Tema 2 Processos estocásticos

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Processos
estocásticos
Prof. Mauro Rezende Filho
Descrição Os vetores de probabilidade e as matrizes estocásticas, as cadeias de Markov e as probabilidades
de transição em várias etapas e a distribuição estacionária de uma cadeia regular de Markov.
Propósito Cadeia de Markov é um caso particular do processo estocástico com estados discretos, sendo
um sistema matemático que experimenta transições de um estado para outro de acordo com
certas regras probabilísticas. As cadeias de Markov surgem amplamente em contextos
estatísticos e teóricos da informação e são amplamente empregados em economia, teoria dos
jogos, teoria das filas (comunicação), genética e finanças.
Preparação Antes de iniciar o estudo, faça o download do Solucionário.
Objetivos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/pdf/processos_estoc%C3%A1sticos_solucionario.pdf
Módulo 1
Vetores de probabilidade
e matrizes estocásticas
Identificar os conceitos e as
aplicações de vetores de
probabilidade e matrizes estocásticas.
Módulo 2
Cadeias de Markov
Identificar o conceito e as aplicações
das cadeias de Markov.
Módulo 3
Cadeia regular de
Markov: probabilidades e
distribuição
Identificar as probabilidades de
transição em várias etapas e a
distribuição estacionária de uma
cadeia regular de Markov.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os conceitos que
serão abordados neste conteúdo.

1 - Vetores de probabilidade e matrizes estocásticas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os conceitos e as aplicações de vetores de probabilidade e
matrizes estocásticas.
Vamos começar!
Os conceitos e as aplicações de vetores de
probabilidade e matrizes estocásticas
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.

Vetores de probabilidade
Um vetor de probabilidade é um vetor (ou seja, uma matriz com uma única coluna ou
linha) em que todas as entradas são não negativas e somam exatamente um. Às
vezes também é chamado de vetor estocástico.
Vejamos um exemplo simples. O vetor
(1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6) representa a
distribuição de probabilidade de um
lançamento aleatório de um dado
honesto. Cada entrada representa suas
chances de rolar uma face do dado (ou
seja, você tem 1/6 de chance de rolar 1,
2, 3, 4, 5 ou 6).
Nem sempre é tão simétrico; na verdade, geralmente não é. Por exemplo, o vetor
estocástico que representa a probabilidade de chover, nevar, estar nublado sem
chuva/neve ou fazer sol o dia todo pode ser (0,5; 0; 0,40; 0,10). Observe que aqui as
entradas ainda somam um e as categorias representam todos os resultados possíveis
e não se sobrepõem.
Em essência, um vetor de probabilidade n-dimensional pode representar a distribuição
de probabilidade de um conjunto de n variáveis. É uma maneira concisa e muito
conveniente de representar a distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias
discretas.
Todo vetor de probabilidade n-dimensional tem uma média de .
O comprimento de um vetor de probabilidade é calculado pela fórmula:
Aqui é a variância de todas as entradas no vetor de probabilidade. O "comprimento"
de um vetor de probabilidade, assim definido, não tem nada a ver com o número de
entradas na matriz.
1/n
√nσ2 +
1
n
σ2
O vetor mais curto representa um sistema com certeza mínima (qualquer uma das
opções tem a mesma probabilidade de acontecer), e o mais longo, um sistema com
certeza máxima (você sabe exatamente o que acontecerá). Por exemplo, se o vetor
meteorológico for {1000}, há 100% de chance de chuva.
Se A é uma matriz estocástica regular e é n x n, existe um único vetor estocástico v
para o qual Av = v.
Matrizes estocásticas
Uma matriz estocástica é uma matriz quadrada cujas colunas são vetores de
probabilidade. Um vetor de probabilidade é um vetor numérico cujas entradas são
números reais entre 0 e 1 cuja soma é 1.
Uma matriz estocástica é uma matriz que descreve as transições
de uma cadeia de Markov. Também é chamada de matriz de
Markov.
Vetor de probabilidade mais longo possível

Vetor de probabilidade mais curto possível

Uma matriz estocástica à direita é uma matriz quadrada de números reais não
negativos cujas linhas somam 1, ou seja, uma matriz estocástica à direita tem cada
linha somando 1.
MatrixForm [RM = {{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {1, 0, 0}}]
Uma matriz estocástica à esquerda é uma matriz quadrada de números reais não
negativos cujas colunas somam 1, ou seja, uma matriz estocástica esquerda tem cada
coluna somando 1.
MatrixForm [LM = Transposta [{{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {1, 0, 0}}]]
Uma matriz duplamente estocástica é uma matriz quadrada de números reais não
negativos com cada linha e coluna somando 1, ou seja, uma matriz duplamente
estocástica tem linhas e colunas somando 1.
MatrixForm [DM = {{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {0, 0.75, 0.25}}]
Exemplo
Uma empresa de aluguel de caminhões tem locais em toda cidade de São Paulo, onde
você pode alugar caminhões de mudança. Você pode devolvê-los para qualquer outro
local. Para simplificar, imagine que haja três locais e que todos os clientes devolvam
seu caminhão no dia seguinte. Seja o vetor cujas entradas , são o número
⎡⎢⎣0.5 0 0.5
0.5 0.25 0.25
1 0 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣0.5 0.5 1
0 0.25 0
0.5 0.25 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣0.5 0 0.5
0.5 0.25 0.25
0 0.75 0.25
⎤⎥⎦vt xt, yt zt
de caminhões nos locais 1, 2 e 3, respectivamente. Seja A a matriz cuja i,j-entrada é a
probabilidade de um cliente alugando um caminhão do local j devolvê-lo ao local i.
Por exemplo, a matriz:
Mostra uma probabilidade de 30% de que um cliente alugando do local 3 devolva o
caminhão ao local 2 e uma probabilidade de 40% de que um caminhão alugado do
local 1 seja devolvido ao local 3. A segunda linha (por exemplo) da matriz A mostra
que o número de caminhões devolvidos ao local 2 será (em média):
30% dos caminhões do local 1.
40% dos caminhões do local 2.
30% dos caminhões do local 3.
Aplicando isso a todas as três linhas, temos:
Portanto, representa o número de caminhões em cada local no dia seguinte.
Este é um exemplo de um sistema dinâmico discreto linear.
Exemplo
Considere um movimento populacional entre cidade e periferia em uma região
metropolitana regida pela matriz migratória M:
A =
⎡⎢⎣0.3 0.4 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.2 0.2
⎤⎥⎦A =
⎡⎢⎣xt
yt
zt
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0.3xt 0.4yt 0.5zt
0.3xt 0.4yt 0.3zt
0.4xt 0.2yt 0.2zt
⎤⎥⎦Avt
M=  
DE
PARA
Cidade Subúrbio
0,95 0,03 Cidade
0,05 0,97 Subúrbio
Agora perceba que:
Cada vetor coluna de M é um vetor de probabilidade.
M é uma matriz estocástica.
Suponha que a população em 2019 seja 600.000 na cidade e 400.000 nos
subúrbios.
O estado inicial (vetor de probabilidade) é:
Encontre a distribuição da população no ano de 2019 e 2020.
Solução
A distribuição da população em 2019 é dada por , ou seja:
Relembrando multiplicação de matrizes:
x0 = [ ]0, 6
0, 4
x1 = Mx0
[ ] × [ ] = [ ]0, 95 0, 03
0, 05 0, 97
0, 60
0, 40
0, 582
0, 418
0, 582 = 0, 95 × 0, 6 + 0, 03 × 0, 4
Então, podemos concluir que:
58,2% da região viverá na cidade em 2020.
41,8% da região viverá nos subúrbios em 2020.
