,72 
36 763,91 441,67 322,24 50.154,48 50.455,40 
37 787,15 441,48 345,66 50.109,74 50.410,40 348,29 438,85
38 787,15 441,09 346,06 50.064,34 50.364,73 
39 787,15 440,69 346,46 50.018,27 50.318,38 
40 787,15 440,29 346,86 49.971,52 50.271,35 
41 787,15 439,87 347,27 49.924,08 50.223,62 
42 787,15 439,46 347,69 49.875,93 50.175,19 
43 787,15 439,03 348,11 49.827,08 50.126,04 
44 787,15 438,60 348,54 49.777,49 50.076,16 
45 787,15 438,17 348,98 49.727,18 50.025,54 
46 787,15 437,72 349,42 49.676,12 49.974,18 
47 787,15 437,27 349,87 49.624,30 49.922,05 
48 787,15 436,82 350,33 49.571,72 49.869,15 
49 809,30 436,36 372,94 49.496,21 49.793,19 375,54 433,75
50 809,30 435,69 373,61 49.419,58 49.716,10 
51 809,30 435,02 374,28 49.341,82 49.637,87 
52 809,30 434,33 374,96 49.262,91 49.558,48 
53 809,30 433,64 375,66 49.182,82 49.477,92 
54 809,30 432,93 376,36 49.101,56 49.396,17 
55 809,30 432,22 377,08 49.019,09 49.313,20 
56 809,30 431,49 377,81 48.935,40 49.229,01 
57 809,30 430,75 378,54 48.850,47 49.143,57 
58 809,30 430,01 379,29 48.764,28 49.056,87 
59 809,30 429,25 380,05 48.676,82 48.968,88 
60 809,30 428,48 380,82 48.588,06 48.879,59 
61 830,05 427,70 402,35 48.477,24 48.768,10 404,90 425,15
62 830,05 426,72 403,33 48.364,78 48.654,97 
63 830,05 425,73 404,32 48.250,65 48.540,15 
64 830,05 424,73 405,32 48.134,83 48.423,64 
65 830,05 423,71 406,34 48.017,30 48.305,41 
66 830,05 422,67 407,37 47.898,03 48.185,42 
67 830,05 421,62 408,42 47.777,00 48.063,66 
68 830,05 420,56 409,49 47.654,17 47.940,10 
69 830,05 419,48 410,57 47.529,53 47.814,70 
70 830,05 418,38 411,67 47.403,04 47.687,45 
71 830,05 417,27 412,78 47.274,67 47.558,32 
72 830,05 416,14 413,91 47.144,41 47.427,28 
73 849,04 414,99 434,05 46.993,23 47.275,19 436,52 412,51
74 849,04 413,66 435,38 46.839,81 47.120,85 
75 849,04 412,31 436,73 46.684,12 46.964,23 
76 849,04 410,94 438,10 46.526,13 46.805,28 
77 849,04 409,55 439,49 46.365,80 46.643,99 
78 849,04 408,13 440,90 46.203,09 46.480,31 
79 849,04 406,70 442,33 46.037,97 46.314,20 
80 849,04 405,25 443,79 45.870,42 46.145,64 
91
81 849,04 403,77 445,26 45.700,38 45.974,58 
82 849,04 402,28 446,76 45.527,82 45.800,99 
83 849,04 400,76 448,28 45.352,71 45.624,83 
84 849,04 399,22 449,82 45.175,01 45.446,06 
85 865,85 397,65 468,20 44.977,86 45.247,72 470,57 395,28
86 865,85 395,92 469,94 44.777,79 45.046,45 
87 865,85 394,16 471,70 44.574,76 44.842,20 
88 865,85 392,37 473,49 44.368,72 44.634,93 
89 865,85 390,56 475,30 44.159,63 44.424,59 
90 865,85 388,72 477,14 43.947,45 44.211,14 
91 865,85 386,85 479,01 43.732,13 43.994,52 
92 865,85 384,95 480,90 43.513,62 43.774,70 
93 865,85 383,03 482,83 43.291,88 43.551,63 
94 865,85 381,08 484,78 43.066,85 43.325,25 
95 865,85 379,10 486,76 42.838,49 43.095,52 
96 865,85 377,09 488,77 42.606,75 42.862,40 
97 880,03 375,05 504,99 42.357,41 42.611,55 507,22 372,81
98 880,03 372,85 507,18 42.104,37 42.357,00 
99 880,03 370,62 509,41 41.847,59 42.098,68 
100 880,03 368,36 511,67 41.587,01 41.836,53 
101 880,03 366,07 513,96 41.322,57 41.570,50 
102 880,03 363,74 516,29 41.054,21 41.300,54 
103 880,03 361,38 518,65 40.781,88 41.026,57 
104 880,03 358,98 521,05 40.505,52 40.748,56 
105 880,03 356,55 523,48 40.225,07 40.466,43 
106 880,03 354,08 525,95 39.940,47 40.180,12 
107 880,03 351,58 528,46 39.651,66 39.889,57 
108 880,03 349,03 531,00 39.358,57 39.594,72 
109 891,03 346,45 544,58 39.050,14 39.284,44 546,65 344,39
110 891,03 343,74 547,30 38.737,15 38.969,57 
111 891,03 340,98 550,05 38.419,52 38.650,04 
112 891,03 338,19 552,85 38.097,19 38.325,77 
113 891,03 335,35 555,68 37.770,09 37.996,71 
114 891,03 332,47 558,56 37.438,15 37.662,78 
115 891,03 329,55 561,49 37.101,29 37.323,90 
116 891,03 326,58 564,45 36.759,45 36.980,01 
117 891,03 323,58 567,46 36.412,55 36.631,02 
118 891,03 320,52 570,51 36.060,51 36.276,87 
119 891,03 317,42 573,61 35.703,26 35.917,48 
120 891,03 314,28 576,76 35.340,72 35.552,77 
121 898,24 311,09 587,16 34.965,61 35.175,41 589,01 309,23
122 898,24 307,78 590,46 34.584,95 34.792,46 
123 898,24 304,43 593,81 34.198,65 34.403,84 
124 898,24 301,03 597,21 33.806,63 34.009,47 
125 898,24 297,58 600,66 33.408,81 33.609,26 
126 898,24 294,08 604,16 33.005,10 33.203,13 
127 898,24 290,53 607,72 32.595,41 32.790,99 
128 898,24 286,92 611,32 32.179,66 32.372,74 
129 898,24 283,26 614,98 31.757,76 31.948,31 
130 898,24 279,55 618,70 31.329,61 31.517,59 
131 898,24 275,78 622,46 30.895,12 31.080,49 
132 898,24 271,95 626,29 30.454,21 30.636,93 
133 900,94 268,07 632,86 30.004,07 30.184,09 634,46 266,47
134 900,94 264,11 636,83 29.547,2629.724,55 
135 900,94 260,09 640,85 29.083,70 29.258,20 
92
136 900,94 256,01 644,93 28.613,28 28.784,96 
137 900,94 251,87 649,07 28.135,89 28.304,70 
138 900,94 247,67 653,27 27.651,43 27.817,34 
139 900,94 243,40 657,54 27.159,81 27.322,76 
140 900,94 239,07 661,86 26.660,90 26.820,87 
141 900,94 234,68 666,25 26.154,61 26.311,54 
142 900,94 230,23 670,71 25.640,83 25.794,67 
143 900,94 225,70 675,23 25.119,44 25.270,16 
144 900,94 221,11 679,82 24.590,33 24.737,88 
145 898,23 216,46 681,77 24.056,10 24.200,44 683,06 215,17
146 898,23 211,75 686,48 23.513,96 23.655,05 
147 898,23 206,98 691,25 22.963,80 23.101,58 
148 898,23 202,14 696,09 22.405,49 22.539,92 
149 898,23 197,22 701,01 21.838,92 21.969,95 
150 898,23 192,24 705,99 21.263,96 21.391,54 
151 898,23 187,18 711,05 20.680,49 20.804,57 
152 898,23 182,04 716,19 20.088,38 20.208,91 
153 898,23 176,83 721,40 19.487,51 19.604,43 
154 898,23 171,54 726,69 18.877,74 18.991,01 
155 898,23 166,17 732,06 18.258,95 18.368,50 
156 898,23 160,72 737,51 17.631,00 17.736,78 
157 888,90 155,20 733,70 17.003,08 17.105,10 734,62 154,27
158 888,90 149,67 739,23 16.365,87 16.464,07 
159 888,90 144,06 744,84 15.719,23 15.813,55 
160 888,90 138,37 750,53 15.063,02 15.153,40 
161 888,90 132,59 756,30 14.397,10 14.483,48 
162 888,90 126,73 762,17 13.721,31 13.803,64 
163 888,90 120,78 768,11 13.035,53 13.113,74 
164 888,90 114,75 774,15 12.339,59 12.413,63 
165 888,90 108,62 780,28 11.633,35 11.703,15 
166 888,90 102,40 786,49 10.916,66 10.982,16 
167 888,90 96,09 792,80 10.189,35 10.250,49 
168 888,90 89,69 799,20 9.451,29 9.507,99 
169 870,31 83,19 787,11 8.720,88 8.773,21 787,61 82,70
170 870,31 76,77 793,54 7.979,67 8.027,55 
171 870,31 70,24 800,06 7.227,48 7.270,85 
172 870,31 63,62 806,69 6.464,16 6.502,94 
173 870,31 56,90 813,41 5.689,54 5.723,68 
174 870,31 50,08 820,22 4.903,45 4.932,87 
175 870,31 43,16 827,14 4.105,73 4.130,37 
176 870,31 36,14 834,17 3.296,20 3.315,98 
177 870,31 29,01 841,29 2.474,69 2.489,53 
178 870,31 21,78 848,52 1.641,01 1.650,86 
179 870,31 14,45 855,86 795,00 799,77 
180 870,31 7,00 863,31 (63,54)
2.3. Tabela PRICE – Desenvolvimento Simulado
 PREMISSAS: Financiamento no valor de R$ 50.000,00
TR = 0,6000 % em toda a operação
93
Taxa de Juros = 10,50 % a.a. = 0,875 % a.m.
Prazo da operação = 180 meses
 
