Metodologia Hexag Medicina

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	 aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da matéria dada em aula. 
	 Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a consolidação do aprendizado. 
 Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
 dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do Brasil. 
 enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o aluno para esse tipo de exame. 
 objetivas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios de múltipla escolha das universidades públicas de São Paulo. 
 dissertativas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios dissertativos da segunda fase das universidades públicas de São Paulo.
 uerj (exame de qualiFiCação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj. 
 uerj (exame disCursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj.
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cos, que mostra, com prático e rápido manuseio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxili-
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completo, trata-se de um grande aliado para seu sucesso nos vestibulares.
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA 5
AULAS 1 E 2: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 006
AULAS 3 E 4: EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E PROBLEMAS CLÁSSICOS 011
AULAS 5 E 6: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 018
AULAS 7 E 8: TEORIA DOS CONJUNTOS 023
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA 29
AULAS 1 E 2: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 030
AULAS 3 E 4: PRODUTOS NOTÁVEIS 040
AULAS 5 E 6: FATORAÇÃO 043
AULAS 7 E 8: CONJUNTOS NUMÉRICOS 047
GEOMETRIA PLANA 53
AULAS 1 E 2: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA 054
AULAS 3 E 4: ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA 059
AULAS 5 E 6: RAZÃO PROPORCIONAL E TEOREMAS DE TALES E DA BISSETRIZ INTERNA 064
AULAS 7 E 8: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 070
SUMÁRIO
ÁLGEBRA
MATEMÁTICA
CADERNO 
DE E.O.
6  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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E 
1
assinale a alternativa Correta.
a) Apenas as igualdades I e II são verdadeiras.
b) Apenas as igualdades I, III e IV são verdadeiras.
c) Apenas as igualdades II e IV são verdadeiras.
d) Apenas a igualdade IV é verdadeira.
e) Todas as igualdades são verdadeiras.
4. se a = 
 ( 1 ___ 25 ) 
1/2
 ∙ 253/2
 ___________ _ 
2(1000)–1/3 e b = 10 ___ 3 [3–1 –(–3)–1]–1,
então, a __ 
b
 é igual a:
a) 10.
b) 25.
c) 40.
d) 55.
5. (CFt-mg) nos trabalhos CientíFiCos, números muito grandes 
ou próximos de zero são esCritos em notação CientíFiCa, que Con-
siste em um número x, tal que 1 < x < 10 multipliCado por uma 
potênCia de base 10. assim sendo, 0,00000045 deve ser esCrito 
da seguinte Forma: 
a) 0,45 × 10–7.
b) 4,5 × 10–7.
c) 45 × 10–6.
d) 4,5 × 108.
6. (iFCe) para todo número real positivo a, a expressão 
 dXX a + dXX a3 + dXX a5 _____________ dXX a é equivalente a:
a) 1 + dXX a + a.
b) 1 + a + a2.
c) dXX a + a.
d) dXX a + a2.
e) 1 + a.
7. simpliFiCando a expressão 3 dXX 2 – 2 dXXX 18 + 3 dXXX 72 , 
obtemos:
a) 3 dXX 2 .
b) 24 dXX 2 .
c) 15 dXX 2 .
d) –15 dXX 2 .
e) dXX 2 .
8. (CFt-pr) a expressão ( dXX 3 – dXX 5 )2 + ( dXX 3 + dXX 5 )2 + 
+ ( dXX 3 – dXX 5 )( dXX 3 + dXX 5 ) é equivalente a:
E.O. AprEndizAgEm
1. (uF) um adulto humano saudável abriga CerCa de 100 bilhões 
de baCtérias, somente em seu trato digestivo.
esse número de baCtérias pode ser esCrito Como:
a) 109.
b) 1010.
c) 1011.
d) 1012.
e) 1013.
2. (uFrgs) Considere que o Corpo de uma determinada pessoa 
Contém 5,5 litros de sangue e 5 milhões de glóbulos vermelhos 
por milímetro CúbiCo de sangue.
Com base nesses dados, é Correto aFirmar que o número de gló-
bulos vermelhos no Corpo dessa pessoa é:
a) 2,75 ∙ 109.
b) 5,5 ∙ 1010.
c) 5 ∙ 1011.
d) 5,5 ∙ 1012.
e) 2,75 ∙ 1013.
3. (iFsC) no séCulo iii, o matemátiCo grego dioFante ideali-
zou as seguintes notações das potênCias:
x – para expressar a primeira potênCia;
xx – para expressar a segunda potênCia;
xxx – para expressar a terCeira potênCia.
no séCulo xvii, o pensador e matemátiCo FranCês rené desCartes 
(1596-1650) introduziu as notações x, x2, x3 para potênCias, no-
tações essas que usamos até hoje.
Fonte: GIoVAnnI; CAStRUCCI; GIoVAnnI JR. 
A ConqUIStA dA mAtemátICA. 8 ed. São PAUlo: Ftd, 2002.
analise as igualdades abaixo:
i. (x3y4)4 = x12y16
ii. – 50 + 30 – (–4)0 = 1
III. 
20 + 1 __ 2 
 ______ 
 1 __ 4 – 30
 = –2
iv. (40 + 4–1) ÷ (40 – 4–1) = 5 __ 3 
 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃOMT
AULAS 
1 E 2 COMPETÊNCIA(s)
1 e 2
HABILIDADE(s)
1, 3, 4, 7, 10 e 11
MATEMÁTICA e suas tecnologias  7



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1
a) 14 + dXXX 15 .
b) 14 – 4 dXXX 15 .
c) 14.
d) 0.
e) 19.
9. (iFal) assinale a alternativa Correta.
a) dXX 4 + dXX 5 = dXX 9 = 3
b) ( dXX 3 + dXX 2 )2 = ( dXX 3 )2 + ( dXX 2 )2 = 3 + 2 = 5
c) 9 ___ 
 dXX 3 
 = 
dXX 3 ___ 3 
d) 4 ______ _ 
( dXX 5 – 1)
 = dXX 5 + 1
e) dXXX 16 = ± 4
10. (utF-pr) Considere as seguintes expressões:
I. 3 dXXX 12 _____ 2 = 3 dXX 2 
II. (2 dXX 3 )–1 = 
dXX 3 ___ 6 
III. (24)1/2 = 2 dXX 2 
é(são) verdadeira(s), somente:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
E.O. FixAçãO
1. (CFt-mg) sendo e = 2n+4n
 ___________ 
22n (1 + 2n)
 , o número e–1 será 
igual a:
a) 2n.
b) 2–n.
c) 1/2.
d) 1/4.
2. (uFrgs) Considere as desigualdades a seguir:
i. 32000 < 23000.
ii. – 1 __ 3 < ( - 1 __ 
3
 ) 2
iii. 2 __ 3 < ( 2 __ 3 ) 2.
quais são verdadeiras?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas I e II.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
3.(unisinos) simpliFiCando-se a expressão √
_____________237
 ____________ 
235 + 238 + 239 
obtém-se o número:
a) √
___
 19 ____ 4 .
b) √
___
 19 ____ 2 .
c) 0,4.
d) 0,16.
e) √
__
 2 ___ 
237 .
4. (pUC-RJ) Considere x, y e z reais positivos tais que 
√
__
 x = 20153, 3 √
__
 y2 = 20154, z3 = 20156.
a expressão 1 _______ √
______
 x · y · z vale: 
a) 2015–7.
b) 2015–13.
c) 2015–17.
d) 20155.
e) 20157.
5. (espm) simpliFiCando a expressão
 dXXXXXXXX 2
13 + 216
 ________ 
215 
obtemos:
a) dXX 2 . b) 1,5. c) 2,25. d) 27. e) 1.
6. (utF-pr adaptada) das expressões abaixo, a úniCa alternativa 
Correta é:
a) dXXX 17 < 4 dXXX 17 .
b) 2 dXX 5 > 3 dXX 5 .
c) 4 dXX 3 < 7.
d) p < 5 dXXXX 240 .
e) dXX 5 = 223 ____ 100 .
7. (espm) Considerando-se que x = 97312,y = 39072 e 
z = 2 · dXXX xy , o valor da expressão dXXXXXXXXX x + y – z é:
a) 6792.
b) 5824.
c) 7321.
d) 4938.
e) 7721.
8. (CFt-mg) simpliFiCando a expressão dXXXX
 x
3/2
 ____ 
 3 dXXX x4 
 , na qual 
x ∈ R+
* obtém-se:
a) 12
 dXX x .
b) 6 dXX x5 .
c) 12
 dXX x5 .
d) 6 dXX x .
8  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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E 
1
9.(uFC) seja a = 1 _______ 
 dXX 3 + dXX 2 
 e B = 1 _______ 
 dXX 3 – dXX 2 
 , então, a + b é 
igual a:
a) –2 dXX 2 .
b) 3 dXX 2 .
c) –2 dXX 3 .
d) 3 dXX 3 .
e) 2 dXX 3 .
10. (CFt-mg) seja a expressão x = dXXXXXXX 3 + dXX 5 + dXXXXXXX 3 – dXX 5 , 
então o valor de x
2
 __ 5 é:
a) 2. b) 3. c) 5. d) 10.
E.O. COmplEmEntAr
1. (CFt-mg) se a = 
 ( 1 __ 4 ) 1/2
 ∙ 43/2 ∙ 36–1/2
 ________________ 
10000–1/4 , (25)b – 2 = 1 ___ 25 
e C = [3–1 – (–3)–1]–1, então, é Correto 
a) c < b < a.
b) b < c < a.
c) b < a < c.
d) a < b < c.
2. (epCar) simpliFiCando a expressão
S = 
(x–2)222
 [ (–x–2)322
 ] –1
 _________________ 
x²³ . [ (–x³)³² ] ²³
 
onde x ≠ 0, x ≠ 1 e x ≠ –1, obtém-se:
a) –x–94.
b) x94.
c) x–94.
d) –x94.
3. (puC) se a = 16 e x = 1,25, quanto vale ax?
a) 16 b) 32 
c) 20 d) 36
e) 64 
 4. (iFCe) raCionalizando o denominador da Fração 2 dXX 2 _____ 
5 8 dXXX 23 
 , 
obtemos, Como resultado:
a) 2 8 dXX 2 ____ 5 . b) 2 8 dXX 23 ____ 5 .
c) 5 8 dXX 2 ____ 5 . d) 5 8 dXX 23 ____ 2 .
e) 2 dXX 2 ____ 5 .
5. (puC-rj) assinale a alternativa inCorreta. 
a) O dobro de dXX 8 é dXXX 32 .
b) dXXXX 100 – dXXX 64 = 6
c) dXX 2 + dXX 8 = 3 dXX 2 
d) dXXXXXXXX 60 + dXXX 16 = 8
e) dXX 2 + dXX 3 = dXXXXXXX 5 + dXXX 24 
E.O. dissErtAtivO
1. simpliFique as seguintes expressões:
a) x² ∙ x³
b) x³ ∙ x5
 ________ 
(x2)3 
c) 
(a³ ∙ b6)4
 __________ 
ab2 
d) ( 1 __ 
a 2
 ) –1
e) ( b __ 
a3 ) -2 
· ( a³b ___ 
b-2 ) 
2. esCreva os seguintes números deCimais na Forma de notação 
CientíFiCa:
a) 25000 b) 0,025 c) 1250 ∙ 10-5 d) 0,000002
3. simpliFique as expressões a seguir em uma úniCa potênCia de base 2:
a) ( 1 __ 2 ) –3 
c) 0,25 ∙ 0,125
b) 2³ ∙ 8–2
 ______ 16 d) 
0,52 ∙ ( 1 __ 
8
 ) 3
 ________ 
(42)-5 
4. desenvolva os produtos notáveis a seguir:
a) (x³ – xy²)²
b) ( a __ 
b2 + 1 ___ 
a2b
 ) 2
c) [ ( 1 __ 
b
 ) 
-1
+ 2. 1 __ 
a-1 ] 2
5. observe o padrão indiCado na tabela a seguir:
x 3x 7x
0 1 1
1 3 7
2 9 49
3 27 343
4 81 2401
5 243 16807
6 729 117649
7 2187 823543
8 6561 5764801
9 19683 40353607
... ... ...
a) Determine o algarismo da unidade de 32009.
b) Determine o algarismo da unidade de 3423 + 7651 – 258.
6. CalCule:
[(81/2)4]1/6 + 161/4 – 272/3
7. CalCule 41/2 – 163/4 + [( √
__
 2 )6]1/3
8. (CFt-Ce) transForme a expressão [(0,5)2]8 · [ ( 1 ___ 64 ) 2 ] –3
 Como uma 
só potênCia de 2.
9. esCreva, em ordem deCresCente, √
__
 2 , 3 √
__
 3 , 4 √
__
 5 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  9



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E 
1
10. simpliFique:
a) 5 dXXXXX a16b5 
b) 1 __ 2 xy dXXXXXX 32x2y2 
c) 1 ___ xy dXXXXXX 27x4y3 
d) ab ___ c dXXXXXX
 202c10
 _____ 
a4b4 
e) 
dXXXXXXXXXXXX a2 + 2ab + b2 ______________ 
(a + b)2 
f) 
 dXXXXXXX (x + y)3 
 ___________ 2x + 2y 
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (uniFesp) quando se diz que, numa determinada região, a pre-
Cipitação pluviométriCa Foi de 10 mm, signiFiCa que a preCipitação 
naquela região Foi de 10 litros de água por metro quadrado, em 
média.
1 m
Volume: 10 litros
10 mm
1 m
se numa região de 10 km2 de área oCorreu uma preCipitação de 
5 cm, quantos litros de água Foram preCipitados?
a) 5 × 107
b) 5 × 108
c) 5 × 109
d) 5 × 1010
e) 5 × 1011
2. (Fuvest) qual desses números é igual a 0,064?
a) (1/80)2
b) (1/8)2
c) (2/5)3
d) (1/800)2
e) (8/10)3
3. (Fuvest) de 1869 até hoje, oCorreram as seguintes mu-
danças de moeda no brasil: (1) em 1942, Foi Criado o Cruzei-
ro, Cada Cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, Foi Criado o 
Cruzeiro novo, Cada Cruzeiro novo valendo mil Cruzeiros; em 
1970, o Cruzeiro novo voltou a se Chamar apenas Cruzeiro; 
(3) em 1986, Foi Criado o Cruzado, Cada Cruzado valendo 
mil Cruzeiros; (4) em 1989, Foi Criado o Cruzado novo, Cada 
um valendo mil Cruzados; em 1990, o Cruzado novo passou 
a se Chamar novamente Cruzeiro; (5) em 1993, Foi Criado o 
Cruzeiro real, Cada um valendo mil Cruzeiros; (6) em 1994, 
Foi Criado o real, Cada um valendo 2.750 Cruzeiros reais. 
quando morreu, em 1869, brás Cubas possuía 300 Contos.
se esse valor tivesse FiCado até hoje em uma Conta banCária, sem 
reCeber juros e sem pagar taxas, e se, a Cada mudança de moe-
da, o depósito tivesse sido normalmente Convertido para a nova 
moeda, o saldo hipotétiCo dessa Conta seria, aproximadamente, 
de um déCimo de:
dados
• um Conto equivalia a um milhão de réis.
• um bilhão é igual a 109 e um trilhão é igual a 1012.
a) real.
b) milésimo de real.
c) milionésimo de real.
d) bilionésimo de real.
e) trilionésimo de real.
4. (unesp) se 0 < a < b, raCionalizando o denominador, 
tem-se que 1 ________ 
 √
__
 a + √
__
 b 
 = √
__
 b – √
__
 a _______ 
b – a
 . assim o valor da soma 
 1 _______ 
1 + √
__
 2 
 + 1 ________ 
 √
__
 2 + √
__
 3 
 + 1 ________ 
 √
__
 3 + √
__
 4 
 + ... + 1 ____________ 
 √
____
 999 + √
_____
 1000 
 é:
a) 10 √
___
 10 – 1.
b) 10 √
___
 10 .
c) 99.
d) 100.
e) 101.
5. (unesp) assinale a alternativa que Contém a aFirmação Correta. 
a) Para a e b reais, sendo a ≠ 0, (2a–1)b = ( b ___ 2a ) .
b) Para quaisquer a e b reais, a2 · b3 = (a6 · b6).
c) Para quaisquer a e b reais, 5a + 4b = 9ab.
d) Para quaisquer a e b reais, se a3 = b3, a = b.
e) Para a e b reais, sendo a > 0 e b > 0, 
 √ 
______ 
 (a2 + b2) = a + b.
6. (Fuvest) o valor da expressão a3 – 3a2x2y2, para a = 10, 
x = 2 e y = 1 é: 
a) 100.
b) 50.
c) 250.
d) –150.
e) –200.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (uniCamp) o mundo tem, atualmente, 6 bilhões de habitantes e 
uma disponibilidade máxima de água para Consumo em todo o planeta 
de 9000 km3/ano. sabendo-se que o Consumo anual per Capita é de 
800 m3, CalCule:
a) o consumo mundial anual de água, em km3;
b) a população mundial máxima, considerando-se 
apenas a disponibilidade mundial máxima de água 
para consumo.
2. (Fuvest)
a) Qual é a metade de 222?
b) Calcule 3 dXXXX (82) + dXX 9 .
10  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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LU
M
E 
1
3. (uniCamp) dados os dois números positivos, 3 √
__
 3 e 4 √
__
 4 , determine 
o maior. 
4. (unesp) Fazendo as aproximações √
__
 2 ≈ 1,41 e √
__
 3 ≈ 1,73 e 
Considerando a = 4 √
___
 64 e b = √
___
 27 , determinar a representação 
deCimal, até a Casa dos Centésimos, de b – a. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. E 3. B 4. B 5. B
6. B 7. C 8. C 9. D 10. B
E.O. Fixação
1. A 2. B 3. C 4. A 5.B
6. C 7. B 8. A 9. E 10. A
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. B 4. A 5. B
E.O. Dissertativo
1.
a) x5
b) x²
c) a11b22 = (ab²)11
d) a²
e) a9b
2.
a) 2,5 ∙ 104
b) 2,5 ∙ 10–2
c) 1,25 ∙ 10–2
d) 2 ∙ 10–6
3.
a) 2³
b) 2–7
c) 2–5
d) 29
4.
a) x6 – 2x4y² + x²y4
b) a²/b4 + 2/ab³ + 1/a4b²
c) b² + 4ab + 4a²
5. 
a) 3
b) 6
6. O valor da expressão é –5.
7. – 4
8. 220
9. 4 dXX 5 > 3 dXX 3 > √
__
 2 
10. 
a) a3b 5 dXX a 
b) 2x2y2 dXX 2 
c) 3x dXXX 3y 
d) 20c4
 ____ 
ab
 
e) 1 _____ 
a + b
 
f) 
 √
____ 
 x + y 
 ______ 
2
 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. C 3. D 4. A 5. D
6. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 4800 km3
b) 11,25 bilhões de habitantes 
2. 
a) 221
b) 7
3. 3 dXX 3 > 4 dXX 4 
4. 2,37 
MATEMÁTICA e suas tecnologias 	 11


