Distância entre Pontos no Plano

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2o caso
•	 Se	o	segmento	AB é paralelo ao eixo Oy, e Ae e Be são, respectivamente, as projeções ortogonais 
de A e B sobre esse eixo, então a distância entre A e B é igual à distância entre Ae e Be.
Exemplo
5
2
6
y
O x
AA�
BB�
AB 5 AeBe 5 6 2 2 5	4
Exemplo
CD 5 CeDe 5 7 2 1 5 6
•	 Se	o	segmento	CD é paralelo ao eixo Ox, e Ce e De são, respectivamente, as projeções ortogonais 
de C e D sobre esse eixo, então a distância entre C e D é igual à distância entre Ce e De.
71
3
y 
O x
D
C�
C
D�
3o caso
•	 Se	o	segmento	AB não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a distância entre os pontos 
A e B	pode	ser	calculada	pelo	teorema	de	Pitágoras,	conforme	o	exemplo	a	seguir.
Exemplo
Para	calcular	a	distância	entre	os	pontos	A(4,	2)	e	B(7, 6), traçamos por A e B as retas paralelas aos 
eixos Ox e Oy, respectivamente, obtendo o triângulo retângulo ABC,	conforme	mostra	a	figura:
74
2
y
O x
B
A
6
C
Aplicamos	o	teorema	de	Pitágoras	no	triângulo	ABC:
(AB)2 5 (AC)2 1 (BC)2
Observando	que	AC 5 7 2	4	5 3 e BC 5 6 2 2 5	4,	temos:
(AB)2 5 32 1	42 ] (AB)2 5 25
} AB 5 ± 5
Como a distância não pode ser um valor negativo, concluímos que AB 5 5.
A	 unidade	 de	 comprimento	 de	AB fica subentendida como a mesma unidade adotada nos 
eixos coordenados.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
56
C
a
p
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lo
 2
	•	
G
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19
98
.
CAP 02.indb 56 04.10.10 13:52:57
O	 cálculo	 da	 distância	 entre	 dois	 pontos	 do	 plano	 cartesiano	 pode	 ser	 generalizado	 pelo	
teorema a seguir.
Nota:
Observando	que	(xB 2 xA)
2 5 (xA 2 xB)2 e (yB 2 yA)
2 5 (yA 2 yB)2, a fórmula da distância AB pode 
ser AB 5 dlllllllllllllllll (xA 2 xB)2 1 (yA 2 yB)2 	ou,	simplificando:
AB 5 dlllllllllll (Sx)2 1 (Sy)2 
em que Sx (lemos “delta x”) e Sy (lemos “delta y”) representam, respectivamente, a diferença 
entre as abscissas e a diferença entre as ordenadas dos pontos A e B, em qualquer ordem.
1 Calcular o comprimento do segmento AB em cada 
um dos casos.
a) A(3, 4) e B(8, 16) b) A(21, 0) e B(2, 26)
3 Sendo A(4, 8), obter o ponto P pertencente à bissetriz 
dos quadrantes ímpares tal que AP 5 2 dlll 10 .
2 Determinar o ponto T, pertencente ao eixo Oy, que 
dista igualmente dos pontos A(2, 3) e B(6, 5).
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) AB 5 dlllllllllll (Sx)2 1 (Sy)2 5 dlllllllllllllllll (8 2 3)2 1 (16 2 4)2 
 } AB 5 dllllllll 52 1 122 5 dllll 169 
 } AB 5 13
b) AB 5 dlllllllllll (Sx)2 1 (Sy)2 5 dllllllllllllllllllll (21 2 2)2 1 [0 2 (26)]2 
 } AB 5 dlllllllll (23)2 1 62 5 dlll 45 5 3 dll 5 
Resolução
 Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares 
possui a abscissa igual à ordenada; logo, o ponto P 
é da forma P(p, p).
Resolução
2 6
3
5
A 
B 
y 
x
 Todo ponto do eixo Oy possui abscissa zero. Logo, o 
ponto T é da forma T(0, t).