Modelos de aplicação
Exemplo 1 - Vetores de probabilidade
Duas locadoras de jogos, Vic's e MovieMaster, acabam de abrir em uma nova área
residencial. Inicialmente, cada uma tem metade do mercado de jogos alugados. Um
cliente que aluga da Vic's tem 60% de probabilidade de alugar da Vic's na próxima vez
e 40% de chance de alugar do MovieMaster. Por outro lado, um cliente que aluga
inicialmente da MovieMaster tem apenas 30% de probabilidade de alugar do
MovieMaster na próxima vez e 70% de probabilidade de alugar da Vic's.
Qual é o vetor de probabilidade inicial?
Qual é a matriz de transição?
Qual é a probabilidade de um cliente alugar um filme de cada loja pela
segunda vez?
Qual é a probabilidade de um cliente alugar um filme de cada loja pela
terceira vez?
Que suposição você está fazendo no item anterior? Quão realista ela é?
Solução
Inicialmente, cada loja tem 50%do mercado, logo, o vetor de probabilidade inicial é V
M:
S(0) = [0, 5 0, 5]
A primeira linha da matriz de transição representa as probabilidades de segunda
locação por clientes cuja escolha inicial foi a Vic's. Há 60% de chance de o cliente
retornar, então a primeira entrada é 0,6. É 40% provável que o cliente alugue do
MovieMaster, então a segunda entrada é 0,4.
Da mesma forma, a segunda linha da matriz de transição representa as probabilidades
do segundo aluguel por clientes cuja primeira escolha foi o MovieMaster. Há 30% de
chance de ser a Video Vic's.
Independentemente de qual loja o cliente escolher pela primeira vez, você está
assumindo que há apenas duas opções para a próxima visita. Portanto, a soma das
probabilidades em cada linha é igual a 1. Para encontrar as probabilidades de um
cliente alugar uma das lojas na segunda visita, vamos calcular o vetor de
probabilidade do primeiro passo, S(1):
Relembrando multiplicação de matrizes:
Esse novo vetor mostra que há 65% de probabilidade de que um cliente alugue um
filme da Vic's na segunda visita a uma locadora e 35% de chance de que o cliente
alugue da MovieMaster. Para determinar as probabilidades de qual loja um cliente
escolherá na terceira visita, vamos calcular o vetor de probabilidade do segundo
passo, S(2):
P = [ ]
V M
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
V
M
S(1) = S(0) × P
S(1) = [ ] × [ ] = [ ]0, 5 0, 5
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
0, 65 0, 35
0, 65 = 0, 5 × 0, 6 + 0, 5 × 0, 7
0, 35 = 0, 5 × 0, 4 + 0, 5 × 0, 3
S(2) = S(1) × P
S(1) = [ ] × [ ] = [ ]0, 65 0, 35
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
0, 635 0, 365
Assim, em uma terceira visita, um cliente tem 63,5% de probabilidade de alugar da
Vic's e 36,5% de probabilidade de alugar da MovieMaster.
Para calcular as probabilidades do segundo passo, você assume que as
probabilidades de transição condicional não mudam. Essa suposição pode não ser
realista, já que os clientes com 70% de probabilidade de sair do MovieMaster podem
não ter 40% de probabilidade de voltar, a menos que esqueçam por que mudaram em
primeiro lugar.
Em outras palavras, as matrizes estocásticas não têm memória de
longo prazo, elas lembram apenas o estado mais recente na
previsão do próximo.
Observe que o resultado do Exemplo 1, item d, pode ser calculado de outra maneira:
Da mesma forma, e assim por diante. Em geral, o vetor de
probabilidade de enésimo passo é dado por:
Exemplo 2 - Participação de mercado de
longo prazo
Uma empresa de pesquisa de marketing rastreou as vendas de três marcas de tacos
de golfe. A cada ano, em média:
Player-One mantém 70% de seus clientes, mas perde 20% para Slapshot e
10% para Extreme Styx.
Slapshot mantém 65% de seus clientes, mas perde 10% para Extreme Styx e
25% para Player-One.
Extreme Styx mantém 55% de seus clientes, mas perde 30% para Player-One
e 15% para Slapshot.
S(2) = S(1)P = (S(0)P)P = S(0)(PP) = S(0)P 2
S(3) = S(0)P 3
S(n)
S(n) = S(0)P n
Qual é a matriz de transição? Assumindo que cada marca começa com uma
participação de mercado igual, determine a participação de mercado de cada marca
depois de um, dois e três anos. Determine a participação de mercado de longo prazo
de cada marca. Que suposição você deve fazer para responder ao item anterior?
Solução
A matriz de transição é:
Assumindo que cada marca começa com uma participação de mercado igual, o vetor
de probabilidade inicial é:
Para determinar as participações de mercado de cada marca depois de um ano,
vamos calcular o vetor de probabilidade do primeiro passo:
Assim, depois de um ano, o Player-One terá uma participação de mercado de
aproximadamente 42%, o Slapshot terá 33% e o Extreme Styx terá 25%. Da mesma
forma, você pode prever as participações de mercado depois de dois anos usando:
P =
P S E
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ P
S
E
S(0) = [ ]1
3
1
3
1
3
S(1) = S(0) × P
S(1) = [ ] × = [ ]1
3
1
3
1
3
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ 0, 416 0, 33 0, 25
S(2) = S(1) × P
S(2) = [ ] × = [ ]0, 416 0, 33 0, 25
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ 0, 45 0, 3375 0, 2125
E depois de três anos:
Depois de três anos, Player-One terá aproximadamente 46% do mercado, Slapshot terá
34% e Extreme Styx terá 20%. Os resultados do item b sugerem que as participações
de mercado relativas podem estar convergindo para um estado estacionário por um
longo período de tempo. Você pode testar essa hipótese calculando vetores de estado
superior e verificando a estabilidade. Por exemplo, temos:
Nesse caso, o vetor de estado estacionário [0,471 0,347 0,182] indica que, por um
longo período de tempo, o Player-One terá aproximadamente 47% do mercado de
tacos de golfe, enquanto Slapshot e Extreme Styx terão 35 e 18%, respectivamente,
com base nas tendências atuais.
A suposição que responde a pergunta feita anteriormente é que a matriz de transição
não muda, ou seja, as tendências de mercado permanecem as mesmas no longo
prazo.
OBSERVAÇÃO
No próximo módulo veremos cadeias de Markov, mas guarde os seguintes conceitos:
A teoria das cadeias de Markov pode ser aplicada a modelos de
probabilidade em que o resultado de uma tentativa afeta diretamente o
resultado da próxima tentativa.
Cadeias de Markov regulares eventualmente atingem um estado
estacionário, que pode ser usado para fazer previsões de longo prazo.
S(3) = S(2) × P
S(3) = [ ] ×
= [ ]
0, 45 0, 3375 0, 2125
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦0, 463 0, 341 0, 196
S(10) = S(9) × P = [ ]
S(11) = S(10) × P = [ ]
0, 471 0, 347 0, 182
0, 471 0, 347 0, 182
Mão na massa
Questão 1
Encontre a matriz de transição de estado (P) para a cadeia de Markov abaixo:

A P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 2 0 0
0, 6 0, 2 0, 2 0, 5
0 0, 5 0, 8 0, 5
0 0, 1 0 0
⎤⎥⎦B P =
⎡⎢⎣0, 4 0 0, 6 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0, 5 0, 5 0 0
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20a%20sequ%C3%AAncia%20de%20cores%20dos%20arcos%20e%20dos%20n%C3%B3s%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_02.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%20Filho.%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A%20%20%20%20%20%2
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Um sistema de aquisição de dados do sistema de instrumentação adquire um bloco
de dados de cada um dos dois sensores de temperatura redundantes a cada 50ms.