Renda do mutuário = R$ 2.210,80 por mês
Cálculo do Valor das Prestações 
I − Cálculo das 12 primeiras (da 1ª a 12ª) = T1
T1 = 50.000,00 x a 180 0,875 = 50.000,00 x 0,11054 = 552.699,462 ∴ T1 = R$ 552,70
II − Cálculo das 12 seguintes (da 13ª a 25ª) = T2
T2 = 52.441,56 x a 168 0,875 = 52.441,56 x 0,011384 = 597,012554 ∴ T2 = R$ 597,01
Quadro 4.6. Evolução do Sistema Price
Prestação T J A DS DC
0,00875
1,006
0 50.000,00 50.300,00
1 552,70 440,13 112,57 50.187,43 50.488,55 T1 = 50.000,00/a 180 0,875
2 552,70 441,77 110,92 50.377,63 50.679,89
3 552,70 443,45 109,25 50.570,64 50.874,06
4 552,70 445,15 107,55 50.766,51 51.071,11
5 552,70 446,87 105,83 50.965,29 51.271,08
6 552,70 448,62 104,08 51.167,00 51.474,00
7 552,70 450,40 102,30 51.371,70 51.679,93
8 552,70 452,20 100,50 51.579,43 51.888,91
9 552,70 454,03 98,67 51.790,23 52.100,98
10 552,70 455,88 96,82 52.004,16 52.316,18
11 552,70 457,77 94,93 52.221,25 52.534,58
12 552,70 459,68 93,02 52.441,56 52.756,21
13 597,01 461,62 135,40 52.620,81 52.936,54 T2 = 52.441,56/a 168 0,875
14 597,01 463,19 133,82 52.802,72 53.119,53
15 597,01 464,80 132,22 52.987,32 53.305,24
16 597,01 466,42 130,59 53.174,65 53.493,70
17 597,01 468,07 128,94 53.364,76 53.684,94
18 597,01 469,74 127,27 53.557,67 53.879,02
19 597,01 471,44 125,57 53.753,45 54.075,97
20 597,01 473,16 123,85 53.952,12 54.275,84
21 597,01 474,91 122,10 54.153,74 54.478,66
22 597,01 476,69 120,32 54.358,33 54.684,48
23 597,01 478,49 118,52 54.565,96 54.893,36
24 597,01 480,32 116,70 54.776,66 55.105,32
25 645,00 482,17 162,82 54.942,50 55.272,15 T3 = 54.776,66/a 156 0,875
26 645,00 483,63 161,36 55.110,79 55.441,45
27 645,00 485,11 159,88 55.281,57 55.613,26
28 645,00 486,62 158,38 55.454,88 55.787,61
29 645,00 488,14 156,85 55.630,75 55.964,54
94
30 645,00 489,69 155,31 55.809,23 56.144,08
31 645,00 491,26 153,74 55.990,35 56.326,29
32 645,00 492,86 152,14 56.174,15 56.511,19
33 645,00 494,47 150,52 56.360,67 56.698,84
34 645,00 496,11 148,88 56.549,95 56.889,25
35 645,00 497,78 147,22 56.742,04 57.082,49
36 645,00 499,47 145,52 56.936,97 57.278,59
37 696,99 501,19 195,80 57.082,79 57.425,28 etc.
38 696,99 502,47 194,52 57.230,77 57.574,15
39 696,99 503,77 193,21 57.380,94 57.725,22
40 696,99 505,10 191,89 57.533,33 57.878,53
41 696,99 506,44 190,55 57.687,98 58.034,11
42 696,99 507,80 189,19 57.844,92 58.191,98
43 696,99 509,18 187,81 58.004,18 58.352,20
44 696,99 510,58 186,41 58.165,79 58.514,79
45 696,99 512,00 184,98 58.329,80 58.679,78
46 696,99 513,45 183,54 58.496,24 58.847,22
47 696,99 514,91 182,08 58.665,15 59.017,14
48 696,99 516,40 180,59 58.836,55 59.189,57
49 753,37 517,91 235,46 58.954,10 59307,83
50 753,37 518,94 234,43 59.073,40 59.427,84
51 753,37 519,99 233,38 59.194,47 59.549,63
52 753,37 521,06 232,31 59.317,32 59.673,23
53 753,37 522,14 231,23 59.442,00 59.798,65
54 753,37 523,24 230,13 59.568,52 59.925,93
55 753,37 524,35 229,02 59.696,91 60.055,09
56 753,37 525,48 227,89 59.827,20 60.186,16
57 753,37 526,63 226,74 59.959,42 60.319,18
58 753,37 527,79 225,58 60.093,60 60.454,16
59 753,37 528,97 224,40 60.229,77 60.591,15
60 753,37 530,17 223,20 60.367,95 60.730,16
61 814,57 531,39 283,19 60.446,97 60.809,65
62 814,57 532,08 282,49 60.527,16 60.890,32
63 814,57 532,79 281,78 60.608,54 60.972,19
64 814,57 533,51 281,07 60.691,12 61.055,27
65 814,57 534,23 280,34 60.774,93 61.139,58
66 814,57 534,97 279,60 60.859,97 61.225,13
67 814,57 535,72 278,86 60.946,28 61.311,96
68 814,57 536,48 278,10 61.033,86 61.400,06
69 814,57 537,25 277,32 61.122,74 61.489,48
70 814,57 538,03 276,54 61.212,93 61.580,21
71 814,57 538,83 275,75 61.304,46 61.672,29
72 814,57 539,63 274,94 61.397,35 61.765,73
73 881,10 540,45 340,65 61.425,08 61.793,63
74 881,10 540,69 340,41 61.453,22 61.821,94
75 881,10 540,94 340,16 61.481,77 61.850,66
76 881,10 541,19 339,91 61.510,75 61.879,82
77 881,10 541,45 339,66 61.540,16 61.909,40
78 881,10 541,71 339,40 61.570,00 61.939,42
79 881,10 541,97 339,13 61.600,29 61.969,89
80 881,10 542,24 338,87 61.631,02 62.000,81
81 881,10 542,51 338,60 61.662,21 62.032,18
82 881,10 542,78 338,32 61.693,86 62.064,02
83 881,10 543,06 338,04 61.725,98 62.096,34
84 881,10 543,34 337,76 61.758,57 62.129,12
95
85 953,55 543,63 409,92 61.719,20 62.089,52
86 953,55 543,28 410,27 61.679,25 62.049,32
87 953,55 542,93 410,62 61.638,70 62.008,53
88 953,55 542,57 410,98 61.597,55 61.967,14
89 953,55 542,21 411,34 61.555,80 61.925,13
90 953,55 541,84 411,71 61.513,42 61.882,50
91 953,55 541,47 412,08 61.470,42 61.839,25
92 953,55 541,09 412,46 61.426,79 61.795,35
93 953,55 540,71 412,84 61.382,50 61.750,80
94 953,55 540,32 413,23 61.337,56 61.705,59
95 953,55 539,92 413,63 61.291,96 61.659,71
96 953,55 539,52 414,03 61.245,68 61.613,15
97 1.032,64 539,12 493,53 61.119,63 61.486,34
98 1.032,64 538,01 494,64 60.991,71 61.357,66
99 1.032,64 536,88 495,76 60.861,89 61.227,06
100 1.032,64 535,74 496,91 60.730,16 61.094,54
101 1.032,64 534,58 498,07 60.596,47 60.960,05
102 1.032,64 533,4 499,24 60.460,81 60.823,57
103 1.032,64 532,21 500,44 60.323,14 60.685,07
1041.032,64 530,99 501,65 60.183,43 60.544,53
105 1.032,64 529,76 502,88 60.041,65 60.401,90
106 1.032,64 528,52 504,13 59.897,77 60.257,16
107 1.032,64 527,25 505,39 59.751,76 60.110,27
108 1.032,64 525,96 506,68 59.603,60 59.961,22
109 1.119,29 524,66 594,63 59.366,58 59.722,78
110 1.119,29 522,57 596,72 59.126,06 59.480,82
111 1.119,29 520,46 598,84 58.881,98 59.235,28
112 1.119,29 518,31 600,99 58.634,29 58.986,10
113 1.119,29 516,13 603,17 58.382,93 58.733,23
114 1.119,29 513,92 605,38 58.127,85 58.476,62
115 1.119,29 511,67 607,62 57.868,99 58.216,21
116 1.119,29 509,39 609,90 57.606,30 57.951,94
117 1.119,29 507,08 612,21 57.339,73 57.683,76
118 1.119,29 504,73 614,56 57.069,20 57.411,62
119 1.119,29 502,35 616,94 56.794,68 57.135,44
120 1.119,29 499,94 619,36 56.516,09 56.855,18
121 1.214,75 497,48 717,27 56.137,91 56.474,74
122 1.214,75 494,15 720,60 55.754,14 56.088,67
123 1.214,75 490,78 723,98 55.364,69 55.696,88
124 1.214,75 487,35 727,40 54.969,48 55.299,29
125 1.214,75 483,87 730,88 54.568,41 54.895,82
126 1.214,75 480,34 734,41 54.161,41 54.486,38
127 1.214,75 476,76 738,00 53.748,38 54.070,87
128 1.214,75 473,12 741,63 53.329,24 53.649,22
129 1.214,75 469,43 745,32 52.903,90 53.221,32
130 1.214,75 465,69 749,06 52.472,26 52.787,09
131 1.214,75 461,89 752,86 52.034,23 52.346,43
132 1.214,75 458,03 756,72 51.589,71 51.899,25
133 1.320,87 454,12 866,75 51.032,50 51.338,69
134 1.320,87 449,21 871,66 50.467,03 50.769,83
135 1.320,87 444,24 876,64 49.893,20 50.192,56
136 1.320,87 439,18 881,69 49.310,87 49.606,74
137 1.320,87 434,06 886,81 48.719,92 49.012,24
138 1.320,87 428,86 892,01 48.120,23 48.408,95
139 1.320,87 423,58 897,29 47.511,65 47.796,72
96
140 1.320,87 418,22 902,65 46.894,07 47.175,44
141 1.320,87 412,79 908,09 46.267,35 46.544,96
142 1.320,87 407,27 913,60 45.631,35 45.905,14
143 1.320,87 401,67 919,20 44.985,94 45.255,85
144 1.320,87 395,99 924,88 44.330,97 44.596,96
145 1.440,86 390,22 1.050,64 43.546,32 43.807,59
146 1.440,86 383,32 1.057,55 42.750,04 43.006,54
147 1.440,86 376,31 1.064,56 41.941,99 42.193,64
148 1.440,86 369,19 1.071,67 41.121,97 41.368,70
149 1.440,86 361,98 1.078,89 40.289,81 40.531,55
150 1.440,86 354,65 1.086,21 39.445,34 39.682,01
151 1.440,86 347,22 1.093,65 38.588,36 38.819,89
152 1.440,86 339,67 1.101,19 37.718,70 37.945,01
153 1.440,86 332,02 1.108,85 36.836,17 37.057,18
154 1.440,86 324,25 1.116,61 35.940,57 36.156,21
155 1.440,86 316,37 1.124,50 35.031,72 35.241,91
156 1.440,86 308,37 1.132,50 34.109,41 34.314,06
157 1.581,86 300,25 1.281,61 33.032,45 33.230,65
158 1.581,86 290,77 1.291,09 31.939,56 32.131,19
159 1.581,86 281,15 1.300,71 30.830,48 31.015,46
160 1.581,86 271,39 1.310,47 29.704,99 29.883,22
161 1.581,86 261,48 1.320,38 28.562,84 28.734,22
162 1.581,86 251,42 1.330,44 27.403,78 27.568,20
163 1.581,86 241,22 1.340,64 26.227,57 26.384,93
164 1.581,86 230,87 1.350,99 25.033,94 25.184,14
165 1.581,86 220,36 1.361,50 23.822,65 23.965,58
166 1.581,86 209,70 1.372,16 22.593,42 22.728,98
167 1.581,86 198,88 1.382,98 21.346,00 21.474,08
168 1.581,86 187,90 1.393,96 20.080,12 20.200,60
169 1.770,03 176,76 1.593,28 18.607,32 18.718,96
170 1.770,03 163,79 1.606,24 17.112,72 17.215,39
171 1.770,03 150,63 1.619,40 15.595,99 15.689,57
172 1.770,03 137,28 1.632,75 14.056,82 14.141,16
173 1.770,03 123,74 1.646,30 12.494,86 12.569,83
174 1.770,03 109,99 1.660,05 10.909,78 10.975,24
175 1.770,03 96,03 1.674,00 9.301,24 9.357,05
176 1.770,03 81,87 1.688,16 7.668,89 7.714,90
177 1.770,03 67,51 1.702,53 6.012,37 6.048,44
178 1.770,03 52,92 1.717,11 4.331,33 4.357,32
179 1.770,03 38,13 1.731,91 2.625,41 2.641,17
180 1.770,03 23,11 1.746,92 894,24
Saldo Residual de R$ 894,24
2.4. Considerações sobre o SACRE e a Tabela PRICE
Seguem abaixo os quadros evolutivos de prestações, comprometimento de renda 
e saldo devedor, exatamente como a CEF usa no marketing para esses produtos. 
Quadro 4.7. – Evolução da prestação e do comprometimento de renda
97
Prestação
Comprometimento
de renda
N° da 
prestação
Sacre Price %
Sacre Price
A * B C * D A/C
1 715,28 − 552,70 − 129,42% 30,00% 25,00%
13 739,88 3,44% 597,01 8,02% 123,93% 31,03% 27,00%
25 763,91 3,25% 645,00 8,04% 118,44% 32,04% 29,17%
37 787,15 3,04% 696,99 8,06% 112,94% 33,01% 31,53%
49 809,30 2,81% 753,37 8,09% 107,42% 33,94% 34,08%
61 830,05 2,56% 814,57 8,12% 101,90% 34,81% 36,85%
73 849,04 2,29% 881,10 8,17% 96,36% 35,61% 39,85%
85 865,85 1,98% 953,55 8,22% 90,80% 36,32% 43,13%
97 880,03 1,64% 1.032,64 8,29% 85,22% 36,91% 46,71%
109 891,03 1,25% 1.119,29 8,39% 79,61% 37,37% 50,63%
121 898,24 0,81% 1.214,75 8,53% 73,94% 37,67% 54,95%
133 900,94 0,30% 1.320,87 8,74% 68,21% 37,79% 59,75%
145 898,23 −0,30% 1.444,87 9,08% 62,34% 37,67% 65,17%
157 888,90 −1,04% 1.581,86 9,79% 56,19% 37,28% 71,75%
169 870,31 −2,09% 1.770,04 11,90% 49,17% 36,50% 80,06%
180 870,31 0,00% 1.770,04 0,00% 49,17% 36,50% 80,06%
% Prestação 21,67% 220,25%
% Prestação Maior 25,96% 220,25%
* Composta de amortização e juros (A + J).
Observar que, durante todo o período do contrato, o valor da prestação no 
sistema Price sofre aumento de 220,25%; no Sacre, o aumento foi de apenas 25,96% em 
relação à prestação inicial.
• N° da prestação é o número de prestações que inicia cada novo período de 12 
meses, quando ela é recalculada.
• A é o valor máximo da prestação calculada no sistema Sacre e que vai vigorar no 
próximo período de 12 meses.
• B é o percentual de acréscimo ou decréscimo da prestação Sacre em relação ao ano 
anterior.
• C é o valor da prestação calculada no sistema Price e que vai vigorar no próximo 
período de 12 meses.
• D é o percentual de acréscimo da prestação Price em relação ao ano anterior.
• A/C é o percentual que corresponde ao valor da prestação no sistema Sacre em 
relação ao Price.
• Comprometimento de renda é o percentual da prestação em relação à renda.
• % prestação é a variação entre o valor da primeira e o da última prestação.
• % prestação maior é a variação entre o valor da primeira e o da maior prestação 
verificada durante o contrato (no Sacre, a maior prestação é a de n° 133 e, no Price, é 
a última).
Quadro 4.8 − Evolução do Saldo Devedor
N° da 
prestação
Sacre Price %
E F G H E/G
98
1 50.024,85 − 50.187,43 − 99,68%
13 50.328,72 0,61% 52.620,81 4,85% 95,64%
25 50.371,29 0,08% 54.942,50 4,41% 91,68%
37 50.109,74 −0,52% 57.052,79 3,90% 87,78%
49 49.496,21 −1,22% 58.954,11 3,28% 83,96%
61 48.477,24 −2,06% 60.446,97 2,53% 80,20%
73 46.993,23 −3,06% 61.425,08 1,62% 76,50%
85 44.977,86 −4,29% 61.719,21 0,48% 72,87%
97 42.357,41 −5,83% 61.119,63 −0,97% 69,30%
109 39.050,15 −7,81% 59.366,59 −2,87% 65,78%
121 34.965,61 −10,46% 56.137,92 −5,44% 62,29%
133 40.004,07 −24,00% 51.032,50 −9,09% 58,79%
145 24.056,10 −19,82% 43.546,33 −14,67% 55,24%
157 17.003,08 −29,32% 33.032,47 −24,14% 51,47%
169 8.720,88 −48,71% 18.607,33 −43,67% 46,87%
Saldo Resid. (63,54) 894,25
• E é o saldo devedor no sistema Sacre, considerando-se o pagamento regular das 
prestações.
• F é o percentual de decréscimo do saldo devedor no sistema Sacre em relação ao ano 
anterior.
• G é o saldo devedor no sistema Price, considerando-se o pagamento regular das 
prestações.
• H é o percentual de acréscimo/decréscimo do saldo devedor no sistema Price em 
relação ao ano anterior.
• E/G é o percentual que corresponde ao valor do saldo devedor no sistema Sacre em 
relação ao Price.
• Saldo Residual é o valor remanescente no fim do prazo contratado. Significa que a 
dívida foi liquidada e o mutuário terá direito à devolução daquele valor quando o 
saldo residual for negativo, ou seja, se amortizar mais do que o devido. Quando 
positivo, é devido o pagamento pelo mutuário para que a dívida seja liquidada.
Capítulo 5
MERCADO BRASILEIRO DE TÍTULOS
 
 5.1. PROJEÇÃO DA TAXA FUTURA DE JURO
99
Contrato Futuro de Taxa Média de DI – 1 Dia
Conceitos
O Custo do dinheiro no presente e, principalmente a sua projeção para o futuro, 
constituem elemento fundamental para qualquertomada de decisão no sentido de 
investir, emprestar, poupar, captar recursos e demais atividades pertinentes aos mercados 
em geral. Tudo isso depende em última instância da taxa de juro, que sendo uma 
variável extremamente sensível aos diversos segmentos presentes na vida de uma nação 
– inflação, políticas monetárias, fiscais e tributárias, regime de governo, perspectivas e 
metas econômicas etc – tem a sua importância transcendental inteiramente reconhecida. 
Inclusive, a Matemática Financeira, por ser intimamente dependente do conhecimento 
ou melhor, das projeções das futuras taxas de juro, deixa de ser uma ciência exata, 
diferenciando-se assim da Matemática Pura.
A introdução no Brasil dos Mercados Futuros das Taxas de Juro se deu baseada 
em Ativos Financeiros públicos e privados, com a criação da BBF no Rio de Janeiro – 
RJ em 1985 e com a sua posterior consolidação em 1991, através do Contrato Futuro de 
Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (DI – 1 Dia), lançado pela BM&F 
– Bolsa de Mercadorias e Futuros em S. Paulo – SP.
A idéia básica era e é, que tais mercados proporcionassem condições aos 
“players” de efetivamente transferir risco, ao manter uma posição no mercado físico dos 
Ativos negociados, já que o custo do dinheiro, como outra commodity qualquer (café, 
soja, ouro etc) é influenciado pela lei da oferta e procura. Assim as taxas futuras de juros 
refletem a interação entre oferta e demanda, inclusive para quê. Daí sua extrema 
volatilidade, o grande risco embutido nos seus movimentos e o fabuloso potencial de 
proteção e ganho apresentados por sua negociação nos Mercados Futuros.
Assim, o Contrato Futuro de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um 
Dia (DI – 1 Dia) é concebido para melhor oferecer cobertura específica ao risco de 
oscilação da taxa de juro e o “ovo de Colombo” dessa operação é que ela prescinde 
de um Ativo referencial, não existindo no seu vencimento a entrega física de título 
nenhum. Simplesmente se compra ou se vende taxa de juro, proporcionando variadas 
estratégias, arbitragens e “hedge”, como pode ser visto no livro do Prof. Bessada 13 , em 
13 Bessada de Lyon, Octavio Manuel – Barbedo, Cláudio Henrique e Araújo, Gustavo Silva – “O Mercado de Derivativos no 
Brasil” – Rio de Janeiro - RJ – Ed. Record- 2005 – pag. 65
que se baseou este Capítulo.
Os Contratos, negociados na BM&F-SP, são referidos às respectivas taxas 
médias de juro diárias calculadas pela CETIP e refletem o custo médio praticado pelas 
Instituições Financeiras em suas trocas de disponibilidade por 1 (um) dia útil (DI – 1 
dia). Esses Contratos, que se referem à acumulação destas taxas do dia da operação 
ao último dia de negociações, são cotados sob a forma de PU (Preço Unitário). A 
flutuação do PU reflete a variação na taxa de juros esperada para um período futuro.
Especificações do Contrato Futuro
100
(Reprodução do Contrato Futuro vigente a partir de 13/11/2001, 
de acordo com o ofício circular 133/2001 – DG)
1. Definições
Preço unitário (PU) : o valor, em pontos, correspondente a 100.000, descontado pela taxa de juros 
descrita no item 2.
Taxa de DI : Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (DI) calculada pela Central de 
Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos (Cetip), expressa em taxa efetiva 
anual, base 252 dias úteis.
Preço de ajuste (PA) : preço de fechamento, expresso em PU, apurado e/ ou arbitrado diariamente 
pela BM&F, a seu critério, para cada um dos vencimentos autorizados, para 
efeito de atualização do valor das posições em aberto e apuração do valor de 
ajustes diários e de liquidação das operações “day trade”.
 Saques-reserva : dia útil para fins de operações praticadas no mercado financeiro, conforme 
estabelecido pelo Conselho Monetário Nacional.
2. Objetivo de negociação
A taxa de juros efetiva até o vencimento do contrato, definida para esse efeito pela acumulação das 
taxas diárias de DI no período compreendido entre a data de negociação, inclusive, e o último dia 
de negociação do contrato, inclusive.
3. Cotação
Taxa de juros efetiva anual, base 252 dias úteis, com até três casas decimais.
4. Variação mínima de apregoação
0,001 ponto de taxa.
5. Oscilação máxima diária
Conforme estabelecida pela BM&F.
6. Unidade de negociação (tamanho do contrato)
PU multiplicado pelo valor em reais de cada ponto, estabelecido pela BM&F.
7. Meses de vencimento
Os quatro primeiros meses subseqüentes ao mês em que a operação for realizada e, a partir daí, os 
meses que se caracterizarem como de início de trimestre.
8. Número de vencimentos em aberto
Conforme autorização da BM&F.
9. Data de vencimento
Primeiro dia útil do mês de vencimento.
 10. Último dia de negociação
 Dia útil anterior à data de vencimento.
 11. Day trade
São admitidas day trade (compra e venda, no mesmo dia, da mesma quantidade de contratos para a 
mesma data de vencimento), que serão compensadas, desde que realizadas em nome do mesmo 
cliente, intermediadas pela mesma Corretora de Mercadorias e registradas pelo mesmo Membro de 
Compensação ou realizadas pelo mesmo Operador Especial e registradas pelo Membro de 
Compensação. A liquidação financeira dessas operações será realizada no dia útil subseqüente, 
sendo os valores apurados de acordo com o item 12(b.1).
11. Ajuste diário
Para efeito de apuração do valor relativo ao ajuste diário das posições em aberto, serão obedecidos 
os critérios a seguir.
a) Inversão da natureza das posições
101
As operações de compra e de venda, originalmente contratadas em taxa, serão transformadas em 
operações de venda e de compra, respectivamente, em PU.
b) Apuração do ajuste diário
As posições em aberto ao final de cada pregão, depois de transformadas em PU, serão ajustadas 
com base no preço de ajuste do dia, estabelecido conforme regras da Bolsa, com movimentação 
financeira (pagamento dos débitos e recebimento do ganhos) no dia útil subseqüente (D+1).
O ajuste diário será calculado até a data de vencimento, inclusive, de acordo com as seguintes 
fórmulas :
b.1) ajuste das operações realizadas no dia
ADt = (PAt – PO) x M x N
b.2) ajuste das posições em aberto no dia anterior
ADt = [PAt – (PAt-1 x FCt)] x M x N onde:
Dt = valor do ajuste diário, em reais, referente à data “t”;
PAt = preço de ajuste do contrato na data “t”, para o vencimento respectivo;
PO = preço da operação, em PU, calculado da seguinte forma, após o fechamento do negocio:
PO = 100.000
 n/252
 1 + i
 100
onde :
i = taxa de juros negociada;
n = número de saques-reserva, compreendido entre a data de negociação, inclusive, e a 
data de vencimento do contrato, exclusive;
M = valor em reais de cada ponto de PU, estabelecido pela BM&F;
N = número de contratos;
PAt-1 = preço de ajuste do contrato na data “t-1”, para o vencimento respectivo;
FCt = fator de correção do dia “t”, definido pelas seguintes fórmulas;
i) quando houver um saque-reserva entre o último pregão e o dia do ajuste
 1/252
FCt = 1 + DIt-1
 100
ii) quando houver mais de um saque-reserva entre o último pregão e o dia do ajuste
 n 1/252
 FCt = ∏ 1 + DIj onde:
 J=1 100
DIt-1 = taxa de DI, referente ao dia útil anterior ao dia a que o ajuste se refere, com até 
seis casas decimais. Na hipótese de haver mais de uma taxa de DI divulgada para 
o intervalo entre dois pregões consecutivos, essa taxa representará a acumulação 
de todas as taxas divulgadas.
 Na data de vencimento do contrato, o preço de ajuste será 100.000.
Se, em determinado dia, a taxa de DI divulgada pela Cetip se referir a um período (número de dias) 
distinto daquele a ser considerado na correção do preço de ajuste, a BM&F poderáarbitrar uma 
taxa, a seu critério, para aquele dia específico.
O valor do ajuste diário (ADj), se positivo, será creditado ao comprador da posição PU (vendedor 
original em taxa) e debitado ao vendedor da posição em PU (comprador original em taxa). Caso o 
valor seja negativo, será debitado ao comprador da posição PU e creditado ao vendedor da posição 
em PU.
13. Condições de liquidação no movimento
Na data de vencimento, as posições em aberto, após o último ajuste, serão liquidadas 
financeiramente pela Bolsa, mediante o registro de operação de natureza inversa (compra ou venda) 
à da posição, na mesma quantidade de contratos, pela cotação (preço unitário) de 100.000 pontos.
102
Os resultados financeiros da liquidação serão movimentados no dia útil subseqüente à data de 
vencimento.
• Condições especiais
Se, por qualquer motivo, a CETIP atrasar a divulgação da taxa de DI definida no item 1 ou 
deixar de divulgá-la, por um ou mais dias, a BM&F poderá, a seu critério :
a) prorrogar a liquidação deste contrato, até a divulgação oficial pela CETIP; ou
b) encerrar as posições em aberto pelo último preço de ajuste disponível.
A BM&F poderá ainda, em qualquer caso, arbitrar um preço de liquidação para este contrato 
se, a seu critério, julgar não serem representativos tanto a taxa divulgada pela CETIP quanto o 
último preço de ajuste disponível.
14. Margem de garantia
Será exigida margem de garantia de todos os concomitantes em posição em aberto, cujo valor será 
atualizado diariamente pela Bolsa, de acordo com os critérios de apuração de margem para 
contratos futuros.
15. Ativos aceitos como margem
Dinheiro, ouro, cotas do Fundo dos Intermediários Financeiros (FIF) e, mediante autorização prévia 
da Bolsa, títulos públicos federais, títulos privados, cartas de fiança, ações e cotas de fundos 
fechados de investimento em ações.
16. Custos operacionais
• Taxa operacional básica
Operação normal : 3%; day trade 1,5%
A taxa operacional básica por contrato negociado, sujeita a valor mínimo estabelecido pela 
bolsa, incide sobre a seguinte base de cálculo :
BC = [ 100.000 – (PAt-1 x FCt) ] x M
Onde :
BC = base de cálculo.
Para os contratos liquidados financeiramente na data de vencimento, o valor da taxa 
operacional será idêntico ao do último dia de negociação.
• Taxa de liquidação no vencimento
Valor da taxa operacional básica do último dia de negociação.
• Taxa da Bolsa (emolumentos e fundos)
1% da taxa operacional básica. A Bolsa poderá estabelecer um vencimento que limite 
superiormente a base de cálculo da taxa operacional básica, para efeito de cálculo de 
emolumentos e fundos.
• Taxa de registro
Valor fixo estabelecido pela Bolsa
Os cultos operacionais são devidos no dia útil seguinte ao de realização da operação.
Os Sócios Efetivos pagarão no máximo 75% da taxa operacional básica e da taxa de liquidação no 
vencimento e 75% dos demais Custos operacionais (taxas de registro e da Bolsa).
Os investidores institucionais pagarão 75% das taxas da Bolsa.
17. Hedgers
São considerados hedgers, para efeito deste contrato, as instituições financeiras e os investidores 
institucionais.
18. Normas complementares
Fazem parte integrante deste contrato, no que couber, a legislação em vigor, as normas e os 
procedimentos da BM&F, definidos em seus Estudos Sociais, Regulamento de Operações e Ofícios 
Circulares, observadas, adicionalmente, as regras específicas das autoridades governamentais que 
possam afetar os termos nela contidos.
Alterações no número de saques-reserva previsto para uma série em negociação, em face do 
disposto na Resolução 2516, de 29 de junho de 1998, são de responsabilidade exclusiva das partes 
contratantes originais, ou seja, não são de responsabilidade da BM&F.
Na hipótese de situações não previstas nesse contrato, bem como de medidas governamentais ou de 
qualquer outro fato, que impactem a informação, a maneira de apuração ou a divulgação de suas 
variáveis, ou que impliquem, inclusive, sua descontinuidade, a BM&F tomará as medidas que 
103
julgar necessárias, a seu critério, visando a liquidação do contrato ou sua continuidade em bases 
equivalentes.
Precificação das LTN 
 