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7. um homem vende a uma primeira pessoa a metade das suas 
laranjas, mais a metade de uma. a uma segunda pessoa, vende a 
metade do restante que possuía mais a metade de uma, e a uma 
terCeira pessoa vende novamente metade do restante mais meia 
laranja. após isso, restam 2 laranjas.
Com base nessas inFormações, é Correto dizer que:
a) Inicialmente a regateira tinha 25 laranjas.
b) A primeira pessoa comprou 13 laranjas.
c) A segunda pessoa comprou 7 laranjas.
d) A segunda pessoa comprou 5 laranjas.
e) A regateira vendeu 21 laranjas.
8. eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a 
idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de 
nossas idades será 45 anos. qual é a minha idade atual?
a) 20 anos.
b) 22 anos.
c) 24 anos.
d) 26 anos.
e) 28 anos.
9. uma instituição dividiria uma quantia de 1200 reais, em partes 
iguais, para Certo número de Carentes. no dia da distribuição, 
Faltaram 3 pessoas, e Cada um dos presentes reCebeu, então, 20 
reais a mais. qual era o número iniCial de pessoas?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
10. para uma demonstração prátiCa, um proFessor utiliza um tan-
que Com a Forma de um paralelepípedo retângulo Cujas dimensões 
internas Correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de Compri-
mento e 50 cm de altura. esse tanque possui uma torneira que 
pode enChê-lo, estando ele Completamente vazio, em 10 minutos, e 
um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele Completamente Cheio, em 
18 minutos. o proFessor abre a torneira, deixando o ralo aberto, 
e soliCita que um aluno registre o tempo deCorrido até que o 
tanque Fique totalmente Cheio.
o tempo que deve ser registrado pelo aluno é:
a) 21 minutos e 15 segundos.
b) 21 minutos e 30 segundos.
c) 22 minutos e 15 segundos.
d) 22 minutos e 30 segundos.
e) 23 minutos e 15 segundos.
E.O. AprEndizAgEm
1. (CFtsC) no sistema
 { x + 2y = –3
 2x – y = 4 
 
 
 o valor de x + y será igual a:
a) 0. b) 1. c) –1. d) –2. e) 2.
2. (puC-mg) o valor de x que torna verdadeira a igual-
dade 2x – x + 2 __________ 7 = 2 __ 
3
 – x é:
a) 2 ___ 15 .
b) 1 __ 7 .
c) 1 __ 5 .
d) 1 __ 3 .
3. (uFC) o valor de x que é solução, nos números reais, da 
equação ( 1 __ 
2
 ) + ( 1 __ 
3
 ) + ( 1 __ 
4
 ) = ( x __ 
48
 ) é igual a:
a) 36. b) 44. c) 52. d) 60. e) 68.
4. (CFt-mg) ana e beatriz Compraram barras de ChoColate para 
Fazer ovos de pásCoa, sendo que ana Comprou o dobro do número 
de barras de beatriz. para que FiCassem Com a mesma quantidade, 
ana deu 27 barras para beatriz. ao Final, o número de barras de 
ChoColate Com que Cada uma FiCou é:
a) 18. b) 27. c) 54. d) 81. 
5. (uFsm) em uma determinada região do mar, Foi Contabiliza-
do um total de 340 mil animais, entre lontras marinhas, ouriços 
do mar e lagostas. veriFiCou-se que o número de lontras era o 
triplo do de ouriços e que o número de lagostas exCedia em 
20 mil unidades o total de lontras e ouriços. pode-se dizer que 
o número de ouriços dessa região é:
a) 30 mil. d) 45 mil. 
b) 35 mil. e) 50 mil.
c) 40 mil. 
6. três torneiras enChem um tanque: a primeira em 15 horas; a 
segunda em 20 horas; e a terCeira em 30 horas. há um esCoa-
douro que pode esvaziar o tanque em 40 horas. estando as três 
torneiras e o esCoadouro a FunCionar, CalCule em quantas horas o 
tanque poderá FiCar Cheio. 
a) 6 horas. d) 7,5 horas.
b) 6,5 horas. e) 8 horas.
c) 7 horas.
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
E PROBLEMAS CLÁSSICOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
3 E 4
12  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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E.O. FixAçãO
1. (utF-pr) Considere três empresas, “a”, “b” e “C”. no 
mês passado, a empresa “b” teve o dobro do Faturamento da 
empresa “a” e a empresa “C” teve 3 __ 2 do Faturamento da empre-
sa “a”. sabendo que as três empresas somaram um Faturamento 
de r$ 4.500.000,00 no mês passado, pode-se aFirmar que o 
Faturamento da empresa “a” naquele mês Foi de:
a) R$ 1.000.000,00.
b) R$ 1.250.000,00.
c) R$ 1.500.000,00.
d) R$ 2.000.000,00.
e) R$ 4.500.000,00.
2. (eeWb) matemátiCa também é diversão! esColha um núme-
ro qualquer e, em seguida, multiplique-o por dois; adiCione 20 e 
divida tudo por dois; por último subtraia o número pensado do 
resultado e voCê obterá:
a) 0. c) 20.
b) 30. d) 10.
3. (CFt-mg) numa partida de basquetebol, uma equipe, entre Ces-
tas de três e dois pontos, Fez 50 Cestas, totalizando 120 pontos. 
o número de Cestas de três pontos Foi de:
a) 18. c) 22.
b) 20. d) 24.
4. (iFsp) a Companhia de saneamento básiCo de uma determinada 
Cidade CalCula os seus serviços de aCordo Com a seguinte tabela:
preço (em r$)
PrEço Dos 10 PrimEiros m3 10,00 (tArifA mínimA)
PrEço DE CADA m3 PArA o Consumo Dos 10 m3 sEguintEs 2,00
PrEço DE CADA m3 ConsumiDo ACimA DE 20 m3 3,50
se, no mês de outubro de 2011, a Conta de Cris, reFerente a esses 
serviços, indiCou o valor total de r$ 65,00, pode-se ConCluir que 
seu Consumo nesse mês Foi de:
a) 30 m3.
b) 40 m3.
c) 50 m3.
d) 60 m3.
e) 65 m3.
5. (uFtm) em uma balança de dois pratos de uma FarmáCia de 
manipulação, 10 Comprimidos a estão perFeitamente equilibrados 
Com 15 Comprimidos b. se um dos 10 Comprimidos a For ColoCado 
no prato dos Comprimidos b, e um dos 15 Comprimidos b For Colo-
Cado no prato que anteriormente tinha somente Comprimidos a, esse 
FiCará Com 40 mg a menos que o outro. a relação entre as massas 
dos Comprimidos a e b, em mg, é dada Corretamente por:
a) B = A – 30.
b) B = A – 10.
c) A = B + 5.
d) A = B + 20.
e) A = B + 40.
6. brinCadeira pitágoriCa
políCrates, tirano de samos, pergunta a pitágoras qual o número 
de seus alunos:
ditoso pitágoras, Filho das musas, diz-me: quantos atletas prepa-
ras, na tua esCola, para os gloriosos oFíCios da FilosoFia?
eu te digo, políCrates: metade estuda as CiênCias matemátiCas; 
a eterna natureza é objeto de trabalho de um quarto; um séti-
mo exerCita-se no silênCio e na meditação. há, além disso, três 
mulheres, das quais teano é a mais notável. eis o número dos 
meus alunos.
A mAtemátICA doS JoGoS. mAURICe KRAItChIK
quantos alunos de pitágoras exerCitam-se no silênCio e na meditação?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
7. perguntado sobre a sua idade, um proFessor de matemátiCa que 
ConheCia a idade de seu interloCutor Falou em Forma de enigma: 
“hoje, eu tenho duas vezes a idade que tu tinhas quanto eu tinha 
a idade que tu tens. quando tiveres a idade que eu tenho, a soma 
de nossas idades será 81 anos”. Com base nessas inFormações, 
ConClui-se que a idade atual do proFessor é:
a) 44
b) 42
c) 40
d) 38
e) 36
8. numa loja de disCos, os Cds de Certa gravadora estavam 
em promoção, todos Com o mesmo preço. um Cliente gastou 
r$ 154,80 na Compra de vários Cds e ganhou mais 2 Cds de 
boniFiCação dessa mesma promoção. Com isso, Cada um daque-
les Cds Comprados pelo Cliente FiCou r$ 2,58 mais barato. 
Considerando-se todos os Cds adquiridos pelo Cliente, o preço 
unitário eFetivamente pago, em reais, Foi:
a) 12,80 d) 13,10
b) 12,90 e) 13,20c) 13,00
9. o sr. e a sra. nasCimento têm vários Filhos. Cada Filha tem 
o mesmo número de irmãs e irmãos. Cada Filho tem o número de 
irmãs igual ao dobro do número de irmãos.
o número de Filhos, no total, do Casal nasCimento é:
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
10. a lei de exeCução penal brasileira n.º 7.210, de 1984, 
em seu art. 126, parágraFo 1º, diz que o Condenado que Cum-
pre pena em regime FeChado ou semiFeChado poderá remir, pelo 
trabalho, parte do tempo de exeCução da pena. essa lei determina 
que a Contagem do tempo será Feita à razão de 1(um) dia de pena 
por 3 (três) de trabalho, o que signiFiCa que, a Cada três dias 
trabalhados, o Condenado terá direito à redução de 1 dia em sua 
pena. Considere um réu Condenado a uma pena de 14 anos, que 
trabalhará a metade do tempo, em dias, que estiver preso.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  13
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sem Considerar os anos bissextos, o tempo, em dias, que o réu 
permaneCerá na prisão será:
a) 4 380 d) 4 470
b) 4 410 e) 4 500
c) 4 440
E.O. COmplEmEntAr
1. uma esCola reCebeu do governo uma verba de r$ 1.000,00 
para enviar dois tipos de Folhetos pelo Correio. o diretor da esCo-
la pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. ConCluiu 
que, para o primeiro tipo de Folheto, bastava um selo de r$ 0,65, 
enquanto para Folhetos do segundo tipo seriam neCessários três 
selos, um de r$ 0,65, um de r$ 0,60 e um de r$ 0,20. o 
diretor soliCitou que se Comprassem selos de modo que Fossem 
postados exatamente 500 Folhetos do segundo tipo e uma quanti-
dade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível 
de Folhetos do primeiro tipo.
quantos selos de r$ 0,65 Foram Comprados?
a) 476 d) 965
b) 675 e) 1 538
c) 923 
2. (Cps) em um Campeonato de Futsal, se um time venCe, marCa 
3 pontos, se empata, marCa 1 ponto e se perde não marCa nenhum 
ponto. admita que, nesse Campeonato, o time a tenha partiCipado 
de 16 jogos e perdido apenas dois jogos.
se o time a, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diFerença 
entre o número de jogos que o time a venCeu e o número de jogos 
que empatou, nessa ordem, é:
a) 8. b) 4. c) 0. d) −4. e) −8.
3. uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, Castanha-
de-Caju e Castanha-do-pará. sabe-se que o quilo de amendoim Cus-
ta r$ 5,00, o quilo da Castanha-de-Caju, r$ 20,00 e o quilo de 
Castanha-do-pará, r$ 16,00. Cada lata deve Conter meio quilo 
da mistura e o Custo total dos ingredientes de Cada lata deve ser 
de r$ 5,75. além disso, a quantidade de Castanha de Caju em 
Cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
as quantidades de amendoim, Castanha de Caju e Castanha-do-
pará em Cada lata dessa mistura devem ser, respeCtivamente:
a) 250 g, 125 g e 125 g.
b) 250 g, 150 g e 125 g.
c) 250 g, 125 g e 120 g.
d) 275 g, 150 g e 120 g.
e) 275 g, 125 g e 125 g.
 4. joão viCtor, matheus e gabriela estavam jogando dardo. em 
Cada partida disputada, o último ColoCado pagava aos outros dois 
a respeCtiva quantidade de FiChas até então possuída por Cada um 
deles. eles disputaram três partidas e Cada um deles perdeu uma, 
na seguinte ordem: gabriela, joão viCtor e matheus, FiCando, 
respeCtivamente, Com 16, 24 e 4 FiChas.
o número iniCial de FiChas de matheus era:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
5. uma jarra tem 5,4 litros de puro suCo de laranja. dele, Foi re-
tirado Certo número de litros de suCo e ColoCada a mesma quan-
tidade de água. retira-se agora da mistura, outra vez, o mesmo 
número de litros e veriFiCa-se que na jarra restam 2,4 litros de 
puro suCo de laranja (o restante é de água). quantos litros de 
suCo Foram retirados iniCialmente?
a) 1,5 litros d) 2,0 litros
b) 1,6 litros e) 2,5 litros
c) 1,8 litros 
E.O. dissErtAtivO
1. resolva as seguintes equações do 1º grau, sendo o Conjunto 
universo os números reais:
a) 3x – 6 = 10
b) 11 = 5 + 2x
c) 8 – x = 8
d) x __ 
3
 = 4 ___ 12 
e) x + 1 ______ 2 = 4 ___ 
12
 
f) 7x – 3(x – 2) = 3x + 12
g) 2(x – 2) + 3(2x + 2) = –5(2 – x)
h) 5(x + 1) – 3(2x + 1) = 4(5 – x)
i) x – [x – (2 – x) – 1] = – (1 – x)
j) 3[10 – (4 – x)] + (3x – 1) = 5(x +4)
k) 4x ____ 3 = (x–3) ______ 3 + 3 __ 2 
l) x – 4 ______ 3 = x – 2 ______ 8 + 1
m) 12x + 1 ________ 6 + 2x + 1 _______ 4 = x – 2 ______ 3 
2. enContre o valor das inCógnitas reais x e y nos seguintes siste-
mas de equações:
a) { 2x – y = 1
 5x + 2y = 16 
 
 
b) { x – 5y = 5
 3x – 4y = 26 
 
 
c) { 2y – 9 = x
 3x = 5y – 25 
 
 
d) { x __ 3 + 
y
 __ 5 = 5
 __________ 
 x __ 2 – 
2y
 ___ 3 = –7
 
 
 
e) { 3x ___ 2 + 
3y
 ___ 4 = 21 ___ 16 
 ___________ 
x + y = 5 __ 4 
 
 
 
3. (CFt-rj) o Cinema paradiso Fez uma grande promoção num 
domingo. o ingresso para adultos Custou r$ 12,00, enquanto 
o para menores, r$ 7,00. Cada adulto Comprou, além de sua 
entrada, duas entradas para menores. neste domingo de promo-
ção, o Cinema arreCadou r$ 1.638,00 Com a venda de ingressos. 
quantas entradas Foram vendidas?
14  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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4. (uFF) ColoCando-se 24 litros de Combustível no tanque de 
uma Caminhonete, o ponteiro do marCador, que indiCava 1 __ 
4
 do 
tanque, passou a indiCar 5 __ 
8
 .
determine a CapaCidade total do tanque de Combustível da 
Caminhonete. justiFique sua resposta.
5. (CFt-Ce - adaptada) um turista Foi passar Férias numa Cidade 
praiana. veriFiCou que, se gastasse r$ 8,00 por dia, poderia pas-
sar 3 dias a mais do que se gastasse r$ 10,00. CalCule quanto 
esse turista possuía em dinheiro.
6. (Fgv-rj) não existe um método úniCo para resolver prob-
lemas. em geral, é neCessário experimentar, Fazer tentativas, de-
senhos, gráFiCos, etC.
a) Em um sítio, há vários cercados para guardar certo nú-
mero de filhotes de cachorro. Se pusermos 4 cachorros 
em cada cercado, sobrarão dois cachorros; se pusermos 
6 cachorros em cada cercado, dois cercados ficarão va-
zios. Quantos cachorros e quantos cercados há?
b) O produto das idades de três crianças com mais de 
1 ano é 231. Quantos anos tem a mais velha? 
7. (Fgv) Considere três trabalhadores. o segundo e o terCeiro, 
juntos, podem Completar um trabalho em 10 dias. o primeiro e o 
terCeiro, juntos, podem Fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro e 
o segundo, juntos, podem Fazê-lo em 15 dias. em quantos dias os 
três juntos podem Fazer o trabalho? 
8. (CFt-Ce) de um reCipiente Cheio de água, tiram-se 2 __ 
3
 de seu 
Conteúdo. reColoCando-se 30 litros de água, o Conteúdo passa a 
oCupar a metade do volume iniCial. qual a CapaCidade do reCipiente?
9. (uFrj) maria Faz hoje 44 anos e tem dado um duro danado 
para sustentar suas três Filhas: marina, de 10 anos; marisa, de 
8 anos; e mara, de 2 anos. maria deCidiu que Fará uma viagem ao 
nordeste para visitar seus pais, no dia do seu aniversário, quando 
sua idade For igual à soma das idades de suas três Filhas. Com que 
idade maria pretende Fazer a viagem? justiFique. 
10. (uniCamp) duas torneiras são abertas juntas, a 10 enChendo 
um tanque em 5 horas, a 20 enChendo outro tanque de igual 
volume em 4 horas. no Fim de quanto tempo, a partir do mo-
mento em que as torneiras são abertas, o volume que Falta para 
enCher o 20 tanque será 1 __ 
4
 do volume que Falta para enCher o 
10 tanque? 
E.O. EnEm
1. (enem) um dos grandes problemas enFrentados nas rodo-
vias brasileiras é o exCesso de Carga transportada pelos Camin-
hões. dimensionado para o tráFego dentro dos limites legais de 
Carga, o piso das estradas se deteriora Com o peso exCessivo dos 
Caminhões. além disso, o exCesso de Carga interFere na CapaCi-
dade de Frenagem e no FunCionamento da suspensão do veíCulo, 
Causas Frequentes de aCidentes.
Ciente dessa responsabilidade e Com base na experiênCia adquiri-
da Com pesagens, um Caminhoneiro sabe que seu Caminhão pode 
Carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos.
Considerando esseCaminhão Carregado Com 900 telhas, quantos 
tijolos, no máximo, podem ser aCresCentados à Carga de modo a 
não ultrapassar a Carga máxima do Caminhão?
a) 300 tijolos
b) 360 tijolos
c) 400 tijolos
d) 480 tijolos
e) 600 tijolos
2. (enem) em quase todo o brasil existem restaurantes em que 
o Cliente, após se servir, pesa o prato de Comida e paga o valor 
Correspondente, registrado na nota pela balança. em um restau-
rante desse tipo, o preço do quilo era r$ 12,80. Certa vez, a 
FunCionária digitou por engano na balança eletrôniCa o valor de 
r$ 18,20 o quilo e só perCebeu o erro algum tempo depois, quan-
do vários Clientes já estavam almoçando. ela Fez alguns CálCulos 
e veriFiCou que o erro seria Corrigido se o valor inCorreto indiCa-
do na nota dos Clientes Fosse multipliCado por:
a) 0,54. b) 0,65. c) 0,70. d) 1,28. e) 1,42.
3. (enem) uma dona de Casa pretende Comprar uma esCrivaninha 
para ColoCar entre as duas Camas do quarto de seus Filhos. ela 
sabe que o quarto é retangular, de dimensões 4m×5m e que as 
CabeCeiras das Camas estão enCostadas na parede de maior di-
mensão, onde ela pretende ColoCar a esCrivaninha, garantindo 
uma distânCia de 0,4 m entre a esCrivaninha e Cada uma das Cam-
as, para CirCulação. veja o esboço Feito pela dona de Casa.
0,4 m
1,2 m
CAMA
Esboço feito pela dona de casa
CAMA
12 m
0,4 m
após analisar o esboço e realizar alguns CálCulos, a dona de 
Casa deCidiu que poderia Comprar uma esCrivaninha de largura 
máxima igual a:
a) 0,8 m.
b) 1,0 m.
c) 1,4 m.
d) 1,6 m.
e) 1,8 m.
4. (enem) alguns países têm regulamentos que obrigam a mistu-
rar 5%, 10% ou 20% de etanol Com a gasolina regular. esta 
mistura reCebe o nome de gasool. o E20, por exemplo, é o gasool 
que Contém a mistura de 20% de etanol Com 80% de gasolina. 
em agosto de 2011, o governo deCidiu reduzir a mistura de 
etanol na gasolina de 25% para 20%, isto é, nossos postos 
de gasolina, a partir daquele mês, não puderam mais vender o 
Combustível do tipo e25.
dISPoníVel em: httP://G1.Globo.Com (AdAPtAdo)
MATEMÁTICA e suas tecnologias  15
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uma distribuidora possuía 40 mil litros de Combustível do tipo 
e25, disponíveis em um dos tanques de seu estoque antigo. quan-
tos litros de gasolina preCisam ser adiCionados de modo a obter 
uma mistura e20?
a) 32 000 d) 8 000
b) 16 000 e) 2 000
c) 10 000
5. (enem) o governo de um país Criou o Fundo da soja e do 
milho, que tem Como expeCtativa iniCial arreCadar, por ano, r$ 
36,14 milhões para investimento em pesquisas relaCionadas aos 
prinCipais produtos da agriCultura. Com isso, a Cada operação de 
venda, seriam destinados ao Fundo r$ 0,28 por tonelada de soja, e 
r$ 0,22 por tonelada de milho ComerCializadas. para este ano, 
espera-se que as quantidades de toneladas produzidas, de soja e de 
milho, juntas, seja de 150,5 milhões.
Foi pedido a CinCo FunCionários do Fundo, andré, bruno, Caio, doug-
las e eduardo, que apresentassem um sistema que modelasse os dados 
apresentados. Cada FunCionário apresentou um sistema diFerente, 
Considerando x e y Como as quantidades de toneladas ComerCializa-
das, respeCtivamente, de soja e de milho. o resultado Foi o seguinte:
andré { x + y = 150500000
 0,28x + 0,22y = 36140000 
 