Em seguida, os sensores são numerados 0 e 1. A cada período de 50ms, o
computador verifica os dados de um dos dois sensores para a presença de picos de
dados causados por interferência eletromagnética de impulso (EMI). Se a EMI de
impulso estiver presente, o computador rejeitará os dados desse sensor e examinará
os dados do outro. Se o outro sensor também tiver EMI de impulso, o computador
aguardará os próximos dois períodos de aquisição de dados sem coletar dados e,
em seguida, começará a adquirir dados novamente do primeiro sensor. Qual será o
gráfico desse sistema usando as probabilidades de impulso EMI?
Sensor
Probabilidade
do impulso
EMI
0 0,05
1 0,08
Tabela: Probabilidade de impulso.
Mauro Rezende Filho.
E
P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 8 0, 2 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦
A
B
C
D
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20a%20matriz%20de%20transi%C3%A7%C3%A3o%20de%20estado%20P.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad%5Cqquad0%5Cquad%5Cquad1%5Cquad%5Cquad2%5Cquad%5Cquad
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%20%20%20%20%20Questão 3
Uma cadeia de Markov geralmente é mostrada por um diagrama de transição de
estado. Considere uma cadeia de Markov com três estados possíveis 1, 2 e 3 e as
seguintes probabilidades de transição. Encontre P(X4=3|X3=2).
E
P =
⎡⎢⎣1/4 1/2 1/4
2/3 0 1/3
1/2 0 1/2
⎤⎥⎦A 2/3
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESolu%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P(X%204%3D3%20%5Cmid%20X%203%3D2)%3DP_%7B23%7D%3D%5Cfrac%7B
Questão 4
Considere um sistema que pode estar em um dos dois estados possíveis, S={0,1}.
Em particular, suponha que a matriz de transição seja dada pela matriz a seguir. Qual
será o diagrama de transição de estado?
B 1/3
C 1/4
D 1/2
E 3/4
P = [ ]1/2 1/2
1/3 2/3
A
B
C
D
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESolu%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIdentificando%20os%20estados%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Considere um sistema que pode estar em um dos dois estados possíveis, S={0,1}.
Em particular, suponha que a matriz de transição seja dada pela matriz a seguir.
Encontre a probabilidade de que o sistema esteja no estado 1 no instante n=3.
E
P = [ ]1/2 1/2
1/3 2/3
A [0,5972 0,4028]
B [0,4028 0,5972]
C [0,5972 0,6018]
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
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video-
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video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Ao analisar a mudança de clientes da Business Class entre companhias aéreas, os
seguintes dados foram obtidos pela LATAM:
Por exemplo, se o último voo de um cliente da Business Class foi da LATAM, a
probabilidade de que seu próximo voo seja da LATAM é de 0,85. Os clientes da
classe executiva fazem em média dois voos por ano. Atualmente a LATAM detém
30% do mercado da classe executiva. Qual seria a participação da LATAM no
mercado da classe executiva depois de dois anos?
D [0,6018 0,5972]
E [0,3981 0,6018]
A 21,4%
B 36,8%
C 28,7%
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%20o%20estado%20inicial%20do%20sistema%20s1%20dado%20por%20s1%20%3D%20%5B0%2C30%2C%200%2C70%5D%20e%20a%20matriz%20de%20transi%
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3EEm%20que%20o%20termo%20quadrado%20surge%20quando%20os%20clientes%20da%20classe%20executiva%20fazem%20em%20m%C3%A9dia%20dois%20voos%2
Teoria na prática
Um gestor de admissão está analisando inscrições de alunos em potencial para um
curso de graduação específico em uma universidade. Ela considera cada aluno em
potencial como estando em um dos quatro estados possíveis:
Estado 1: não se aplicou na universidade.
Estado 2: candidatou-se à universidade, mas uma decisão de
aceitação/rejeição ainda não foi tomada.
Estado 3: candidatou-se à universidade e foi rejeitado.
Estado 4: candidatou-se à universidade e foi aceito (foi feita uma oferta de
lugar).
No início do ano (mês 1 no ano de admissão), todos os alunos em potencial
estão no estado 1.
Sua revisão das estatísticas de admissões nos últimos anos identificou a seguinte
matriz de transição para a probabilidade de mudança entre os estados a cada mês:
Qual é a porcentagem de alunos em potencial que serão aceitos depois de 3 meses?
D 32,6%
E 41.2%
_black
Para
1 2 3 4
de 
1
2
3
4
⎡⎢⎣0, 97 0, 03 0 0
0 0, 100 0, 15 0, 75
0 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎦
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Quais das matrizes a seguir não representa um vetor de probabilidade?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUm%20vetor%20de%20probabilidade%20%C3%A9%20um%20vetor%20(matriz%20linha%20ou%20matriz%20coluna)%20no%20qual%20todas%20as%20entradas%20s%
Questão 2
Mostrar solução
A [0,3 0,45 0,25]
B [0,4 -0,1 0,7]
C [ ]0, 4
0, 6
D [0,29 0,71]
E [0,4 0,35 0,25]
Qual das alternativas a seguir não pode ser uma matriz de transição?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUma%20matriz%20de%20transi%C3%A7%C3%A3o%20(matriz%20estoc%C3%A1stica)%20%C3%A9%20uma%20%3Cstrong%3Ematriz%20quadrada%3C%2Fstrong%3E%
A
⎡⎢⎣0, 3 0, 3 0, 4
0, 1 0 0, 9
0, 2 0, 4 0, 4
⎤⎥⎦B [ ]0, 2 0, 8
0, 65 0, 35
C [ ]0, 5 0, 1 0, 4
0, 3 0, 22 0, 48
D
⎡⎢⎣0, 3 0, 4 0, 3
0, 1 0, 2 0, 7
0, 3 0, 3 0, 4
⎤⎥⎦E [ ]0 1
0, 55 0, 45
2 - Cadeias de Markov
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o conceito e as aplicações das cadeias de Markov.
Vamos começar!
Conceito e aplicações das cadeias de Markov
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.

Cadeias de Markov: conceitos básicos
As cadeias de Markov, nomeadas em homenagem ao matemático russo Andrey
Markov, são sistemas matemáticos que saltam de um "estado" (uma situação ou
conjunto de valores) para outro.
Se você fez um modelo de cadeia de
Markov do comportamento de um tempo,
você pode incluir "sol", "neve”, "nublado" e
"chuva" como estados, que junto com
outros comportamentos podem formar
um “espaço de estado”: uma lista de
todos os estados possíveis. Além disso,
no topo do espaço de estados, uma
cadeia de Markov informa a
probabilidade de pular, ou "transição", de
um estado para outro — por exemplo, a
chance de estar “sol” que pode mudar
para “neve” nos próximos cinco minutos
sem “chuva” primeiro.
Com dois estados (A e B) em nosso espaço de estados, por exemplo, existem quatro
transições possíveis (não duas, porque um estado pode fazer a transição de volta para
si mesmo). Se estivermos em A, podemos fazer a transição para B ou ficar em A. Se
estivermos em B, podemos fazer a transição para A ou ficar em B. Neste diagrama de
dois estados, a probabilidade de transição de qualquer estado para qualquer outro
estado é de 0,5.
Representação de uma cadeia de Markov.
Claro, modeladores reais nem sempre desenham diagramas de cadeia de Markov. Em
vez disso, eles usam uma matriz de transição para calcular as probabilidades de
transição. Cada estado no espaço de estados é incluído uma vez como uma linha e
novamente como uma coluna, e cada célula na matriz informa a probabilidade de
transição do estado de sua linha para o estado de sua coluna. Assim, na matriz, as
células fazem o mesmo trabalho que as setas fazem no diagrama.