No sub-ítem logo à frente, vai ser mostrado através de exercícios, o uso do 
conhecimento das futuras taxas de juros ou, pelo menos, das suas projeções, realizadas 
por um instrumento que se utiliza da média ponderada das estimativas das taxas dos 
investidores , especuladores e infelizmente também dos manipuladores de plantão : 
o Contrato Futuro de Taxa Média de DI – 1 dia , cujo conteúdo foi apresentado .
Exercícios Resolvidos
1. Precificar uma LTN (o seu PU0) de emissão 12/07/02 e vencimento em 26/12/02 
(117 dias úteis), sabendo que o DI – 1 dia de janeiro/03 (02/01/03) às 12 :00hs de 
12/07/02 era cotado na BM&F a 22,44% a.a. (Fig. 5.1)
 PUR Vcto. DI 
 12/07/02 26/12/02 02/01/03
 PU0 117 du 4 du
Fig. 5.1
a) Cálculo do fator efetivo projetado pelo mercado de DI:
 117/252
FDI = 1 + 22,44 = 1,098554
 100
b) Cálculo da cotação C 14 ð C = 1/FDI = 0,910287 ð C = 91,0287% (4 casas) 
 
c) Cálculo do PU0 ð PU0 = C x 1.000,00 _ PU0 = 910,287000 reais (6 casas)
14 A cotação C nada mais é do que o inverso do fator de deságio FDI dado pelo DI na BM&F e multiplicado por 100 para poder 
ser grafado em percentual Também se pode dividir o PUR (PU de resgate) pelo FDI de determinado dia da vida útil do 
papel, para calcular o PU de negociação nesse dia. É o que chamam de desagiar o título. A cotação, calculada de uma 
forma um pouco diferente, mas sempre em função da TIR que se deseja auferir, é muito usada para o cálculo do PU dos 
títulos públicos pós fixados.
2. Ainda no mesmo dia 12/07/2002 uma IF interessada em precificar uma LTN com 
vencimento para 19/02/2003 (155 du), verificou que o vencimento do DI – 1 dia 
mais longo que estava sendo negociado na BM&F naquele dia, era o de janeiro de 
2003, à taxa de 22,44%a.a. e prazo de 121 du.(Fig. 5.2). 
Para cobrir o gap de 34 dias úteis entre o vencimento do DI – 1 dia e o 
resgate do título havia um outro ativo (Swap) com vencimento para 01/04/2003 (182 
du) que estava sendo negociado à taxa de 24,40% a.a. Sendo o prazo entre os dois 
ativos cotados na BM&F de 61 du, precificar esta LTN. 
 
104
 100.000,00 1.000,00
 12/07/02
 02/01/03 19/02/03 01/04/03
 121 du vencºDI vencº LTN vencº Swap
 34 du 
 155 d.u.
 182 d.u.
 61 d.u.
 Fig. 5.2
a) Cálculo dos Fatores:
Fator efetivo estimado pelo mercado futuro de DI: FDI
 121/252
FDI = 1 + 22,44 = 1,1021
 100
Fator efetivo estimado pelo “Swap”: FSW 
182/252
FSW = 1 + 24,40 = 1,1708
 100
b) Cálculo da Taxa Marginal (entre 02/01/03 e 01/04/03): TMG
 252/61
TMG = FSW − 1 x 100
 FDI
 252/61
TMG = 1,1708 − 1 x 100 = 28,38% a.a.1,1021
Conceitualmente, esta é a taxa a termo entre 02/01/03 e 01/04/03, prevista pelos 
praticantes do mercado, a partir dos resultados dos instrumentos negociados nos 
mercados derivativos (DI e “Swap”).
c) Cálculo da taxa do deságio:
 Assim, para precificar a taxa para esta LTN (a menos do prêmio de risco), em 
12/07/02, a partir dos instrumentos considerados (e os únicos com liquidez na data), de 
acordo com o método flat forward, é igual a:
121/252 34/252 252/155
T = 1+ 22,44 x 1+ 28,38 − 1 100 = 23,718982% ≅ 23,72% a.a.
 100 100
105
d) Cálculo do PU da LTN:
PU = 1.000,00 → PU = 877,292218 reais → com 6 casas decimais
 1 + 23,72 155/252 
 100 
 
5.2. MERCADO DE TÍTULOS PRIVADOS
CDB – Certificado de Depósito Bancário
Conceitos
106
O Certificado de Depósito Bancário – CDB e também o Recibo de Depósito 
Bancário – RDB são os instrumentos mais usados pelos Bancos (Comerciais, de 
Investimento e Múltiplos) e Caixas Econômicas na captação de recursos funding junto 
às pessoas físicas e/ou jurídicas não-financeiras. O depósito é feito a prazo 
determinado e a rentabilidade pode ser pré ou pós-fixada.
A diferença que havia entre eles era que o CDB podia ser negociado antes do seu 
vencimento e o RDB, não. O seu titular tinha que permanecer com o RDB até o 
resgate. Hoje isso não existe mais, o que os torna absolutamente iguais.
Tipos de CDB 
1. Pré-fixados: rendimento apenas na taxa de juros anual TIR = Taxa Interna de 
Retorno incidente sobre o valor de aplicação, com os valores de Resgate Bruto 
e Líquido conhecidos no momento da aplicação e para qualquer período de dias 
que se queira, já que não existe mais prazo mínímo (Circular Bacen nº 2.905 de 
30/06/ 99 com vigência a partir de 02/08/99).
“Modus Operandi” – usando a TIR = Taxa Anual de Retorno que o comprador 
pretende auferir, respectivamente como Taxa Efetiva Anual ou Taxa “Over Night” 
Anual, para o ano de 360 dias corridos (dc) ou 252 dias úteis (du), caso de compra e 
venda definitivas. No caso de compra com revenda ou venda com recompra, que se 
constitui no financiamento do título, usa-se taxa “Over” anualizada através da CETIP, 
com o prazo em dias úteis (du). A emissão pode ser com ágio ou deságio. 
2. Pós-fixados: rendimento dado por taxa de juros ao ano TIR ou “IRR” = Taxa 
Interna de Retorno, em forma de cotação percentual que incide sobre o Valor 
Nominal Atualizado apenas pelo indexador (valor careca) = VNA ou sobre o Preço 
Unitário Nominal Atualizado também apenas pelo indexador = PUNA. Os indexadores 
mais usados são: TR e TJLP para prazo mínimo de um mês; TBF para prazo mínimo 
de dois meses; “dollar” somente para títulos públicos federais. Os índices de preço – 
IGP-M, IGP-DI, INPC, IPCA etc., que medem a Inflação e portanto a Correção 
Monetária, são também usados como indexadores nos títulos públicos e privados, mas 
com prazo mínimo de 1 ano.
 
“Modus Operandi” – usando a Cotação C = f (TIR), como se vai ver, incidindo 
sobre o Valor Nominal Atualizado – VNA ou PUNA, para operações de compra e venda 
definitivas ; no caso de financiamento, usar taxa “Over” anualizada na Cetip ou Selic, 
com o prazo em du.
ATENÇÃO: INDEXADOR não é necessariamente CORREÇÃO MONETÁRIA.
3. Com Ágio: quando o Valor de Emissão ou Valor Nominal é igual ao Valor do 
Depósito efetuado pelo investidor na aplicação e ele vai resgatar obviamente um valor 
maior correspondente ao acréscimo dos juros (pré-fixados) ou da correção do indexador 
mais os juros (pós-fixados). 
4. Com Deságio: quando o Valor de Emissão ou Valor Nominal é igual ao Valor de 
Resgate, ou seja, ao fazer a aplicação, o investidor deposita um Valor Menor do que o da 
Emissão, que é o Valor do Resgate ou Valor Nominal, sendo esta diferença chamada de 
deságio, a qual representa o rendimento bruto que o aplicador vai ter na operação em 
107
relação somente aos juros, se o papel for pré-fixado. Se o papel for pós-fixado, o 
investidor tem direito também à correção ou atualização que o indexador escolhido 
apresentar no período.
IOF nas Aplicações Financeiras – Tabela I 
As Instituições Financeiras e as Autorizadas a operar pelo Bacen não sofrem 
tributação de IRRF sobre essas operações com títulos de Renda Fixa. As Pessoas 
Físicas e Jurídicas não-Financeiras estão sujeitas a duas alíquotas de imposto na fonte 
sobre a renda nas suas aplicações de Renda Fixa (títulos, fundos, clubes de 
investimento etc): a primeira , chamada de IOF, é decrescente para aplicações até 30 
dias corridos de prazo, com alíquotas que vão de 96 % (1 dia) a zero (30 dias ou 
mais) – Portaria nº 264 de 30/06/99 – vide Tabela I abaixo e a segunda de 20%, 
incidente sobre o que restou do rendimento para qualquer prazo.
Tabela I
 Nº DE DIAS 
CORRIDOS
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
% LIMITE DO 
RENDIMENTO
96
93
90
86
83
80
76
73
70
66
63
60
56
53
50
46
43
40
36
33
30
26
23
20
16
13
10
06
03
00
108
Normalmente o mercado não trabalha com o Valor Financeiro = VF do papel, 
qualquer que seja ele. No intuito de facilitar os cálculos se usa o PU = Preço Unitário 
com 6 casas decimais. O PU é obtido dividindo-se o VF por Q = Quantidade, 
definida arbitrariamente pelos emissores de papéis privados como sendo a menor parte 
em que se pode dividir o VF de emissão daquele papel. Em geral Q = 1.000. Assim:
PU = VF/Q _ onde VF é o Valor Financeiro de Emissão e Q a quantidade.
Se VF = VR ou Valor de Resgate _ Papel com Deságio e o PUR é o seu 
Preço Unitário de Resgate ou de Vencimento.
1º Exemplo: CDB de VF = VR = R$ 800.000,00 e Q = 1.000 
PUR = 800.000,00/1.000 = 800,000000 reais no resgate (PU com seis casas decimais 
como é usado) 
Portanto o depositante inicial ou comprador vai depositar na época ZERO um 
valor PU0 menor do que R$ 800,00 e aí se tem um papel de deságio. A diferença entre 
os dois é o rendimento bruto do investidor e varia em função do prazo e da taxa de 
deságio combinada entre as partes, constituindo-se no único rendimento se o papel for 
pré- fixado; se o título for pós-fixado ainda existe o “ganho” da correção do indexador, 
que na verdade não é “ganho” e sim, atualização como já falado e aí os juros a pagar vão 
incidir sobre o PU ou VN corrigido pelo indexador (PUNA ou VNA).
“Mutatis Mutandi” se VF = VA = Valor Atual ou Valor do Depósito Inicial 
D0, o seu PU0 é o Preço Unitário de Emissão e se tem agora um papel com ágio.
2º Exemplo: CDB de VF = VA = R$ 800.000,00 e Q = 1.000
PU0 = 800,000000 = reais na emissão 
Aqui o aplicador vai depositar na época ZERO um Valor Financeiro D0 cujo PU0 
é de R$ 800,00 e o seu rendimento bruto será dado pela taxa de ágio acordada entre as 
partes e adequada ao prazo do papel, constituindo-se no seu único rendimento se o papel 
for pré- fixado; caso contrário, como já foi dito, o aplicador terá direito ainda à correção 
do indexador e aí os juros vão incidir sobre o valor corrigido do PU ou VN. 
Operações
 No caso de CDB/RDB pré-fixados, em geral o prazo do título é de 30 a 40 
dias corridos e a melhor maneira de “projetar” a taxa de juros que se pretende 
auferir é apenas olhar em qualquer jornal o valor da TBF do dia e fazer a 
aplicação numa taxa próxima.
Se o papel procurado ou oferecido, mesmo sendo pré-fixado, for de prazo mais 
longo, lança-se mão da projeção das taxas futuras de juros através dos DI – 1 dia da 
BM&F.
Agora, se o CDB/RDB forpós-fixado, o melhor caminho é procurar saber junto 
a um corretor de confiança, como os títulos públicos semelhantes, isto é, com o mesmo 
indexador estão sendo negociados; qual é a Taxa Interna de Retorno – TIR que está 
sendo pedida pelo mercado para comprar/vender ou ir ao leilão da Autoridade 
Monetária. Caso não ache nada parecido nos títulos públicos, a saída é não aplicar em 
109
CDB/RDB pós, fazendo o investimento num título cujas características e projeções 
sejam conhecidas.
Todos os papéis de Renda Fixa pré-fixados, privados ou não, são negociados 
com taxa Efetiva anual ou taxa “Over” anual (hoje a mais usada). Nos pós-fixados a 
negociação é sempre através da Cotação C, função da TIR como será visto a seguir.
Uso de Dias Corridos – dc e Dias Úteis – du 15
Exemplo: O Banco Telecoteco S/A está captando depósito à prazo – CDB através 
da sua rede de Agências pagando e 11,80% a.a. (taxa “pool”). Um cliente fez uma 
aplicação de R$ 100.000,00 no dia 28/05/2007 para vencimento em 27/06/2007 (30 
dc/21 du). Calcular o Valor de Resgate Bruto (VRB) trabalhando com dc e com du.
a) Usando dias corridos – 30 dc
VRB = 100.000,00 . FA = 100.000,00 . (1,118) (30/360) ∴
VRB = 100.000,00 . (1,118) 0,083333 = 100.000,00 . (1,009338) ∴
VRB = 100.933,84 reais 
b) Usando dias úteis – 21 du
VRB = 100.000,00 . FA = 100.000,00 . (1,118) (21/252) ∴
VRB = 100.000,00 . (1,118) 0,083333 = 100.000,00 . (1,009338) ∴
VRB = 100.933,84 reais
Pode-se ver com facilidade que, quando a taxa de 11,80% a.a. (ou qualquer 
outra taxa efetiva) é usada para agiar ou capitalizar um valor monetário por determinado 
prazo, se o expoente do fator da taxa for o mesmo para dc ou du, o Valor do Resgate 
Bruto do capital agiado (VRB) será também o mesmo para as duas capitalizações. 
Caso contrário, é óbvio que o maior expoente produzirá o maior valor para o capital 
agiado, uma vez que o cálculo é feito com a mesma relação Fn = P(1 + i)n _ 
Fórmula Fundamental dos Juros Compostos
Assim, pelo exemplo acima se pode generalizar:
 30 = 21 ∴ 30 = 360 = 1,428571 ∴ dc = 1,428571 ∴ 
360 252 21 252 du
15 No caso dos papéis privados, a negociação final e/ou financiamento ainda são realizados tanto com dc quanto com du., 
embora o BACEN tenha mostrado desejo de que fosse usado só du, como nos títulos públicos. A tendência do mercado é 
acabar atuando só com du., atendendo assim a vontade da Autoridade Monetária
ou seja, para que o Valor de Resgate Bruto do Capital agiado (VRB) seja igual nas 
duas capitalizações é preciso que:
dc = 1,428571 x du ou dc = 42,857143 % maior que du.
Exercícios Resolvidos e Propostos - CDB’s Préfixados
110
1. O Banco Xereta S/A está captando CDB através da sua rede de agências a uma 
taxa de 11,95 % a.a. (taxa “pool”). Se um cliente fizer uma aplicação do dia 
02/04/07 ao dia 02/05/07 (30 dc / 20 du), quais serão a sua Rentabilidade 
Bruta Mensal (RBM), a Líquida Mensal (RLM) e a Líquida Anual (RLA), 
calculando com dias corridos (dc) e com dias úteis (du)?
a) Trabalhando com dias corridos → 30 dc 
 
RBM = [(1,1195) (30/360) − 1] . 100 = [(1,1195) 0,083333 − 1)] . 100 ∴
RBM = (1,009451 − 1) . 100 = 0,945123 % a.m. ∴
RBM = 0,95 % a.m. ⇒ notar que 30/360 = 0,083333 = 1/12 do ano = 1 mês 
RLM = 80 % s/ 0,945123 % a.m. ⇒ 0,756098 % a.m. ∴
RLM = 0,76 % a.m.
RLA = [(1 + 0,756098/100) (360/30) − 1] 100 ao ano ∴
RLA = 9,460166% a.a. _ RLA = 9,46% a.a. 
 