 
bruno { 100000000x + 100000000y = 150,5
 0,28x + 0,22y = 3614000
Caio { x + y = 150,5
 0,28x + 0,22y = 36140000 
 
 
douglas { x + y = 150,5
 0,28x + 0,22y = 36,14 
 
 
eduardo { x + y = 150500000
 0,28x + 0,22y = 36,14 
 
 
o FunCionário que Fez a modelagem Correta Foi:
a) André. d) Douglas.
b) Bruno. e) Eduardo.
c) Caio.
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp 2017) três Cubos laranjas (l) idêntiCos e três Cubos 
azuis (a) idêntiCos estão equilibrados em duas balanças de pratos, 
também idêntiCas, ConForme indiCam as Figuras.
a massa de um Cubo laranja supera a de um Cubo azul em exato 
a) 1,3 kg. d) 1,4 kg. 
b) 1,5 kg. e) 1,6 kg.
c) 1,2 kg.
2. (unesp) uma imobiliária exige dos novos loCatários de imóveis 
o pagamento, ao Final do primeiro mês no imóvel, de uma taxa, 
junto Com a primeira mensalidade de aluguel. raFael alugou um 
imóvel nessa imobiliária e pagou rs 900,00 ao Final do primeiro 
mês. no período de um ano de oCupação do imóvel, ele Contabi-
lizou gastos totais de r$ 6.950,00 Com a loCação do imóvel. 
na situação desCrita, a taxa paga Foi de 
a) R$ 450,00
b) R$ 250,00
c) R$ 300,00
d) R$ 350,00
e) R$ 550,00
3. (Fuvest) os estudantes de uma Classe organizaram sua Festa 
de Final de ano, devendo Cada um Contribuir Com r$ 135,00 
para as despesas. Como 7 alunos deixaram a esCola antes da 
arreCadação e as despesas permaneCeram as mesmas, Cada um dos 
estudantes restantes teria de pagar r$ 27,00 a mais. no entan-
to, o diretor, para ajudar, Colaborou Com r$ 630,00. quanto 
pagou Cada aluno partiCipante da Festa? 
a) R$ 136,00
b) R$ 138,00
c) R$ 140,00
d) R$ 142,00
e) R$ 144,00
4. (Fuvest) um Casal tem Filhos e Filhas. Cada Filho tem o número 
de irmãos igual ao número de irmãs. Cada Filha tem o número 
de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. qual é o total de 
Filhos e Filhas do Casal? 
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
5. (unesp) duas empreiteiras Farão Conjuntamente a pavimentação 
de uma estrada, Cada uma trabalhando a partir de uma das ex-
tremidades. se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 
81 km restantes, a extensão dessa estrada é de: 
a) 125 km.
b) 135 km.
c) 142 km.
d) 145 km.
e) 160 km.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (uniCamp) em uma empresa, 1/3 dos FunCionários tem idade 
menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 
FunCionários têm mais de 40 anos.
a) Quantos funcionários têm a referida empresa?
b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? 
2. (uniCamp) o preço unitário de um produto é dado por.
 p= k __ 
N
 + 10, para n ≥ 1
onde k é uma Constante e n é o número de unidades adquiridas.
16  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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
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1
a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se 
que quando foram adquiridas 10 unidades, o preço 
unitário foi de R$ 19,00.
b) Com R$ 590,00, quantas unidades do referido pro-
duto podem ser adquiridas? 
3. (uniCamp) o preço a ser pago por uma Corrida de táxi inClui 
uma parCela Fixa, denominada “bandeirada”, e uma parCela que 
depende da distânCia perCorrida. se a bandeira Custa r$ 3,44 e 
Cada quilômetro rodado Custa r$ 0,86, CalCule:
a) o preço de uma corrida de 11 km;
b) a distância percorrida por um passageiro que pa-
gou R$ 21,50 pela corrida. 
4. (uniCamp) as pessoas a, b, C e d possuem juntas r$ 2.718,00. 
se a tivesse o dobro do que tem, b tivesse a metade do que tem, 
C tivesse r$ 10,00 a mais do que tem e, Finalmente, d tivesse r$ 
10,00 a menos do que tem então todos teriam a mesma importân-
Cia. quanto possui Cada uma das quatro pessoas? 
5. (uema) um vendedor oFereCe suCo e sanduíChe natural nas 
praias de são luís durante os Fins de semana. num determinado 
sábado, ele vendeu 50 sanduíChes e 75 Copos de suCo, arreCadan-
do r$ 300,00. já, no domingo, totalizou r$ 305,00 Com a 
venda de 65sanduíChes e 55 Copos de suCo. 
a) Monte um sistema que represente a situação descri-
ta acima para o fim de semana de vendas realizadas.
b) Encontre os valores de venda dos copos de suco e 
dos sanduíches, praticados no fim de semana. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. D 3. C 4. D 5. C
6. E 7. E 8. A 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. A 2. D 3. B 4. A 5. D
6. B 7. E 8. B 9. C 10. A
E.O. Complementar
1. C 2. D 3. A 4. A 5. C
E.O. Dissertativo
1. 
a) 16 ___ 3 
b) 3
c) 0
d) 1
e) – 1 __ 
3
 
f) 6
g) –4
h) 6
i) 2
j) 3
k) 1 __ 2 
l) 10
m) - 1 __ 
2
 
2. 
a) x = 2 e y = 3
b) x = 10 e y = 1
c) x = –5 e y = 2
d) x = 6 e y = 15
e) x = 1 __ 
2
 e y = 3__ 
4
 
3. x = quantidade de adultos
2x = quantidade de crianças
Temos, então:
12x + 2 · x · 7 = 1.638
26x = 1.638
x = 63
Portanto, foram vendidas 2x + x = 3x = 189 entradas.
4. volume do tanque = x
 5x ___ 
8
 – x __ 
4
 = 24 à 5x – 2x = 192 à 3x = 192 à x = 64 litros
5. r$ 120,00
6. 
a) 30 cachorros e 7 cercados ou 18 cachorros e 5 cercados.
b) 11 anos.
7. 8 dias. 
8. 180 litros 
9. A idade de Maria supera a soma das de suas filhas em 24 
anos. Em x anos, a idade de Maria aumentará em x e a soma 
das de suas filhas aumentará em 3x. A nova diferença será 24 + 
x – 3x = 24 – 2x. Logo, a diferença será nula quando x = 12. Ou 
seja, Maria pretende viajar aos 56 anos.
10. 3h E 45min
E.O. Enem
1. D 2. C 3. B 4. C 5. A
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. E 4. E 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 96
b) 64 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  17



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1
2. 
a) k = 90
b) 50 unidades. 
3. 
a) O preço de uma corrida de 11 km é R$ 12,90.
b) A distância percorrida pelo passageiro que pagou 
R$ 21,50 pela corrida foi de 21 km. 
4. A pessoa A possui R$ 302,00; B possui R$ 1208,00; 
C possui R$ 594,00 e a pessoa D, R$ 614,00. 
5. 
a) Sejam x e y respectivamente, o preço de venda 
de um sanduíche e o preço de venda de um copo de 
suco. Tem-se que 
 { 50x + 75y = 300
 65x + 55y = 305 
 ⇒ { 2x +3y = 12
 13x + 11y = 61 
 
 
b) Resolvendo o sistema obtido em (a), encontramos 
x = 3 e y = 2. Portanto, cada sanduíche foi vendido 
por R$ 3,00 e cada copo de suco por R$ 2,00.
18  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
7. (utFpr) o valor da maior das raízes da equação 
2x2 + 3x + 1 = 0, é:
a) 2. b) 1. c) –1. d) – 1 __ 2 . e) 1 __ 2 .
8. o quadrado de um número natural é igual ao seu dobro soma-
do a 24. o dobro desse número menos 8 é igual a:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
9. (eeWb) a adição de um número real positivo x Com o seu 
quadrado dá um resultado igual 42. então esse número é:
a) ímpar.
b) é maior que 15.
c) é múltiplo de 3.
d) é menor que 5.
10. (iFal) assinale a alternativa que Complete a Frase: a equação 
do 2º grau 2x2 – 5x = 3
a) admite duas raízes inteiras.
b) admite uma raiz natural.
c) não admite raízes reais.
d) admite duas raízes naturais.
e) admite duas raízes negativas.
E.O. FixAçãO
1. (utFpr) o(s) valor(es) de m para que a equação 
x2 + mx + 3 = 0 tenha apenas uma raiz real é(são):
a) 0.
b) ±4
c) 12.
d) ±2 dXX 3 .
e) inexistente para satisfazer esta condição.
2. quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 = 0?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. a equação 4x2 + x + m = 0 tem uma úniCa raiz. então, m é 
igual a:
a) 0
b) 1 ___ 16 
c) 2
d) 1 ___ 32
e) –1
E.O. AprEndizAgEm
1. (unisinos) as soluções da equação x2 + 3x – 4 = 0, são:
a) –4 e –1.
b) –4 e 1.
c) –4 e 3.
d) –1 e 3.
e) 1 e 3.
2. a soma das raízes da equação 3x2 + 6x – 9 = 0 é igual a:
a) 4. b) 1. c) –2. d) 3. e) –3.
3. (CFtpr) seja a a raiz positiva e b a raiz negativa da equação 
2x2 – 7x – 15 = 0. então o valor de a + 2 · b é igual a:
a) – 17 ___ 
2
 b) 1. c) –1. d) 2. e) 0.
4. (iFsC) quanto à equação x2 – 4x + 3 = 0, é Correto 
aFirmar que:
a) a soma de suas raízes é igual a –4.
b) tem duas raízes reais e iguais.
c) tem duas raízes reais e distintas.
d) não tem raízes reais.
e) o produto de suas raízes é nulo.
5. (utFpr) renata apresentou a sua amiga a seguinte Charada: 
“um número x Cujo quadrado aumentado do seu dobro é igual a 
15”. qual é a resposta Correta desta Charada?
a) x = 3 ou x = 5
b) x = –3 ou x = –5
c) x = –3 ou x = 5
d) x = 3 ou x = –5
e) apenas x = 3
6. (puC-rj) se a e b são as raízes de x2 + 3x – 10 = 0, 
então 1 ________ 
(A – B)2 vale:
a) – 1 ___ 10 .
b) – 1 ___ 49 .
c) 1 ___ 49 .
d) 1 ___ 10 .
e) 1 __ 
7
 .
 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAUMT
AULAS 
5 E 6 COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 21, 22 e 23
MATEMÁTICA e suas tecnologias  19
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1
4. a soma e o produto das raízes da equação x2 + x – 1 = 0 são, 
respeCtivamente:
a) –1 e 0.
b) 1 e –1.
c) –1 e 1.
d) +1 e 0.
e) –1 e –1.
5. determine a para que a equação do 2º grau ax2+x+1= 0 admita 
duas raízes reais e distintas.
a) a = 1/4
b) a < 1/4
c) a > 1/4
d) a = 4
e) a = –4
6. (utFpr) resolvendo a equação biquadrada 6x4–5x2+1=0, 
obtém-se:
a) S = { – 
dXX 2 ___ 2 , – 
dXX 3 ___ 3 , 
dXX 3 ___ 3 , 
dXX 2 ___ 2 } 
b) S = { – 
dXX 5 ___ 2 , – 
dXX 2 ___ 2 , 
dXX 2 ___ 2 , 
dXX 5 ___ 2 } 
c) S = { – 
dXX 3 ___ 2 , – 1 __ 2 , 1 __ 2 , 
dXX 3 ___ 2 } 
d) S = { – 
dXX 5 ___ 2 , – 1 __ 2 , 1 __ 2 , 
 dXX 5 ___ 2 } 
e) S = { – 
dXX 2 ___ 2 , – 1 __ 2
_ , 1 __ 2 , 
 dXX 2 ___ 2 } 
7. a equação de 2º grau ax2 – 4x – 16 = 0 tem uma raiz Cujo 
valor é 4. a outra raiz é:
a) 1. d) –2.
b) 2. e) 0.
c) –1.
8. (CFtCe) o valor de n, para que a equação x2 – (n – 1)x + n – 2 = 0 
tenha raiz dupla, é:
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
9. (ue) os valores de m, para os quais a equação 3x2 – mx + 4 = 0 
tem duas raízes reais iguais, são:
a) – √
__
 5 e 2 √
__
 5 .
b) – 4 √
__
 3 e 4 √
__
 3 .
c) – 3 √
__
 2 e 3 √
__
 2 .
d) 2 e 5.
e) –6 e 8.
10. (iFsp) Considere a equação do 2º grau, em x, dada por 
2x2 + bx + C = 0. se as raízes dessa equação são r1 = 2 e r2 = –3, 
então a diFerença b – C é igual a:
a) 8. d) 23.
b) 14. e) 27.
c) 19.
E.O. COmplEmEntAr
1. (CFtsC) o Conjunto solução da equação do segundo grau no 
Conjunto dos números reais x
2
 __ 4 = 3x __ 
8
 + 5 __ 
2
 é:
a) S = {1, 2}.
b) S = { – 5 __ 2 , 4 } .
c) S = { 5 __ 2 , 4 } .
d) S = {2, 5}.
e) S= { }.
2. (CFtmg) se o produto de dois números naturais pares Conse-
Cutivos é igual a 360, então a soma deles é:
a) 32.
b) 34.
c) 36.
d) 38.
3. determine os valores de m para os quais a equação
x2 + (m + 2)x + (2m + 1) = 0. admita duas raízes iguais.
a) 0 ou 4 
b) 0 ou –4 
c) 1 ou 4
d) 1 ou –4
e) 0 ou 1
4. (CFtrj) para qual valor de a a equação 
(x – 2)(2ax – 3) + (x – 2)(–ax + 1) = 0 tem duas raízes reais 
e iguais?
a) –1 c) 1
b) 0 d) 2
5. determine dois números pares positivos e ConseCutivos Cujo 
produto é 624:
a) 1 e 624. 
b) 2 e 312. 
c) 4 e 624.
d) 24 e 26.
e) n.d.a.
E.O. dissErtAtivO
1. (uel 2017) joão é dono de um Food truCk, uma espéCie de 
lanChonete estruturada em uma CarroCeria de um veíCulo móvel 
(Caminhão) e utilizada para preparar e vender lanChes. ele quer 
enFeitar uma das FaCes da CarroCeria de seu Caminhão, Cujo For-
mato é retangular, Contornando-a Com Fita de led.
Considerando que joão preCisa de exatamente 700 cm de Fita de 
led e que a área retangular limitada pela Fita de led deve ser igual 
a 30.000 cm2, determine as dimensões desse retângulo.
justiFique sua resposta apresentando os CálCulos realizados na 
resolução desta questão. 
20  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
2. (g1 – Cp2) no esquema seguinte estão representados os membros 
da Família de andré que Foram ao jardim zoológiCo no domingo:
 