Se o espaço de estado adiciona um estado, adicionamos uma linha e uma coluna,
adicionando uma célula a cada coluna e linha existente. Isso significa que o número
de células cresce quadraticamente à medida que adicionamos estados à cadeia de
Markov.
Comentário
As cadeias de Markov são uma maneira bastante comum e relativamente simples de modelar
estatisticamente processos aleatórios. Eles têm sido usados em muitos domínios diferentes, desde a
geração de texto até a modelagemfinanceira. No geral, as cadeias de Markov são conceitualmente bastante
intuitivas e muito acessíveis, pois podem ser implementadas sem o uso de conceitos estatísticos ou
matemáticos avançados. Eles são uma ótima maneira de começar a aprender sobre modelagem
probabilística e técnicas de ciência de dados.
Um uso das cadeias de Markov é incluir fenômenos do mundo real em simulações de
computador. Por exemplo, podemos querer verificar com que frequência uma nova
barragem transbordará, o que depende do número de dias chuvosos seguidos. Para
construir este modelo, começamos com o seguinte padrão de dias chuvosos (R) e
ensolarados (S):
Uma maneira de simular esse clima seria simplesmente dizer "Metade dos dias são
chuvosos. Portanto, todos os dias na simulação terão 50% de chance de chuva". Essa
regra geraria a seguinte sequência na simulação:
Você notou como a sequência acima não se parece muito com a original? A segunda
sequência parece pular, enquanto a primeira (os dados reais) parece ter uma
"aderência". Nos dados reais, se está ensolarado (S) um dia, então o dia seguinte
também é muito mais provável de ser ensolarado.
Podemos minimizar essa "aderência" com uma cadeia de Markov de dois estados.
Quando a cadeia de Markov está no estado R, ela tem 0,9 de probabilidade de ficar
parada e 0,1 de chance de sair para o estado S. Da mesma forma, o estado S tem 0,9
de probabilidade de ficar parado e 0,1 de chance de fazer a transição para o estado R.
Nas mãos de meteorologistas, ecologistas, cientistas da computação, engenheiros
financeiros e outras pessoas que precisam modelar grandes fenômenos, as cadeias
de Markov podem se tornar bastante grandes e poderosas.
Por exemplo, o algoritmo que o Google usa para determinar a
ordem dos resultados da pesquisa, chamado PageRank, é um tipo
de cadeia de Markov.
Formalmente, uma cadeia de Markov é um autômato probabilístico. A distribuição de
probabilidade das transições de estado é tipicamente representada como a matriz de
transição da cadeia de Markov. Se a cadeia de Markov tiver N estados possíveis, a
matriz será uma matriz N x N, tal que a entrada (I, J) é a probabilidade de transição do
estado I para o estado J. Além disso, a matriz de transição deve ser uma matriz
estocástica, uma matriz cujas entradas em cada linha devem somar exatamente 1.
Isso faz todo o sentido, pois cada linha representa sua própria distribuição de
probabilidade.
Exemplo de matriz de transição com três estados possíveis.
Visão geral de uma cadeia de Markov de amostra, com estados como círculos e
arestas como transições.
Adicionalmente, uma cadeia de Markov também possui um vetor de estado inicial,
representado como uma matriz N x 1 (um vetor), que descreve a distribuição de
probabilidade de iniciar em cada um dos N estados possíveis. A entrada I do vetor
descreve a probabilidade da cadeia começar no estado I.
Essas duas entidades são normalmente tudo o que é necessário para representar uma
cadeia de Markov.
Agora sabemos como obter a chance de fazer a transição de um
estado para outro, mas que tal descobrir a chance dessa transição
ocorrer em várias etapas?
P =
⎡⎢⎣ 0, 9 0, 075 0, 025
0, 15 0, 8 0, 05
0, 25 0, 25 0, 5
⎤⎥⎦S(0) =
⎡⎢⎣1
0
0
0
⎤⎥⎦
Para formalizar isso, devemos determinar a probabilidade de passar do estado I para o
estado J em M etapas. Como se vê, é realmente muito simples de descobrir. Dada
uma matriz de transição P, isso pode ser determinado calculando o valor da entrada (I,
J) da matriz obtida elevando P à potência de M. Para valores pequenos de M, isso
pode ser feito manualmente com multiplicação repetida. No entanto, para grandes
valores de M, se você estiver familiarizado com a álgebra linear simples, uma maneira
mais eficiente de elevar uma matriz a uma potência é primeiro diagonalizar a matriz.
Cadeias de Markov aplicadas no mundo real:
Modelos de aplicações
Exemplo 1
Considere a cadeia de Markov com três estados, S={1,2,3}, que tem a seguinte matriz
de transição:
Exemplo 1 
Exemplo 2 
Exemplo 3 
Exemplo 4 
P =
⎡⎢⎣ 1
2
1
4
1
4
1
3 0 2
3
1
2
1
2 0
⎤⎥⎦
Desenhe o diagrama de transição de estado para esta cadeia.
Se soubermos P(X1=1)=P(X1=2)=1/4, encontre P(X1=3,X2=2,X3=1).
Solução
Diagrama de transição de estado.
Primeiro, obtemos:
Agora podemos escrever:
Exemplo 2
Considere a cadeia de Markov na figura a seguir. Existem duas classes recorrentes,
R1={1,2} e R2={5,6,7}. Assumindo , encontre a probabilidade de que a cadeia
seja absorvida em R1.
P(X1 = 3) = 1 − P(X1 = 1) − P(X1 = 2) = 1 −
1
4
−
1
4
=
1
2
P(X1 = 3,X2 = 2,X3 = 1) = P(X1 = 3) × p32 × p21
P(X1 = 3,X2 = 2,X3 = 1) =
1
2
×
1
2
×
1
3
=
1
12
X0 = 3
Diagrama de transição de estado.
Solução
Podemos então substituir cada classe recorrente por um estado absorvente. Observe
o diagrama de estado:
O diagrama de transição de estado no qual substituímos cada classe recorrente por um
estado absorvente.
Agora podemos aplicar a metodologia padrão para encontrar a probabilidade de
absorção no estado R1, definindo:
Por essa definição, temos e . Para encontrar os valores
desconhecidos de , podemos usar as seguintes equações:
ai = P ( absorção em R1 ∣ X0 = i), para todo i ∈ S. 
aR1 = 1 aR2 = 0
ai
ai = ∑
k
ak × pik
Para i , em que obtemos:
Resolvendo as equações acima, temos:
Portanto, se , a cadeia terminará na classe com probabilidade .
Exemplo 3
Considere a cadeia de Markov mostrada na figura a seguir. Suponha , e seja 
a primeira vez que a cadeia retorna ao estado 1, isto é:
Encontre .
∈ S
a3 =
1
2
aR1 +
1
2
a4 =
1
2
+
1
2
a4
a4 =
1
4
aR1 +
1
4
a3 +
1
2
aR2 =
1
4
+
1
4
a3
a3 =
5
7
e a4 =
3
7
X0 = 3 R1 a3 = 57
X0 = 1 R
R = min{n ≥ 1 : xn = 1}
E [R ∣ X0 = 1]
Diagrama de transição de estado.
Nessa questão, somos solicitados a encontrar o tempo médio de retorno ao estado 1.
Seja o tempo médio de retorno ao estado 1, isto é, . Então:
Em que é o tempo esperado até que a cadeia atinja o estado 1 dado .
Especificamente, :
Para .