Obs: Para o prazo de 30 dc não cabe o IOF da Portaria nº 264 do MF. 
b) Trabalhando com dias úteis → 20 du
RBM = [(1,1195) (20/252) − 1] . 100 = [(1,1195) 0,079365 − 1)] . 100 ∴
RBM = (1,008999 − 1) . 100 = 0,899915 % pelo período de 20 du. ∴
RBM = 0,90 % p/ 20 du ⇒ notar que 20/252 ≠ 21/252 = 1/12 ano = 1 mês ∴
RLM = 80 % s/ 0,899915 % = 0,719932 % p/ 20 du ∴
 RLM = 0,72% p/ 20 du 
 RLA = [(1 + 0,719932/100)252/20 − 1] . 100 ao ano ∴
RLA = 9,459725 % a.a. _ RLA = 9,46 % a.a. 
Obs: Como dc/du = 30/20 = 1,5 ⇒ dc = 1,50 du > (1,428571 du) ⇒ 0,76 % a.m. 
em 30 dc > 0,72 % a.m. em 20 du. Porém, ao ano, as Rentabilidades (brutas ou líquidas) 
são iguais, porque correspondem a períodos, respectivamente, de 360 dc e 252 du, os 
quais equivalem a 1 ano, o que já não acontece com 30 dc e 20 du, como foi visto 
anteriormente.
2. Um CDB emitido em 28/02/07 para resgate em 30/03/07 (30 dc / 22 du) pagou 
uma taxa mensal “over” 1,35 % . A que taxa anual efetiva foi realizada a operação e 
qual o VRB, se o depósito inicial D0 = 200.000,00 ?
 T = [(1 + 1,35/3.000) 252 − 1] . 100 = (1,120051 − 1) . 100 ∴ T = 12,00% a.a.
111
 VRB = D0 (1 + 1,35/3000) 22 = 200.000,00 x 1,009947 ∴ VRB = R$ 201.989,38
 
3. Um investidor depositou a prazo no Banco Tupamaro S/A um valor inicial D0 de 
24/05/07 a 28/06/07 (35 dc / 24 du) à taxa de 11,75 % a.a. Sabendo-se que o Valor 
de Resgate Bruto (VRB) do CDB é de R$ 200.000,00, qual foi o valor do 
depósito inicial e quais os Valores do Resgate Líquido (VRL) e da Rentabilidade 
também Líquida (RL), se o investidor precisou e conseguiu revender o CDB em 
18/06/07 (10 dc / 8 du) antes do prazo marcado e na mesma taxa de 11,75 % a.a. 
usada para o depósito ? Usar dc.
a) Cálculo do valor do depósito inicial D0 :
D0 = VR/FD , onde: VR → Valor de Resgate e FD → Fator de deságio
 FD = [1 + 11,75/100] 35/360 ∴ FD = 1,010859 ∴
 
 D0 = 200.000,00 = 200.000,00 x 0,989257 → D0 = 197.851,46 reais 
 1,010859
 
 b) Cálculo do Valor da Recompra Bruta VRB antecipada em 10 dc ou com 25 dc 
Para se achar o valor bruto da recompra antecipada, pode-se agiar o valor de 
aplicação por 25 dc ou desagiar o valor de resgate por 10 dc. Isso só é possível 
porque se está operando na mesma taxa de emissão do CDB ou em cima da 
curva do papel ou ainda no seu valor contábil. É tudo sinônimo.
 
Ágio → F25 = (1,010859) (25/35) = 1,007745 → VRB = 197.851,46 x 1,007745 ∴
VRB = 199.383,76 reais ou 
 
Deságio → F10 = (1,010859) (10/35) = 1,004546 → VRB = 200.000,00/ 1,003091
 
VRB = 199.383,76 reais
Assim, o rendimento bruto será de: 199.383,76 − 197.851,46 = 1.532,30 reais
c) Cálculo do Valor da Recompra Líquida antecipada → Alíquota do IOF da 
Tabela I para 25 dc é de 16 % :
IOF = 16 % x 1.532,30 = 245,17 reais e
IRRF de 20 % x (1.532,30 − 245,17) = 257,43 reais
Imposto Total = 502,60 reais ∴
VRL = 199.383,76 – 502,60 → VRL = 198.881,16 reais 
 d) Cálculo da Rentabilidade Líquida RL no período e T no ano:
 RL = [(198.881,16/197.851,46) − 1] . 100 → RL = 0,5204 % no período e
112
 T = [ (198.881,16) (360/25) − 1] . 100 ⇒ T = 7,76 % ao ano 
 197.851,46
Obs: O Fator de Deságio (ou de descapitalização) FD tem o mesmo valor que o Fator 
de Ágio (ou de Capitalização) FA para as mesmas taxas e prazos, sendo exatamente a 
fórmula do Valor Fundamental usada em Juros Compostos para o capital unitário, 
abordada anteriormente. A diferença no uso de um ou do outro está no que se quer 
fazer: querendo desagiar um papel, divídi-se o seu valor por FD ; no caso de se querer 
agiar deve-se multiplicá-lo por FA. Assim:F = FD = FA = (1 + i) (dc/360) = (1 + i) (du/252) → VA = VR/FD e VR = VA.FA 
 
 
 3.1. Mesmo exercício anterior, mas usando dias úteis du 
 a) Cálculo de Do:
 D0 = VR → D0 = 200.000,00 → D0 = 197.895,08 reais
 FD (1,1175) (24/252)
 
 VF
 
 VR = 200.000,00
 VRB 
 D0
 
 
 24/05/07 18/06/07 28/06/07 du
 16 du 8 du 
Fig. 5.3
 
b) Cálculo do Valor da Recompra Bruta (VRB) antecipada em 8 du ou com 16 
du transcorridos desde a emissão:
Como já falado em dc, operando em cima da curva do papel para o cálculo do 
VRB, pode-se agiar o D0 = R$ 197.895,08 por 16 du (da esquerda para a direita na 
Fig. 5.3) ou desagiar o VR = R$ 200.000,00 por 8 du (da direita para a esquerda).
 Ágio → F16 = (1,1175) (16/252) = 1,007079 → VRB = 197.895,08 x 1,007079 
 VRB = 199.295,88 reais
Deságio → F8 = (1,1175) (8/252)
 
 = 1,003533 → VRB = 200.000,00 ∴ 
 1,003245
VRB = 199.295,88 reais
c) Cálculo da Recompra antecipada Líquida VRL : 
Rendimento Bruto = VRB − D0 =199.295,88 −197.895,08 = 1.400,80 reais ∴
113
IOF = 16 % x 1.400,80 = 224,13 reais e
IRRF = 20 % x (1.400,80 − 224,13) = 235,33 reais ∴
Total de Impostos = 459,46 reais
VRL = VRB − Impostos ∴
VRL = 199.295,88 − 459,46 → VRL = 198.836,42 reais
Obs: Reparar a diferença no Rendimento Bruto dos dois cálculos, em dc e em du, 
no valor de 1.532,30 − 1.400,80 = 131,50 reais ou 9,39 % a mais em dc. Isto é 
explicável, pois: 25 dc / 16 du = 1,562500 > 1,428571.
d) Cálculo da Rentabilidade Líquida RL no período e T ao ano :
RL = [ 199.295,88 − 1] . 100 ∴ RL = 0,7079% no período e
 197.895,08
T = [(198.836,42) (252/16) − 1] . 100 ∴ T = 7,76% ao ano.
 197.895,08
Obs: Atentar para as Taxas de Rentabilidade Líquida em dc e em du, fato já 
comentado no 1º exercício. No período da operação, a RL em du é maior do que em dc 
(vide Obs acima), porém, ao ano elas são iguais. 
 
4. Um operador da mesa de “Open” do Banco Greeneyes S/A fez uma aplicação em 
CDB num outro banco no valor de R$ 100.000,00, pelo período de 38 dc ou 26 
du. Quais serão seus valores de resgate bruto e líquido sabendo-se que o operador 
projetou para os primeiros 10 du a taxa “over” de 1,40 % a.m e nos restantes, 1,38 
% a.m e acertou nas duas estimativas ? 
 Resp. VRB = R$ 101.209,64 e VRL = 100,967,72
5. Um CDB de valor de emissão R$ 500.000,00 e PU = R$ 100,00 foi comprado 
pela mesa de operações de um Banco de Investimento com as seguintes 
características: emissão e liquidação em 15/09/04; vencimento em 15/10/04; taxa 
de rentabilidade de 22 % a.a.; prazo de 30 dc ou 21 saques. Quanto pagou o BI 
pelo CDB, se a sua equipe técnica projetou uma taxa “Over” média de 2,32 % a.m 
pelos 5 du que faltam para o vencimento do papel ?
 Resp. PUc = R$ 101,278679 Vc = R$ 506.393,40 
6. A Cia. Delta de Petróleo S/A fez um depósito à prazo de valor R$ 200.000,00 
no Banco Todor S/A em 14/09/04 com vencimento previsto para 11/10/04 (27 dc 
e 19 du) e à taxa efetiva de 16,60 % a.a. Qual deveria ser a taxa “Over” nas duas 
expressões, para que a Cia. de Petróleo obtivesse os seus rendimentos isentos de 
tributação? Usar du.
a) Cálculo do Rendimento Bruto RB da Cia. no período: 
 
RB = [ (1,166) (19/252) − 1 ] . 200.000,00 = (1,011647 − 1) . 200.000,00 ∴
114
RB = 2.329,34 reais
b) Cálculo do Rendimento Líquido RL ⇒ Tabela I do IOF ⇒ 27 dc = 10 % : 
RL = RB − (0,10 RB + 0,20 (1 − 0,10) RB ) ∴
RL = RB − 0,10 RB + 0,20 x 0,90 x RB) ∴
RL = RB − 0,28 RB ∴ RL = 0,72 x RB
Obs: Dessa forma o RL = 72 % de RB. Para que RL = RB deve-se calcular um 
RB’ (é claro, maior do que RB) tal que, ao sofrer a incidência de 28 % dos dois 
impostos, o resultado líquido ou o Rendimento Líquido seja igual ao Rendimento 
Bruto ⇒ RB’ = RB/0,72. Para isso vai-se usar o artifício do % invertido já visto 
anteriormente. Assim:
 RB’ = RB = RB ∴
 1 – 0,28 0,72
 RB’ = 2.329,34 = 3.235,19 reais ∴
 0,72
Verificando: RL = RB’ − 0,28 x RB’ = RB’ (1 − 0,28) = RB’ (0,72) ∴
RL = 3.235,19 x 0,72 ou RL = 72 % de 3.235,19 ∴
RL = 2.329,34 reais
Então o VRB = 200.000,00 + RB’ = 203.235,19 reais ∴
c) Para o VRB = 203.235,19 reais, isso implica numa taxa efetiva ao ano de:
 
 T = [ [ 203.235,19 ] (252/19) − 1] . 100 = [ (1,016176) (252/19) − 1] . 100 ∴
 200.000,00
T = 23,7172 % de taxa efetiva ou “Over” anual.
e numa taxa mensal “Over” de :
 
 f = (1,016176) (1/19) = 1,000845 ∴ t = (1,000845 − 1) 3.000 ∴ 
 t = 2,5347 % a.m de taxa “Over” .
7. Um CDB no valor de R$ 300.000,00 é depositado por uma empresa. Se o prazo 
do papel é de 26 dc com 16 saques e a taxa efetiva acordada foi 11,35 % a.a., 
pede-se: a) qual o valor de resgate bruto do título ? b) qual a taxa “Over” 
mensal bruta em todo o período da aplicação ? c) qual a taxa anual efetiva T que 
o Banco deveria pagar ao cliente para anular o IOF cobrado? Usar du.
Resp. a) VRB = R$ 302.054,78 b) t = 1,2801% a.m c) T = 13,1461% 
 
115
8. Uma Corretora de Títulos e Valores Mobiliários fez uma aplicação em CDB no 
seu Banco Custodiante no dia 08/07/2004 para vencimento em 04/08/2004 (27 
dc / 19 du). O CDB tem Valor de Resgate de R$ 2.000.000,00 e a taxa 
pactuada foi a efetiva de 19,50 % a.a. Qual deveria ser a taxa “Over” nas duas 
expressões, mensal e anual, se a operação fosse feita por uma PF, para que o 
rendimento líquido da PF fosse igual ao da Corretora ? Usar apenas du.
Resp. 2,9393 % a.m ou 27,9903 % a.a.
Exercícios Resolvidos e Propostos - CDB’s Pósfixados
 1. Uma IF efetuou um depósito à prazo atrelado a variação da TR no dia 28/02/00 
no Banco Porunfio S/A, com vencimento em 24/04/00. Sabendo-se que a taxa 
efetiva da emissão foi de 13,50 % a.a. e o PU0 igual a R$ 1.000,00, pede-se:
a) O valor contábil do PU15 no dia 15/03/00.
b) O valor de venda definitiva do PU13 no dia 13/04/00 à taxa de 12,00 % a.a.
c) O valor da taxa “Over” mensal e anual que o papel suportaria de 13/04/00 até o 
seu vencimento, usando o PU13 da pergunta anterior.
Dados Auxiliares na Fig. 5.4:
TR de 28/02/00 a 28/03/00 → 0,1531 % (19 du)
TR de 28/03/00 a 28/04/00 → 0,2242 % (22 du)
Redoma → de 28/02 a 15/03/00 → 16 dc e 10 du
 de 28/02 a 24/04/00 → 56 dc
 de13/04 a 24/04/00 → 11 dc
 de 28/03 a 13/04/00 → 12 du
 de 28/03 a 24/04/00 → 18 du 
 PU13
 PU0 PU15 
 .............16 dc ....... .........11 dc ........
 
 ............10 du........... ...................9 du ………….... …………… 12 du …………….. ..............6 du .........
 
 28/02/00 15/03/00 28/03/00 13/04/00 24/04/00
 .………………………18 du …………………………
 ……………………………………………………… 56 dc ………………………………………………. 
 PUR
 Fig. 5.4
a) Cálculo do PU15
O PU contábil é o PU na curva do papel , isto é , na taxa em que ele foi emitido. 
PU15 = (PU0 x FTR) . Fj, onde:
116
PU0 x FTR = PUNA → PUNA = PU nominal atualizado do papel para o dia 
15/03/00, obtido através do FTR = Fator da TR pro-rateada em du ⇒ 10 du 
e FJ = Fator dos juros pro-rateados FJ ou Cotação C em dc ⇒ 16 dc . 
 