ao lado da bilheteria está aFixada a tabela de preços dos bilhetes 
de entrada no jardim zoológiCo:
preços (em reais)
dias úteis
Fins de semana 
e Feriados
CriAnçAs (Até 2 Anos) grAtuito grAtuito
CriAnçAs (3 Anos A 11 Anos) 5,90 7,90
JovEns E ADultos (12 Anos A 60 Anos) 12,50 14,50
tErCEirA iDADE (mAis DE 60 Anos) 6,25 7,25
na bilheteria, andré propôs a seguinte adivinhação matemátiCa 
ao vendedor:
“o quadrado da minha idade menos quatorze é igual a treze vezes 
a minha idade”.
o rapaz da bilheteria, que gostava muito de matemátiCa,não teve 
problemas em CalCular quanto a Família gastaria Com os ingressos.
a) Representando por x a idade de André, escreva 
uma equação do 2º grau que represente o problema 
proposto ao rapaz da bilheteria.
b) Determine a idade de André resolvendo a equação 
do 2º grau obtida no item anterior.
c) Quanto a família de André gastou na compra total 
dos bilhetes? 
3. (g1 – Cp2) isabel adora inventar números e dar nome a eles. 
agora ela inventou os números super espeCiais!
“um número é super espeCial se o quadrado do seu primeiro algarismo 
é igual à soma de todos os seus algarismos”.
por exemplo, 4561 é super espeCial, pois: 42 = 16 = 4+ 5 + 6 +1. 
a) Escreva um número super especial de três algaris-
mos cujo algarismo das centenas seja 3.
b) Isabel descobriu que existe um número super espe-
cial de quatro algarismos, cujos três últimos algarismos 
são 1, 8 e 3. Juntos (183), eles formam exatamente a 
data de seu aniversário, dezoito de março. Represen-
te por x o 1º algarismo do número super especial que 
Isabel descobriu. Escreva uma equação do 2º grau que 
expressa a propriedade inventada por ela.
c) Resolva a equação do 2º grau obtida no item anterior e 
determine o número super especial que Isabel descobriu. 
4. (Cp2) um aluno resolveu a equação 4x – x(x – 4) = –9 
da seguinte Forma:
4x – x(x – 4) = – 9
4x – x2 – 4x = – 9
– x2 + 9 = 0
x2 – 9 = 0
x = ± 3
a) O aluno cometeu um erro. Qual foi o erro?
b) Resolva corretamente a equação 4x – x(x – 4) = –9
5. (uFg) uma loja vende q Caixas de um Certo tipo de buChas 
plástiCas por r$ 480,00. para aCabar Com o estoque dessas bu-
Chas, a loja anunCia um desConto de r$ 8,00 no preço de Cada 
Caixa, de modo que o preço de q + 2 Caixas dessas buChas ainda é 
r$ 480,00. diante do exposto, CalCule o valor de q.
6. dê o Conjunto verdade das seguintes equações do 2º grau, no 
Conjunto R:
a) (3x + 1)2 + 4 = 7x + 1
b) (x – 1)2 = 3x + 1
c) 2x2
 ___ 
5
 – x ___ 10 = x __ 2 + 3x2
d) ( x __ 
2
 + 1 ) · ( x __ 
2
 - 1 ) – 5 __ 
4
 = 5x __ 
8
 
 e) [x(x + 1)] _______ 
4
 – 
(x – 5) 
 ______ 12 = 5 (2x-1) _____ 
6
 
7. CalCule t na equação x2 – 4x + t = 0, de modo que:
a) as raízes sejam reais e distintas.
b) as raízes sejam reais e iguais.
c) as raízes não sejam reais.
8. resolva as equações biquadradas a seguir:
a) x4 – 5x2 + 4 = 0
b) x4 – 6x2 = 27
c) x4 – 36 = 0
d) 3x4 – 48x2 = 0
9. (Cp2) o modelo a seguir representa uma pisCina retangular que será 
Construída em um Condomínio. ela terá 4 metros de largura e 6 metros 
de Comprimento. em seu Contorno, será Construída uma moldura de 
lajotas, representada pela área sombreada da Figura a seguir.
6 m
4 m
x
x
x
a) Considerando que a largura da moldura mede x 
metros, represente a área da moldura por uma ex-
pressão algébrica.
b) Determine a medida x para que a moldura tenha 
área de 39 m2.
10. resolva o sistema: { 2x – y = 1
 
 1 __ x + 1 __ y = 2
 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  21
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E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) um grupo de x estudantes se juntou para Comprar um 
Computador portátil (notebook) que Custa r$ 3.250,00. alguns 
dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, Formando um 
novo grupo Com x + 3 pessoas. ao Fazer a divisão do valor do 
Computador pelo número de pessoas que estão Compondo o novo 
grupo, veriFiCou-se que Cada pessoa pagaria r$ 75,00 a menos do 
que o iniCialmente programado para Cada um no primeiro grupo.
o número x de pessoas que Formavam o primeiro grupo é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
e) 13. 
2. (Fuvest) a soma e o produto das raízes da equação de 
segundo grau (4m + 3n) x2 – 5nx + (m - 2) = 0 valem, respeC-
tivamente, 5 __ 
8
 e 3 ___ 
32
 . então m + n é igual a 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
3. (Fuvest) as soluções da equação x-a ___ x+a + x+a ___ x-A = 
2(A4+1)
 ________ 
A²(x²-A²)
 
onde a ≠ 0, são: 
 a) – a __ 2 e a __ 4 
b) – a __ 4 e a __ 4 
c) 1 __ 2 a e 1 __ 2 a 
d) – 1 __ a e 1 __ 2 a 
e) – 1 __ a e 1 __ a 
4. (unesp) uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma 
quantidade x de horas por semana e ganhava r$ 60,00 pela se-
mana trabalhada. em seu novo emprego, essa pessoa Continua 
ganhando os mesmos r$ 60,00 por semana. trabalha, porém, 
4 horas a mais por semana e reCebe r$ 4,00 a menos por hora 
trabalhada. o valor de x é 
a) 6. d) 12. 
b) 8. e) 14. 
c) 10. 
5. (Fuvest) sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 + 33x –7= 0. 
o número inteiro mais próximo do número 5x1x2 + 2(x1 + x2) é: 
a) – 33 d) 10 
b) – 10 e) 33 
c) – 7 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) um empreiteiro Contratou um serviço Com um grupo 
de trabalhadores pelo valor de r$ 10.800,00 a serem igual-
mente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o 
valor Contratado Foi dividido igualmente entre os demais. assim, 
o empreiteiro pagou, a Cada um dos trabalhadores que realizaram 
o serviço, r$ 600,00 além do Combinado no aCordo original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?
2. (uniCamp) a soma de dois números positivos é igual ao triplo 
da diFerença entre esses mesmos dois números. essa diFerença, 
por sua vez, é igual ao dobro do quoCiente do maior pelo menor.
a) Encontre esses dois números.
b) Escreva uma equação do tipo x2 + bx + c = 0 cujas 
raízes são aqueles dois números.
3. (unesp) para todo número real a, o número –a Chama-se opos-
to de a, e para todo número real a, a ≠ 0, o número 1 __ a Chama-se 
inverso de a. assim sendo, determine todos os números reais x, x ≠ 1, 
tais que o inverso do oposto de (1 – x) seja x + 3.
4. (uniCamp) uma transportadora entrega, Com Caminhões, 60 
toneladas de açúCar por dia. devido a problemas operaCionais, 
em um Certo dia Cada Caminhão Foi Carregado Com 500 kg a 
menos que o usual, tendo sido neCessário, naquele dia, alugar 
mais 4 Caminhões.
a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia? 
5. (uniCamp) o índiCe i de massa Corporal de uma pessoa adulta 
é dado pela Fórmula: i = M/h2 onde m é a massa do Corpo, 
dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa, em metros. o 
índiCe i permite ClassiFiCar uma pessoa adulta, de aCordo Com a 
seguinte tabela:
homens mulheres ClassiFiCação
20 ≤ I ≤ 25 19 ≤ I ≤ 24 normAl
25 < I ≤ 30 24 < I ≤ 29 lEvEmEntE oBEso
I > 30 I > 29 oBEso
a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 
64,0 kg e cuja altura 1,60 m. Classifique-a segundo 
a tabela anterior.
b) Qual é a altura mínima para que o homem cuja mas-
sa é de 97,2 kg não seja considerado obeso? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. D 4. C 5. D
6. C 7. D 8. C 9. C 10. B
22  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
E.O. Fixação
1. D 2. A 3. B 4. E 5. B
6. A 7. D 8. C 9. B 10. B
E.O. Complementar
1. B 2. D 3. A 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
1. Calculando:
 { 2 · (x + y) = 700
 
x · y = 30000 
 
 
x + y = 350 → x = 350 – y 
(350 – y) · y = 30000→
 y2 – 350y + 30000 = 0 → { y’ = 150 → x’ = 200
 
y’’ = 200 → x’’ = 150
 
 
 
Assim, as dimensões do retângulo são 150 e 200 centímetros.
2. 
a) x2 – 14 = 13 · x ⇒ x2 – 13x – 14 = 0
b) Teremos:
 13 15x 113 225 2x
13 152 1 x 14
2
−
= = −
±
= =
+⋅
= =
Portanto, a idade de André é de 14 anos.
c) Teremos:
Avô: ................................ R$ 7,25
Mãe: ............................... R$ 14,50
André: ............................. R$ 14,50 
Irmã de 8 anos: ............... R$ 7,90
Irmã de 6 messes: ........... R$ 0,00
Total..................................R$ 44,15
3. 
a) Um dos possíveis números a ser formado é 324, 
pois 32 = 3+ 2 + 4. 
b) x2 = x + 1 + 8 + 3 ⇒ x2 – 2 – 12 = 0
c) x2 – x – 12 = 0 
x 4( 1) 49x
x 32 1
=− − ±
=
= −⋅
Portanto, x = 4 
Então, o número super especial pensado foi 4.183. 
4. 
a) O sinal do termo –4x, proveniente da multiplicação 
de –x(x – 4).
b) x = 9 ou x = –1
5. Q = 10.
6. 
a) V = Ø d) V = { –2, 9 __ 
2
 }
b) V = {0, 5} e) V = {1, 5}
c) V = { -3 ___ 
13
 , 0 } 
7. 
a) t < 4
b) t = 4
c) t > 4
8. 
a) S = {–2, –1, 1, 2}
b) S = {–3, 3}
c) S = {– √
__
 6 , √
__
 6 }
d) S = {–4, 0, 4}
9. 
a) 4x2 + 20x
b) x = 3 __ 
2
 
10. se x = 1, então y = 1.
se x = 1 __ 
4
 , então y = – 1 __ 
2
 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. A 3. E 4. A 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. n = número inicial de trabalhadores.
Cada trabalhador deveria receber 10800/n.
Como três desistiram e os demais receberam 600 reais a mais, 
temos:
600 · (n – 3) = 3 · 10800 ______ 
n
 ⇒
⇒ 6 · (n – 3) = 324 ____ n ⇒
⇒ 6n2 – 18n – 324 = 0
Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou 
n = – 6 (não convém).
a) Portanto, 6 trabalhadores realizaram o serviço. 
b) Cada um deles recebeu 10800 _____ 
6
 =1 800 reais.
2. 
a) 8 e 4
b) x2 – 12x + 32 = 0
3. x = –1 + √
__
 5 ou x = –1 – √
__
 5 
4. 
a) 24
b) 2.500 kg 
5. 
a) I = 25 e a mulher é levemente obesa.
b) A altura mínima é 1,8 m. 
MATEMÁTICA e suas tecnologias 	 23



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1
4. (utFpr) numa Cidade existem três shoppings: “x”, “y” e 
“z”. Foi Feita uma entrevista Com as pessoas para saber sobre o 
hábito delas Frequentarem esses shoppings e obteve-se o seguinte 
resultado, disposto na tabela abaixo:
shopping pessoas
X 220
Y 226
Z 226
X e Y 120
X e Z 130
Y e Z 110
X, Y e Z 70
nEnhum Dos três 100
quantas pessoas entrevistadas não Frequentam o shopping “x”?
a) 552 b) 276 c) 262 d) 130 e) 100
5. (puC-rj) sejam x e y números tais que os Conjuntos {0, 7, 1} e 
{x, y, 1} são iguais. então, podemos aFirmar que:
a) x = 0 e y = 5.
b) x + y = 7.
c) x = 0 e y = 1.
d) x + 2 y = 7.
e) x = y.
6. (uern) num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 
possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veíCulos. 
o número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é:
a) 4.
b) 11.
c) 17.
d) 19.
7. (puC-pr) as pessoas atendidas em uma unidade de saúde 
apresentaram os seguintes sintomas: Febre alta, dores no Corpo 
e náuseas. os dados Foram tabulados ConForme quadro a seguir:
sintomas número de paCientes
fEBrE 22
Dor no CorPo 16
náusEAs 24
fEBrE E Dor no CorPo 10
Dor no CorPo E náusEAs 10
E.O. AprEndizAgEm
1. (iFsp) em um restaurante de uma empresa, Fez-se uma pesqui-
sa para saber qual a sobremesa preFerida dos FunCionários: pudim 
ou gelatina. Cada FunCionário poderia indiCar que gosta das duas 
sobremesas, de apenas uma, ou de nenhuma das duas. do total de 
pesquisados, 21 deClararam que gostam de pudim, 29 gostam de 
gelatina, 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de 
nenhuma dessas duas sobremesas. pode-se, então, aFirmar que o nú-
mero de pesquisados Foi:
a) 52. b) 62. c) 72. d) 82. e) 92.
2. (uFt) uma instituição de ensino superior oFereCe os Cursos 
a e b. em seu proCesso seletivo, o Candidato pode optar por ins-
Crever-se nos dois Cursos ou apenas em um Curso. ao Final, o 
número de insCrições por Curso e o número total de Candidatos 
insCritos pode ser observado no quadro que segue:
número de
insCrições no
Curso a
número de
insCrições no
Curso b
número total
de Candidatos
insCritos
480 392 560
Com base nas inFormações aCima e nas possibilidades de insCrições, 
pode se aFirmar que o número de Candidatos que optaram por ins-
Crever-se somente no Curso a Foi:
a) 80. b) 168. c) 312. d) 480. e) 560.
3. (espCex) uma determinada empresa de bisCoitos realizou 
uma pesquisa sobre a preFerênCia de seus Consumidores em re-
lação a seus três produtos: bisCoitos Cream CraCker, WaFer e 
reCheados. os resultados indiCaram que:
• 65 pessoas compram cream crackers.
• 85 pessoas compram wafers.
• 170 pessoas compram biscoitos recheados.
• 20 pessoas compram wafers, cream crackers e re-
cheados.
• 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
• 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
• 60 pessoas compram wafers e recheados.
• 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa.
a) 200
b) 250
c) 320
d) 370
e) 530
 TEORIA DOS CONJUNTOS
COMPETÊNCIA(s)
1, 5 e 6
HABILIDADE(s)
1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25
MT
AULAS 
7 E 8
24  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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sintomas número de paCientes
náusEAs E fEBrE 8
fEBrE, Dor no CorPo E náusEAs 6
determine o número de paCientes atendidos no posto de saúde.
a) 62 pessoas d) 86 pessoas
b) 68 pessoas e) 42 pessoas
c) 40 pessoas
8. (uFsj) o diagrama que representa o Conjunto 
[(a > b) – C] < [(C > b) – a] é:
a) 
b) 
c) 
d) 
9. (uFsj) dados três Conjuntos a, b e C, não vazios, Com 
a , b e a , C então, é sempre Correto aFirmar que:
a) B = C.
b) A , (B > C).
c) B , C.
d) A = (B > C).
10. (iFal) Considerando-se os Conjuntos a = {1, 2, 4, 5, 7} 
e b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}, assinale a alternativa Correta.
a) B . A, logo A > B = B.
b) A < B = A, pois A , B.
c) A [ B.
d) 8 , B.
e) A < B = B, pois A , B
E.O. FixAçãO
1. (iFsp) em uma determinada empresa, os trabalhadores devem 
se espeCializar em pelo menos uma língua estrangeira, FranCês ou 
inglês. em uma turma de 76 trabalhadores, têm-se:
49 que optaram somente pela língua inglesa;
12 que optaram em se espeCializar nas duas línguas estrangeiras.
o número de trabalhadores que optaram por se espeCializar em 
língua FranCesa Foi
a) 15. b) 27. c) 39. d) 44. e) 64.
2. (enem) um FabriCante de CosmétiCos deCide produzir três 
diFerentes Catálogos de seus produtos, visando a públiCos distin-
tos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um Catá-
logo e oCupam uma página inteira, ele resolve Fazer uma Contagem 
para diminuir os gastos Com originais de impressão. os Catálogos 
C1, C2 e C3 terão, respeCtivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de Cada Catálogo, ele veriFiCa que C1 
e C2 terão 10 páginas em Comum; C1 e C3 terão 6 páginas em 
Comum; C2 e C3 terão 5 páginas em Comum, das quais 4 também 
estarão em C1.
eFetuando os CálCulos Correspondentes, o FabriCante ConCluiu 
que, para a montagem dos três Catálogos, neCessitará de um total 
de originais de impressão igual a:
a) 135. b) 126. c) 118. d) 114. e) 110.
3. (iFpe) alberto e daniel são amigos e ColeCionadores de selos. 
eles Começaram a ColeCionar selos ao mesmo tempo. alberto já 
está Com 32 selos, enquanto daniel tem 17. sabendo que eles 
têm 8 selos em Comum, quantos selos diFerentes eles têm juntos?
a) 41 b) 42 c) 45 d) 48 e) 49
4. (uel) num dado momento, três Canais de tv tinham, em sua 
programação, novelas em seus horários nobres: a novela a no 
Canal a, a novela b no Canal b e a novela C no Canal C. numa 
pesquisa Com 3.000 pessoas, perguntou-se quais novelas agra-
davam. a tabela a seguir indiCa o número de telespeCtadores que 
designaram as novelas Como agradáveis. 
novelas
número de 
telespeCtadores
A 1450
B 1150
C 900
A e B 350
A e C 400
B e C 300
A, B e C 100
quantos telespeCtadores entrevistados não aCham agradável ne-
nhuma das três novelas?
a) 300 telespectadores
b) 370 telespectadores
c) 450 telespectadores
d) 470 telespectadores
e) 500 telespectadores
MATEMÁTICA e suas tecnologias  25
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
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5. (iFCe) Considere os Conjuntos
a = {0, 1, 3, 5, 9}
b = {3, 5, 7, 9}
x = {x [ n; x ≤ 13}, onde n é o Conjunto dos números inteiros 
não negativos.
o Conjunto C
x
a<b é igual a:
a) {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}.
b) {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
c) {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13}.
d) {2, 5, 7,8, 12, 13}.
e) {0, 1, 7, 8, 9, 10, 12, 13}.
6. (uFsj) na Figura, r é um retângulo, t é um triângulo e h é 
um hexágono.
então, é Correto aFirmar que a região destaCada em Cinza é 
dada por:
a) (H – T) > R.
b) T – R.
c) (R > T) – (T > H).
d) (R > T).
7. (CFtmg) dados os Conjuntos numériCos a, b, C e d, a região 
sombreada do diagrama Corresponde a:
a) C > D. c) (A > B) < (C > D).
b) C < D. d) (A < B) > (C > D).
8. (utFpr) Considere dois Conjuntos a e b tais que: a , b, 
a > b Þ Ö e a ø b Þ a. nestas Condições pode-se aFirmar que:
a) os conjuntos A e B são iguais, isto é: A = B.
b) o conjunto A possui a mesma quantidade de elementos 
que o conjunto B.
c) o conjunto A possui mais elementos que o conjunto B.
d) o conjunto A possui menos elementos que o conjunto B.
e) o conjunto A pode ser um conjunto vazio.
9. (insper) dizemos que um Conjunto numériCo C é FeChado pela ope-
ração ∗ se, e somente se, para todo C1, C2 [ C, tem-se (C1 ∗ C2) [ 
C. a partir dessa deFinição, avalie as aFirmações seguintes.
i. o Conjunto a = {0, 1} é FeChado pela multipliCação.
ii. o Conjunto b de todos os números naturais que são quadrados 
perFeitos é FeChado pela multipliCação.
iii. o Conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é FeChado pela adição.
está(ão) Corretas(s):
a) apenas a afirmação I.
b) apenas as afirmações I e II.
c) apenas as afirmações I e III.
d) apenas as afirmações II e III.
e) as três afirmações.
10. (Col. naval) sejam a, b e C Conjuntos tais que: a = {1, {1, 2},{3}}, 
b = {1, {2},3} e C = {{1},2,3}. sendo x a união dos Conjuntos (a – C) 
e (a – b), qual será o total de elementos de x?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
E.O. COmplEmEntAr
1. (uern) numa Festa, Foram servidos dois tipos de salgados: um 
de queijo e outro de Frango. Considere que 15 pessoas Comeram 
os dois salgados, 45 não Comeram o salgado de queijo, 50 não 
Comeram o salgado de Frango e 70 pessoas Comeram pelo menos 
um dos dois salgados. o número de pessoas presentes nesta Festa 
que não Comeram nenhum dos dois salgados Foi:
a) 18. c) 10.
b) 20. d) 15.
2. (uFsm) dados os Conjuntos
a = {x [ N | x é impar},
b = {x [ Z | –2 , x < 9} e
C = {x [ R | x > 5},
o produto dos elementos que Formam o Conjunto (a > b) – C 
é igual a:
a) 1. d) 35.
b) 3. e) 105.
c) 15.
3. (udesC) Considere em um Conjunto universo, Com 7 elementos, 
os subConjuntos a, b e C, Com 3, 5 e 7 elementos, respeCtivamen-
te. é Correto aFirmar que:
a) (A > B) > C tem no máximo 2 elementos.
b) (A > B) > C tem no mínimo 1 elemento.
c) B > C tem 3 elementos.
d) A > C tem no mínimo 2 elementos.
e) A > B pode ser vazio.
4. (puC-rs) o número de alunos matriCulados nas disCiplinas 
álgebra a, CálCulo ii e geometria analítiCa é 120. Constatou-se 
que 6 deles Cursam simultaneamente CálCulo ii e geometria ana-
lítiCa e que 40 Cursam somente geometria analítiCa. os alunos 
matriCulados em álgebra a não Cursam CálCulo ii nem geome-
tria analítiCa. sabendo que a turma de CálCulo ii tem 60 alunos, 
então o número de estudantes em álgebra a é:
a) 8. d) 26.
b) 14. e) 32.
c) 20.
26  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5. (iFCe) sendo n o Conjunto dos inteiros positivos, Considere os 
seguintes Conjuntos:
a = { x [ n; 12 ____ x [ n } e b = { x [ n; x __ 
3
 [ n } .
é verdade que:
a) A possui mais elementos que B.
b) A e B não possuem elementos em comum.
c) A é um subconjunto de B.
d) B é um subconjunto de A.
e) A e B possuem exatamente três elementos em comum.
E.O. dissErtAtivO
1. (puC-rj) um trem viajava Com 242 passageiros, dos quais:
• 96 eram brasileiros,
• 64 eram homens,
• 47 eram Fumantes,
• 51 eram homens brasileiros,
• 25 eram homens Fumantes,
• 36 eram brasileiros Fumantes,
• 20 eram homens brasileiros Fumantes.
CalCule:
a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;
b) o número de homens fumantes não brasileiros;
c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
2. (CFtrj) uma das grandes paixões dos CarioCas é o desFile de 
esColas de samba.
Foram entrevistados alguns Foliões Com a seguinte pergunta: 
“em qual ou quais esColas voCê irá desFilar em 2012?”, e os 
entrevistadores Chegaram a algumas ConClusões, de aCordo Com 
a tabela:
esCola de samba número de Foliões
mAnguEirA 1500
PortElA 1200
sAlguEiro 800
mAnguEirA E PortElA 600
PortElA E sAlguEiro 400
mAnguEirA E sAlguEiro 200
mAnguEirA, PortElA E sAlguEiro 150
nEnhumA DAs três 700
a) Quantos foliões foram entrevistados?
b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem 
desfilar na Salgueiro?
3. (uFmg) uma pesquisa Foi Feita Com um grupo de pessoas que 
Frequentam, pelo menos, uma das três livrarias, a, b e C. Foram 
obtidos os seguintes dados:
• das 90 pessoas que Frequentam a livraria a, 28 não Frequen-
tam as demais;
• das 84 pessoas que Frequentam a livraria b, 26 não Frequen-
tam as demais;
• das 86 pessoas que Frequentam a livraria C, 24 não Frequen-
tam as demais;
• oito pessoas Frequentam as três livrarias.
a) Determine o número de pessoas que frequentam 
apenas uma das livrarias.
b) Determine o número de pessoas que frequentam, 
pelo menos, duas livrarias.
c) Determine o número total de pessoas ouvidas nes-
sa pesquisa.
4. (uFF) Considere os Conjuntos representados a seguir:
represente, enumerando seus elementos, os Conjuntos:
a) P, Q e R.
b) (P > Q) – R.
c) (P < Q) > R.
d) (P < R) – P.
e) (Q > R) < P.
5. sendo a = {5, 7, 9}, b = {0, 9, 10, 90},
C = {7, 8, 9, 10}, d = {9, 10} e e = {5, 7, 10, 90}, determine:
a) A < B. c) D < E.
b) A < B < D. d) C < D.
6. (puC-rj) se a, b e C são três Conjuntos onde n(a) = 25, 
n(b) = 18, n(C) = 27, n(a > b) = 9, n(b > C) = 10, 
n(a > C) = 6 e n(a > b > C) = 4, (sendo n(x) o número de 
elementos do Conjunto x), determine o valor de n ((a < b) > C).
7. determine todos os subConjuntos do Conjunto x = {0, 5, 10}.
8. (uFpe) os alunos de uma turma Cursam alguma(s) dentre 
as disCiplinas matemátiCa, FísiCa e químiCa. sabendo que:
• o número de alunos que Cursam matemátiCa e FísiCa exCede 
em 5 o número de alunos que Cursam as três disCiplinas;
• existem 7 alunos que Cursam matemátiCa e químiCa, mas não 
Cursam FísiCa;
• existem 6 alunos que Cursam FísiCa e químiCa, mas não Cur-
sam matemátiCa;
• o número de alunos que Cursam exatamente uma das disCi-
plinas é 150;
• o número de alunos que Cursam pelo menos uma das três 
disCiplinas é 190.
quantos alunos Cursam as três disCiplinas?
MATEMÁTICA e suas tecnologias  27


