Movimento de Projétil

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET 
Departamento de Física 
Disciplina: Experimentos de Física I – Turma 01 
Prof ª Dr ª Luciana Magalhães Rebelo Alencar 
Discente: Josafá de Andrade Vieira 
 
 
RELATÓRIO 
 
 
 
Movimento de Projétil 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS, DEZEMBRO DE 2021. 
 
 
1 
 
Sumário 
 
1. Objetivos .................................................................................................... 2 
2. Resumo ....................................................................................................... 3 
3. Introdução ................................................................................................. 4 
4. Procedimento Experimental .................................................................... 9 
4.1 Métodos ................................................................................................................... 9 
5. Resultados e Discussão ........................................................................... 10 
5.1 Tela Intro ................................................................................................................ 10 
5.2 Tela Vetores ............................................................................................................ 12 
5.3 Tela Arrasto ........................................................................................................... 14 
5.4 Tela Lab e Atividade proposta ................................................................................ 16 
6. Conclusão ................................................................................................. 18 
7. Referências .............................................................................................. 19 
 
 
 
 
 
2 
 
1. Objetivos 
Determinar como cada parâmetro (altura inicial, ângulo inicial, velocidade inicial, massa, 
diâmetro e altitude) afeta a trajetória de um objeto, com e sem resistência ao ar; Prever como 
as variações das condições iniciais afetam o caminho do projétil, e explicar sua a previsão; 
Estimar onde um objeto irá pousar dadas suas condições iniciais; Determinar que o 
movimento x e y de um projétil são independentes; Investigar as variáveis que afetam a força 
de arraste. Descrever o efeito que a força de arrasto tem na velocidade e aceleração; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2. Resumo 
Neste relatório será tratado sobre o problema de lançamento de projéteis. Este movimento é 
composto por uma componente horizontal e uma vertical. A estas direções serão atribuídos 
eixos cartesianos, que as dividirão entre componentes x e y (horizontal e vertical). O 
movimento global então poderá ser estudado em suas duas componentes, individualmente, o 
que possibilita a solução de pares de problemas simples e que indicam a solução de um 
problema complicado. Para o estudo deste movimento com lançamento obliquo, temos o 
simulador PhET para analisar o lançamento de variados objetos e sua análise. 
 
 
4 
 
3. Introdução 
O estudo do movimento de projéteis não é recente. Na Idade Média, por exemplo, 
temos uma das mais perigosas criadas para o ataque a fortificações: a catapulta! O mecanismo 
de cálculo de alcance dependia das tentativas e erros: se aumentasse a força de lançamento, 
poderia ir mais longe ou mais perto; dependia do ângulo de lançamento. De qualquer forma, o 
movimento realizado indica um aprofundamento no estudo científico do lançamento de 
projéteis. 
Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma 
trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. 
Uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada e uma bala disparada por uma arma 
de fogo são exemplos de projéteis. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória (YOUNG et 
al., 2016). O movimento de um projétil lançado de forma oblíqua é bidimensional. Este 
movimento pode ser analisado nas direções x e y separadamente, ou seja, dois movimentos 
unidimensionais independentes. Se nenhuma força dissipava for considerada, podemos dizer 
que o movimento é constante na horizontal e acelerado na vertical, com aceleração igual à 
aceleração da gravidade local. Isto equivale a determinar onde se encontra a origem, a partir 
da qual definiremos os vetores que descrevem o movimento. Na figura abaixo, indicamos um 
exemplo daquilo a que estamos nos referindo. 
 Figura 1: Vetores que descrevem o movimento. 
 
Fonte: edisciplinas.usp.br 
Em certo instante no tempo, um objeto foi lançado com certa velocidade. Depois de 
outro espaço de tempo, nós o localizamos e verificamos algumas de suas características. Neste 
tempo t, podemos definir: 
 • r = r(t) é o vetor posição do objeto no instante t; 
 • v = v(t) é o vetor velocidade quando o objeto está no instante t; 
 
 
5 
 
 • g = g(t) é o vetor aceleração da gravidade quando o objeto está no instante t. 
 Note alguns aspectos importantes destas definições: o tempo aparece como uma 
variável independente: seja qual for o tempo, temos alguns vetores que dependem deste 
tempo. Os vetores posição e velocidade mudam a cada instante. O vetor aceleração da 
gravidade, no entanto, nunca muda. 
Escolhendo de forma adequada o sistema de coordenadas, podemos escrever as 
equações que regem o movimento na horizontal e na vertical. Se a aceleração é constante, os 
movimentos x e y podem ser descritos separadamente, conforme abaixo apresentado em 
conjunto com as equações do MRUV. 
 