Então, vamos primeiro encontrar . Obtemos:
Resolvendo as equações propostas, temos:
Agora podemos escrever:
r1 r1 = E [R ∣ X0 = 1]
r1 = 1 +∑
k
tk × p1k
tk X0 = k
t1 = 0
tk = 1 +∑
j
tj × pkj
k ≠ 1
tk′s
t2 = 1 +
1
3
t1 +
2
3
t3 = 1 +
2
3
t3
t3 = 1 +
1
2
t3 +
1
2
t1 = 1 +
1
2
t3
t3 = 2 e t2 =
7
3
r1 = 1 +
1
4
t1 +
1
2
t2 +
1
4
t3 = 1 +
2
3
t3
r1 = 1 +
1
4
× 0 +
1
2
×
7
3
+
1
4
× 2 =
8
3
Mão na massa
Questão 1
Imagine um serviço de aluguel/empréstimo de bicicletas elétricas. Para conseguir
um empréstimo, a pessoa precisa ir a uma das três estações: Centro (C),
Copacabana (O) e Recreio dos Bandeirantes (R). Vamos supor também que as
bicicletas devam ser devolvidas em um dos locais mencionados. Os dados obtidos
revelam que a circulação das bicicletas ocorre da seguinte forma: 95% das bicicletas
que são recolhidas no centro são devolvidas ao centro, 3% das bicicletas retiradas
do centro são devolvidas em Copacabana e 2% delas são devolvidas no Recreio. Em
relação às bicicletas retiradas em Copacabana, 2% das bicicletas são devolvidas no
centro, 90% são deixadas em Copacanana e 8% são devolvidas no Recreio. Em
relação às bicicletas recolhidas no Recreio, 5% são deixadas no Centro, 5% em
Copacabana e 90% são deixadas no mesmo local. Sabendo-se que a distribuição
inicial, no primeiro dia, do total de bicicletas foi de 50% no Centro, 30% em
Copacabana e 20% no Recerio. Qual será a distribuição no final desse dia?

A
39,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 31,4% no Recreio dos
Bandeirantes.
B
29,1% no Centro, 39,5% em Copacabana e 31,4% no Recreio dos
Bandeirantes.
C
49,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 21,4% no Recreio dos
Bandeirantes.
D
49,1% no Centro, 19,5% em Copacabana e 31,4% no Recreio dos
Bandeirantes.
E
40,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 30,4% no Recreio dos
Bandeirantes.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
heading%20u-title-
xsmall%22%3EAs%20cadeias%20de%20Markov%20%E2%80%93%20aplica%C3%A7%C3%A3o%3C%2Fh4%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3D61784c04d8904af29ec553c00a2e35a5%22%20videoId%3D%22video06%22%20width%3D%221
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Três em cada quatro caminhões (T) na estrada são seguidos por um carro (C),
enquanto apenas um em cada cinco carros (C) é seguido por um caminhão (T). Que
fração dos veículos na estrada são caminhões?
C C T C C C T T C C C C T C C C
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 3
A 6/19 e 13/19.
B 8/19 e 11/19.
C 9/19 e 10/19.
D 5/16 e 14/19.
E 4/19 e 15/19.
Considere que o humor de um indivíduo é considerado como uma cadeia de Markov
de três estados com uma matriz de probabilidade de transição:
No longo prazo, qual é a proporção de tempo do processo em cada um dos três
estados?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 4
Um problema de interesse dos sociólogos é determinar a proporção da sociedade
que tem uma ocupação de classe alta ou baixa. Um possível modelo matemático
seria assumir que as transições entre classes sociais das sucessivas gerações de
uma família podem ser consideradas como transições de uma cadeia de Markov. Ou
seja, assumimos que a ocupação de uma criança depende apenas da ocupação de
seus pais. Suponhamos que tal modelo seja apropriado e que a matriz de
probabilidade de transição seja dada por:
P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 4 0, 1
0, 3 0, 4 0, 3
0, 2 0, 2 0, 5
⎤⎥⎦A e .21
62 , 23
62
18
62
B e .23
62 , 21
62
18
62
C e .21
62 , 18
62
23
62
D e .23
62 , 18
62
21
62
E e .18
62 , 23
62
21
62
No longo prazo, qual é a proporção de tempo do processo em cada um dos três
estados?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 5
Considere o seguinte diagrama de transição. Qual será a matriz de transição?
P =
⎡⎢⎣0, 45 0, 48 0, 07
0, 05 0, 70 0, 25
0, 01 0, 50 0, 49
⎤⎥⎦A 0,62, 0,31 e 0,07.
B 0,31, 0,07 e 0,62.
C 0,07, 0,62 e 0,31.
D 0,31, 0,62 e 0,07.
E 0,07, 0,31 e 0,62.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20as%20cores%20no%20diagrama%20que%20mostram%20as%20transi%C3%A7%C3%B5es%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
12%20col-md-10%20col-lg-
7'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_23.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%20Filho.%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A%20%20%20%20%20%2
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EA%20matriz%20ser%C3%A1%3A%20%5C(P%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%2C25%20%26%200%2C25%20%26%200%2C5%20%5C%5C%200%2C5
Questão 6
A figura a seguir mostra um exemplo de uma cadeia de Markov com quatro estados.
Qual será a matriz de transição?
A P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 25 0, 25
0, 5 0, 5 0
1 0 0
⎤⎥⎦B P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 25 0, 25
0, 5 0, 5 0
1 0 0
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0 0, 5
0 0 1
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0, 5 0
0 1 0
⎤⎥⎦E P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0 0, 5
0 1 0
⎤⎥⎦
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20a%20soma%20das%20probabilidades%20tem%20de%20ser%20igual%201%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
A P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 0 1/3
0 0 1/2 1/2
0 1 0 0
1/2 0 0 1/2
⎤⎥⎦B P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 1/3 0
0 1/2 0 1/2
0 1 0 0
0 0 1/2 1/2
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣1/2 0 0 1/2
0 0 1/2 1/2
0 1 0 0
1/3 1/3 0 1/3
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 1/3 0
0 0 1/2 1/2
1 0 0 0
1/2 0 0 1/2
⎤⎥⎦E Não é possível determinar a matriz de transição.
12%20col-md-10%20col-lg-
8'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_25.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%20Filho.%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A%20%20%20%20%20%2
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%20%20%20%20%20
Teoria na prática
No final de junho, em ano de eleição presidencial, 40% dos eleitores estavam
registrados como liberais, 45% como conservadores e 15% como independentes.
Durante um período de um mês, os liberais mantiveram 80% de seu eleitorado,
enquanto 15% mudaram para conservadores e 5% para independentes. Os
conservadores ficaram com 70% e perderam 20% para os liberais. Os independentes
retiveram 60% e perderam 20% cada para os conservadores e liberais. Suponha que
essas tendências continuem.
1. Escreva uma matriz de transição usando essas informações.
2. Escreva um vetor de probabilidade para a distribuição inicial.
Encontre a porcentagem de cada tipo de eleitor no final de cada um dos meses
seguintes:
1. Julho
2. Agosto
3. Setembro
4. Outubro
Falta pouco para atingir seus objetivos.
_black
Mostrar solução
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Suponha que um aluno possa estar em um de quatro estados:
Rico
Médio
Pobre
Em débito
Suponha as seguintes probabilidades de transição:
Se um aluno for rico, na próxima etapa de tempo o aluno será:
Médio: 0,75
Ruim: 0,2
Em dívida: 0,05
Se um aluno for médio, na próxima etapa de tempo o aluno será:
Rico: 0,05
Médio: 0,2
Em dívida: 0,45
Se um aluno for pobre, na próxima etapa de tempo o aluno será:
Médio: 0,4
Ruim: 0,3
Em dívida: 2
Se um aluno estiver em dívida, na próxima etapa o aluno será:
Médio: 0,15
Ruim: 0,3
Em dívida: 0,55
Suponhamos que um aluno inicie seus estudos como “médio”. Qual será a
probabilidade de ser “rico” depois de 1, 2, 3 passos de tempo?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 2
Considere a cadeia de Markov a seguir. Encontre a distribuição estacionária para
esta cadeia.