PUNA = 1.000,00 . ( 1,001531 ) (10/19) = 1.000,00 x 1,000805 ∴
PUNA = 1.000,805498
C = FJ = (1,135) (16/360) = 1,005644 ∴
C = 100,5644 % no período (4 casas decimais como nos títulos públicos) .
Atenção – Como a Cotação C está sendo feita dentro da curva do papel, pode-se 
proceder agiando pelos dias já decorridos (da esquerda para a direita na Fig. 5.4) ou 
desagiando (da direita para a esquerda), do mesmo modo que nos CDB’s pré-
fixados.
PU15 = C . PUNA ∴
 PU15 = 100,5644 % x 1.000,805498 ∴
 PU15 = 1.006,454044 reais (o PU é sempre dado com 6 casas decimais)
b) Cálculo do PU13 no dia 13/04/00 à TIR = 12,00 % a.a.
Vendendo determinado papel emitido à 13,50 % a.a. por uma taxa anual inferior, 
de 12,00 % por exemplo, é sinal de que se está negociando acima da curva do título, 
ou seja, com menor desconto ou maior valor de venda, isto é, com lucro, pois o 
comprador vai ter um rendimento real de retorno, também chamado de Taxa Interna 
de Retorno (TIR), de 12% a.a. pelo período restante de 11 dc e não de 13,50 % 
a.a. que foi a taxa acordada na emissão. A diferença entre as duas taxas de juro é o 
lucro operacional do primeiro depositante e que está embutido no lucro contábil 
dado pela diferença entre o valor do depósito inicial e o valor da venda. O leitor deve 
estar pensando na variação da TR. Ela já entrou na composição do valor de venda com 
o seu pro-rateamento total, desde a emissão do CDB até o dia da negociação em 
13/04/00 (da esquerda para a direita na Fig. 5.4). Isso porque não se pode mexer na 
variação do indexador. Só se atua na TIR e muita atenção ao negociar: se for 
comprador, exija a taxa mais alta; se vendedor, procure “dar” a mais baixa.
PU13 = C . PUNA em 13/04/00
 
PUNA = 1.000,00 (1,001531) (19/19) . (1,002242) (12/22) ∴
PUNA = 1.002,755158 reais
 
 C = (1,135) (56/360)/(1,120) (11/360) ∴
 
C = 1,019894 = 1,016368 na forma decimal ou
 1,003469
 C = 101,6368 % ⇒ na forma percentual com 4 casas decimais ∴
117
 PU13 = 101,6368 % x 1.002,755158 ∴
 PU13 = 1.019,168254 reais
 Obs: No cálculo do PU15 da pergunta a, tanto o valor do PUNA quanto o do FJ = 
C foram calculados pelos dias decorridos, ou seja, da esquerda para a direita da Fig. 
5.4. O FJ é a Cotação C do papel e naquele caso pôde ser efetuado assim porque o 
cálculo foi realizado dentro da curva do título.
 Na pergunta b, não. O PUNA está certo, é sempre atualizado pelos dias 
decorridos (da esquerda para a direita na Fig. 5.4), pois deve-se computar a variação 
do indexador pelo prazo já decorrido e receber por isso; a variação do indexador 
pelo prazo ainda a decorrer, o comprador vai ganhar toda ela, mas os juros reais 
(TIR ou “IRR”) a receber, o comprador vai ganhar, não os 13,50 % a.a. pro-rata da 
emissão do papel e sim os 12,00 % a.a. previamente acordados e pro-rateados 
ao longo do prazo que falta para o vencimento final do título comprado. Quando 
se negocia vendendo numa outra taxa que não a de emissão, está-se mudando a 
curva do papel: se a venda é feita acima da taxa original, está-se operando abaixo da 
curva, ou seja, recebendo um valor menor ou dando um desconto maior e numa 
operação de venda, o vendedor está perdendo dinheiro; caso contrário, vendendo 
numa taxa menor, que é o caso do exercício, o vendedor está ganhando por operar 
acima da curva, pois recebe um valor maior ou com desconto menor. Daí se 
desagiar a taxa original de 13,50 % a.a. nos 56 dc da vida total do papel, pela 
taxa de 12,00 % a.a. no prazo de 11 dc, que é o prazo que ainda falta decorrer 
até o vencimento. Esse deságio é também chamado de Cotação do papel no dia da 
operação e é igual à taxa original do título deduzida da taxa interna de retorno 
negociada pelas partes, conforme mostrado.
c) Cálculo da taxa “over” do PU13 de 13/04/00 até o vencimento do título:
PUR = C . PUNA em 24/04/00
PUNA = 1.000,00 . (1,001531) (19/19) . (1,002242) (18/22) ∴ PUNA = 1.003,367798
 
C = (1,135) (56/360) = 1,019894 ∴ C = 101,9894 % no período 
PUR = 101,9894 % x 1.003,367798 ∴ PUR = 1.023,328797 reais 
PUR = 1.023,328797 = 1,004082 → fator de rendimento total (indexador + juro)
 PU13 1.019,168254 do título, pelo prazo que falta para o seu
 vencimento = 6 du
Na expressão mensal:
t = ((1,004082) (1/6) − 1) . 3.000 = 2,037537 % ∴ t = 2,0375 % a.m
 
Na expressão anual:
T = ((1,004082) 252/6 − 1) . 100 = 18,660351 % ∴ T = 18,6604 % a.a.
 
 
118
 2. Um CDB emitido em 02/03/01 com resgate para 02/05/01 atrelado à TBF e 
pagando juros de 2,40 % a.a., é negociado no dia da sua emissão numa quantidade 
de 20.000 títulos ao PU0 = R$ 1.000,00, com os dc e du da Fig. 5.4. Calcular:
a) PUR contábil do papel.
b) Valor do PU9 em 09/04/01 à taxa de 2,00 % a.a.
c) Se o papel for financiado de 09/04/01 até 19/04/01 à taxa de 16,30 % a.a. e 
partindo do PU9 já calculado, qual será o valor do PU19 na volta do financiamento e 
que taxa global (indexador mais juros) o papel suportaria até o seu vencimento ? 
 Os dados complementares se encontram abaixo:
 TBF de 02/03/01 a 02/04/01 → 1,1393 % (21 du)
 TBF de 02/04/01 a 02/05/01 → 1,1635 % (20 du)
 Resp. a) PUR = 1.027,280537 b) PU9 = 1.017,118888 reais
 c) PU19 = 1.021,394178 reais e T = 19,8434 % a.a.
 
 3. Considere as mesmas perguntas do exercício anterior no mesmo enunciado com as 
seguintes alterações : troca do indexador de TBF para TR e taxa de juros de 2,40 
% a.a para 15,2286 % a.a. no “caput”do problema e também de 2,00 % a.a. 
para 14,7723 % a.a. na questão b. Para achar as TR’s, a constante b do 
Redutor assume o valor de 0,44, dado a taxa SELIC estar abaixo de 16,00 % a.a. 
 Resp. a) PUR = 1.027,280760 reais b) PU9 = 1.017,118398 reais
 c) PU19 = 1.021,393686 reais e T = 19,8460 % a.a.
 4. Ainda com relação ao exercício n° 2 para se ter as mesmas respostas, mas 
trocando o indexador de TBF para TJLP, quais deveriam ser as novas taxas de 
juros no lugar de 2,40% a.a. no caput do enunciado e 2,00 % a.a. do ítem b ? A 
TJLP se mantém em 9,25 % a.a. nos dois primeiros trimestres de 2001. Fig. 5.5.
 PU19 = 1.021,394178 
 PU0 = 1.000,00 PU9 = 1.017,118888
 ............................................ 21 du ........................................ ...... 5 du .......... ........ 7 du ...................8 du .........
 
 ......................................................38 dc .......................................………...
02/03/01 02/04/01 09/04/01 19/04/01 02/05/01
 
 |......................23 dc............................. 
 .................................................................................61 dc = 41 du ........................................................................... 
 PUR = 1.027,280537
 Fig. 5.5 
a) Cálculo do PUNAR = PU Nominal Atualizado de Resgate:
PUNAR = (1,0925) (41/252) . 1.000,00 ∴ PUNAR = R$ 1.014,497797 
b) Cálculo da Cotação CR no Resgate :
119
CR = PUR / PUNAR ∴ CR = 1.027,280537 /1.014,497797 ∴
 CR = 1,012600 ∴ CR = 101,2600 %
 
 
c) Cálculo da nova taxa i para o lugar da taxa de 2,40 % a.a.: 
 i = [ (1,012600) (360/61) − 1 ] . 100 ∴ i = 7,6695 % a.a.
d) Cálculo do PUNAR’ em 02/05/01:
Obs: Por causa da troca do indexador, para efeito de se calcular a Cotação CR’ de que 
se precisa, o PUNAR’ em 02/05/01 tem que ser o PU9 corrigido pelo novo indexador 
TJLP até o vencimento ou resgate do papel, ou seja, em 02/05/91.
PUNAR’ em 02/05/01 = PU9 . (1,0925) (15/252) = 1.017,118888 x1,005280 reais ∴
PUNAR’ = 1.022,489155 reais
e) Cálculo da Cotação CR’ em 02/05/01:
CR’ = PUR / PUNAR’ ⇒ CR’ = 1.027,280537 / 1.022,489155 ∴
CR’ = 1,004686 ⇒ CR’ = 100,4686 %
 
 f) Cálculo da nova T taxa para o lugar de 2% a.a. : 
T = [(1,004686) (360/23) − 1] . 100 ⇒ T = 7,5919% a.a. 
 Obs: outra forma de calcular T para o lugar da taxa de 2% a.a. da pergunta b:
1º) Cálculo do PUNA9 em 09/04/01 a partir do PU0:
PUNA9 = 1.000,00 (1,0925) (26/252) = 1.009,169502
2º) Cálculo da Cotação C9 em 09/04/01:
C9 = PU9 / PUNA9 =1.017,118888 /1.009,169502 = 1,007877 ∴
C9 = 100,7877 %
 3º) Cálculo da nova taxa T para o lugar da taxa de 2% a.a. :
 CR / C9 = 101,2600 /100,7877 = 1,004686 ⇒ FA de 09/04/01 a 02/05/01:
 T = [ (1,004686)360/23 − 1 ] .100 ⇒ T = 7,5919 % a.a.
5.3. MERCADO DE TÍTULOS FEDERAIS
120
Conceitos
 
A Política Monetária, realizada através do controle da taxa de juro no mercado 
interno pelo Bacen, dispõe de três instrumentos clássicos para a manutenção do 
equilíbrio dos chamados Meios de Pagamento no conceito M1, principal responsável 
pelo descontrole da economia. Esses instrumentos são: i) alteração da alíquota dos 
depósitos compulsórios; ii) idem da taxa do custo de assistência financeira de liquidez 
(redesconto de liquidez), ambos dirigidos primeiramente às Instituições Financeiras 
Monetária (Bancos Comerciais e Caixa Econômica Federal), mas de abrangência a todo 
o Sistema Financeiro por razões óbvias; iii) Operações de Mercado Aberto ou “Open 
Market Operations”, apontada para todo o mercado e de contundência generalizada 
inquestionável, pois ataca o problema da inflação/deflação na sua raiz e no exato 
momento em que a Autoridade Monetária o detecta.
Política Monetária
Já foi abordado anteriormente o problema da inflação e expostas as várias razões 
pelas quais ela aparece, enfatizando a principal que consiste no excesso dos Meios de 
Pagamento 16 (Depósitos à Vista nos Bancos Comerciais e na CEF e Moeda em Poder 
do Público) em “confronto” com a falta da quantidade adequada de bens e produtos. A 
recíproca também pode é verdadeira, pois quando há excesso de mercadoria e pouco 
dinheiro para comprar, pode acontecer o inverso, isto é, a mercadoria vai ficando cada 
vez mais barata muito além de uma depreciação aceitável e aí se tem a deflação. 
Pois bem, como nenhuma das duas situações extremas interessa a um país é que 
existem os instrumentos clássicos citados para o combate a elas, onde as Operações de 
Mercado Aberto ocupam o primeiro posto em eficácia e rapidez, porém com um 
custo adicional que os outros não têm. Atenção que se está falando em instrumentos 
clássicos de combate à inflação, já que existem outros mais heterodoxos e de que o 
Bacen lança mão, quando necessário. Através das Operações de Mercado Aberto a 
Autoridade Monetária consegue equilibrar a oferta monetária com a demanda mais 
facilmente e com rapidez, pois se está faltando dinheiro no mercado, ela recompra o 
volume necessário de seus papéis junto ao próprio mercado, injetando recursos. Mutatis 
Mutandi, no caso em que o mercado se apresenta com liquidez excessiva. Teoricamente 
o controle é simples, mas na prática é bem mais complicado, inclusive porque surgem 
variáveis políticas de difícil contorno. 
O custo do uso deste instrumento é alto porque quando o Bacen vende títulos ao 
mercado com a finalidade de fazer Política Monetária, as Reservas Bancárias recebidas 
devem ser esterilizadas, isto é, não podem ser reaplicadas em nenhum ativo dentro do 
Brasil 17, porque senão os recursos voltam para o mercado e aí não se fez Política 
Monetária. 
16 Este é o conceito chamado de M1 para os meios de pagamento. O mais simples e por isso mesmo o mais usado, como tudo 
na vida. Existem ainda os M2, M3 e M4, cada um com abrangência cada vez maior no número de Ativos componentes, 
usados para outras finalidades.
17 Poderiam ser aplicadas no Mercado Externo de reservas, no BIS (Banco Central dos Bancos Centrais) ou nos chamados 
Fundos Soberanos, modalidade nova de ativos pertencentes a países que começam a ser notados no cenário mundial.
Na Política Monetária restritiva, por exemplo, o Bacen vende títulos do Tesouro 
Nacional, com a finalidade de enxugar o excesso de liquidez, deixando para o Tesouro 
121
pagar os encargos e o principal e sem poder usar o que foi recebido na venda, a não ser 
no mercado internacional, onde a rentabilidade é muito inferior à doméstica.
A partir de fevereiro de 2002, as Operações de Mercado Aberto passaram a ser 
realizadas apenas com títulos do Tesouro Nacional, já que o Tesouro passou a ser o 
único emissor de papéis federais. Antes daquela data o BACEN emitia os seus títulos 
com finalidade exclusiva de Política Monetária (BBC,LBC, BBC-A e NBC-E) e o 
Tesouro fazia emissões, quase que exclusivamente, com fins de Política Orçamentária. 
Atualmente, o Bacen opera as suas NBC-E porventura ainda existentes, que foram 
colocadas anteriormente no mercado, tão somente para dar liquidez ao papel até a sua 
total extinção, já que desses títulos foi colocada uma quantidade muito grande e alguns 
com prazo longo. Assim, a atual Política Monetária através do Mercado Aberto é feita, 
só com papéis do Tesouro Nacional.
Política Orçamentária
A Política Orçamentária funciona como um cheque especial para o Governo que 
insiste em gastar mais do que arrecada e assim precisa equilibrar o seu orçamento sem 
fazer emissão de moeda, por ser altamente inflacionária O Tesouro Nacional emite o 
volume necessário de títulos e o Bacen, na condição de seu agente, coloca esse volume 
no mercado junto ao público e depois repassa o produto dessa operação para o Tesouro 
cobrir seu “déficit”. Na realidade, trata-se de uma transferência de recursos da parte rica 
do mercado para o governo, que através dos gastos, volta com os recursos ao mercado. 
Obviamente que essa manobra é muito menos inflacionária do que a pura e 
simples emissão de moeda como se fazia antigamente, porém, em compensação, 
aumenta a dívida interna que é hoje o maior problema do país, na área financeira.
Selic – Serviço Especial de Liquidação e 
Custódia
Precursor da Cetip, o Selic foi instituído em dezembro de 1979 e serviu de 
modelo para a posterior criação da Cetip, já que a finalidade e o funcionamento de 
ambos são muito parecidos. A administração do Selic cabe ao Bacen, através do 
DEMAB – Departamento de Mercado Aberto localizado na cidade do Rio de Janeiro 
– o único Departamento do Bacen que não está em Brasília-DF.
Inicialmente, a título de teste, o Serviço só admitia um papel federal, a LTN – 
Letra do Tesouro Nacional, operada com taxa de desconto bancário, idêntica aos 
“Treasure Bills” do mercado norte americano, portanto bem diferente da LTN de hoje. 
Posteriormente foram aceitos outros títulos públicos federais e estaduais – ORTN e 
ORTE.
Atualmente há uma grande variedade de papéis negociados no Selic, 
predominantemente de responsabilidade do Tesouro Nacional: LTN , LFT(N), NTN-C, 
NTN-D etc, quase todos seguindo a nova metodologia operacional criada no início do 
novo milênio, como vai ser visto a seguir. 
122
Padronização do Cálculo da Taxa de 
Rentabilidade dos Títulos Públicos Federais no 
Selic
Desde março/2000, representantes do Tesouro Nacional (STN), Banco Central 
(Bacen – Demab), CETIP, BM&F, ANDIMA, ABBI e BVRJ passaram a se reunir com 
o objetivo precípuo de padronizar a despadronizada forma de cálculo de rentabilidade 
dos diversos instrumentos do Mercado Financeiro, despadronização essa mais visível 
quanto à metodologia do cálculo, notadamente em relação à contagem dos dias, se úteis 
ou corridos, além da disparidade desta metodologia entre os papéis da dívida interna 
indexados à variação cambial e os títulos da dívida externa brasileira.
A primeira grande novidade foi a criação da DATA BASE = DB, inicialmente 
em 01/07/2000, a partir da qual são corrigidos, apenas pelo indexador, todos os papéis 
pós-fixados emitidos, calculando-se assim ao Valores Nominais Atualizados – VNA ou 
Preços Unitários Nominais Atualizados – PUNA, também chamados de papéis “carecas”, 
isto é, sem juros.
Daí, o trabalho se concentrou na identificação das variadas metodologias de 
cálculo dos papéis então em vigência e sua posterior simplificação a fim de que passasse 
a existir uma única forma de cálculo para os ativos de idênticas características, a partir 
de determinada data. Além disso, procurou-se adequar a metodologia de cálculo dos 
cupons de juros dos papéis da dívida interna indexados à variação cambial com a 
adotada para os títulos da dívida externa, os Globais, C-Bond e Par-Bond.
Assim decidiu-se que os ativos indexados à variação cambial passarão a ter a 
rentabilidade expressa utilizando-se a metodologia NASD 30/360 e cálculo dos cupons 
de juro pelo regime de JUROS SIMPLES.
Obs: Essas foram as únicas modificações estabelecidas para a negociação desses papéis, 
ou seja, a metodologia do cálculo da Cotação C, com quatro casas decimais e do PU, 
com seis casas decimais, continua a mesma, inclusive usando-se JUROS 
COMPOSTOS como antes. Para os demais ativos, a expressão da rentabilidade 
continuará pelo regime de JUROS COMPOSTOS, apenas passando-se a utilizar dias 
úteis, ano base de 252 du, ao invés de dias corridos e o cálculo dos cupons, se for o caso, 
permanecendo conforme atualmente, ou seja, usando JUROS COMPOSTOS.
As modificações / simplificações acima relatadas passaram a ser adotadas 
para os títulos de responsabilidade do Tesouro Nacional e do Banco Central 
negociados no SELIC, a partir de setembro/00. Ficou também acordado que o 
Bacen, a partir do ano 2002, não iria mais emitir papéis novos, passando a fazer 
Política Monetária com os títulos da Secretaria do Tesouro Nacional – STN, muito 
parecidos com os do Bacen, o que de fato veio a acontecer.
 Os demais papéis públicos (federais, estaduais e municipais) e os privados 
(CDB / RDB, Debêntures etc) deverão também seguir o mesmo caminho, como aliás é 
desejo do Bacen.
Mercados Primário e Secundário
123
 Os Títulos Públicos Federais, à exceção dos Precatórios, dos Securitizados e das 
TDA – E são negociados no SELIC, tanto no Mercado Primário ou Formal quanto no 
Informal. O Mercado Primário é o mercado só de leilões de vendas definitivas de títulos 
emitidos pelo Tesouro Nacional e servem a qualquer uma das duas finalidades de 
políticas já faladas. Esses leilões, em geral, são realizados formalmente às 3ª e 5ª 
feiras, cujo anúncio do volume total ofertado, tipo de papel, data de liquidação e 
vencimento é feito através de Portaria da Secretaria do Tesouro Nacional veiculada nos 
principais periódicos com 1 ou 2 dias de antecedência.
Há também os leilões informais e os “go around”, a qualquer dia e hora e as 
operações corriqueiras de mercado, envolvendo compra e venda de papéis (definitivas) e 
financiamento de posição (compra de papéis com revenda acordada e obviamente venda 
com acordo de recompra). Essas operações podem ser chamadas de Operações do 
Mercado Secundário e são desenvolvidas através de negociações entre os participantes 
autorizados, contando ou não com a intervenção negocial do Bacen. No caso de a 
Autoridade participar das operações (leilões informais e “go around), os papéis 
utilizados são os pertencentes à própria carteira do Banco Central, que os oferece ao 
mercado por intermédio dos “dealers” (instituições negociadoras do Bacen) para vendas 
definitivas ou vendas com acordos de recompra. Com as compras ao mercado acontece a 
mesma coisa ao contrário com os papéis comprados indo parar na carteira do Bacen. 
Existem também os leilões de oferta de dinheiro realizados pela Autoridade Monetária. 
NBC-E – Notas do Banco Central – Série E
Conceitos
As NBC-E são papéis pós-fixados de cupom, indexados à variação do valor de 
venda do “dollar” dos USA do dia útil anterior à Data Base (1º/07/2000 de valor R$ 
1,8000) ao valor do dia útil anterior ao da negociação, pelo simples motivo de a 
Autoridade Monetária somente dispor desse valor quando o mercado financeiro já 
encerrou as suas atividades do dia em curso. Os juros são pagos à taxa anual oferecida 
pelo Bacen nos leilões, transformada por juro simples em taxa semestral, que é a 
periodicidade com que eles são pagos – taxa do cupom − sobre o VNA – Valor Nominal 
Atualizado ou sobre o PUNA – Preço Unitário Nominal Atualizado pela variação do 
“dollar” no período mencionado. O principal dotítulo, corrigido com a mesma 
metodologia, porém do início ao fim do papel, é pago juntamente com o último juro de 
cupom no seu vencimento. 
Características Principais - Resolução nº 2.760 -27/07/00
 