 Horizontal: 
 (1) 
 (2) 
 Vertical 
 
 
 
 
 (3) 
 . (4) 
 . (5) 
 A combinação destas equações nos permite encontrar o alcance horizontal R que ainda 
será deduzido, mas é dado por: 
 
 
 
 
 . (6) 
Onde v0 é a velocidade inicial em que projétil foi lançado e θ é o ângulo de 
lançamento. 
O alcance máximo de um projétil e sua altura máxima depende da sua velocidade 
inicial e do ângulo de saída (ângulo formado entre o eixo x e o eixo y). Na direção vertical, o 
corpo faz o movimento uniformemente variado para a velocidade inicial e a gravidade g. 
Já na direção horizontal, o projétil realiza um movimento uniforme com velocidade . 
Considerando um lançamento de projétil na superfície da Terra, com velocidade , que 
forma um ângulo θ com a horizontal, representado de acordo com a figura 2. 
 
 
6 
 
Figura 2: Movimento de um Projétil. 
 
 Fonte: Nussenzveig, (2013), adaptada. 
 
 
O vetor velocidade faz um ângulo com o eixo horizontal e para a decomposição do 
vetor velocidade usam-se as razões trigonométricas, visto que forma-se um triângulo 
retângulo entre as componentes e . Na figura 3 abaixo podemos ver a trajetória de um 
projétil, que inicia o movimento na origem em um dado instante t = 0, lançado com 
velocidade inicial ⃗ formando um ângulo acima da horizontal, desprezando a resistência 
do ar. Os componentes da posição, velocidade e aceleração, são para o mesmo intervalo de 
tempo. Considerase constante, pois a componente x da aceleração é igual a zero. A 
componente y da aceleração é constante e não nula, onde varia de quantidades iguais em 
intervalos de tempo iguais no ponto mais alto da trajetória . A distância A é o alcance 
horizontal e h é a altura máxima. (YOUNG e FREENDMAN, 2003). 
 Figura 3: Trajetória de um projétil e a decomposição das velocidades vx e vy. 
 
Fonte: SAMPAIO e CALÇADA (2005). Adaptado. 
 
 
 
7 
 
Analisando os componentes da velocidade e e substituindo nas equações 
trigonométricas, teremos: 
 . (7) 
 . (8) 
No movimento oblíquo, não há aceleração horizontal e o movimento horizontal e o 
vertical são independentes.Analisando este movimento através de uma catapulta medieval, 
observaremos através de medições e análises com equações matemáticas que, durante a 
subida do objeto lançado, a velocidade vertical diminui, enquanto na descida aumenta. O 
alcance máximo atingido pelo objeto entre o ponto de lançamento e o ponto da queda se dará 
em y = 0. 
De acordo com Halliday (2013), utilizando a função horária da velocidade, em 
MRUV, desde que a seja substituído por – g e o eixo x pelo eixo y, conforme demonstrado 
abaixo: 
 
 
 
 . (9) 
Substituindo na equação (8), temos: 
 
 
 
 . (10) 
Onde a componente vertical da velocidade inicial foi substituída pela expressão 
equivalente . 
 . (11) 
 
 
 . (12) 
A componente vertical se comporta exatamente como a de uma bola lançada 
verticalmente para cima. No ponto mais alto da trajetória, o módulo da velocidade é zero, 
após, a componente vertical da velocidade muda de sentido e aumenta com o passar do tempo 
até o final da trajetória. (HALLIDAY, 2013). 
 Na componente horizontal, este movimento e permanece igual ao valor inicial, 
pois não existe aceleração. 
 . (13) 
Ao substituirmos por , temos: 
 . (14) 
Quando o projétil retorna a mesma horizontal, conforme a figura 3, o movimento é 
simétrico em relação à altura máxima, portanto o tempo de subida é o mesmo tempo de 
descida. (CARRON, 2002). 
 