 Assim:
 TA 5 TB ] dlllllllllllllll (0 2 2)2 1 (t 2 3)2 5 dlllllllllllllll (0 2 6)2 1 (t 2 5)2 
 Elevando ao quadrado ambos os membros dessa 
igualdade, obtemos:
 (0 2 2)2 1 (t 2 3)2 5 (0 2 6)2 1 (t 2 5)2 ] 
 ] 4 1 t2 2 6t 1 9 5 36 1 t2 2 10t 1 25
 } 4t 5 48 ] t 5 12
 Assim, concluímos que T(0, 12).
4
8
y 
A 
P(p, p) 
x
A	distância	AB entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB)	é	dada	por:
AB 5 dlllllllllllllllll (xB 2 xA)
2 1 (yB 2 yA)
2 
 Assim:
 AP 5 2 dlll 10 ] dllllllllllllllll ( p 2 4)2 1 ( p 2 8)2 5 2 dlll 10 
 Elevando ao quadrado ambos os membros dessa 
igualdade, obtemos:
 ( p 2 4)2 1 ( p 2 8)2 5 40 ]
 ] p2 2 8p 1 16 1 p2 2 16p 1 64 5 40
 } 2p2 2 24p 1 40 5 0
 Dividindo por 2 ambos os membros dessa igualdade, 
obtemos:
 p2 2 12p 1 20 5 0
 S 5 (212)2 2 4 3 1 3 20 5 64
 p 5 
2(212) ± dlll 64 
 _____________ 
2
 ] p 5 2 ou p 5 10
 Concluímos, então, que há dois pontos da bissetriz 
dos quadrantes ímpares cuja distância ao ponto A 
é 2 dlll 10 ; são eles: P(2, 2) e Pe(10, 10).
4
8
2
2
10
10
y 
A 
P 
P� 
x
57
S
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e 
19
98
.
CAP 02.indb 57 04.10.10 13:52:58
1 Em cada um dos itens abaixo, calcule a distância 
entre os pontos A e B.
a) A(2, 4) e B(8, 12)
b) A(0, 2) e B(4, 0)
c) A(22, 6) e B(3, 18)
d) A(21, 24) e B(23, 28)
4 Sejam os pontos A(2, 5), B(10, 21) e C(9, 22).
a) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo.
5 O ponto A(2, 6) dista 10 unidades de um ponto P do 
eixo das abscissas. Determine o ponto P.
 (Nota: Determinar um ponto, em Geometria ana-
lítica, significa determinar as coordenadas desse 
ponto.)
6 A distância entre o ponto A(2, 28) e um ponto Q da 
bissetriz dos quadrantes pares é 2 dll 5 . Determine o 
ponto Q.
7 (UFJF-MG) Os pontos A 5 (2, 6) e B 5 (3, 7) são vértices 
do triângulo ABC, retângulo em A. O vértice C está 
sobre o eixo Ox. A abscissa do ponto C é:
a) 8,5
b) 9
c) 9,5
d) 8
2 Um ponto P do primeiro quadrante tem abscissa 
15 e dista 17 unidades da origem O do sistema de 
coordenadas. Determine a ordenada de P.
3 Calcule a medida do raio da circunferência de centro 
C representada no plano cartesiano abaixo.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 1 a 8 e 70 a 72.
3
5
2
C
y
x
P
 Divisão de um segmento por um ponto interno ao segmento
Sejam A e B dois pontos distintos e P um ponto entre A e B:
P BA
Dizemos	que:
•	 P divide o segmento AB, de A para B, na razão 
AP
 ___ 
PB
 ;
•	 P divide o segmento AB, de B para A, na razão 
PB
 ___ 
AP
 .
Exemplo
No plano cartesiano abaixo, os pontos A, P e B têm abscissas 1, 3 e 7, respectivamente.
1 3 7
y
A P B
O x
• O	ponto	P divide o segmento AB, de A para B, na razão 
2
 __ 
4
 5 
1
 __ 
2
 ;
• P divide o segmento AB, de B para A, na razão 
4
 __ 
2
 5 
2
 __ 
1
 .
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
58
C
a
p
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lo
 2
	•	
G
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	r
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R
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.1
84
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P
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10
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19
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 d
e 
19
98
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CAP 02.indb 58 04.10.10 13:52:59