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9. (ita) analise a existênCia de Conjuntos a e b, ambos não va-
zios, tais que (a\b) < (b\a) = a.
10. se um Conjunto z tem apenas 32 subConjuntos, quantos ele-
mentos tem esse Conjunto z?
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (uniCamp 2017) sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o 
livro a Foi lido por 5 pessoas e o livro b Foi lido por 4 pessoas. 
podemos aFirmar Corretamente que, nesse grupo, 
a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.
b) nenhuma pessoa leu os dois livros.
c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.
d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois 
livros.
2. (unesp) numa Classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de 
matemátiCa e 20 de história. o número de alunos desta Classe 
que gostam de matemátiCa e de história é: 
a) exatamente 16
b) exatamente 10
c) no máximo 6
d) no mínimo 6
e) exatamente 18
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) numa Cidade Com 30000 domiCílios, 10000 domiCílios 
reCebem regularmente o jornal da loja de eletrodoméstiCos x, 8000 
reCebem regularmente o jornal do supermerCado y e metade do nú-
mero de domiCílios não reCebe nenhum dos dois jornais. determine:
a) o número de domicílios que recebem os dois jornais.
b) a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhi-
do ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodomésti-
cos X e não receber o jornal do supermercado Y. 
2. (unesp) um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado 
Com 1000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) Constatou 
que 470 pessoas tinham o antígeno a, 230pessoas tinham o an-
tígeno b e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. determine:
a) o número de pessoas que têm os antígenos A e B 
simultaneamente;
b) supondo independência entre sexo e grupo san-
guíneo, a probabilidade de que uma pessoa do grupo, 
escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos 
A e B simultaneamente. 
3. (unesp) uma pesquisa sobre os grupos sanguíneos abo, na 
qual Foram testadas 6000 pessoas de uma mesma raça, revelou 
que 2527 têm o antígeno a, 2234 o antígeno b e 1846 não têm 
nenhum antígeno. nessas Condições, qual é a probabilidade de que 
uma dessas pessoas, esColhida aleatoriamente, tenha os dois antí-
genos? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. B 4. C 5. B
6. B 7. C 8. B 9. B 10. E
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. A 4. C 5. C
6. C 7. D 8. D 9. B 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. B 3. B 4. C 5. E
E.O. Dissertativo
1. 
a) 29
b) 5
c) 127
2. 
a) 1 500 + 350 + 350 + 250 + 700 = 3 150.
b) 3 150 – 800 = 2 350.
3. 
a) 78 pessoas
b) 87 pessoas
c) 165 pessoas
4. 
a) P = {3, 4, 5, 7} Q {1, 2, 3, 7} R {2, 5, 6, 7}
b) (P > Q) – R = {3}
c) (P < Q) > R = {2, 5, 7}
d) (P < R) – P = {2, 6}
e) (Q > R) < P = {2, 3, 4, 5, 7}
5. 
a) {0, 5, 7, 9, 10, 90}
b) {0, 5, 7, 9, 10, 90}
c) {5, 7, 9, 10, 90}
d) {7, 8, 9, 10}
6. n((A < B) > C) = n((A > C) ø (B > C)) ⇒
⇒ n((A < B) > C) = n(A > C) + n(B > C) – n(A > B > C) ⇒
⇒ n((A < B) > C) = 6 + 10 – 4 = 12.
7. ø, {0}, {5}, {10}, {0, 5}, {0, 10}, {5, 10}, {0, 5, 10}
8. n(M > F > Q) = 22.
9. Demonstração: Não existem conjuntos A e B que satisfa-
çam as condições dadas.
10. Z = {5}
28  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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
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1
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 3 000
b) 7/30 
2. 
a) 150
b) 9% 
3. 607/6000 ≈ 10% 
TRIGONOMETRIA
E ARITMÉTICA
CADERNO 
DE E.O.
MATEMÁTICA
30  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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projeto hibisCus, desenvolvido por brasil, França, argentina, inglat-
erra e itália, para a medição do Comportamento da Camada de ozônio, 
e sua desCida se deu após o Cumprimento do tempo previsto de medição.
dISPoníVel em: httP://www.CoRReIodobRASIl.Com.bR. 
ACeSSo em: 02 mAIo 2010.
na data do aConteCido, duas pessoas avistaram o balão. uma es-
tava a 1,8 km da posição vertiCal do balão e o avistou sob um 
ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertiCal do 
balão, alinhada Com a primeira e no mesmo sentido, ConForme se 
vê na Figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
qual a altura aproximada em que se enContrava o balão?
a) 1,8 km d) 3,7 km
b) 1,9 km e) 5,5 km
c) 3,1 km
4. um Caminhão, Cuja CarroCeria está a uma altura de 1,2 m do 
Chão, está estaCionado em um terreno plano. deseja-se Carregar 
uma máquina pesada neste Caminhão e, para isso, será ColoCada 
uma rampa da CarroCeria do Caminhão até o Chão. o Comprimento 
mínimo da rampa para que esta Forme Com o Chão um ângulo máx-
imo de 30° é, em metros, de:
Considere: sen 30° = 1 __ 2 , Cos 30° = 
dXX 3 ____ 2 e tg 30° = 
dXX 3 ___ 3 
a) 0,8 dXX 3 . d) 0,6 dXX 3 .
b) 2,4. e) 0,6.
c) 1,2 dXX 3 .
5. um Foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um 
ângulo de 60°, ConForme a Figura.
dados: sen 60° = 
dXX 3 ___ 2 ; Cos 60° = 1 __ 2 ; tg 60° = dXX 3 .
E.O. AprEndizAgEm
1. uma esCada rolante de 6 m de Comprimento liga dois andares 
de uma loja e tem inClinação de 30°. determine, em metros, a 
altura entre estes dois andares.
use os valores: sen 30°= 0,5, Cos 30°=0,87 e tg 30° = 0,58
a) 3,48 d) 5
b) 4,34 e) 3
c) 5,22
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
arquimedes, Candidato a um dos Cursos da FaCuldade de enge-
nharia, visitou a puC para Colher inFormações. uma das Consta-
tações que Fez Foi a de que existe grande proximidade entre enge-
nharia e matemátiCa.
2. (puC-rs) em uma aula prátiCa de topograFia, os alunos 
aprendiam a trabalhar Com o teodolito, instrumento usado para 
medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir 
a largura y de um rio. de um ponto a, o observador desloCa-se 
100 metros na direção do perCurso do rio, e então visualiza uma 
árvore no ponto C, loCalizada na margem oposta sob um ângulo 
de 60°, ConForme a Figura abaixo.
nessas Condições, ConClui-se que a largura do rio, em metros, é:
a) 100 dXX 3 ______ 3 . d) 50 dXX 3 _____ 3 
b) 100 dXX 3 ______ 2 . e) 200.
c) 100 dXX 3 . 
3. um balão atmosFériCo, lançado em bauru (343 quilômetros a 
noroeste de são paulo), na noite do último domingo, Caiu nesta se-
gunda-Feira em Cuiabá paulista, na região de presidente prudente, 
assustando agriCultores da região. o arteFato Faz parte do programa 
 TRIGONOMETRIA NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
MT
AULAS 
1 E 2 COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MATEMÁTICA e suas tecnologias  31



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1
a altura em que se enContra o Foguete, após ter perCorrido 12 km, é:
a) 600 dam.
b) 12.000 m.
c) 6.000 dXX 3 dm.
d) 600.000 dXX 3 cm.
6. (uel) um indivíduo em Férias na praia observa, a partir da 
posição p1, um barCo anCorado no horizonte norte na posição b. 
nesta posição p1, o ângulo de visão do barCo, em relação à praia, 
é de 90°, Como mostrado na Figura a seguir.
B
45º
O
S
L
N
1000 m
P2 P1
ele Corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa 
novamente o barCo a partir da posição p2. neste novo ponto de obser-
vação p2, o ângulo de visão do barCo, em relação à praia, é de 45°.
qual a distânCia p2b aproximadamente?
a) 1000 metros d) 1714 metros
b) 1014 metros e) 2414 metros
c) 1414 metros
7. uma baixa históriCa no nível das águas no rio amazonas em sua 
parte peruana deixou o estado do amazonas em situação de alerta 
e a região norte na expeCtativa da pior seCa desde 2005. [...] em 
alguns treChos, o rio amazonas já não tem proFundidade para que 
balsas Com merCadorias e Combustível para energia elétriCa Cheguem 
até as Cidades. a deFesa Civil já deClarou situação de atenção em 
16 muniCípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à 
situação de emergênCia – em outros nove. porém, alguns treChos do 
rio amazonas ainda permitem plenas Condições de navegabilidade.
texto AdAPtAdo de: httP://www.eCodebAte.Com. 
bR/2010/09/10/Com-SeCA-no-PeRU-nIVel-doRIoAmAzonAS-dImInUIU-e-
ReGIAo-noRte- 
teme-PIoReStIAGem-deSde-2005/ 
ACeSSo em: 10 noV. 2010.
Considerando que um barCo parte de a para atravessar o rio am-
azonas; que a direção de seu desloCamento Forma um ângulo de 
120º Com a margem do rio; que a largura do rio, teoriCamente 
Constante, de 60 metros, então, podemos aFirmar que a distânCia 
ab em metros perCorrida pela embarCação Foi de:
dados:
seno Cosseno tangente
0º 1 ___ 2 
dXX 3 ____ 2 
dXX 3 ____ 3 
45º 
dXX 2 ____ 2 
dXX 2 ____ 2 1
60º 
dXX 3 ____ 2 1 ___ 2 dXX 3 
a) 60 dXX 3 metros.
b) 40 dXX 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 dXX 3 metros.
e) 40 metros.
8. ter Condições de aCessibilidade a espaços e equipamentos ur-
banos é um direito de todo Cidadão.
a Construção de rampas, nas entradas de ediFíCios que apresen-
tam esCadas, garante a aCessibilidade prinCipalmente às pessoas 
Com deFiCiênCia FísiCa ou Com mobilidade reduzida.
pensando nisso, na entrada de uma eteC onde há uma esCada de 
dois degraus iguais, Cada um Com 15 cm de altura, pretende-se Con-
struir uma rampa para garantir a aCessibilidade do prédio a todos.
essa rampa Formará Com o solo um ângulo de 3º, ConForme 
a Figura.
adote: sen 3º = 0,05; Cos 3º = 0,99
sendo assim, ConClui-se que o Comprimento da rampa será, 
em metros:
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2.
9. (uemg) em uma de suas viagens para o exterior, luís alves 
e guiomar observaram um monumento de arquitetura asiátiCa. 
guiomar, interessada em apliCar seus ConheCimentos matemátiCos, 
ColoCou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângu-
lo de 60°, ConForme mostra a Figura:32  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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sabendo-se que a altura do teodolito Corresponde a 130 cm, a 
altura do monumento, em metros, é aproximadamente:
a) 6,86. c) 5,24.
b) 6,10. d) 3,34.
10. uma Formiga sai do ponto a e segue por uma trilha, representada 
pela linha Contínua, até Chegar ao ponto b, Como mostra a Figura.
a distânCia, em metros, perCorrida pela Formiga é:
a) 1 + 2 dXX 3 . c) 5 + 2 dXX 3 .
b) 3 + 3 dXX 3 . d) 7 + 3 dXX 3 .
E.O. FixAçãO
1. (enem) para determinar a distânCia de um barCo até a praia, um 
navegante utilizou o seguinte proCedimento: a partir de um ponto 
a, mediu o ângulo visual Fazendo mira em um ponto Fixo p da 
praia. mantendo o barCo no mesmo sentido, ele seguiu até um pon-
to b de modo que Fosse possível ver o mesmo ponto p da praia, no 
entanto sob um ângulo visual 2 . a Figura ilustra essa situação:
suponha que o navegante tenha medido o ângulo = 30° e, ao 
Chegar ao ponto b, veriFiCou que o barCo havia perCorrido a distân-
Cia ab = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma 
trajetória, a menor distânCia do barCo até o ponto Fixo p será:
a) 1000 m.
b) 1000 dXX 3 m.
c) 2000 
dXX 3 ___ 3 m.
d) 2000 m.
e) 2000 dXX 3 m.
2. uma Coruja está pousada em r, ponto mais alto de um poste, a 
uma altura h do ponto p, no Chão.
ela é vista por um rato no ponto a, no solo, sob um ângulo de 
30°, ConForme mostra a Figura abaixo.
o rato se desloCa em linha reta até o ponto b, de onde vê a Coruja, 
agora sob um ângulo de 45° Com o Chão e a uma distânCia 
 BR de 
medida 6 dXX 2 metros.
Com base nessas inFormações, estando os pontos a, b e p alin-
hados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se aFirmar, 
então, que a medida do desloCamento 
 AB do rato, em metros, é 
um número entre:
a) 3 e 4.
b) 4 e 5.
c) 5 e 6.
d) 6 e 7.
3. (espm) uma pessoa Cujos olhos estão a 1,80 m de altura 
em relação ao Chão avista o topo de um ediFíCio segundo um ân-
gulo de 30° Com a horizontal. perCorrendo 80 m no sentido de 
aproximação do ediFíCio, esse ângulo passa a medir 60°. usando 
o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos ConCluir que a 
altura desse ediFíCio é de aproximadamente:
a) 59 m. d) 69 m.
b) 62 m. e) 71 m.
c) 65 m.
4. (puC-sp) abílio (a) e gioConda (g) estão sobre uma super-
FíCie plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob 
respeCtivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (p) voando, Con-
Forme é representado na planiFiCação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de abílio 
e gioConda e sabendo que, naquele instante, a distânCia 
entre a e g era de 240 m, a quantos metros de altura o 
pássaro distava da superFíCie da praia?
a) 60 ( dXX 3 + 1) d) 180 ( dXX 3 – 1)
b) 120 ( dXX 3 – 1) e) 180 ( dXX 3 + 1)
c) 120 ( dXX 3 + 1)
5. a trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângu-
los de um triângulo.
em um triângulo retângulo, sabemos que
sen θ = Cat.oposto ________ hipotenusa ; cos θ = Cat.adjaCente ________ hipotenusa e
 
tg θ = Cat.oposto ________ Cat. adjaCente 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  33