 
8 
 
 
 
 
. (15) 
O tempo total da trajetória será a soma do tempo de subida com o tempo de descida, 
desde que o projétil retorne a mesma horizontal. Para a determinação da altura máxima (ℎmáx), 
aplica-se a equação de Torricelle: 
 
 
 
 
. (16) 
No alcance horizontal, temos distância medida no eixo horizontal do ponto de 
lançamento ao ponto final da trajetória. Chamaremos alcance horizontal de A, que será 
determinado por substituições na equação (14), onde = A , e = 0 na equação 
(10), ambas já apresentadas anteriormente. (HALLIDAY, 2013). 
 . (17) 
 
 
 
 . (18) 
Eliminando t, teremos que: 
 
 
 
 
 . (19) 
Utilizando a trigonometria que diz que 2 , tem-se que: 
 
 
 
 
 . (20) 
Nesta equação, “A" atinge o valor máximo para = 1, que corresponde a = 
90° ou = 45°. (Halliday, 2013). Para o mesmo ângulo de lançamento, quanto maior a 
velocidade, maior será o alcance. Observe a figura abaixo de vários lançamentos de mesmo 
ângulo, porém com velocidades crescentes. (CARRON, 2002) 
 
 Figura 4: Plano Lançamentos no mesmo ponto de saída, porém com velocidades diferentes. 
 
Fonte : CARRON, 2002. Adaptada. 
 
 
9 
 
 
 
 
4. Procedimento Experimental 
• Materiais para o estudo de simulação sobre movimento de projeteis: 
I. Um computador ou notebook com acesso a internet; 
II. Acessar o simulador PhET através nos site: 
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-
motion_pt_BR.html 
 
4.1 Métodos 
A. Na tela de “Intro” foi mantido o eixo y em 10 metros e selecionado um ângulo 
de inclinação de 45 °. A velocidade inicial escolhida foi de 15 m/s e o projetil 
escolhido foi uma bola de futebol. Foi desprezada a resistência do ar e 
selecionado o ícone de componentes de vetores velocidade. O Zoom foi 
diminuído a fim de visualizar toda a trajetória da bola, além de ser selecionado 
o modo lento para uma visualização melhor da trajetória e, assim foi lançado o 
projetil. O alvo foi colocado onde o projetil tocou no solo; 
B. Na tela “vetores” o canhão foi posicionado na altura y de 0 m fazendo um 
ângulo de 60°, selecionado os itens vetores velocidade e componentes para 
melhor analisa-lo horizontalmente e verticalmente. Selecionado em câmera 
lenta. Uma nova simulação foi realizada com e sem a resistência do ar mas com 
uma velocidade de 16 m/s e um ângulo de 45°; 
C. Na tela de “Arrasto” foi explorado a relação entre o coeficiente de arrasto e a 
forma do corpo, ajustado a altitude e comparado as trajetórias; 
D. Em tela “Lab” foi ajustado o ângulo do canhão para atingir o alvo no local de 
pouso do projétil. 
 
 
 
 
 
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_pt_BR.html
 
 
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5. Resultados e Discussão 
5.1 Tela Intro 
Foi possível observar que a componente x da velocidade não muda, pois se mantem 
constante ao longo do movimento porque ao longo do eixo x temos a existência do 
movimento retilíneo uniforme. Já a componente y da velocidade inicial aponta para cima 
(Figura 5) e ao longo do tempo, vai diminuindo de valor até chegar num certo momento que 
assume o valor zero (Figura 6). Esse ponto é conhecido como altura máxima. Foi possível 
perceber que após passar pela altura máxima, a componente y da velocidade volta a aumentar, 
mas com o sentido contrário apontando para baixo (Figura 7). 
Figura 5: Componente y da velocidade inicial apontando para cima. 
 
Fonte: PhET 
 
 
 
11 
 
Figura 6: Ponto de altura máxima. 
 
Fonte: PhET 
 
Figura 7: Componente y da velocidade aumentando no sentido contrário. 
 
Fonte: PhET 
 
Ao selecionar a opção componentes de vetores aceleração, será verificado que a 
existência apenas de uma componente de vetor aceleração que aponta para baixo. Este é o 
vetor de aceleração de gravidade, pois em y o movimento é retilíneo e uniformemente 
variado. Temos neste ultimo caso, um movimento de queda livre. Se colocarmos a opção de 
vetores total de aceleração, será observado que nada muda, pois nesse caso existe um vetor 
aceleração que aponta para baixo (Figura 8). Selecionando a opção de resistência do ar, foi 
 
 
12 
 
verificado que a distancia ao longo do eixo y se torna menor do que quando estávamos 
tratando da resistência do ar (Figura 9). 
Figura 8: Vetor aceleração que apontando para baixo. 
 
Fonte: PhET 
Figura 9: Com a resistência do ar. 
 