A 4,275%
B 2,11%
C 2,96%
D 4,025%
E 3,078%
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
3 - Cadeia regular de Markov: probabilidades e distribuição
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as probabilidades de transição em várias etapas e a
distribuição estacionária de uma cadeia regular de Markov.
A 0,455, 0,259 e 0,286.
B 0,457, 0,257 e 0,286.
C 0,457, 0,260 e 0,283.
D 0,357, 0,357 e 0,286.
E 0,057, 0,457 e 0,486.
Vamos começar!
As propriedades de transiçãoem várias
etapas e a distribuição estacionária de uma
cadeia regular de Markov
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Cadeias de Markov: transições de várias
etapas
A propriedade de Markov é quando a probabilidade de transição para o próximo
estado depende apenas do estado atual. O sistema não tem memória. Uma cadeia de
Markov é uma sequência de transições discretas no tempo sob a propriedade de
Markov com um espaço de estados finito.
Vamos estudar agora as equações de Chapman-Kolmogorov e como elas são usadas
para calcular as probabilidades de transição de vários passos para determinada
cadeia de Markov.

Considere a seguinte cadeia de Markov com espaço de estados {A,B,C}:
Essa cadeia de Markov está associada à seguinte matriz de transição:
Esses valores nos informam das probabilidades de passar do estado i (linha) para o
estado j (coluna). No entanto, essas probabilidades são apenas para transições de
uma etapa. Qual seria a probabilidade de passar do estado B para o estado A em duas
etapas? Bem, podemos resolver isso por força bruta, referindo-se ao diagrama da
cadeia de Markov:
Pij =
⎡⎢⎣ 0 0, 4 0, 6
0, 5 0, 3 0, 2
0, 5 0, 3 0, 2
⎤⎥⎦P 2
B,A = 0, 5 × 0, 3 + 0, 2 × 0, 5 = 0, 25
No entanto, essa abordagem se torna cada vez mais difícil quando o espaço de
estados fica maior e precisamos calcular mais de duas transições. Existe uma
maneira mais fácil e mais geral de expressar transições de várias etapas usando as
equações de Chapman-Kolmogorov, as quais estudaremos a seguir. Podemos
generalizar as transições de várias etapas usando a seguinte fórmula:
Qual é a probabilidade de ir para o estado j no instante n quando acabamos de estar
no estado i no instante m. Essa equação pode ser resolvida a partir das equações de
Chapman-Kolmogorov:
Em que l é um valor inteiro entre m e n, P é a probabilidade de transição entre estados
e k é uma variável de índice que só pode assumir valores no espaço de estados.
Vamos passar por um exemplo na implementação das equações de Chapman-
Kolmogorov para nossa cadeia de Markov acima. Desejamos ir do estado B ao estado
A em duas etapas:
Obtivemos a mesma probabilidade anterior!
Definimos o momento como igual a zero.
Isso é permitido porque o histórico de
estados é irrelevante para uma cadeia de
Markov, portanto, definir o tempo atual
como zero não perde generalidade na
expressão.
Intuitivamente, estamos apenas
quebrando a transição de duas etapas
em um conjunto de transições de uma
etapa, pois conhecemos suas
P
m,n
i,j = P (Xn = j ∣ Xm = i)
P
m,n
i,j = ∑
k
P
m,l
i,k × P
l,n
k,j
P
0,2
B,A =
∞
∑
k
P
0,1
B,k × P
1,2
k,A
P
0,2
B,A = 0, 3 × 0 + 0, 3 × 0, 5 + 0, 2 × 0, 5 = 0, 25
probabilidades. Então, nós os
combinamos para calcular a
probabilidade de transição de duas
etapas.
Se quiséssemos calcular a transição em três etapas, o valor de l poderia ser 1 ou 2.
Portanto, teríamos de aplicar as equações de Chapman-Kolmogorov duas vezes para
expressar a fórmula em transições de uma etapa. Esse processo é conhecido como
recursão, pois estamos constantemente calculando as probabilidades para trás.
Exemplo
Seja se chover no dia i, caso contrário . Suponha que e
. Suponha que chova na segunda-feira. Qual é a probabilidade de chover na
sexta-feira?
Solução
Então:
Assim, a probabilidade de chover na sexta é . Observe que:
Logo, .
A relação de Chapman-Kolmogorov é um resultado importante na teoria das cadeias
de Markov (discretas), pois fornece um método para calcular a matriz de probabilidade
de transição de n passos de uma cadeia de Markov a partir da matriz de probabilidade
Xi = 0 Xi = 1 P00 = 0, 7
P10 = 0, 4
P = [ ]0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
P 4
00
P 4 = [ ]
4
= [ ] × [ ] × [ ] × [ ]×
P 4 = [ ]
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 5749 0, 4251,
0, 5668 0, 4332
P 4
00 = 0, 5749
de transição de 1 passo de uma cadeia de Markov. A relação de Chapman-Kolmogorov
pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui é a matriz de probabilidade de transição de passos, é a matriz
de probabilidade de transição de passos e é a matriz de probabilidade de
transição de m passos. A equação acima vale para cadeias de Markov discretas. Para
cadeias de Markov de tempo contínuo, os elementos da matriz de probabilidade de
transição são escritos em função do tempo.
Vamos ver agora como resolvemos o problema utilizando a função “MATRIZ.MULT” do
Microsoft Excel para multiplicação de matrizes. Vamos, então, colocar a matriz em
uma planilha:
Agora veja o uso da função calcular :
Agora analise a próxima imagem:
P m+n = P n × P m
P m+n n + m P n
n P m
PxP (P 2)
Vamos utilizar o mesmo procedimento para calcular e :
Exemplo
Suponha que chover ou não, hoje, dependa das condições meteorológicas anteriores
nos últimos dois dias. Especificamente, suponha que se choveu nos últimos dois dias,
então choverá amanhã com probabilidade de 0,7; se choveu hoje mas não ontem,
então choverá amanhã com probabilidade de 0,5; se choveu ontem mas não hoje,
então choverá amanhã com probabilidade 0,4; se não choveu nos últimos dois dias,
então choverá amanhã com probabilidade 0,2.
Se deixarmos o estado no tempo depender apenas de estar
chovendo ou não no tempo , então o modelo acima não é uma
cadeia de Markov.
No entanto, podemos transformar o modelo acima em uma cadeia de Markov dizendo
que o estado a qualquer momento é determinado pelas condições climáticas durante
o dia e o dia anterior. Em outras palavras, podemos dizer que o processo está em:
Estado 0 se choveu hoje e ontem.
Estado 1 se choveu hoje, mas não ontem.
Estado 2 se choveu ontem, mas não hoje.
Estado 3 se não choveu ontem nem hoje.
O precedente representaria, então, uma cadeia de Markov de 4 estados com uma
matriz de probabilidade de transição:
P 2 × P (P 3) P 3 × P (P 4)
n
n
Dado que choveu na segunda e na terça, qual é a probabilidade de chover na quinta?
Solução
A matriz de transição de duas etapas é dada por .
Como a chuva na quinta-feira é equivalente ao processo estar no estado 0 ou no
estado 1, a probabilidade desejada é dada por .
Distribuição estacionária de uma cadeia
regular de Markov
Agora que conhecemos a arquitetura geral de uma cadeia de Markov, é hora de ver
como podemos analisar uma cadeia de Markov para fazer previsões sobre o
comportamento do sistema. Para isso, consideraremos primeiro o conceito de
distribuição estacionária. Primeiro, vamos definir o que queremos dizer quando
dizemos que um processo é estacionário.