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1
 Considere o triângulo abaixo e as proposições i, ii e iii.
I. o ∆ABC é retângulo em b.
II. Cos  = 0,8
III.sen  + tg  = 32/15
assinale a alternativa Correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
6. (Mackenzie)
se, na Figura, 
 AD = 3 dXX 2 e 

 CF = 14 √
__
 6 então a medida de 
 AB é:
a) 8 dXX 6 . d) 28.
b) 10 dXX 6 . e) 14 dXX 5 .
c) 12 dXX 6 .
7. as CirCunFerênCias da Figura abaixo são tangentes entre si e 
tangentes à reta t nos pontos a e b.
dados: bC = 4 dXX 3 cm; r = 12 cm;  = 30°
a medida do segmento ab, em Centímetros, é igual a:
a) 2 dXX 3 . b) 4 dXX 3 . c) 8 dXX 3 . d) 12 dXX 3 .
8. duas pessoas a e b, numa rua plana, avistam o topo de um prédio 
sob ângulos de 60° e 30°, respeCtivamente, Com a horizontal, Con-
Forme mostra a Figura. se a distânCia entre os observadores é de 
40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente 
igual a:
A B
40 m
60º 30º
a) 34. b) 32. c) 30. d) 28.
9. (Cesgranrio) uma esCada de 2 m de Comprimento está apoiada 
no Chão e em uma parede vertiCal. se a esCada Faz 30° Com a 
horizontal, a distânCia do topo da esCada ao Chão é de:
a) 0,5 m. d) 1,7 m.
b) 1 m. e) 2 m.
c) 1,5 m.
10. o sr. joão preCisa troCar as telhas da sua Casa. pesquisando 
nas lojas de material de Construção, optou por uma eCotelha.
a eCotelha é uma telha ondulada produzida Com material reCi-
Clável Como tubos de pasta de dente. entre outras CaraCterísti-
Cas, ela apresenta elevada resistênCia à ação dos raios ultravio-
leta e inFravermelhos; não absorve umidade; permite o isolamento 
térmiCo; além de ter Custo aCessível e substituir, Com vantagens, o 
perigoso Cimento amianto.
(AdAPtAdo de: httP://www.ARq.UFSC.bR/ARq5661/ 
tRAbAlhoS_2003-1/eCoVIlAS/eCotelhA.htm 
ACeSSo em 02.09.2009.)
após retirar as telhas velhas e Como não havia neCessidade de 
alterar a estrutura do telhado, o sr. joão planejou a Colo-
Cação das novas telhas.
a Figura apresenta as CaraCterístiCas da estrutura do telhado e 
Como as telhas serão dispostas.
•   
 BE é paralelo a 

 CD ;
• 

 BC é paralelo a  DE ;
•   
 AE é perpendiCular a 
——
 AB ;
•   
 AE é perpendiCular ao plano abC do teto;
• a medida do ângulo a 
 ̂ 
 b e é 16º;
• a medida do segmento 
——
 AB é 3,84 m.
Considerando que as eCotelhas serão ColoCadas de modo a reve-
stir o retângulo bCde, sem ultrapassar as suas bordas, e saben-
do que as dimensões da telha são 2,20 m × 0,92 m, o sr. joão 
CalCulou que a medida do transpasse das telhas é, em Centímetros:
dados: sen 16º = 0,28; Cos 16º = 0,96; tg 16º = 0,29
a) 10. d) 40.
b) 20. e) 50.
c) 30.
E.O. COmplEmEntAr
1. (CFtrj 2017) os alunos de um proFessor pediram que ele Co-
brasse na sua prova bimestral exerCíCios “quase iguais” aos do livro. 
após ampla negoCiação, FiCou aCordado que o proFessor poderia 
mudar apenas uma palavra do exerCíCio que ele esColhesse no livro 
para Cobrar na prova.
34  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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1
o proFessor esColheu o seguinte problema no livro:
problema do livro:
os lados de um triângulo medem 3x, 4x e 5x e seu perímetro, em 
Cm, mede 3 + √
__
 3 + √
__
 6 . quanto mede seu menor lado?
e montou o seguinte problema na prova:
problema da prova:
os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x e seu perímetro, 
em Cm, mede 3 + √
__
 3 + √
__
 6 . quanto mede seu menor lado?
ao perCeber que, mesmo troCando apenas uma palavra do enun-
Ciado, o problema havia FiCado muito mais CompliCado, um aluno 
ainda pediu uma diCa e o proFessor sugeriu que ele traçasse a 
altura relativa ao maior lado.
a resposta Correta, em cm, do problema da prova é 
a) 2 c) 1
b) √
__
 3 d) √
__
 6
2. (uFpr) um reCipiente, no Formato de hemisFério, Contém um 
líquido que tem proFundidade máxima de 5 cm. sabendo que a medi-
da do diâmetro do reCipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em 
relação à horizontal, em que ele pode ser inClinado até que o líquido 
alCanCe a borda, antes de Começar a derramar?
a) 75° b) 60° c) 45° d) 30° e) 15°
3. (espCex) em uma das primeiras tentativas de determinar a me-
dida do raio da terra, os matemátiCos da antiguidade observavam, 
do alto de uma torre ou montanha de altura ConheCida, o ângulo 
sob o qual se avistava o horizonte, tangente à terra, Considerada 
esFériCa, ConForme mostra a Figura. segundo esse raCioCínio, o 
raio terrestre em Função do ângulo é dado por:
a) R = 
sen(h) 
 ________ 1 – sen   . d) R = 1 – sen ________ 
hsen
  
b) R = hsen ________ 1 – sen  . e) R = 1 +sen ________ 
hsen
  
c) R = hsen ________ sen – 1 . 
4. (uFsj) o teodolito é um instrumento de medida de ângulos 
bastante útil na topograFia.
Com ele, é possível determinar distânCias que não poderiam ser me-
didas diretamente. para CalCular a altura de um morro em relação 
a uma região plana no seu entorno, o topógraFo pode utilizar esse 
instrumento adotando o seguinte proCedimento: situa o teodolito 
no ponto a e, mirando o ponto t no topo do morro, mede o ângu-
lo de 30° Com a horizontal; desloCa o teodolito 160 metros em 
direção ao morro, ColoCando-o agora no ponto b, do qual, nova-
mente mirando o ponto t, mede o ângulo de 60° Com a horizontal. 
se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é Correto aFirmar 
que a altura do morro Com relação à região plana a qual perten-
Cem a e b é, em metros:
a) 80 dXX 3 + 1,5. c) 160 dXX 3 ______ 3 + 1,5.
b) 80 dXX 3 – 1,5. d) 160 dXX 3 ______ 3 – 1,5.
5. (uFpr) num projeto hidráuliCo, um Cano Com diâmetro externo 
de 6 cm será enCaixado no vão triangular de uma superFíCie, Como 
ilustra a Figura abaixo. que porção x da altura do Cano perman-
eCerá aCima da superFíCie?
a) 1 __ 2 cm d) π __ 2 cm
b) 1 cm e) 2 cm
c) 
dXX 3 ___ 2 cm
E.O. dissErtAtivO
1. enContre o valor de x nas Figuras a seguir:
a) 
30º
10
x
MATEMÁTICA e suas tecnologias  35



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1
b) 
45º
x 2
2
c) 
5
60º
x
d) 
x 4
30º
2. na ilustração abaixo, temos dois retângulos Congruentes Com 
base medindo 12 cm, e altura 5 cm. qual o inteiro mais próximo da 
distânCia, em Centímetros, do ponto a até a horizontal? dado: use a 
aproximação dXX 3 ≈ 1,73.
3. Considere dois triângulos abC e dbC, de mesma base 

 BC , tais 
que d é um ponto interno ao triângulo abC. a medida de 

 BC é igual 
a 10 cm. Com relação aos ângulos internos desses triângulos, 
sabe-se que D 
 ̂ 
 B C = B 
 ̂ 
 C D, D 
 ̂ 
 C A = 30°, D 
 ̂ 
 B A = 40°, D 
 ̂ 
 AB = 50°.
a) Encontre a medida do ângulo B 
 ̂ 
 D C.
b) Calcule a medida do segmento 
 BD .
c) Admitindo-se tg (50°) = 6 __ 5 , determine a medida do 
segmento 

 AC .
4. para dar sustentação a um poste teleFôniCo, utilizou-se um outro 
poste Com 8 m de Comprimento, Fixado ao solo a 4 m de distânCia 
do poste teleFôniCo, inClinado sob um ângulo de 60°, ConForme a 
Figura a seguir.
60°
8 m
cabo
Considerando-se que Foram utilizados 10 m de Cabo para ligar os dois 
postes, determine a altura do poste teleFôniCo em relação ao solo.
5. (uFu) os programas de edição de imagens possuem a Ferra-
menta reCortar, que permite delimitar e reCortar uma área 
retangular de uma imagem digital (Figura, Foto etC.). para delimi-
tar a área a ser reCortada, é Construído um retângulo Com lados 
paralelos às laterais da imagem; em seguida, esse retângulo é rot-
aCionado em torno de seu Centro, transladado e redimensionado, 
de aCordo Com a neCessidade. 
a Figura a seguir ilustra a delimitação de uma área r1, a ser 
reCortada de uma imagem retangular delimitada por r2. os retân-
gulos r1 e r2 que delimitam, respeCtivamente, essa área e a ima-
gem são semelhantes, e dois vértiCes de r1 estão nos lados de r2. 
30°
R1
15 cm
R210 cm
4 cm
elabore e exeCute um plano de resolução de maneira a determinar: 
a) As dimensões da figura recortada. 
b) O valor do percentual de aumento a ser aplicado 
na imagem recortada de modo a obter uma nova im-
agem no tamanho 10 cm × 15 cm. 
6. (uFg) um topógraFo deseja CalCular a largura de um rio em 
um treCho onde suas margens são paralelas e retilíneas. usando 
Como reFerênCia uma árvore, a, que está na margem oposta, ele 
identiFiCou dois pontos b e C, na margem na qual se enContra, tais 
que os ângulos a 
 ̂ 
 b C e a 
 ̂ 
 C b medem 135° e 30°, respeCtivamente. o 
topógraFo, então, mediu a distânCia entre b e C, obtendo 20 metros. 
Considerando-se o exposto, CalCule a largura do rio.
dado: dXX 3 ≈ 1,7
7. (uFg) um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, 
passa por um Canal e, em Certo momento, o Capitão da embarCação 
avista uma ponte plana sobre o Canal, a qual ele desConheCe as 
dimensões e tem de deCidir se o navio pode passar sob a ponte. 
para isso, ele iniCia uma série de CálCulos e medições. a primei-
ra Constatação que ele Faz é a de que, a uma Certa distânCia, d, 
da projeção da base da ponte, a inClinação do segmento que une 
a parte retilínea inFerior da ponte e o ponto mais avançado do 
navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7°. perCorridos 
102 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a in-
Clinação, obtendo um ângulo de 10°, e veriFiCa que a distânCia 
entre a parte retilínea inFerior da ponte e o ponto mais avançado 
do navio é de 100 m, Como ilustra a Figura a seguir.
ponte
100°10°
d
1024
20 7°
h
diante do exposto, admitindo que a superFíCie do rio é plana, de-
termine a altura da ponte e ConClua se esta é suFiCiente para que 
o navio passe sob ela.
dados: tg(7º) ≅ 0,12 e Cos(10º) ≅ 0,98 
36  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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8.
para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o Chão, 
o viCking usa uma esCada medindo 2,4 m. os degraus da esCada têm 
6 cm de altura e estão igualmente espaçados 18 cm um do outro. 
nem todos os degraus estão representados na Figura. o degrau mais 
baixo tem a mesma distânCia relativa ao Chão e ao segundo degrau. 
o degrau mais alto apoia-se no plano superior do pedestal.
a) A escada é composta por quantos degraus?
b) A escada faz um ângulo θ com o chão e sabe-se que:
sen θ = 4 __ 5 ; cos θ = 3 __ 5 ; tg θ = 4 __ 3 
Calcule a altura h do pedestal.
9. (uFjF-pism) em juiz de Fora, há duas avenidas prinCipais: 
avenida itamar FranCo e avenida barão do rio branCo. 
suponha que essas avenidas se Cruzam perpendiCularmente. 
joão está no enContro das avenidas. sua irmã ana está à distânCia 
r de joão, numa posição iniCial i e não se enContra em nenhuma 
das duas avenidas. já seu irmão luiz parou na avenida itamar 
FranCo, de onde vê joão e ana sob um ângulo reto.
a) Sabendo que João vê Ana e Luiz sob um ângulo  de-
termine a distância entre João e Luiz em função de r e .
b) Num segundo momento, João permanece no en-
contro das duas avenidas, Ana se desloca no sentido 
anti-horário, mantendo a mesma distância de João. 
Luiz se desloca na mesma avenida que se encontrava, 
na direção de João. Além disso, ambos param simul-
taneamente, de modo que Luiz, ao parar, vê João e 
Ana sob um ângulo reto, enquanto o ângulo de visão 
que Ana tinha de João e Luiz diminuiu b. Determine 
a distância entre Ana e Luiz em função de r,  e b.
c) Se, em vez da situação descrita no item (b), apenas 
Ana tivesse se deslocado da posição inicial I no senti-
do anti-horário, descrevendo um arco de 90º manten-
do a mesma distância r de João, qual seria a distância 
entre Ana e Luiz, considerando  = 45º e r = 4 m?
10. (uFjF) dois estudantes i e ii desejam medir a altura, h, de um 
prédio, utilizando-se de ConheCimentos matemátiCos. distanCiados 
um do outro x metros, os estudantes Fazem visadas atingindo a 
ponta da antena de altura h situada no topo do prédio, segundo 
os ângulos  e b representados no esboço abaixo.
obtenha a altura h da torre, em Função de , b, h e x.
E.O. UErj 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (uerj) o raio de uma roda gigante de Centro C mede 
 
——
 CA = 
——
 CB = 10 m. do Centro C ao plano horizontal do Chão, há 
uma distânCia de 11 m. os pontos a e b situados no mesmo plano 
vertiCal, aCb, pertenCem à CirCunFerênCia dessa roda e distam, 
respeCtivamente, 16 m e 3,95 m do plano do Chão. observe o 
esquema e a tabela:
 
u 
(graus) sen u
15º 0,259
30º 0,500
45º 0,707
60º 0,866
a medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB corre-
sponde a: 
a) 45 b) 60 c) 75 d) 105
2. (uerj) um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
Comprimento a, mas Com inClinações diFerentes. as Figuras abaixo 
representamas trajetórias retilíneas ab = Cd = eF, Contidas nas 
retas de maior deClive de Cada rampa.
 
sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida a, C e 
e são, respeCtivamente,h1, h2 e h3, ConClui-se que h1 + h2 é igual a: 
a) h3 √
__
 3 b) h3 √
__
 2 c) 2h3 d) h3
3. (uerj) um atleta Faz seu treinamento de Corrida em uma pista 
CirCular que tem 400 metros de diâmetro. nessa pista, há seis 
Cones de marCação indiCados pelas letras a, b, C, d, e e F, que di-
videm a CirCunFerênCia em seis arCos, Cada um medindo 60 graus.
observe o esquema:
A
C
D
EF
B
o atleta partiu do ponto Correspondente ao Cone a em direção a Cada 
um dos outros Cones, sempre Correndo em linha reta e retornando 
ao Cone a. assim, seu perCurso Correspondeu a abaCadaeaFa.
Considerando √
__
 3 = 1,7, o total de metros perCorridos pelo 
atleta nesse treino Foi igual a: 
a) 1480 b) 2960 c) 3080 d) 3120
MATEMÁTICA e suas tecnologias  37
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4. (uerj)
x A
P
O
Q
B
no esquema aCima estão representadas as trajetórias de dois 
atletas que, partindo do ponto x, passam simultaneamente pelo 
ponto a e rumam para o ponto b por Caminhos diFerentes, Com 
veloCidades iguais e Constantes. um deles segue a trajetória de 
uma semiCirCunFerênCia de Centro o e raio 2r. o outro perCorre 
duas semiCirCunFerênCias Cujos Centros são p e q.
Considerando √
__
 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver perCorrido 
3/4 do seu trajeto de a para b, a distânCia entre eles será igual a: 
a) 0,4 R c) 0,8 R
b) 0,6 R d) 1,0 R
5. (uerj) a terra pode ser representada por uma esFera Cujo raio 
mede 6400 km.
na representação a seguir, está indiCado o trajeto de um navio do 
ponto a ao ponto C, passando por b.
qualquer ponto da superFíCie da terra tem Coordenadas (x ; y), em 
que x representa a longitude e y, a latitude. as Coordenadas dos 
pontos a, b e C estão indiCadas na tabela a seguir.
pontos
Coordenadas
x y
A 135º 0º
B 135° 60º
C 90° 60º
Considerando π igual a 3, a distânCia mínima, em quilômetros, a 
ser perCorrida pelo navio no trajeto abC é igual a: 
a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) na Figura, tem-se 
 AE paralelo a 

