fundamentos do cálculo integral

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Conforme nos explica Mendes (20 18), há, principalmente no âmbito da educação matemática, diversas pesquisas 
que discutem as dificuldades com relação ao processo de ensino e aprendizagem do cálculo — tanto 
diferencial quanto integral —, bem como seus desdobramentos em diferentes cursos de graduação. A soma 
de Riemann, por exemplo, é uma parte do cálculo integral que tem como um de seus objetivo s possibilitar 
a chegada à uma definição formal, rigorosa e precisa da integral definida, a partir de uma linguagem gráfica, 
visual associada à linguagem algébrica. De acordo com alguns estudos, o uso dessas diferentes 
representações pode auxiliar no processo de compreensão do estudante. 
MENDES, T . F . A derivada de uma função em atividades de modelagem 
matemática: uma análise semiótica. 2018. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) 
- Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2018. Disponível 
em: http://www.uel.br/pos/mecem/arq uivos_pdf/13DThiago20-02- 2018.pdf. 
Acesso em: 17 nov. 2020. 
Assim sendo, considerando a importância da somatória de Riemann na compreensão 
de vários elementos o cálculo integral, disserte sobre o cálculo da área de uma função 
qualquer delimitada pelo eixo das abscissas. Em sua dissertação, você deverá 
abordar tal cálculo a partir de conceitos da geometria plana e do cálculo integral.
 resposta 
Para compreender o cálculo da área de uma função qualquer 
delimitada pelo eixo das abscissas, é crucial entender tanto os 
conceitos da geometria plana quanto os fundamentos do 
cálculo integral. Vamos explorar essa abordagem em etapas, 
começando com a intuição geométrica e avançando para a 
formalização matemática através da somatória de Riemann.
Geometria
Na geometria plana, a área de figuras simples como retângulos, 
triângulos e círculos é calculada utilizando fórmulas conhecidas. Por 
exemplo:
No entanto, quando se trata de calcular a área sob uma curva, a 
abordagem precisa ser diferente, pois a forma não é regular. 
Consideremos uma função f(x) contínua no intervalo [a,b]. A 
área que queremos determinar é a área entre a curva f(x), o 
eixo x e as linhas verticais x=a e x=b.
Somatório e cálculo de área 
Para calcular a área sob a curva de f(x) , podemos aproximar essa 
área usando retângulos. Esse método de aproximação é conhecido 
como somatória de Riemann. A ideia é obter uma melhor estimativa 
da área utilizando a aproximação da soma das área dos retângulos 
para encontrar área total (integral da função).
Matematicamente, podemos afirmar que Riemann desenvolveu a expressão 
, a qual nos permite calcular a integral da função 
, ou seja, a área existente entre a curva 
 e o eixo das abscissas, com 
 contínua em um intervalo 
Existem várias maneiras de escolher esse ponto, resultando 
em diferentes tipos de somatórias de Riemann:
1. Soma de Riemann à esquerda: A altura do 
retângulo é determinada pelo valor da função no extremo 
esquerdo de cada subintervalo.
2. Soma de Riemann à direita: A altura do retângulo é 
determinada pelo valor da função no extremo direito de 
cada subintervalo.
Formalização Matemática
Integral Definida
Se f é uma função contínua definida em 
, então a integral definida de f de a e b é dada por 
 Com isso, temos que o Teorema Fundamental do Cálculo 
 é o seguinte:
então 
(derivada de g de x é igual a f de x);
3. Soma de Riemann no ponto médio: A altura do 
retângulo é determinada pelo valor da função no 
ponto médio de cada subintervalo.
∞
em que f (a) , em que F é qualquer primitiva de f .
Conclusão
O cálculo da área de uma função delimitada pelo eixo das abscissas 
começa com uma intuição geométrica e é rigorosamente tratado 
através do conceito de somatórias de Riemann. Essa abordagem nos 
leva à definição de integral definida, que fornece uma maneira precisa e 
formal de calcular tais áreas. O entendimento desses conceitos é 
fundamental no estudo do cálculo integral e tem inúmeras aplicações 
em diversas áreas da ciência e engenharia.