a) Data-Base: data de referência para atualização do VN.
b) PU do Valor Nominal na DB: múltiplo de R$ 1.000,00 (mil reais).
c) Rendimento: taxa de juros definida pelo Banco Central do Brasil, com 2 
(duas) casas decimais, quando da emissão, em porcentagem ao ano, aplicada 
sobre o Valor Nominal atualizado pela variação da cotação de venda do 
“dollar” dos USA no mercado de câmbio de taxas livres Ptax 800, divulgado 
124
pelo BACEN, sendo consideradas as taxas médias do dia útil imediatamente 
anterior à data-base (hoje = 01/07/00) e à data de vencimento do título.
d) Pagamento de Juros: semestralmente, com ajuste de prazo no primeiro 
período de fluência, quando couber. O primeiro cupom de juros a ser pago 
contemplará a taxa integral definida para 6 (seis) meses, independentemente 
da data de emissão do título.
e) Prazo: definido pelo BACEN, quando da emissão do título. 
f) Modalidade: nominativa e negociável.
g) Resgate do principal: em parcela única na data de vencimento.
h) Cupom Semestral: a taxa de juros relativa ao cupom semestral será calculada 
pelo regime de juros simples e, portanto, corresponderá à divisão da taxa 
anual referida no inciso c por 2 (dois).
i) Negociação Primária: através de leilão formal ou informal (“go around”) do 
BACEN, cujas condições, na primeira modalidade serão divulgadas com 
antecedência de pelo menos 1 (um) dia pelo BACEN, através de 
COMUNICADO nos principais periódicos e a segunda, no mesmo dia e 
dirigida apenas aos participantes diretos (Instituições Financeiras e 
instituições autorizadas a operar pelo BACEN, ambas devidamente 
habilitadas a participar dos leilões). Qualquer pessoa, física ou jurídica, pode 
também participar dos leilões, porém deve fazê-lo através das instituições 
habilitadas.
j) Na formulação das propostas deverá ser utilizada a cotação C com 4 (quatro) 
casas decimais (4 com) e expressa em %.
k) PU: O Preço Unitário a ser utilizado na liquidação financeira será 
considerado com 6 (seis) casas decimais, desprezando-se as restantes 
(6 sem) e adotando-se a seguinte sistemática de cálculo :
PU = C x valor par, onde :
 100
C = cotação em % ao ano.
valor par = tct x valor nominal na data base , sendo :
 tcto
tct = cotação de venda do “dollar” dos USA do dia útil imediatamente anterior 
ao da liquidação.
tcto = idem do dia útil imediatamente anterior à data-base.
l) Negociação Secundária: idêntica à negociação primária nas operações de 
compra e venda definitivas ; nos financiamentos, usa-se a taxa “Over” anual 
sobre o PU de mercado (PU calculado da mesma maneira que na negociação 
primária), com os dias contados em du ou saques e taxa “over” anual .
m) Expressão das taxas e Fórmulas – NASD 30 / 360
 k = n
1ª) C = ∑ P k onde: (30)
 k = 1 [1 + TIR ] (dk /360)
 100
C = cotação para uma determinada TIR ou “IRR” com 4 (quatro) casas 
decimais expressa em %.
125
PK = K-ésimo pagamento do título (cupom e/ou cupom + principal) com 6 (seis) 
casas decimais expresso em %.
TIR = taxa interna de retorno com 2 (duas) casas decimais (2 com) expressa em 
% ao ano.
dK = número de dias entre a data da liquidação da operação e a data do 
vencimento (data - calendário) do K-ésimo pagamento, calculado com base na 
convenção 30/360, conforme o Comunicado BACEN nº 7.818 de 31/08/2000.
 n = número de pagamentos do título (cupom e/ou cupom + principal)
 2ª) PU = C . PUNA onde: (31)
 100
 PU = Preço Unitário de negociação com 6 (seis) casas decimais (6 sem)
 PUNA = PU Nominal Atualizado pelo indexador (câmbio) desde a data-base até o 
dia da liquidação
 3ª) i = [ [ 1 + TIR ] 1/2 − 1] ] x 2 x 100 onde: (32)
 100
i = taxa nominal com 2 (duas) casas decimais (2 com) expressa em % ao ano.
Exercícios Resolvidos e Propostos
1. No dia 28/12/00, de 12:00 às 13 :00 hs, o Bacen acolherá propostas das Instituições 
habilitadas, no leilão de NBC – E de sua carteira, de que trata a Resolução nº 2.760 
de 27/07/00, a preços competitivos, conforme as características abaixo 
(COMUNICADO Nº 8.100 de 26/12/00).
Código = 180199 DB = 01/07/00 Emissão = 13/12/00
Vcto. = 12/06/03 TX. Juros =12,00% ao ano Quantidade = 1.590 (MIL)
 PU na DB = R$ 1.000,00 Liquidação = 02/01/01
Calcular o valor da cotação C e da taxa i (taxa nominal) na TIR = 10,45 % a.a., que 
foi a taxa aceita pelo Bacen no leilão e também o PU0 _ (Fig.5.6).
 106%
 
 C
 
 02/01/01 6% 6% 6% 6%
 E L d 180 180 180 180
 13/12/00 12/06/01 12/12/01 12/06/02 12/12/02 12/06/03
 PU0
............................... 340............................. 160..................׀ 520 
............................700................................. 880
Fig. 5.6
126
a) Cálculo do número de dias corridos d pela Convenção Nasd 30/360 do dia da 
liquidação 02/01/01 até 12/06/01, dia do vencimento do primeiro cupom. Os 
outros intervalos são todos de 180 dias = 1 semestre ou ½ ano, pela citada 
Convenção:
1ª) Através da fórmula contida no Comunicado Bacen nº 7.818 de 31/08/00:
d = (2001 – 2001) . 360 + (06 – 01) . 30 + (12 – 2) ∴
d = 0 + (5 . 30) + 10 = 160 ∴ d = 160 dias ou
 
2ª) Usando a programação da HP – 12C:
2,012001 ENTER 12,062001 g ∆DYS _ visor = 161 x><y _ visor = 160 dias ou
 
3ª) Usando a programação do Excel:
1.Colocar na planilha do Excel as duas datas na ordem cronológica e a incógnita d, 
como está no Quadro 5.1 à frente _ células A3, A4 e A5, respectivamente.
2. Selecionar uma célula para receber o resultado que se quer ⇒ B5.
 3. A programação do Excel para este cálculo é: =dias360(A3;A4;0) que pode ser feito 
em qualquer célula livre, por exemplo, a B5.
4. Dar o Enter _ na célula B5 previamente selecionada aparece 160. 
 
b) Cálculo de C à TIR = 10,45 % a.a. _ C = f (TIR) ou C = f (10,45%):
1º) Calculando C pela fórmula matemática abaixo:
C = 6%/(1,1045)(160/360) + 6%/(1,1045)(340/360) + 6%/(1,1045)(520/360) + 6%/(1,1045)(700/360) +
 + 106%/(1,1045)(880/360)
C = 5,7407% + 5,4624% + 5,1976% + 4,9456% + 83,1361% ð C = 104,4824%
2º) Calculando C pelo Excel: 
Quadro 5.1
1. O Excel vai usar também a mesma fórmula matemática, só que na sua linguagem. 
Esta linguagem se encontra na régua superior do Quadro 5.3.1 acima e ela deverá 
127
ser iniciada em uma célula qualquer desocupada, por exemplo a B8, onde vai 
aparecer o resultado da C final procurada, depois de executados os cálculos.
2. Antes do início do preenchimento da fórmula em B8, coloca-se em A7 a 
identificação do que virá a seguir na linha 7, que é TIR e em B7, o seu valor 
na negociação = 10,45% a.a. ou 0,1045. O Excel aceita as duas formas da taxa.
3.Idem em A8, vai a letra C (cotação), exatamente como está no Quadro 5.1.
4. Agora se inicia o preenchimento da fórmula em B8 na linguagem do Excel e só para 
recordação tem-se: * é o sinal de multiplicação e ^ é o de potenciação, como o 
leitor certamente já se lembrou. O resto é a própria fórmula matemática em questão e 
usada como tal, somente tendo o cuidado com os parênteses que são extremamente 
necessários e importantes, pois é através deles que se faz a complementação exata 
do que se espera da fórmula, na linguagem do programa. A fórmula, que está na 
régua superior em fx, deve ser escrita usando-se o nome da célula (Letra Número) 
sempre que o número que lá está puder ser modificado para se proceder a outros 
cálculos com variáveis de valores diferentes e se poder aproveitar a fórmula já 
grafada.
5. Terminada a fórmula, se dá o Enter e aparece em B8, a cotação, no caso, de valor 
unitário 104,4824, mas que na realidade é 104,4824%, dado que os numeradores das 
frações da fórmula matemática usada são percentuais.
a) Cálculo da taxa nominal i ð i = (1,104500 (1/2) – 1) x 2 x 100 ð i = 10,19 % a.a.
b) Cálculo do PU0 = C . PUNA 
 100
PU0 = C . tct . PU , onde PU = R$ 1.000,00 (na DB = Data Base)
 100 tcto
Ptax fornece: tct = R$ 1,9554 (em 29/12/00) _ 6ª feira
 tcto = R$ 1,8000 (em 30/06/00) _ 6ª feira 
PU0 = 104,4824 . 1,9554 . 1.000 _ PU0 = 1.135,027138 reais
 100 1,8000
2. No caso do exercício anterior, se uma I.F. que tiver tido êxito no leilão, quiser 
vender o papel no dia 09/02/01 à TIR = 10% a.a., qual será o valor do PU9 de 
negociação?
a) Cálculo do PUNA9 em 09/02/01:
Ptax _ US$ 1,00 = R$ 1,9959 em 08/02/01
PUNA = 1.000 . 1,9959 _ PUNA = 1.108,833333 reais
 1,8000
b) Cálculo da C em 09/02/01 a 10 % a.a. de taxa real (TIR):
128
d = (01 – 01) . 360 + (06 – 02) . 30 + (12 – 9) = 123 _ número de dias 
de 09/02/01 a 12/06/01 pela Convenção Nasd 30 / 360 
1º) Calculando C pela fórmula matemática abaixo:
C = 6% + 6% + 6% + 6% + 106% ∴
 1,10 (123/360) 1,10 (303/360) 1,10 (483/360) 1,10(663/360) 1,10 (843/360)
C = 5,8078% + 5,5375% + 5,2798% + 5,0341% + 84,7965% _ C = 106,4556% 
 
2º) Calculando C pelo Excel 18 
Quadro 5.2
Como está dito na nota 4 de rodapé desta página, atuando no Quadro 5.1, basta 
que se insira na célula A3 a nova data inicial 9/2/2001 e dê o Enter que aparecerá 123 
em B5; depois se coloca em B7 a nova taxa TIR = 10%, que ao dar o Enter aparecerá 
a nova Cotação C = 106,4556%, pois as características do papel não foram modificadas, 
apenas o dia da negociação e a taxa é que mudaram _ Quadro 5.2
c) Cálculo do PU9 
PU9 = 106,4556 . 1.108,833333 _ PU9 = 1.180,415178 reais
 100
3. Se o comprador do papel do exercício nº 2 pelo PU9 = 1.180,415178, financiá-lo de 
09/02/01 a 01/03/01 à taxa de 15,47 % a.a., qual o valor PU1 da recompra?
Redoma _ de 09/02/01 a 01/03/01 = 12 du
PU1 = 1.180,415178 . (1,154700) (12/252) ∴
PU1 = 1.180,415178 . 1,006873 _ PU1 = 1.188,528246 reais
129
4. Ainda no dia do leilão do exercício nº 1 , se a I.F. tivesse feito a sua proposta 
na C = 104,6012 %, quais teriam sido: a TIR utilizada , a i correspondente e 
o PU0 de negociação?
18 Como as características do papel não foram modificadas, apenas o dia e a taxa da negociação, pode-se substituir as células 
B5 e B7 do Quadro 5.1 pelos novos valores d = 123 (colocando a nova data inicial 9/2/2001 em A3) e TIR = 10% em B7, 
variáveis que mudaram do exercício nº 1 para o nº 2 , respectivamente. Dando o Enter a nova Cotação pedida C = 
106,4556% aparecerá.
a) Cálculo da TIR para uma C = 104,6012% 
104,6012 = 6 + 6 + 6 + 6 +
 [1 + TIR ]160/360 [1 +TIR ]340/360 [1 + TIR ]520/360 [1 + TIR ]700/360 
 100 100 100 100 
 + 106% 
 [1 + TIR ]880/360 
 100
1º) A HP –12C faz o cálculo da TIR na equação acima pelo método iterativo ou das 
tentativas, com os seguintes passos :
104,6012 CHS g CF0 Visor = (104,601200)
0 g CFj Visor = 0,000000
99 g Nj Visor = 99,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
60 g Nj Visor = 60,000000
6 g CFj Visor = 6,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
99 g Nj Visor = 99,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
80 g Nj Visor = 80,000000
6 g CFj Visor = 6,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
99 g Nj Visor = 99,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
80 g Nj Visor = 80,000000
6 g CFj Visor = 6,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
99 g Nj Visor = 99,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
80 g Nj Visor = 80,000000
6 g CFj Visor = 6,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
99 g Nj Visor = 99,000000
0 g CFj Visor = 0,000000
80 g Nj Visor = 80,000000
106 g CFj Visor = 106,000000
 RCL n Visor = 15,000000
 f IRR Visor = 0,027468 % a.d.
130
“IRR” = TIR = [(1 + 0,027468) 360 − 1 ] . 100 _ TIR = 10,3925% a.a.
 100
Obs: Na programação da HP – 12C n tem que ser ≤ 20, porque é aí que se encontra o 
limite da máquina. Como n = 15, tudo bem. 
2º) Cálculo da TIR pelo Excel → Quadro 5.1: para evitar diferenças de 
arredondamento, fazer o Quadro 5.1 que vai ser usado no início, com o cupom = 6 e 
não = 6%. Assim, vai-se trabalhar com as cotações em número absoluto e não em 
percentual. 
1. Escrever qualquer taxa, por exemplo 8%, na célula B7 em cima da taxa 10,45%. 
2. Ao selecionar a célula B9 (que vai receber a nova Cotação de 104,6012), B8 
imediatamente apresenta a C = 109,7344 para a taxa de 8%, que é verdadeira para 
esta taxa, pois as características do papel não mudaram, apenas a TIR é que mudou, 
fazendo alterar a cotação inicial de 104,4824 do exercício n° 1.
3. Grafar a nova C = 104,6012 na célula B9 e selecionar a célula A9.
4. Colocar a diferença entre as duas Cotações, (=B8 − B9) na célula A9 e dar o Enter. 
Na célula A9 aparecerá a diferença pedida, no valor de 5,1332 → selecionar A9.
5. Clicar em Ferramentas (barra superior) → aparece a 1ª janela.
6. Clicar em Atingir Meta da 1ª janela → aparece uma 2ª janela com três linhas: 
 Definir Célula – A9 → já foi definida ou selecionada no ítem 4 acima.
 Para Valor – colocar 0 (zero). 
 Variando Célula – colocar B7.
7. Dar OK ou Enter → 3ª janela: Status do comando de atingir meta, onde vem:
 Atingir Meta com a célula A9 → encontrou uma solução.
 Valor do destino: 0
 Valor atual: 0,0000 → pois se B8 – B9 = 0 ⇒ B8 = B9
8. A nova TIR = 10,3925% aparece na célula B7.
9. A célula B8 também se altera entrando o valor da nova Cotação dada C = 104,6012. 
 10. Dar OK → desaparece a 3ª janela e fica apenas o Quadro 5.3 abaixo. 
Quadro 5.3
131
Obs: Reparar que o Atingir Meta da 1ª janela (ítem 6), consiste em tornar a diferença 
entre a Cotação da taxa de 8% (qualquer) colocada na célula B8 e a Cotação da 
nova taxa (TIR) procurada, que é dada na célula B9, igual à zero, porque isso provoca 
o aparecimento em B7 da TIR procurada, pois esta TIR vai produzir uma Cotação 
igual à Cotação de 104,6012, uma vez que, se (B8 − B9 = 0) ⇒ B8 = B9.
b) Cálculo dataxa nominal i :
 
i = [ (1 + 10,392492 ) (1/2) − 1] x 2 x 100 _ i = 10,14 % a.a.
 100
c) Cálculo do PU0 de negociação:
PU0 = C . PUNA ∴ PU0 = 104,6012 . 1,9554 . 1.000 ∴
 100 1,8000
 