 CD, 

 BC paralelo a 

 DE , AE = 2,  = 45°, b = 75°. nessas Condições, a distânCia do 
ponto e ao segmento 
 AB é igual a:
a) dXX 3 . d) 
dXX 2 ____ 2 .
b) dXX 2 . e) 
dXX 2 ____ 4 .
c) 
dXX 3 ____ 2 .
2. (unesp) a Figura representa a vista superior do tam-
po plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular 
abCd Com Caçapas em a, b, C e d. o ponto p, loCaliza-
do em ab representa a posição de uma bola de bilhar, sendo 
 
——
 PB = 1,5 m e 
——
 PA = 1,2 m. após uma taCada na bola, ela se desloCa em 
linha reta Colidindo Com bC no ponto t, sendo a medida do ângulo 
P 
 ̂ 
 T B igual 60º. após essa Colisão, a bola segue, em trajetória 
reta, diretamente até a Caçapa d.
 
nas Condições desCritas e adotando √
__
 3 ≅ 1,73, a largura do 
tampo da mesa, em metros, é próxima de 
a) 2,42. d) 2,00.
b) 2,08. e) 2,56.
c) 2,28.
note e adote: Considere que o ângulo de inCidênCia da bola em 
relação à normal da mesa é o mesmo que o ângulo de reFlexão.
3. (uniCamp) ao deColar, um avião deixa o solo Com um ângulo 
Constante de 15°. a 3,8 km da CabeCeira da pista existe um morro 
íngreme. a Figura abaixo ilustra a deColagem, Fora de esCala.
 
podemos ConCluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, 
a partir da sua base, de 
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
38  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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4. (unesp) em um experimento sobre orientação e navegação de 
pombos, Considerou-se o pombal Como a origem o de um sistema 
de Coordenadas Cartesianas e os eixos orientados sul-norte (sn) 
e oeste-leste (Wl). algumas aves Foram liberadas num ponto p 
que FiCa 52 km ao leste do eixo sn e a 30 km ao sul do eixo Wl.
o ângulo azimutal de p é o ângulo, em graus, medido no sentido 
horário a partir da semirreta on até a semirreta op. no experimento 
desCrito, a distânCia do pombal até o ponto de liberação das aves, em 
km, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, respeCtivamente:
dado: √
_____
 3604 ≈ 60. 
 
a) 42,5 e 30. 
b) 42,5 e 120. 
c) 60 e 30.
d) 60 e 120.
e) 60 e 150.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) um prédio hospitalar está sendo Construído em um 
terreno deClivoso. para otimizar a Construção, o arquiteto re-
sponsável idealizou o estaCionamento no subsolo do prédio, Com 
entrada pela rua dos Fundos do terreno. a reCepção do hospital 
está 5 metros aCima do nível do estaCionamento, sendo neCessária 
a Construção de uma rampa retilínea de aCesso para os paCientes 
Com diFiCuldades de loComoção. a Figura representa esquemati-
Camente esta rampa (r), ligando o ponto a, no piso da reCepção, 
ao ponto b, no piso do estaCionamento, a qual deve ter uma in-
Clinação mínima de 30° e máxima de 45°.
nestas Condições e Considerando dXX 2 ≈ 1,4, quais deverão ser os va-
lores máximo e mínimo, em metros, do Comprimento desta rampa de aCesso?
2. (uniCamp) um engenheiro preCisa interligar de Forma suave dois 
treChos paralelos de uma estrada, Como mostra a Figura abaixo.
para ConeCtar as Faixas Centrais da estrada, Cujos eixos distam d 
metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de 
reta de Comprimento x e dois arCos de CirCunFerênCia de raio r e 
ângulo interno .
a) Se o engenheiro adotar  = 45°, o segmento cen-
tral medirá x = d dXX 2 – 2r( dXX 2 – 1). Nesse caso, supondo 
que d = 72 m, e r = 36 m, determine a distância y en-
tre as extremidades dos trechos a serem interligados.
b) Supondo, agora, que  = 60°, r = 36 m e d = 90 
m, determine o valor de x.
3. (uniCamp) Considere um hexágono, Como o exibido na Figura 
abaixo, Com CinCo lados Com Comprimento de 1 cm e um lado Com 
Comprimento de x cm.
 
a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo  é inferior a 150°.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. C 3. C 4. B 5. D
6. C 7. B 8. A 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. B 3. E 4. B 5. C
6. C 7. C 8. A 9. B 10. D
E.O. Complementar
1. A 2. D 3. B 4. A 5. B
E.O. Dissertativo
1.
a) x = 5 dXX 3 
b) x = 2 dXX 2 
c) x = 5 __ 
2
 
d) x = 4 √
__
 3 _____ 
3
 
2. 10 cm
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3.
a) 120°
b) 10 dXX 3 _____ 3 cm
c) AC = 25 dXX 3 _____ 
6
 + 5
4. 6 + 4 dXX 3 m
5. Considerando que as dimensões de R2 sejam x e y temos:
15
10
x
30º
4 y
a) sen 30º = 4 __ x →   1 __ 2   = 4 __ x → x = 8cm
Como os retângulos são semelhantes, temos: 
 8 ___ 15 = 
y
 ___ 
10
 ⇒   16 ___ 
3
 cm
As dimensões do retângulo são 8 cm e 16 ___ 
3 
 cm. 
b) Teremos:
 15 – 8 ______ 
8
 = 87,5% (aumento linear)
ou 
 
 
15 · 10 - 8 · 16 ___ 
3
 
 ____________ 
8 · 16 ___ 
3
 
 = 252% (aumento da área)
6. AH ≅ 27 m.
7. Tem-se que
cos10º = d – 102 _______ 
100
 ⇒ 0,98 ≅ d – 102    _______ 
100
 ⇒ d ≅ 200 m.
Daí, tg7º = h __ 
d
 ⇒ h ≅ 0,12 · 200 ⇒ h = 24 m. 
Portanto, como 24 > 16, segue-se que a altura da ponte 
é suficiente para que o navio passe sob ela.
8. a) 10 degraus
b) h = 1,92 m
9. a) r cos a
b) r sen ( + b)
c) 2 √2
__ 
m
10. H = 
x tg tgb
 _________ 
tg + tgb   – h.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C 2. D 3. B 4. B 5. C
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. A 3. A 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. O valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m 
e o valor máximo será 10 m.
2. 
a) y = 72 dXX 2 m.
b) x = 36 dXX 3 m.
 3. 
a) Considere a figura.
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras nostriângulos 
ABC, ACD, ADE e AEF, vem
 
——
 AC 2 = 
——
 AB 2 + 
——
 BC 2 = 12 + 12 = 2,
 
——
 AD 2 = 
——
 AC 2 + 
——
 CD 2 = 2 + 12 = 3,
 
——
 AE 2 = 
——
 AD 2 + 
——
 DE 2 = 3 + 12 = 4
e
 
——
 AF 2 = 
——
 AE 2 + 
——
 EF 2 ⇔ x2 = 4 + 12 ⇔
⇔ x = √
__
 5 cm.
b) É imediato que B 
 ̂ 
 A C = 45º. 
Do triângulo ACD, temos
tg C 
 ̂ 
 A D = 
——
 CD ____ 
 
——
 AC 
 ⇔ C 
 ̂ 
 A D = arctg 1 ___ 
 √
__
 2 
 < 45º. 
Do triângulo ADE, vem
tg D 
 ̂ 
 A E = 
——
 DE ___ 
 
—— 
 AD 
 ⇔  D 
 ̂ 
 A E = arctg 1 ___ 
 √
__
 3 
 = 30º.
Do triângulo AEF, segue
tg E 
 ̂ 
 A F = 
——
 EF ___ 
 
——
 AE 
 ⇔ E 
 ̂ 
 A F = arctg 1 ___ 
 √
__
 4 
 < 30º.
Portanto, tem-se
 = B 
 ̂ 
 A C + C 
 ̂ 
 A D + D 
 ̂ 
 A E + E 
 ̂ 
 A F < 45º + 45º + 30º + 30º 
= 150º.
40  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5. Considerando dois números reais a e x de tal Forma que 
x = 2a³ – 1, CalCule x² + 2x +1 em Função de a. o resultado obtido é:
a) 4a6 + 8a3 + 2.
b) 4a6 – 8a3 – 2.
c) 4a6 + 8a3.
d) 4a6.
6. (CFtmg) se m = 
(32 + 52)2 – (32 – 52)2
 ____________________ 
(3252)2 , então o valor 
de m é 
a) 15. c) 2 ___ 15 
b) 14. d) 4 ___ 
225
 
7. (CFtmg) o valor numériCo da expressão √
_________
 682 – 322 está 
Compreendido no intervalo:
a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[
E.O. FixAçãO
1. a área de um quadrado de lado a é dada por s = a². se aumen-
tarmos todos os lados do quadrado de lado a em uma unidade, qual 
a expressão Correta para a nova área?
a) a² + 1 c) a² + 2a + 1 
b) a² + a d) a² – 2a + 1
2. números Como √
__
 2 , √
__
 3 e p pertenCem a um Conjunto numéri-
Co denominado de números irraCionais. a soma de um núme-
ro irraCional Com um número raCional sempre resulta em um 
número irraCional, e o mesmo vale para a subtração. porém, o 
produto entre dois números irraCionais nem sempre resulta em 
um número irraCional. por exemplo, se multipliCarmos o número 
2 + dXX 2 por 2 – dXX 2 , obtemos um número raCional. o resultado 
desta multipliCação é:
a) 1 c) 4
b) 2 d) √
__
 2 
3. (CFTMG) Se ( x – 1 __ x ) 2 = 3, então x² + 1 __ 
x2 , é igual a:
a) 0. c) 5.
b) 1. d) 6.
E.O. AprEndizAgEm
1. (iFCe) o valor da expressão: 
(a + b)² – (a – b)² é:
a) ab.
b) 2ab.
c) 3ab.
d) 4ab.
e) 6ab.
2. na Figura abaixo, temos dois quadrados. o maior tem lado a + b 
e o menor lado b. qual é a área da região desejada? (a área de um 
quadrado de lado l é dado por a = l²)
a) b²
b) a + b
c) a² + 2ab
d) 2ab + b²
3. se (x – y)² – (x + y)² = –12, então xy é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
4. o produto (4x + y)(4x – y) equivale a:
a) 16x² – y².
b) 8x² – y².
c) 4x² – y².
d) 16x² – 8xy + y².
e) 8x² – 4xy + y².
área desejada
PRODUTOS NOTÁVEIS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
MT
AULAS 
3 E 4
MATEMÁTICA e suas tecnologias  41
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4. (espm) a expressão (a + b + C)2 é igual a:
a) a2 + 2ab + b2 + c2.
b) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
c) a2 + b2 + c2 + 2abc.
d) a2 + b2 + c2 + 4abc.
e) a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2.
5. (uFrgs) se a = 
x + y
 ______ 2 , b = 
x – y 
 _____ 2 e c = √
 _____
 x · y , onde 
x e y são números reais, tais que x · y > 0, 
então uma relação entre a2, b2 e c2 é:
a) a2 + b2 – c2 = 0.
b) a2 – b2 – c2 = 0.
c) a2 + b2 + c2 = 0.
d) a2 – b2 + c2 = 0.
e) a2 = b2 = c2.
6. (utFpr) simpliFiCando a expressão 
(x+y)2 -4xy 
 __________ 
x2 - y2 
Com x ≠ y, obtém-se: 
a) 2 – 4xy
b) 
x – y
 _______ x + y 
c) 
2xy
 ______ x + y 
d) – 2xy
e) – 
4xy
 _______ x – y 
7. (uFrgs) se x + y = 13 e x · y = 1, então x2 + y2 é 
a) 166.
b) 167.
c) 168.
d) 169.
e) 170.
8. (upF) quando a e b assumem quaisquer valores positivos, das 
expressões a seguir, a úniCa que não muda de sinal é: 
a) a2 – ab
b) a2 – b2 
c) b – √
__
 b 
d) a2 – 3a
e) a2 – 2ab + b2 
E.O. COmplEmEntAr
1. (iFCe) sejam x, y ∈ ℝ, Com x + y = –16 e xy = 64. o valor 
da expressão x __ y + 
y
 __ x é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
2. (iFCe) para Cada número real positivo m, a expressão 
(m1/2 + m–1/2)2 + ( 1 + 1 ____ √
__ 
 m )(1 – 1 ____ √
__
 m ) é igual a:
a) m1/2.
b) m + 1.
c) m + 2.
d) m + 3.
e) m + 1 __ m .
3. (Fgv) se x² + 1 __ 
x2 = 14, Com x > 0, então ( x + 1 __ x ) 5 é igual a:
a) 2² · 7². d) 210.
b) 7³. e) 710.
c) 2³ · 7².
4. (insper) Considere dois números positivos x e y, Com x > y, 
tais que
nessas Condições, 2x é igual a 
a) 31. b) 32. c) 33. d) 34. e) 35.
5. (espm) em relação ao número n = 248 – 1 pode-se aFirmar que: 
a) ele é primo.
b) ele é par.
c) ele é múltiplo de 7.
d) ele não é múltiplo de 224 + 1.
e) ele não é divisível por 9.
6. (g1 - iFsC) leia e analise as seguintes aFirmações:
I. (a + b)2 = a2 + b2, para quaisquer a e b reais.
II. √
______
 a2 + b2 = a + b, para quaisquer a e b reais.
III. √
_____
 a · b = √
__
 a · √
__
 b , para quaisquer a e b naturais.
IV. a _____ 
b + c 
 = a __ 
b
 + a __ c , para quaisquer a, b e c raCionais diFerentes 
de zero.
V. a __ 
b
 + c __ 
d
 = ad + bc _______ 
bd
 , para quaisquer a, b, c e d raCionais 
diFerentes de zero.
assinale a alternativa Correta. 
a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações II, III e V são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações I, III e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações III e V são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
7. (Col. naval) seja x um número real tal que x + 3 __ x = 9. um pos-
sível valor de x – 3 ___ x é √
__
 a . sendo assim, a soma dos algarismos 
a será: 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
42  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
 8.(g1 - CFtrj) qual, dentre as opções abaixo, equivale a 
√
________
 3 + 2 √
__
 2 ?
a) –3 + √
__
 2 
b) –1,5 + √
__
 2 
c) 1 + √
__
 2 
d) 2 + √
__
 2 
E.O. dissErtAtivO
1. CalCule usando a regra prátiCa:
a) (2x2 + x)2
b) ( x
2
 __ 2 + 
y2
 __ 2 ) 2
c) (3ab – 1)2
d) ( a __ 2 – b __ 8 ) 2
2. CalCule os produtos usando a regra prátiCa:
a) (4x² – 3y)·(4x² + 3y)
b) ( 3 __ 
a3 + 2 __ 
b3 ) ·( 3 __ 
a3 – 2 __ 
b3 ) 
c) ( 2 + 1 __ x ) ·( 2 – 1 __ x ) 
d) (x + √
__
 3 )·(x – √
__
 3 )
3. sabendo que a2 + b2 = 74 e ab = 35, CalCule o valor de 
(a – b)2.
4. sendo (a + b)2 = 900 e ab = 200, CalCule o valor de a2 + b2.
5. dados a = ( x + 1 __ x ) 2 e b = ( x – 1 __ x ) 2, CalCule (a + b)2
6. (uniCamp) sejam a e b números inteiros e seja n(a, b) a soma 
do quadrado da diFerença entre a e b Com o dobro do produto 
de a por b.
a) Calcule N(3, 9).
b) Calcule N(a, 3a) e diga qual é o algarismo final de 
N(a, 3a) para qualquer a ∈ Z. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. C 3. B 4. A 5. D
6. D 7. D
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. C 4. B 5. B
6. B 7. B 8. E
E.O. Complementar
1. E 2. D 3. D 4. D 5. C
6. D 7. E 8. C
E.O. Dissertativo
1.
a) 4x4 + 4x3 + x2
b) x
4
 __ 4 + 
x2y2
 ____ 
2
 + 
y4
 __ 
4
 
c) 9a2b2 – 6ab + 1
d) a
2
 __ 4 – ab ___ 
8
 + b
2
 ___ 
64
 
2.
a) 16x4 – 9y²
b) 9 __ 
a6 – 4 __ 
b6 
c) 4 – 1 __ 
x2 
d) x² – 3
3. 4
4. 500
5. (A + B)2 = 4x4 + 8 + 4 __ 
x4 
6. 
a) 90.
b) Zero.
MATEMÁTICA e suas tecnologias 	 43