Fonte: PhET 
5.2 Tela Vetores 
Foi possível observar que a componente horizontal continua constante em todo tempo, 
e, por sua vez, a componente vertical começa bem grande, mas diminui até chegar na altura 
máxima onde é zero e volta a crescer no sentido contrário até chegar no chão. Vale dizer que 
nesse caso não estava sendo incluída a resistência do ar. 
 
 
13 
 
Foi realizada uma nova simulação com e sem a resistência do ar, mas com uma 
velocidade de 16 m/s e um ângulo de 45° e observado a trajetória sem a resistência do ar 
simulando um ambiente de vácuo (Figura 10). 
 
Figura 10: Lançamento da bola de canhão sem a resistência do ar. 
 
Fonte: PhET 
 
 Selecionando a resistência do ar, e observado que corpo tem cinco quilos e 0,8 metros 
de diâmetro e, assim, lançado o projetil que apresentou uma diferença grande de distancia 
comparando no lançamento sem a resistência do ar (Figura 11). Podemos concluir que não é a 
massa que causou isso, mas também, o tamanho, pois se diminuir a bola de canhão para 0,2 m 
de diâmetro a resistência do ar ficará cada vez menos visível e mais parecida com o 
movimento no vácuo (Figura 12). 
 
 
14 
 
Figura 11: : Lançamento da bola de canhão com a resistência do ar. 
 
Fonte: PhET 
 
 Figura 12: : Resistência do ar ficando mais parecida com o movimento no vácuo. 
 
Fonte: PhET 
 
 
5.3 Tela de Arrasto 
A força de resistência do ar é medida a partir de uma grandeza conhecida como 
coeficiente de resistência (k), que depende basicamente da densidade do ar, do formato do 
corpo e da área transversal perpendicular à direção do movimento. Nesse tipo de movimento, 
quando levamos em conta o arrasto produzido pelo ar, o alcance e a altura máxima são 
menores tanto quanto for maior o coeficiente k (SILVA et al., 2018).15 
 
No modo de arrasto, o projétil é uma bala de canhão da mesma forma como foi na 
simulação anterior, mas com a novidade do coeficiente de arrasto que dependendo do 
escolhido no experimento há uma ligeira alteração de formato da bala. É disponibilizado um 
controle para a altitude grandeza variável, que se acionado, observa-se que para a um mesmo 
coeficiente de arrasto, ângulo de disparo, velocidade e massa de projetil, seu alcance será mais 
distante do disparador tanto quanto for maior a altitude em 0 m, 500 m, 1000 m e 1500 m 
(Figura 13), de maneira análoga, seu alcance será menos distante do disparador tanto for 
menor a altitude em 2000 m, 1400 m, 800 m e 100 (Figura 14). 
 Figura 13: Movimento do projetil com o aumento da altitude. 
 
Fonte: PhET 
 
 Figura 14: Movimento do projetil com a diminuição da altitude. 
 
Fonte: PhET 
 
 
 
16 
 
Observando a trajetória ilustrada na figura acima fica ainda mais evidente como a 
força de arrasto do ar provoca uma mudança brusca na trajetória do projétil. É interessante 
observar esse tipo de exemplo, pois o movimento é contraintuitivo e dependendo da situação 
pode nos induzir ao erro. 
 
5.4 Tela de Lab e Atividade proposta 
A princípio o projetil foi lançado num ângulo de 25° com uma velocidade de 15 m/s ,e 
a seguir foi lançado e observado painel disponibilizado no simulador, o tempo (1,29 s), a 
distancia e a altura (Figura 15). Depois, o ângulo foi mudado para 65° cuja soma com o 
ângulo anterior dá 90 graus, portanto, 60° e 25° são ângulos complementares que, 
consequentemente, utilizando a mesma velocidade inicial de lançamento ocorreu que o 
projetil caiu no mesmo alvo percorrendo a mesma distancia na horizontal, mas o tempo foi 
diferente (Figura 16) em torno de 2,77 segundos, ou seja, um tempo maior que o anterior já 
que o alcance foi maior. Como teste mais dois ângulos complementares foram escolhidos para 
confirmar se isso se procede (50° e 40 °) o que foi confirmado. Portanto, toda vez quando é 
realizado um lançamento obliquo com a mesma velocidade inicial em ângulos que são 
complementares teremos o mesmo alcance horizontal. 
 
 Figura 15: Lançamento do projétil com ângulo de 25°. 
 
Fonte: Autor 
 
 
17 
 
 Figura 16: Lançamento do projétil com ângulo de 65°. 
 