PU0 = 1.136,317702 reais
5. “O Banco Central do Brasil (Comunicado nº 8.376 de 19/04/01) torna público que 
acolherá das 16:20 hs às 16:40 hs do dia 19/04/01, propostas das Instituições 
Financeiras participantes do Sistema de Oferta Pública Formal Eletrônica 
(OFPUB) e devidamente cadastradas de acordo com o Comunicado nº 5.377 de 
18/11/96, para compra de Notas do Banco Central – Série E (NBC – E) de sua 
carteira, a preços competitivos, conforme as características abaixo:
 Código DB Emissão Vencimento Taxa de Quantidade V N na
 Juro (em mil) Data Base
 180199 01/07/00 20/03/01 06/09/01 12 % a.a. 1.000 R$ 1.000,00
I - Data da Liquidação = 20/04/01
II - Na propostas deverá ser utilizada a Cotação com 4 casas decimais. 
132
III- O preço unitário (PU0) a ser utilizado na liquidação financeira será 
considerado com 6 casas decimais, desprezando-se as restantes (6 sem), sendo 
adotada a seguinte sistemática de cálculo:
 PU0 = Cot x valor par, onde:
 100
 valor par = tct x VN → na Data Base, sendo:
 tct0
tct = valor de venda do “dollar” dos USA do dia útil imediatamente anterior ao 
da liquidação financeira → R$ 2,1882
 tct0 = ídem do dia útil imediatamente anterior à Data Base → R$ 1,8000”
 a) Calcular a Cotação C do título na taxa anual de 10,50 % (taxa aceita pelo 
BACEN) e o PU0 utilizado na liquidação financeira.
 b) Se em 18/05/01 (Ptax 800 → R$ 2,3036 por “dollar”) houver uma 
negociação do papel pelo PU = 1.317,60 reais, qual terá sido a TIR acordada na 
negociação ?
 Resp. a) C = 102,0762 % e PU0 = 1.240,906337 reais b) TIR = 10,20 % a.a.
 
6. Para conter os ataques especulativos contra o Real , segurando a disparada do 
“dollar”, o BACEN se viu compelido a fazer um “go around” de venda de NBC – E 
na tarde do dia 24/05/01. No leilão informal, com liquidação para o dia seguinte, a 
Autoridade Monetária ofereceu a quantidade de 1.000.000 de títulos cambiais 
com vencimento em 14/03/02 e juros anuais de 12 %. Como a procura foi três 
vezes superior à oferta, a TIR pedida pelo mercado e aceita pelo BACEN ficou 
em 8,50 % a.a. O Ptax 800 informa o valor do “dollar” em 24/05/01 como 
sendo de R$ 2,3494.
a) Calcular o PU0 de compra no “go around ” dentro dos dados apresentados.
b) Calcular a TIR do papel numa venda efetuada no dia 14/09/01 à C = 106,0000% 
 Resp. a) PU0 = 1.372,232331 reais 
 b) TIR = 0,00 %
7. Ainda na tentativa de segurar a alta do “dollar” , o BACEN fez um “go around” de 
venda de 800.000 títulos NBC – E no dia 30/05/01 para liquidação em 
01/06/01 . Sendo os juros de 12 % a.a. e vencimento do papel em 18/04/02, 
calcular: 
a) A Cotação do título à Taxa Nominal que o BACEN aceitou de 7,89 % a.a. e o 
PU0 de liquidação, com o Ptax 800 fornecendo o valor de venda do “dollar” dos 
USA em 31/05/01 = R$ 2,3600 .
b) A TIR do papel para venda em 16/11/01 a uma Cotação de 103,2020 %
 Resp. a) C = 104,8436 % e PU0 = 1.374,616099 reais 
 b)TIR = 6,54 % a.a.
133
8. A Prefeitura de uma cidade mineira captou um empréstimo no mercado interno, 
através do lançamento de grande quantidade de títulos de Valor Nominal Unitário 
igual a R$ 1.000,00 cada, pagando 10 cupons semestrais no valor de R$ 60,00 cada e 
vencíveis ao fim de cada semestre. Dessa forma, ao fim do 5º ano após o 
lançamento, a Prefeitura deverá pagar o décimo e último cupon acrescido do Valor 
Nominal do título. Considerando que os papéis foram lançados com ágio de 7,72% 
sobre o VN, calcular a Taxa Interna de Retorno – TIR paga pela Prefeitura na 
captação do empréstimo. Desprezar as custas de registro da operação, de 
intermediação etc.19
Resp. TIR = 5,00% a. s. (10% a. a. de Taxa Nominal Anual) ou Tef. anual = 
10,25% 
19 Como é fácil perceber ao resolver o problema, os cálculos são idênticos aos usados no exercício nº 7 anterior, só que não 
existe a correção cambial. Este é o modelo de cálculo dos títulos da dívida externa dos paises realizado no mercado norte-
americano, onde se usa o “dollar”, obviamente, como unidade monetária, isto é, a correção monetária já é feita na própria 
moeda de negociação.
LTN – Letra do Tesouro Nacional
Conceitos
 Trata-se de um papel pré-fixado com deságio cujo PU de resgate é R$ 1.000,00 e 
de que o Bacen só lança mão quando há estabilidade nas taxas de juro do mercado para 
evitar prêmio (taxa) muito alto na colocação. Os leilões formais geralmente acontecem 
às 3ª feiras com liquidação no dia útil seguinte. Já os informais, a qualquer dia e hora. 
Vide Capítulo 5.1.
Características Principais
 . Rendimento – pré-fixado por meio de deságio sobre o PU obtido através da 
taxa interna de retorno TIR que o comprador queira ganhar e 
normalmente calculada pelo operador chefe da mesa de Open da 
Instituição Financeira.
 . Valor Nominal – PUR ou preço unitário de resgate de R$ 1.000,00 → o 
que o caracteriza como papel de deságio.
 . Negociação Primária – nos leilões formais quando as Instituições 
credenciadas fazem a suas ofertas enviando propostas contendo 
apenas o PU desagiado com 6 casas decimais e a quantidade de 
títulos que desejam, sempre um número múltiplo de 50 títulos. 
Nos informais, através do correio eletrônico indicando os 
mesmos dados acima.
 . Negociação Secundária – operando no Mercado com outra Instituição 
Financeira credenciada. Nas operações compromissadas – 
compra com revenda e venda com recompra ou operações de 
134
financiamento – utilizando sempre a taxa anual “Over” tutelada 
pela taxa Selic. Nas operações definitivas, se usa o PU projetado 
pelo operador chefe que o calcula desagiando o resgate (R$ 
1.000,00), de acordo com as taxas vigentes para cada 
vencimento diferente.
 . Tributação – idêntica à vista nos títulos privados.
Exercícios Resolvidos
 
 1. Calcular o PU0 a ser licitado por uma I.F. interessada em adquirir um lote de LTN 
no leilão de 27/07/04 com vencimento em 06/04/05.
 Redoma _ de 28/07/04 a 06/04/05 _ 173 du _ liquidação em 28/07/04
 BM&F projeção da taxa de juros “Over” ou efetiva anual em 27/07/04 ⇒ 17,04 %
 PU0 = 1.000,00 x FD onde:
 FD = 1 = 1 = 0,897611
 (1,1704) (173/252) 1,114069
 PU0 = 897,610557 reais _ sempre com 6 casas decimais 
2. Se a I.F. do exercício anterior financiasse a posição total de LTN arrematada no 
leilão por 19 du a 15,77 % a.a., qual seria o PU19 de volta ? 
 PU19 = PU0 (1,1577)(19/252) = 897,610557 x 1,011102
 PU19 = 907,575765 reais
 
 3. Se ainda no mesmo dia da recompra efetuada no exercício anterior a I.F. vendesse 
definitivamente a sua posição de LTN com um deságio de 16,85 % a.a., qual teria 
sido o seu resultado financeiro por PU ? De quanto ? 
PUV = 1.000,00 x FD = 1.000,00 1 = 1.000,00
 (1,1685)(154/252)1,099838
 PUV = 909,224940 reais 
 R = 909,224940 − 907,575765 = 1,649175 reais de lucro por PU
 OBS : Caso a quantidade de títulos fosse de 40.000 : 
 L = 1,649175 x 40.000 = R$ 65.966,98
135
LFT (N) – Letra Financeira do Tesouro 
Conceitos
 Papel pós-fixado do Tesouro vendido ao mercado de maneira semelhante à 
LTN, com a diferença de que o Governo o lança nos momentos delicados do mercado, 
quando, por exemplo, um país de importância para a economia mundial começa a ter 
problemas que contagiam a credibilidade dos países emergentes, fazendo com que a 
inflação e taxa de juro desses países comecem a subir além de suas oscilações 
normais, exatamente como aconteceu com a Argentina em julho/01, atingindo os 
países vizinhos.
 
 O interessante é que nem o Governo nem o mercado tem preferência por esse 
papel (excetuando-se os grandes Bancos de varejo). O governo, pelo fato de fazer 
melhor a Política Monetária ou Orçamentária usando títulos de renda pré-fixada, 
quando já se sabe a priori o custo que vai ter e o mercado porque, com a LFT(N), 
aufere rendimentos muito pequenos proporcionalmente ao volume de papel que 
devem carregar, em comparação com os outros Ativos existentes, inclusive a LTN. 
Assim, o Bacen, principalmente no intuito de evitar a alta taxa que certamente o 
mercado vai pedir nessas ocasiões de crise para comprar os papéis pré- fixados, faz o 
leilão com LFT (N) e o mercado cativo desse papel (grandes bancos) compra tudo.
Características Principais
 
.Rendimento: pós-fixado através da média ponderada pelo volume dos financiamentos 
diários nas operações do SELIC e não exatamente igual à taxa 
SELIC. Por isso, com esse papel é quase impossível se perder dinheiro 
pois, se o seu custo de carregamento ou de financiamento, balizado na 
taxa SELIC sobe, o seu rendimento também sobe e vice-versa. 
Assim nesse vai e vem, o papel se torna muito interessante para os 
grandes Bancos de varejo, que não têm e nem querem ter 
especialização sofisticada no assunto. Compram grandes volumes do 
título e se financiam junto à clientela, que é enorme, a um custo 
realmente muito mais baixo do que o rendimento do papel e por prazos 
superiores a 15 dias devido ao IOF nas aplicações financeiras.
.Valor Nominal: o PU tem um valor nominal igual a R$ 1.000,00 na emissão, o 
que o caracteriza como papel de ágio. 
.Negociação Primária: da mesma maneira que a LTN, com os leilões formais 
acontecendo às 5ª feiras para liquidação no dia útil seguinte. Como se 
trata de papel de ágio a sua negociação primária é feita ao par pelo valor 
nominal ou com um pequeno ágio, se houver muita procura ou 
pequeno deságio, caso contrário. As propostas por ocasião dos leilões, 
são enviadas pelas Instituições credenciadas através da Cotação C 
com 4 casas decimais, que reflete como veremos, o PU de Custo 
ao par, com ágio ou com deságio que os interessados possam estar 
dispostos a pagar. Atualmente essa Cotação é calculada usando-se 
136
apenas a taxa “Over” e junto com ela vai também a quantidade Q de 
títulos, sempre em número múltiplo de 50 títulos. 
.Negociação Secundária: usando-se a taxa “Over” anual nos financiamentos e 
também nas negociações definitivas de compra /venda quando o 
papel está perto do seu vencimento. Nos outros casos, o PU de 
negociação é aproximadamente o PU do papel naquele dia dado pelo 
BACEN ou usando a marcação a mercado a ser vista. Devido ao 
mercado cativo desse papel, as negociações definitivas de compra 
/venda acontecem muito poucas vezes. Praticamente, ninguém vende.
.Tributação: exatamente igual à LTN
Exercícios Resolvidos
1. O BACEN está leiloando um lote de LFT com emissão em 25/05/2004 e 
vencimento em 11/02/2005. O Banco A está interessado e como há boa procura o 
Banco se dispõe até a pagar um pequeno ágio de 0,0420% a.a. Qual será a cotação 
C que a I.F. enviará ao BACEN ?
Redoma _ papel de 181 du
C = 100 (1 + 0,042) (181/252) = 100 x 1,000302 = 100,030165 %
 100
C = 100,0302 % _ com 4 casas decimais
PU0 = 100,0302 % s/ 1.000,00 _ PU0 = 1.000,302000 reais c/ 6 decimais
2. No caso anterior, havendo pouca procura mas ainda assim o Banco A querendo o 
papel, qual seria a cotação C a ser enviada ao BACEN para um deságio anual de 
0,042 % ? 
C = 100 x 1 = 100 x 1 = 100 x 0,999698
 (1 + 0,042)181/252 1,000302
 100
C = 99,9698 %
PU0 = 999,698000 reais
3. Num leilão informal de LFT da sua carteira, o BACEN está licitando no dia 
02/08/2004 um lote com emissão em 14/05/2004 para vencimento a 28/01/2005. 
Sabendo que da emissão do título até o “go around”, num prazo de 55 du, a taxa 
média efetiva Selic foi de 15,77 % a.a. e o papel sofreu deságio de 0,10 % a.a. no 
leilão, qual o valor da cotação que arrematou a licitação ? 
 PUgo 
 PU0 28 
 01
137
55...................... ׀ du .....................................................125 du ........................................05 
 14 02
 05 08
 04 04
 PUR
Fig. 5.7
PU’go = 1.000,00 (1,1577)(55/252) = 1.000,00 x 1,032476 = 1.032,476289 reais
PUgo = PU’go desagiado a 0,10 % a.a. por 125 du
PUgo = PU’go x FD
FD = 1 = 1 = 0,999504
 (1,0010)(125/252) 1,000496 
C = FD x 100 = 99,9504 % 
PUgo = C x 1.032,476289 = 99,9504% x 1.032,476289
PUgo = 1.031,964531 reais
4. Se com o PUgo do exercício anterior a I.F. que arrematou o “go around” tivesse se 
financiado a 15,30 % a.a. até o dia 18/08/04 (12 du) e nesse dia vendesse o papel na 
cotação C = 103,1530 %, ela teria tido lucro ou prejuízo ? de quanto ?
 PU18 = 1.031,964531 (1,1530)(12/252) = 1.038,984392 reais
 PUV = C x PU0 = 103,9785 % x 1.000,00 = 1.039,785000 reais
 L = PUV − PU18 = 0,800608 reais de lucro por PU.
 Obs: O PU18 é o PU de Custo da carteira da I.F. na abertura do dia 18/08/04, não 
significando necessariamente que seja nem o PU atualizado pelo BACEN nem 
muito menos o PU de negociação da LFT naquele dia e, obviamente, quanto 
menor, melhor. Sim, porque o segredo desse papel especificamente é, além de 
comprá-lo pelo PU mais baixo possível, ir se financiando abaixo da taxa efetiva Selic 
e no resgate ou numa venda definitiva, anterior ao resgate, estar com um PU de 
Custo de carteira (PU18 no caso) o menor possível, auferindo assim maior lucro. Por 
isso é que esse papel é bom para os grandes Bancos que conseguem se financiar junto 
à clientela bem abaixo da taxa efetiva Selic e, com a grande alavancagem que têm – 
patrimônio líquido acumulado maior – podem carregar enormes volumes do papel 
obtendo maiores lucros ainda.
NTNC – Nota do Tesouro Nacional – Série - C
Conceitos
138
Papéis pós-fixados de cupom, cujo indexador é o IGP – M da FGV, adotando-se 
a variação do índice mensal do mês anterior aoda Data Base até o mês anterior ao da 
data da negociação. Os juros são pagos à taxa semestral equivalente à anual (juros 
compostos) fixada pelo governo sobre o VNA ou PUNA. O principal do título, corrigido 
usando a mesma metodologia, é pago no seu vencimento junto com o juro do último 
cupom. 
Características Principais - Decreto 3.540 - 1/07/2000
Portaria nº 442 de 05/09/2000
a) Data-Base: igual a NBC – E 
b) PU do Valor Nominal na DB: igual a NBC – E 
c) Rendimento: taxa de juros definida pelo Sr. Ministro de Estado da Fazenda 
com 2 (duas) casas decimais, quando da emissão, em porcentagem ao ano, 
aplicada sobre o Valor Nominal atualizado pela variação do Índice Geral de 
Preços – Mercado, IGP – M da FGV, do mês anterior ao da Data Base (hoje = 
junho/2000) ao mês anterior ao da negociação ou do vencimento do título.
d) Pagamento dos Juros: igual a NBC – E 
e) Prazo: definido pelo Sr. Ministro de Estado da Fazenda, quando da emissão 
do título (“igual” à NBC – E )
f) Modalidade: igual a NBC – E 
g) Resgate do principal: igual a NBC – E 
h) Cupom Semestral: a taxa de juros relativa ao cupom semestral será 
calculada pelo regime de juros compostos usando-se a fórmula abaixo onde 
T é a taxa referida no inciso c : 
Cupom = [ ( 1 + T ) 1/ 2 − 1 ] . 100 (33)
 100
i) Negociação Primária: igual à NBC – E 
j) Formulação das propostas: igual à NBC – E 
k) PU: o Preço Unitário a ser utilizado na liquidação financeira será considerado 
com 6 (seis) casas decimais, desprezando-se as restantes (6 sem) - igual à 
NBC-E, e adotando-se a seguinte sistemática de cálculo, conforme o 
disposto na Portaria MF / STN nº 490 de 29/11/99:
PU = C . PUNA ou C . VNA, onde: 
 100 100
C = cotação com 4 (quatro) casas decimais, para uma determinada TIR ou 
“IRR” e expressa em % .
PUNA (ou VNA) = PU Nominal Atualizado (ou Valor Nominal Atualizado), sendo 
:
1º) Atualização com prazo em número inteiro de meses:
PUNA = PUDB NI0 , onde:
 NIADB
139
PUDB = PU do Valor Nominal na Data-Base = R$ 1.000,00
NI0 = Número Índice de preços do IGP-M relativo ao mês anterior ao da 
liquidação
NIADB = idem relativo ao mês anterior ao da DB , hoje junho / 00
2º) Atualização com prazo inferior a 1 (um) mês completo :
PUNA = FRA . NI0 . PUDB, onde :
 NIDB
FRA = Fator de Rendimento Ajustado = [ NIDB ] (d1/dt) , sendo:
 NIADB
NIDB = Número de Índice de preços do IGP-M do mês da DB
NIADB = idem ao mês anterior ao da DB
D1 = número de du entre a data de emissão do título (inclusive) e o primeiro dia 
do mês subsequente ao da emissão (exclusive)
dt = número de du correspondentes ao mês da emissão
Obs: o segundo processo de atualização com prazo não inteiro de meses não está 
sendo usado. O BACEN tem feito os leilões de NTN – C para liquidação no início de 
cada mês com a variação do IGP – M do mês anterior valendo para todo o mês da 
liquidação e consequentemente o PUNA desse início de mês vale para todo o mês .
i) Negociação Secundária: igual a NBC-E
 m) Expressão das Taxas e Fórmulas: JUROS COMPOSTOS NO ANO de 
252 du
 