De�nição
P =
⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦P 2 = P × P
P 2 = × =
⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0, 49 0, 12 0, 21 0, 18
0, 35 0, 20 0, 15 0, 30
0, 20 0, 12 0, 20 0, 48
0, 10 0, 16 0, 10 0, 64
⎤⎥⎦P 2
00 + P 2
01 = 0, 49 + 0, 12 = 0, 61
Um processo estocástico (tempo discreto) é estacionário se para
quaisquer pontos de tempo e qualquer , a distribuição conjunta de
 é a mesma que a distribuição conjunta de .
Assim, "estacionário" refere-se a "estacionário no tempo". Em particular, para um
processo estacionário, a distribuição de é a mesma para todos os .
Então, por que nos importamos se a cadeia de Markov é estacionária?
Resposta
Se fosse estacionária e soubéssemos qual é a distribuição de cada , saberíamos a proporção de tempo
em que a cadeia de Markov estava em qualquer estado.
Por exemplo, suponha que o processo seja estacionário e saibamos que
 1/10 para cada . Então, em mais de períodos de tempo,
devemos esperar que aproximadamente 100 desses períodos de tempo tenham sido
gastos no estado 2, e ao longo de períodos de tempo, aproximadamente 
desses períodos de tempo tenham sido gastos no estado 2.
À medida que vai para o infinito, a proporção de tempo gasto no estado 2
convergirá para 1/10 (isso pode ser provado rigorosamentepor alguma forma da Lei
dos grandes números). Uma das características atraentes das cadeias de Markov é
que muitas vezes podemos torná-las estacionárias e há uma caracterização
interessante e clara da distribuição de quando é estacionário.
Então, como fazemos uma cadeia de Markov ser estacionária?
Se ela pode ser estacionária (e nem todos eles podem, por exemplo, o passeio
aleatório simples não pode ser estacionário e, mais geralmente, uma cadeia de
Markov em que todos os estados são transitórios ou recorrentes nulos não pode ser
estacionária), assim, tornando-a estacionária é simplesmente uma questão de
escolher a distribuição inicial correta para . Se a cadeia de Markov é estacionária,
então chamamos a distribuição comum de todos os de distribuição estacionária
da cadeia de Markov.
Vamos ver agora como encontramos uma distribuição estacionária para uma cadeia
de Markov.
{Xn : n ≥ 0}
i1, … , in m ≥ 0
(Xi1, … ,Xin ) (Xi1+m, … ,Xin+m)
Xn n
Xn
P (Xn = 2) = n 1.000
N N/10
N
Xn
X0
Xn
Proposição
Suponha que seja uma cadeia de Markov com espaço de estados e matriz de
probabilidade de transição . Se ) é uma distribuição sobre (ou
seja, é um vetor (linha) com componentes tais que para
todo ), então definir a distribuição inicial de igual a tornará a cadeia de
Markov estacionária com distribuição estacionária se:
Logo:
Para todo .
Em outras palavras, é o produto escalar entre e a j-ésima coluna de .
Exemplo
Considere apenas a classe recorrente . A matriz de transição para essa
classe é:
Intuitivamente, a cadeia passa um terço do seu tempo no estado 1, um terço do seu
tempo no estado 7 e um terço do seu tempo no estado 10. Pode-se verificar
facilmente que a distribuição satisfaz , assim,
 é uma distribuição estacionária.
X S
P π = (πj, j ∈ S S
π |S| ∑j πj = 1 e πj ≥ 0
j ∈ S X0 π
π
π = πP
πj = ∑
i∈S
πi × pij
j ∈ S
πj π P
{1, 7, 10}
P =
1 7 10
1
7
10
⎡⎢⎣0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎤⎥⎦π = (1/3, 1/3, 1/3) π = πP e
(1/3, 1/3, 1/3)
Exemplo
Três em cada quatro caminhões em uma estrada são seguidos por um carro,
enquanto apenas um em cada cinco carros é seguido por um caminhão. Que fração
dos veículos na estrada são caminhões?
Solução
Imagine-se sentado à beira da estrada observando os veículos passarem. Se um
caminhão passar, o próximo veículo será um carro com probabilidade 3/4 e será um
caminhão com probabilidade 1/4. Se um carro passar, o próximo veículo será um carro
com probabilidade 4/5 e será um caminhão com probabilidade 1/5. Podemos
configurar isso como uma cadeia de Markov com dois estados 0 = caminhão e 1 =
carro, e matrizes de probabilidade de transição.
As equações são:
Resolvendo, temos da primeira equação que , ou 
. Colocando isso na restrição de que , temos que ,
ou , ou . Portanto, . Ou seja, como estamos
sentados à beira da estrada, a proporção de longo prazo de veículos que serão
caminhões é de .
Precisamos da restrição de que para determinar
uma solução.
P = [ ]
0 1
0
1
1/4 3/4
1/5 4/5
π = πP
π0 =
1
4
π0 +
1
5
π1 e π1 =
3
4
π0 +
4
5
π1
(3/4)π0 = (1/5)π1 π0 = (4/15)π1
π0 + π1 = 1 (4/15)π1 + π1 = 1
(19/15)π1 = 1 π1 = 15/19 π0 = 4/19
4/19
π0 + π1 = 1
Em geral, precisamos da restrição de que para determinar uma solução.
Isso ocorre porque o sistema de equações tem em si mesmo infinitas
soluções; (se é uma solução, então também é para qualquer constante c).
Precisamos da restrição de normalização basicamente para determinar c para tornar
 uma distribuição adequada sobre .
Exemplo
Considere a cadeia de Markov a seguir. Encontre a distribuição estacionária para esta
cadeia:
Solução
Para encontrar a distribuição estacionária, precisamos resolver:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
∑j∈S πj = 1
π = πP
π cπ
π S
π1 =
1
4
π1 +
1
3
π2 +
1
2
π3
π2 =
1
2
π1
π3 =
1
4
π1 +
2
3
π2 +
1
2
π3
π1 + π2 + π3 = 1
Mão na massa
Questão 1
Suponha que nossa matriz de transição de probabilidade seja a apresentada a seguir
e encontre a distribuição estacionária para esta cadeia.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 2
π1 =
3
8
, π2 =
3
16
, π3 =
7
16

P =
⎡⎢⎣0, 7 0, 2 0, 1
0, 4 0, 6 0
0 1 0
⎤⎥⎦A 0,44, 0,41, 0,15.
B 0,54, 0,41, 0,05.
C 0,54, 0,21, 0,25.
D 0,34, 0,41, 0,25.
E 0,44, 0,21, 0,35.
Encontre a distribuição estacionária da cadeia de Markov a seguir:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 3
Seja a classe social de uma família: 1 (inferior), 2 (médio), 3 (superior) na
enésima geração. Isso foi modelado como uma cadeia de Markov com matriz de
transição apresentada a seguir. Qual será a distribuição estacionária?
P =
⎡⎢⎣ 0 0, 9 0, 1 0
0, 8 0, 1 0 0, 1
0 0, 5 0, 3 0, 2
0, 1 0 0 0, 9
⎤⎥⎦A 0,2788, 0,3009, 0,0398, 0,3805.
B 0,1788, 0,3009, 0,1398, 0,3805.
C 0,2788, 0,1009, 0,2398, 0,3805.
D 0,2788, 0,2009, 0,0398, 0,4805.
E 0,0788, 0,3009, 0,2398, 0,3805.