Fonte: Autor 
 
O coeficiente de atrito caracteriza a superfície que abriga o objeto. Quanto maior for o 
coeficiente, maior será a resistência gerada pela superfície sobre o objeto e vice versa. Logo, 
dados os coeficientes os objetos calculados, podemos fazer uma ordem crescente de 
resistência, ficando, portanto: Pendrive < Rolo de fita < Borracha. 
1) Preencher a seguinte tabela para os diferentes objetos a serem lançados do canhão, 
selecionando os valores de ângulos (graus) e velocidade inicial (m/s) para que possa 
chegar ao objetivo em branco de calcular a velocidade final. 
 
Objetos 
 
Massa 
(kg) 
Diâmetro 
(m) 
Ângul
o (°) 
Velocidad
e Inicial 
(m/s) 
Alcance 
(m) 
Altura 
(m) 
Tempo 
 (s) 
Velocidade 
Final (m/s) 
em módulo 
Bala de 
Canhão 
24,5 0,18 31 18 29,16 4,37 1,89 19,00 
Projétil 25 0,3 40 10 10.4 2,11 1,31 11,21 
Bola de 
Golfe 
0,05 0,04 36 15 21,81 3,96 1,8 16,13 
Bola de 
Baseball 
1,55 0,15 45 15 22.94 5,73 2,16 16,35 
Bola de 
Futebol 
5 0,35 45 15 22,94 5,73 2,16 16,35 
Abóbora 260 0,37 51 16 25,53 7,88 2,54 17,49 
 
 
18 
 
Humano 70 0,6 50 10 10,04 5,02 1,56 11,43 
Piano 703 2,4 60 12 12,71 5,5 2,12 13,62 
Carro 3126 2,5 40 14 19,68 4,13 1,83 15,23 
 
 
 
5. Conclusão 
 
Neste relatório, pudemos ver que o projétil é definido como um objeto lançado com uma 
velocidade inicial e que percorre um espaço determinado. A curva parabólica descrita pelo 
projétil é a sua trajetória e o movimento realizado pelo projétil lançado obliquamente é 
bidimensional podendo ser analisado nas direções x e y separadamente, ou seja, dois 
movimentos unidimensionais independentes. Se nenhuma força dissipava for considerada, 
podemos dizer que o movimento é constante na horizontal e acelerado na vertical, com 
aceleração igual à aceleração da gravidade local. Isto equivale a determinar onde se encontra a 
origem, a partir da qual foi definido os vetores que descrevem o movimento. 
Foram apresentado e analisado minuciosamente diversas situações que apesar de 
apresentar análises semelhantes, possuíam em destaque ferramentas a mais que ajudaram na 
observação do lançamento em questão estudando o comportamento dos vetores e na força de 
arrasto no lançamento de projeteis através do simulador PhET. 
Compreendeu-se também que o lançamento de projeteis não é algo recente, mas sim de 
um passado ainda remoto. Na história, devido a falta de um arsenal mais sofisticado, uma 
pedra ou pedaço de madeira, o homem apreciava como elementos bastante interessantes para 
a consecução de seus objetivos. O cálculo de risco já fazia parte de seu mecanismo de defesa, 
o que o levava a decidir qual atitude tomar diante de algumas circunstâncias. Verdade ou não, 
nasceu, a partir de preocupações semelhantes, o estudo do movimento de projéteis. Na Idade 
Média, então, como já vimos em filmes e livros, foi criada uma arma formidável no ataque a 
fortificações: a catapulta. 
 
 
 
 
 
19 
 
6. Referências 
[1] GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers. 3ed. New Jersey: Editora 
Prentice Hall, 2000. 
 
 [2] Física I, Sears e Zemansky : mecânica / Hugh D. Young, Roger A. Freedman ; 
colaborador A. Lewis Ford; tradução Daniel Vieira; revisão técnica Adir Moysés Luiz. – 14. 
ed. – São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. 
 
[3] KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm J. Física. São Paulo: 
Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves de Farias. Vol. 1. 
 
[4] RESNOCK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth S. Física 1. 5ed. Rio de 
Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro M. C. L. Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. 
Xavier, Fernando R. Silva. 
 
[5] MATIAS, Marcelo P. Simulação PHET (physics education technology) para lançamento 
de projéteis e oficina de construção e lançamento de foguetes de garrafas pet / Marcelo 
Pereira. – 2019. 
 
[6] ALVES de Souza, C. Estudo do lançamento Oblíquo Utilizando Réplicas de Armas 
Medievais / Cassiana Alves de Souza. -- 2020 
.