 k = n
1º) C = ∑ PK onde:
 k = 1 1 + TIR (dk / 252)
 100
C = cotação para uma determinada TIR, calculada usando-se dias úteis ou 
saques, com 4 (quatro) decimais e expressa em %.
PK = K - ésimo pagamento do título (cupom e/ou cupom + principal) com 6 
(seis) casas decimais e expresso em %.
TIR = igual a NBC – E 
dK = número de dias úteis entre a data da liquidação da operação e a data do 
vencimento (data-calendário) do K-ésimo pagamento, calculado em dias úteis ou 
saques, conforme pode ser visto nos exercício à frente.
n = igual a NBC – E 
 2º) PU = C x PUNA onde :
 100
140
 PU = Preço Unitário de negociação com 6 (seis) casas decimais (6 sem)
 PUNA = já explicado
Exercícios Resolvidos e Propostos
1. O Secretário do Tesouro Nacional, substituto, no uso de suas atribuições vem tornar 
públicas as condições específicas a serem observadas na oferta pública de Venda de 
NTN – C, cujas características estão definidas no Decreto nº 3.540 de 11/07/00” 
(Portaria nº 492 de 26/09/00):
 Prazo do Quantidade VN na DB Taxa de DB Data da Data 
 Papel em mil Juro Emissão Vcto.
 1.734 dc 500 R$ 1.000,00 6% a.a. 01/07/00 01/07/00 
01/07/05
Divulgação do resultado de venda das NTN – C: no dia 26/09/00 a partir das 15 :00 hs. 
Calcular o valor da C na TIR = 11,20 % a.a. que foi a taxa aceita pela STN no leilão e 
calcular também o valor do PU0 _ (Fig.5.8).
102,956301
 C
02 = 01
10
00 
 2,956301 2,956301
 
 L
01 02 02 02 01 02 01 02 01 03 01
07 01 07 01 07 01 07 01 07 01 07
00 01 01 02 02 03 03 04 04 05 05 
 PU0 
 0................. 61............. 185...........311........... 434.............564............686...........817............941 ..........1.069....... 1.193
Fig. 5.8
a) Cálculo do cupom ð [(1 + 6) (1/ 2) − 1] . 100 = 2,956301%
 100
b) Cálculo do PUNA em 02/10/00 :
PUNA = FRA . NI09/00 . 1.000 , sendo : FRA = [ NI07/00 ] (21/21)
 NI07/00 NI06/00 
PUNA = NI07/00 . NI09/00 . 1.000 ∴ 
 NI06/00 NI07/00 
141
 
PUNA = NI09/00 . 1.000 ∴
 NI06/00 
PUNA = 193,2970 . 1.000 ∴ PUNA = 1.051,985088 reais
 183,7450 
 
 
1ª) Calculando a C à TIR = 11,20 % a.a. usando o desconto dos fluxos :
C = 2,956301 + 2,956301 + 2,956301 + 2,956301 + 2,956301 
+1,1120 (61/252) 1,1120 (185/252) 1,1120 (311/252) 1,1120 (434/252) 1,1120 (564/252)
 + 2,956301 + 2,956301 + 2,956301 + 2,956301 + 102,956301 
 1,1120(686/252) 1,1120 (817/252) 1,1120 (941/252) 1,1120 (1.069/252) 1,1120 (1.193/252)
C = 2,881299 + 2,734651 + 2,593280 + 2,462328 + 2,331105 + 
 + 2,214324 + 2,095434 + 1,988784 + 1,884383 + 62,285508 ∴
C = 83,471096 ð C = 83,4711%
2ª) Calculando a C pelo Excel 
Quadro 5.4
 I. Preencher as colunas A (de A3:A16) e B (de B3:B11 à exceção de B6) como está 
no Quadro 5.4
II. A fórmula para o cálculo do cupom na linguagem do programa Excel poderia ser 
esta:
142
selecionar a célula B5 e colocar =((1 + B4)^(1/2) −1)*100. Depois de se dar o 
Enter, B5 mostra o valor do cupom dado por 2,956301 (com 6 casas decimais). É 
sempre útil salientar que é a mesma fórmula matemática usada no princípio do 
exercício, item a.
III.Selecionar a célula C7 onde se vai começar a colocar a fórmula do cálculo da 
Cotação igual à do item c desse exercício mas na linguagem do programa, que 
como de hábito, vai aparecendo na parte superior do Quadro 5.4 à medida que sefaz o preenchimento, porque é sempre assim que se deve proceder para usar o 
programa Excel.
IV. Terminado o preenchimento da fórmula, se dá o Enter e o valor da C = 83,4711%, 
que é em %, pelas mesmas razões da cotação na NBC-E, surge na célula C7.
c) Cálculo do PU0:
PU0 = C x PUNA → PU0 = 83,4711% x 1.051,985088 → PU0 = 878,103525 reais
Obs – Todos os outros cálculos com NTN – C 20 seguem a mesma padronização dos 
cálculos com NBC – E, ou seja, financiamentos (venda com recompra e vice-versa), 
cálculo da TIR (atenção com o prazo em du para o ano de 252 du) etc.
 20 Os operadores de Mercado Aberto (“Open Market”) vão “carregando” os seus micro-computadores na sala de operações 
do Banco ou da Instituição Financeira onde trabalham, com as características dos papéis mais negocidados e assim estão 
sempre preparados para operar com a rapidez que o mercado exige, bastando substituir uma ou outra variável, 
conforme se fez nos exercícios retro-efetuados e já se tem os valores necessários para fazer ou receber uma proposta de 
compra e/ou de venda de determinado papel.
2. No dia 26/11/98 o BACEN está leiloando um lote de 1.000.000 de LFT para 
liquidação em 27/11/98 e vencimento em 20/08/99 . Como há boa procura , o 
Banco Segureu S/A que quer o papel , está disposto até a pagar ágio na taxa 
“over” mensal de 0,005 % . Calcular a Cotação C do papel que o Banco vai 
propor no leilão e o PU0 resultante desta Cotação .
Redoma → o papel tem 182 du
a) Cálculo da Cotação C:
 C = 100 . FA ∴ C = 100 . [ 1 + 0,005 ] 182 ∴ C = 100,0303 %
 3.000 
b) Cálculo do PU0: 
PU0 = C x 1.000,00 ∴ PU0 = 100,0303 x 1.000,00 ∴
PU0 = 1.000,303000 reais _ (com seis casas decimais)
3. No exercício anterior, se as condições de mercado fossem invertidas, isto é, não 
houvesse muita demanda e o nosso Banco Segureu S/A licitasse o papel com 
deságio de 0,005 % a.m., qual seria a Cotação a enviar ao BACEN ? e o PU 
resultante? 
143
a) Cálculo da Cotação C :
C = 100 . FD ou C = 100 . 1 ∴
 FA 
 
C = 100 . [ 1 + 0,005/3.000 ] − 182 ou C = 100 . 1 ∴
 [1 + 0,005/3.000 ] 182 
 
C = 100 x 1/1,000303 ∴ C = 100 x 0,999697 ∴
C = 99,9697 % (com quatro casas decimais)
b) Cálculo do PU0 :
 
PU0 = 99,9697 % x 1.000,00 ∴
PU0 = 999.697000 reais (com seis casas decimais)
Obs : a partir de setembro/00, como aliás já foi falado, houve alterações na 
expressão das taxas de rentabilidade dos títulos públicos e consequentemente nos 
cálculos envolvendo esses papéis. No caso da LFT, que é um papel pós-fixado e 
indexado ao custo médio de financiamento dos títulos do SELIC, as alterações também 
a atingem . Assim é que, o PU sobre o qual incide a Cotação C para se obter o PU0 
de negociação também nos leilões, deveria ser o PUNA atualizado dia a dia pelo 
seu indexador (muito próximo à taxa Selic) desde a Data Base de 01/07/00. No 
entanto, apenas nesse tipo de papel, o Bacen tem agido de forma diversa, considerando 
a Data Base para algumas emissões e para a maioria, não. De qualquer forma é 
bom se repetir que o PU de negociação para todos os papéis pós-fixados é :
PU = C x PUNA _ o produto da Cotação C pelo PU Nominal Atualizado
4. “Na Portaria nº 187 de 25/05/01 o Sr. Secretário do Tesouro Nacional torna 
públicas as condições específicas a serem observadas na oferta pública de venda 
de Notas do Tesouro Nacional Série C (NTN – C)”, segundo os dados abaixo :
I – Características da Emissão
 
Prazo do 
Leilão
Quantidade 
em mil
VN na DB Taxa de 
juros
DB Data da 
emissão
Data de 
vencimento
1.491 dc 600 R$ 1.000,00 6% a.a. 01/07/00 01/04/01 01/07/05
II – Data de acolhimento das propostas e data do leilão: 31/05/01
III – Data da Liquidação Financeira : 01/06/01
IV – Na formulação das propostas deverá ser usada Cotação com 4 casas decimais 
e o montante de cada proposta deverá contemplar quantidades múltiplas de 
50 títulos .
144
V – O Preço Unitário PU0 a ser utilizado na Liquidação Financeira será o valor 
resultante da aplicação da Cotação C aceita pelo Tesouro Nacional sobre o 
PUNA, conforme o disposto na Portaria nº 490 MF/STN de 29/11/99.
Com base nos dados acima, calcular:
a) A Cotação C do Título para uma TIR = 10,50 % a.a. (taxa aceita pela STN)
b) O PU0 de Liquidação utilizando-se adequadamente dos NI índices abaixo:
NI05/00 = 182,189 NI06/00 = 183,745 NI07/00 = 186,634 NI03/01 = 198,606
NI04/01 = 200,591 NI05/01 = 202,316
e dos dus , tendo por base o dia da liquidação = 01/06/01 , a seguir:
02/07/01 = 20 du
02/01/02 = 146 du
01/07/02 = 269 du
02/01/03 = 399 du
01/07/03 = 521 du
02/01/04 = 652 du
01/07/04 = 776 du
03/01/05 = 905 du 
01/07/05 = 1.028 du
Resp. a) C = 88,3443 % b) PU0 = 972,732069 reais
5. “Em 27/03/01 o Secretário do Tesouro Nacional – Portaria nº 86 simplificada – 
torna públicas as condições específicas a serem observadas na oferta de venda 
de Notas do Tesouro Série C (NTN – C), segundo os critérios abaixo:” 
I – Características da Emissão
 
Prazo desde Quantidade V N Taxa de Data Data de Data 
de
 a emissão em mil Data Base Juros Base Emissão Vcto.
 1.096 dc 1.000 R$ 1.000,00 6 % a.a 01/07/00 01/04/00 01/04/04
II – Data da Liquidação Financeira: 02/04/01
III – Data e hora de acolhimento das propostas: dia 29/03/01 de 12:00 às 13:00 hs 
IV – Divulgação pelo Tesouro Nacional da Cotação aceita: 29/03/01 (dia do leilão) a 
partir das 14:30 hs
V – Dados Auxiliares:
1º cupom = 126 du
2º cupom = 248 du
3º cupom = 377 du
4º cupom = 502 du
5º cupom = 629 du
6º cupom = 883 du 
Com base nos dados acima, calcular:
a) O valor da Cotação do título para uma TIR = 10,89 % a.a. (taxa aceita pelo Tesouro)
145
b) O PU0 da liquidação financeira , sabendo-se que o NI do IGP-M de junho/00 é 
igual a 183,745 e o de março/01 é de 198,606 .
c) Se a Instituição que comprou no leilão 80.000 títulos e carregou tudo através de 
financiamentos sucessivos, por 5 saques, ao custo médio de 15,72% a.a. quiser 
vender todo o lote à taxa de 10,42% a.a. , terá lucro ou prejuízo ? De quanto ?
Resp. a) C = 84,3729 % ; b) PU0 = 911,968444 ; c) Lucro de R$ 930.702,51
6. Portaria nº 100 de 30/03/01 – O Secretário do Tesouro Nacional torna públicas as 
condições específicas para o leilão de Letras Financeiras do Tesouro, a saber:
 I – Data e horário do acolhimento das Propostas: de 12:00 ás 13:00 hs de 03/04/01.
 II – Data da emissão / liquidação financeira: 04/04/01
 III – Data Base : 01/07/0
 IV – Características da Emissão:
 Título Prazo Quantidade Valor Data de
 (em mil) Nominal Vencimento
 LFT 1.806 dc 
 1.245 du3.000 R$ 1.000,00 
15/03/06
 
 V – Na formulação das propostas deverá ser utilizada a Cotação C com quatro casas 
decimais e o montante de cada proposta contemplará quantidades múltiplas de 50 
títulos 
Calcular a Cotação média C aceita p/ Tesouro para um deságio anual de 0,0359 % .
Resp. C = 99,8226 %
NTND – Nota do Tesouro Nacional - Série D
Conceitos
Características Principais - Decreto e Portarias iguais
a) Características: inteiramente iguais às da NBC – E 
b) Operações: identicamente idênticas às da NBC – E 
146
	 PIS = 0,65 % x 49.363,74 ð PIS = 322,96 reais
	 PIS = 0,65% x 49.342,38 ð PIS = 322,82 reais 
	 Obs - Como a diferença dos cálculos é muito pequena, usa-se qualquer regime. 
	Um capital de giro de R$ 50.000.000,00 foi concedido a uma empresa do ramo de siderurgia à taxa anual de 56,45% por três dias consecutivos. Sabendo que o custo do dinheiro para o Banco que fez o empréstimo foi de 12,68% a.a., calcular a receita líquida do banco e o custo total da siderúrgica.
	RL = 0,003920 x 50.000.000,00 ð RL = R$ 196.008,40 
	 RL = R$ 195.730,05 reais
	PIS = 0,65 % x 195.730,05 ð PIS = 1.280,57 reais
	 Resp. a) R$ 185.632,11 b) R$ 64.180,10
	2.1.3. IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
	 Aplicação e Exemplo 
			Constituído pelo BNDES – Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico e Social e pelas subsidiárias, FINAME – Agência Especial de Financiamento Industrial e BNDESPAR – BNDES Participações S/A, o sistema tem como objetivo financiar projetos e investimentos nas aquisições de máquinas e equipamentos nacionais e importados sem similar nacional, obras civis incluindo montagens e instalações, móveis e utensílios, estudos e projetos de engenharia, despesas pré-operacionais, gastos com treinamento de pessoal, capital de giro associado e outros mais, destinados a empresas sediadas no País, desde que tais projetos sigam a lista de critérios do sistema.
	URTJLP de 1º/12/94 = 1,00 real
	Custo Financeiro Variável =TJLP 
	Moeda usada nos cálculos  URTJLP
	3.1.4. Tipos de Operação
	 Base = 7.841,42 + 1,36 + 8,66 → Base = 7.851,44 reais
	Comentário 1
	Comentário 2
	Comentário 3
	 Prazo da Operação = 35 meses 
	 Calcular o dispêndio mensal do economista e que taxa mensal ele pagou ao todo ?
	 Resp. R$ 1.532,00 e 2,5862 % a. m
	 Resp. R$ 2.262,83
	 Resp. a) R$ 283,84 b) R$ 28.758,82 c) R$ 3.726,98
	T2 = A2 + J2 = 50.323,65 / 168 + 50.323,65 x 0,00875 = 299,55 + 440,33 = R$ 739,88
	Quadro 4.6. Evolução do Sistema Price
	Tipos de CDB 
	1. Pré-fixados: rendimento apenas na taxa de juros anual TIR = Taxa Interna de Retorno incidente sobre o valor de aplicação, com os valores de Resgate Bruto e Líquido conhecidos no momento da aplicação e para qualquer período de dias que se queira, já que não existe mais prazo mínímo (Circular Bacen nº 2.905 de 30/06/ 99 com vigência a partir de 02/08/99).
	Tabela I
	PUNAR’ = 1.022,489155 reais
	Redoma  de 09/02/01 a 01/03/01 = 12 du
	PU = C . PUNA ou C . VNA, onde: 
	Exercícios Resolvidos e Propostos
	Fig. 5.8
	PU0 = 99,9697 % x 1.000,00 