Xn
P =
⎡⎢⎣0, 8 0, 1 0, 1
0, 2 0, 6 0, 2
0, 3 0, 3 0, 4
⎤⎥⎦A 0.69, 0.17, 0.14.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 4
Uma cadeia de Markov , começando em , tem a matriz de
probabilidade de transição:
Seja a primeira vez que o processo atinge o estado 2,
no qual é absorvido. Se em algum experimento observamos tal processo e notamos
que a absorção ainda não ocorreu, podemos estar interessados na probabilidade
condicional de que o processo esteja no estado 0 (ou 1), dado que a absorção não
ocorreu. Determine .
B 0.5471, 0.2715, 0.1814.
C 0.5454, 0.2727, 0.1818.
D 0.5430, 0.2745, 0.1825.
E 0.5441, 0.2737, 0.1822.
Xn ∈ {0, 1, 2} X0 = 0
P =
⎡⎢⎣0, 7 0, 2 0, 1
0, 3 0, 5 0, 2
0 0 1
⎤⎥⎦T = inf {n ≥ 0 ∣ Xn = 2}
P [X3 = 0 ∣ T > 3]
A 0,5845
B 0,5972
C 0,6108
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 5
O proprietário de um posto de gasolina está considerando o efeito em seu negócio
(Superpet) de um novo posto de gasolina (Global) que abriu logo abaixo da estrada.
Atualmente (do mercado total compartilhado entre Superpet e Global), Superpet tem
80% do mercado e Global tem 20%. A análise da última semana indicou as seguintes
probabilidades de os clientes trocarem de estação em que param a cada semana:
Qual será a participação de mercado esperada para Superpet e Global depois de
mais duas semanas?
D 0,6652
E 0,6843
Para
S G
De  [ ]Superpet
Global
0, 75 0, 25
0, 55 0, 45
A 69,2% e 30,8% para Superpet e Global, respectivamente.
B 30.8% e 69,2% para Superpet e Global, respectivamente.
C 59,2% e 40,8% para Superpet e Global, respectivamente.
D 40.8% e 59,2% para Superpet e Global, respectivamente.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
heading%20u-title-
xsmall%22%3EComportamento%20de%20mercado%3C%2Fh4%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
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Questão 6
O proprietário de um posto de gasolina está considerando o efeito em seu negócio
(Superpet) de um novo posto de gasolina (Global) que abriu logo abaixo da estrada.
Atualmente (do mercado total compartilhado entre Superpet e Global). Superpet tem
80% do mercado e Global tem 20%. A análise da última semana indicou as seguintes
probabilidades de os clientes trocarem de estação em que param a cada semana:
Qual seria a previsão de longo prazo para a participação de mercado esperada para
Superpet e Global?
E 65,2% e 35,8% para Superpet e Global, respectivamente.
Para
S G
De  [ ]Superpet
Global
0, 75 0, 25
0, 55 0, 45
A 68,75% e 31,25% para Superpet e Global, respectivamente.
B 31.25% e 68,75% para Superpet e Global, respectivamente.
C 58,75% e 41,25% para Superpet e Global, respectivamente.
D 41.25% e 58,75% para Superpet e Global, respectivamente.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
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xsmall%22%3EComportamento%20de%20mercado%20%E2%80%93%20previs%C3%A3o%3C%2Fh4%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
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Teoria na prática
Uma grande empresa de publicidade está considerando usar a teoria de Markov para
analisar a participação de mercado para toners para impressoras a laser, fabricadas e
vendidas por seu cliente. Os dados da pesquisa foram coletados e usados para
estimar a seguinte matriz de transição para a probabilidade de mudar de marca a cada
mês:
A participação de mercado atual (mês 1) é de 45%, 25% e 30% para as marcas 1, 2 e 3,
respectivamente.
Quais serão as participações de mercado esperadas depois de dois meses
(ou seja, no mês 3)?
Qual é a previsão de longo prazo para a participação de mercado esperada
para cada uma das três marcas?
Você esperaria que a participação de mercado real se aproximasse da
previsão de longo prazo para o mercado ou não (e por quê)?
E 48,75% e 51,25% para Superpet e Global, respectivamente.
_black
1 2 3
1
2
3
⎡⎢⎣0, 80 0, 10 0, 10
0, 03 0, 95 0, 02
0, 20 0, 05 0, 75
⎤⎥⎦
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Ao analisar a mudança de escolha, por parte dos clientes, entre diferentes marcas
de tubos de cobre, uma pesquisa foi estabelecida e os dados coletados foram
usados para estimar a seguinte matriz de transição para a probabilidade de
mudança entre marcas a cada mês:
As quotas de mercado atuais (mês 1) são de 45%, 23%, 20% e 12% para as marcas 1,
2, 3 e 4, respectivamente. Quais serão as quotas de mercado esperadas depois de
dois meses (ou seja, no mês 3)?
Mostrar solução
1 2 3 4
1
2
3
4
⎡⎢⎣0, 95 0, 02 0, 02 0, 01
0, 05 0, 90 0, 02 0, 03
0, 10 0, 05 0, 83 0, 02
0, 13 0, 13 0, 02 0, 72
⎤⎥⎦A
48,44%, 24,93%, 16,74% e 18,89% para as marcas 1, 2, 3 e 4
respectivamente.
B
49,44%, 14,93%, 26,74% e 8,89% para as marcas 1, 2, 3 e 4
respectivamente.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 2
Um pesquisador está analisando a troca entre dois produtos diferentes. Ela sabe que
no período 1 as quotas de mercado para os dois produtos foram de 55% e 45%, mas
que no período 2 as quotas de mercado correspondentes foram de 67% e 33% e no
período 3 foram de 70% e 30%. O pesquisador acredita que uma representação
precisa da participação de mercado em qualquer período pode ser obtida por meio
de processos de Markov. Supondo que sua crença esteja correta, estime a matriz de
transição.
C
49,44%, 24,93%, 16,74% e 8,89% para as marcas 1, 2, 3 e 4
respectivamente.
D
49,44%, 24,93%, 6,74% e 18,89% para as marcas 1, 2, 3 e 4
respectivamente.
E
39,44%, 14,93%, 16,74% e 28,89% para as marcas 1, 2, 3 e 4
respectivamente.
A 70,75% e 29,25%.
B 60,75% e 39,25%.
C 50,75% e 49,25%.
D 29,25% e 70,75%.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Considerações �nais
Neste conteúdo, vimos que as cadeias de Markov são usadas para modelar
probabilidades com base em informações que podem ser codificadas no estado atual.
Algo transita de um estado para outro semialeatoriamente ou estocasticamente. Cada
estado tem certa probabilidade de transição para outro estado, então cada vez que
você está em um estado e deseja fazer a transição, uma cadeia de Markov pode prever
resultados com base em dados de probabilidade preexistentes. Mais tecnicamente, a
informação é colocada em uma matriz e um vetor — também chamado de matriz
coluna — e com muitas iterações, uma coleção de vetores de probabilidade compõe
as cadeias de Markov.
Demonstramos que um modelo de Markov é um modelo estocástico com a
propriedade de que os estados futuros são determinados apenas pelo estado atual —
isto é, o modelo não tem memória; ele só sabe em que estado está agora, não
qualquer um dos estados que ocorreram anteriormente.
Explore +
Para se aprofundar neste assunto, recomendamos buscá-lo nos seguintes portais:
Portal de Periódicos da Capes.
Biblioteca Digital de Domínio Público.
E
99,25% e 60,75%.
Referências
CHING, W. et al. Markov chains models, algorithms and applications. 2nd ed. Boston,
MA: Springer, 2013.
GAGNIUC, P. A. Markov chains: from theory to implementation and experimentation.
New York: Wiley, 2017.
MEYER, C. D.; PLEMMONS, R. J. Linear algebra, Markov chains, and queueing models.
New York: Springer Nature, 2019.
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