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1
7. (iFsul) simpliFiCando a expressão y = x² + 6x + 9 ___________ 
x2 – 9
 , obtém-se:
a) 6x.
b) –6x.
c) x – 3 _____ 
x + 3
 
d) x + 3 _____ 
x – 3
 
8. o valor da expressão x
2 - y2
 ______ 
(x + y) 
 · x
2 + 2xy + y2______ 
(x - y) 
 
para x = 1,25 e y = –0,75 é:
a) –0,25.
b) –0,125.
c) 0.
d) 0,125.
e) 0,25.
9. (iFal) a expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a:
a) 3x2 – 2x + 1.
b) x2 – 6x + 1.
c) (2x + 1)2.
d) (x – 3)2.
e) (x – 2)2 – (x + 1)2.
10. Fatorando x
2 + 2x + 1 ____________ 
x2 , obtemos:
a) (x + 1)2.
b) ( x – 1 ____ x ) 2.
c) (x2 + 1)2.
d) ( x + 1 ____ x ) 2.
e) (x – 1)2.
E.O. FixAçãO
1. (puC-mg) se a e b são números reais inteiros positivos tais 
que a – b = 7 e a2b – ab2 = 210, o valor de ab é:
a) 7. c) 30.
b) 10. d) 37.
2. Fatorando a expressão aC + 2bC – ad – 2bd, obtemos:
a) (a – 2b)(c – d).
b) (a + 2b)(c – d).
c) (a – 2b) (c + d).
d) (a + c)2(a – b).
e) (a – c)(a + 2b).
E.O. AprEndizAgEm
1. Fatorando a expressão a2 – 4, obtemos:
a) (a + 2) (a – 2).
b) (a – 2)2.
c) (a + 2)2.
d) (a + 4).
e) (a + 4) (a – 4).
2. o valor da expressão x2y + xy2, no qual xy = 12 
e x + y = 8, é:
a) 40. d) 88.
b) 96. e) 22.
c) 44.
3. a expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
a) 0. d) –4xy.
b) 2y2. e) –2(x + y)2.
c) –2y2.
4. (CFtmg) simpliFiCando a expressão numériCa
 (123.456)² – (123.455)², enContra-se:
a) 0. c) 12.345.
b) 1. d) 246.911.
5. (utFpr) se y = x __ 
2
 , x ≠ 0, a expressão (x+2y)2 - 4 _________ 
4y-2 - x _ y é 
equivalente a:
a) 2x.
b) 2y.
c) 0.
d) 1 __ 2 x.
e) 1 __ 2 y.
6. a expressão mais simples de a² + 2ab + b² ____________ 
a2 – b2 é:
a) –1.
b) 2ab.
c) 
(a + b)
 ______ 
(a – b)
 .
d) –2ab.
e) ( 1 __ a ) – b.
 FATORAÇÃOMT
AULAS 
5 E 6 COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
44  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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1
3. (epCar) sabendo que y = (2 010)² · 2 000 – 2 000 · (1 990)², 
o valor de 
y
 ___ 
107 é igual a:
a) 8. c) 20.
b) 16. d) 32.
4. Fatorando a expressão x2y – y, obtemos:
a) x (y – 1).
b) y (x – 1).
c) y2 (1 – x).
d) y (x + 1) (x – 1).
e) y (x + 1)2.
5. qual é o Fator Comum a todos os termos do polinômio 
18x2y8 – 36x9y9 + 24x3y5?
a) 6x2y5. d) 3x9y9.
b) 2x2y9. e) 6x9y9.
c) 36x9y9.
6. assinale a expressão que não é um trinômio quadrado perFeito:
a) a2 – 2a + 1.
b) x4 – 4x2y + 4y2.
c) 1 – 2a4 + a8.
d) x2 + 2xy + y2.
e) x2 + 6x + 16.
7. (uFmg) sejam x e y números reais não-nulos tais 
que x __ 
y2 + 
y2
 __ x = –2
então, é Correto aFirmar que:
a) x2 – y = 0. c) x2 + y = 0.
b) (x + y²)²=0. d) x – y2 = 0.
8. (CFtCe) p(x) = x2 - 50x + A, onde A  ℝ. para que o polinô-
mio p(x) torne-se um trinômio quadrado perFeito, o valor de a é:
a) 25. d) 625.
b) 125. e) 1025.
c) 225.
9. (insper) o valor de 2009² - 4 ____________ 
2009²+2009-2
 é igual a:
a) 2007 _____ 2008 
b) 2008 _____ 2009 
c) 2007 _____ 2009 
d) 2009 _____ 2008 
e) 2009 _____ 2007 
10. (CFtmg) ao Fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, 
obtém-se:
a) 3(7x + 5)2.
b) 3y(5x + 7)2.
c) 3(5x – 7)(5x + 7).
d) 3y(7x – 5)(7x + 5).
E.O. COmplEmEntAr
1. (espm) o par ordenado (x,y) ∈ ℕ × ℕ é solução da equação 
x³ + x²y – 8x –8y = 7. o valor de x – y é:
a) 1.
b) 2.
c) –1.
d) 0.
e) –2.
2. (CFtrj) o úniCo par de números naturais m e n que satisFaz a 
igualdade m2 – n2 = 17 é tal que:
a) seu produto é 72.
b) sua soma é 18.
c) seu quociente é 17.
d) sua diferença é 2.
3. (utFpr) a expressão algébriCa ( x _____ x + 1 – x _____ x – 1 ) . ( 1 – x2
 ______ 2 ) 
equivale a:
a) 2x.
b) x.
c) –2x.
d) –x.
e) x2
 _____ 
x2 – 1
 .
4.(espm) Considerando-se que x = 97312, y = 39072 e z = 2 √
___
 xy o 
valor da expressão dXXXXXXXXX x + y – z é:
a) 6792.
b) 5824.
c) 7321.
d) 4938.
e) 7721.
5. (CFtmg) ao simpliFiCar a expressão y = x
3 – 4x2 – 4x + 16 ________________ 
x2 – 6x + 8
 
em que x ≠ 2 e x ≠ 4, obtém-se:
a) x.
b) x – 2.
c) x + 2.
d) x + 4.
E.O. dissErtAtivO
1. simpliFique as seguintes Frações algébriCas:
a) 
a(a – 3)
 _______ 3 – a 
b) 
(x + y + z)m
 ___________ 
mn(x + y + z)
 
c) 
2x + 2y
 _______ 3x + 3y 
d) 
4a2 – y2
 _______ 2a – y 
e) 
(x + y)3
 _______ 
(x + y)2 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  45


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1
2. sabendo que 2x + y = 10 e 2x – y = 2, CalCule o valor de 
4x2 – y2.
3. CalCule o valor da expressão am + bm + an + bn, sabendo 
que a + b = 12 e m + n = 10.
4. eFetue as operações indiCadas no numerador e no denominador 
de Cada uma das Frações algébriCas e simpliFique a Fração resultante.
a) 
a² + (b + a)(b – a) + ab
 ____________________ 
2b + 2a
 
b) 
(a – b)² – b²
 ________________ 
a(a – 4) –4(b² – a)
 
5. Fatore as seguintes expressões:
a) a3 – ab2
b) 12a3 – 3ab2
c) x2y – y3
d) 2x3 + 4x2 + 2x
e) 3x2 – 3x – 36
6. Fatore os seguintes trinômios do 2° grau:
a) x2 + 2x – 3
b) x2 – 9x + 20
c) x2 + 5x – 14
d) x2 – 8x – 33
e) x2 – 14x + 45
7. Fatore as seguintes expressões:
a) x10 + 4x5y3 + 4y6
b) 100x2 – 20xy + y2
c) 121a2b2 + 44ab + 4
8. simpliFique as seguintes Frações algébriCas:
a) a
2 + 6a + 9 __________ 2a + 6 
b) x + 1 ____________ 
x2 + 2x + 1
 
c) x2 – 1 ____________ 
x2 – 2x + 1
 
9. simpliFique a expressão abaixo:
 ( x2 + 4x + 4 _______ 
x2 – x – 6
 ) . ( 9 – 3x _______ 
(–3x –6)
 ) , Com x ≠ 3 e x ≠ –2.
10. qual a Forma Fatorada do trinômio (0,09x² – 0,24x + 0,16)?
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) a expressão 4x + 8 __________ _ 
x2 + 3x + 2
 + 3x – 3 ______ 
x2 – 1
 , para x ≠ ±1, 
x ≠ –2, é equivalente a:
a) 4 _____ _ 
(x + 1)
 3 ______ 
(x – 1)
 
b) 1 ______ 
(x + 1)
 
c) 7 ______ 
(x + 1)
 
d) 4 ______ 
(x + 1)
 + 3 ______ 
(x – 1)
 
e) 1 ______ 
(x – 1)
 
2. (unesp) por hipótese, Considere
a = b
multiplique ambos os membros por a
a2 = ab
subtraia de ambos os membros b2
a2 – b2 = ab – b2
Fatore os termos de ambos os membros
(a + b)(a – b) = b(a – b)
simpliFique os Fatores Comuns
(a + b) = b
use a hipótese que a = b
2b = b
simpliFique a equação e obtenha
2 = 1
a expliCação para isto é: 
a) a álgebra moderna quando aplicada à teoria dos 
conjuntos prevê tal resultado. 
b) a hipótese não pode ser feita, pois como 
2 = 1, a deveria ser (b + 1). 
c) na simplificação dos fatores comuns ocorreu di-
visão por zero, gerando o absurdo. 
d) na fatoração, faltou um termo igual a –2ab no 
membro esquerdo. 
e) na fatoração, faltou um termo igual a +2ab no 
membro esquerdo. 
E.O. dissErtAtivA 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) transForme o polinômio p(x) = x5 + x2 – x – 1 em um 
produto de dois polinômios, sendo um deles do 3º grau.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. D 4. D 5. A
6. C 7. D 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. B 4. D 5. A
6. E 7. B 8. D 9. A 10. B
46  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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1
E.O. Complementar
1. C 2. A 3. B 4. B 5. C
E.O. Dissertativo
1. a) –a
b) 1 __ n 
c) 2 __ 3 
d) 2a + y
e) x + y
2. (2x + y) (2x – y) = 4x2 – y2 = 10 · 2 = 20
3. 120
4. 
a) b __ 
2
 
b) a _____ 
a+2b
 
5.
a) a · (a + b) · (a – b)
b) 3a(2a + b) (2a – b)
c) y(x + y) (x – y)
d) 2x(x + 1)2
e) 3(x + 3) (x – 4)
6. 
a) (x – 1) (x + 3)
b) (x – 4) (x – 5)
c) (x – 2) (x + 7)
d) (x + 3) (x – 11)
e) (x – 5) · (x – 9)
7.
a) (x5 + 2y3)2
b) (10x – y)2
c) (11ab + 2)2
8. 
a) a + 3 ______ 2 
b) 1 _____ x + 1 
c) x + 1 _____ x – 1 
9. x
2 + 4x + 4 __________ 
x2 – x – 6
 9 – 3x _________ 
(–3x – 6)
 = 1, para x ≠ 3 e x ≠ –2
10. (0,3x – 0,4)²
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. Fatorando P(x) obtemos 
P(x) = x5 + x2 – x – 1
P(x) = x2 (x3 + 1) – (x + 1)
P(x) = x2(x + 1)(x2 – x + 1) – (x + 1)
P(x) = (x + 1)(x4 – x3 + x2 – 1)
P(x)= (x + 1)[x3(x – 1) + (x + 1)(x – 1)]
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x3 + x + 1)
P(x) = (x2 – 1)(x3 + x + 1).
MATEMÁTICA e suas tecnologias 	 47

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1
5. (Cesgranrio) se 
p
 __ q é a Fração irredutível equivalente à dízima 
periódiCa 0,323232... , então q – p vale:
a) 64. d) 69.
b) 67. e) 71.
c) 68.
6. (CFtmg) Considerando a expressão
A = 1 ___________ 
2 + 23 _____ 
4 – 5 __ 7 
 
 
o valor de 9a é:
a) 3–3. c) 3–1.
b) 3–2. d) 30.
7. (g1 – iFal) de aCordo Com os Conjuntos numériCos, analise 
as aFirmativas abaixo:
i. todo número natural é inteiro.
ii. a soma de dois números irraCionais é sempre irraCional.
iii. todo número real é Complexo.
iv. todo número raCional é inteiro.
são verdadeiras as aFirmativas 
a) I e II. d) II e III.
b) I e III. e) III e IV.
c) I e IV.
8. (uFrgs) se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + 
y é igual a:
a) 1,01.
b) 1,11.
c) 10 ___ 9 .
d) 100 ____ 99 .
e) 110 ____ 9 .
9. (ueCe) se x e y são números reais que satisFazem, respeCtiv-
amente, as desigualdades 2 ø x ø 15 e 3 ø y ø 18, então, 
todos os números da Forma x __ y possíveis pertenCem ao intervalo:
a) [5, 9]. c) [ 3 __ 2 , 6 ] .
b) [ 2 __ 3 , 
5 __ 6 ] . d) [ 1 __ 9 , 5 ] .
E.O. AprEndizAgEm
1. (uerj) o segmento xy, indiCado na reta numériCa abaixo, está 
dividido em dez segmentos Congruentes pelos pontos a, b, C, d, 
e, F, g, h e i.
admita que x e y representem, respeCtivamente, os números 1 __ 6 e 3 __ 2 .
o ponto d representa o seguinte número:
a) 1 __ 5 . c) 17 ___ 30 .
b) 8 ___ 15 . d) 7 ___ 10 .
2. (utFpr) indique qual dos Conjuntos abaixo é Constituído somente 
de números raCionais.
a) {–1,2, dXX 2 , p}
b) { –5, 0, 1 __ 2 , dXX 9 } 
c) { –2,0, p, 2 __ 3 } 
d) { dXX 3 , dXXX 64 , p, dXX 2 } 
e) { –1,0, dXX 3 , 1 __ 3 } 
3. (CFtsC) sendo a = 3 __ 4 e b = 2 __ 5 , então (a + b) e (a · b) são, 
respeCtivamente, iguais a:
a) 5 __ 3 e 3 ___ 10 
b) 5 __ 9 e 23 ___ 20 
c) 23 ___ 20 e 15 ___ 8 
d) 15 ___ 8 e 3 ___ 10 
e) 23 ___ 20 e 3 ___ 10 
4. o valor da expressão 
 1 __ 2 + 5,5 
 _______ 
 dXX 9 
 é:
a) 2.
b) 1.
c) 2,5.
d) 1,5.
e) 3.
 CONJUNTOS NUMÉRICOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
1, 3, 4 e 5
MT
AULAS 
7 E 8
48  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
10. (uFsj) sejam r1 e r2 números raCionais quaisquer e s1 e s2 
números irraCionais quaisquer, é inCorreto aFirmar que:
a) o produto r1 · r2 será sempre um número racional.
b) o produto s1 · s2 será sempre um número irracional.
c) o produto s1 · r1 será sempre um número irracional.
d) para r2 ≠ 0 a razão 
r1 __ r2
 será sempre um número racional.
E.O. FixAçãO
1. (uFF) segundo o matemátiCo leopold kroneCker (1823-
1891),
“deus Fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.”
os Conjuntos numériCos são, Como aFirma o matemátiCo, uma das 
grandes invenções humanas.
assim, em relação aos elementos desses Conjuntos, é Correto aFirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um 
número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo 
menos um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é 
sempre um número inteiro negativo.
2. (uFrgs) sendo a, b e c números reais, Considere as seguintes 
aFirmações.
i. se a i 0, b i 0 e a , b, então 1 __ a , 1 __ 
b
 .
II. se c i 0, então a + b _____ c = a __ c + b __ c 
III. se b i 0 e c i 0, então (a : b) : c = a : (b : c)
quais estão Corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
e) I, II e lII.
3. (CFtrj) qual é o valor da expressão numériCa
 1 __ 5 + 1 ___ 50 + 1 ____ 500 + 1 _____ 5000 ?
a) 0,2222 c) 0,2332
b) 0,2323 d) 0,3222
4. (CFtmg) se 
p
 __ q é a Fração irredutível equivalente 
a 
(5,666...)
 _________ 
(2,333...) 
 , o valor de p + q é igual a:
a) 24.
b) 25.
c) 27.
d) 28.
5. (utFpr) de aCordo Com a representação geométriCa de 
números reais, a seguir:
I. b __ c < 1
II. a + b > 0
III. bc < c
IV. ac > b
somente estão Corretas as aFirmações:
a) I e III. d) III e IV.
b) II e III. e) I, II e III.
c) I, II e IV.
6. (unirio) a Fração geratriz de 3,741515... é:
a) 37415 ______ 10000 .
b) 3741515 ________ 10000 .
c) 37041 ______ 9900 .
d) 37041 ______ 9000 .
e) 370415 _______ 99000 .
7. (ueg) dividir um número por 0,0025 equivale a multipliCá-lo por:
a) 250. c) 400.
b) 500. d) 350.
8. (CFtpr) nas proposições abaixo:
I. 3/5  (Q – Z).
II. (6 – 9)  Z.
III. 5  (R – Z).
IV. dXXX 9  (R – Q)
V. 3 dXXX –5  R
são verdadeiras apenas:
a) I, II e III. d) II, III e IV.
b) I, II e IV. e) II, III e V.
c) I, II e V.
9. (puCrs) em nossos trabalhos Com matemátiCa, mantemos um Conta-
to permanente Com o Conjunto  dos números reais, que possui, Como 
subConjuntos, o Conjunto  dos números naturais, o Conjunto  dos 
números inteiros, o  dos números raCionais e o dos números irraCio-
nais i. o Conjunto dos números reais também pode ser identiFiCado por 
a)  ∪ 
b)  ∪ 
c)  ∪ 
d)  ∪ I
e)  ∪ I
10. (insper) em determinado jogo, um partiCipante marCa 50 pon-
tos quando Faz uma Canastra real e 10 pontos quando Faz uma 
Canastra suja, sendo essas as duas úniCas Formas de pontuar. 
se raFael marCou 120 pontos nesse jogo, então a razão entre 
os números de Canastras reais e sujas, nessa ordem, que ele Fez:
MATEMÁTICA e suas tecnologias  49



 V
O
LU
M
E 
1
a) certamente é igual a 1.
b) apenas pode ser igual a 0 ou a 1.
c) apenas pode ser igual a 0 ou a 2.
d) pode ser igual a 0, a 1 __ 7 ou a 1.
e) pode ser igual a 1 __ 7 , a 2 __ 7 ou a 2.
E.O. COmplEmEntAr
1. (epCar) Considere os seguintes Conjuntos numériCos N, Z, Q, 
R, I = R – Q e Considere também os seguintes Conjuntos:
A = (N < I) – (R > Z)
B = Q – (Z – N)
D = (N < I) < (Q – N)
das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertenCem 
aos Conjuntos a, b e d, nesta ordem, é:
a) –3; 0,5 e 5 __ 2 . c) – dXXX 10 ; –5 e 2.
b) dXXX 20 ; dXXX 10 e dXX 5 . d) 
dXX 3 ___ 2 ; 3 e 2,  31 .
2. (epCar (aFa)) números reais
a = 
 √
_____
 (–1)2 · 0,1222...
 _________________ 
(1,2)–1 
b = Comprimento de uma CirCunFerênCia de raio 1 
c = √
___
 12 · √
___
 90 · √
____
 160 · √
____
 147 
sendo , ,  e  os Conjuntos numériCos, assinale a alterna-
tiva Falsa. 
a) {a, c} ⊂ 	 	 c) ( – ) ⊃ {b, c}
b) c ∈ ( ∩ ) d) {a, c} ⊂ (	∩	)
3. (CFtmg) um grupo de alunos Cria um jogo de Cartas em que 
Cada uma apresenta uma operação Com números raCionais. o gan-
hador é aquele que obtiver um número inteiro Como resultado da 
soma de suas Cartas. quatro jovens ao jogar reCeberam as se-
guintes Cartas:
1ª Carta 2ª Carta
maria 1,333... + 4 __ 5 1,2 + 7 __ 3 
selton 0,222... + 1 __ 5 0,3 + 1 __ 6 
tadeu 1,111... + 3 ___ 10 1,7 + 8 __ 9 
valentina 0,666... + 7 __ 2 0,1+ 1 __ 2 
o venCedor do jogo Foi:
a) Maria. c) Tadeu.
b) Selton. d) Valentina.
4. (Fgv) a raiz quadrada da diFerença entre a dízima periódiCa 
0,444... e o deCimal de representação Finita 
10 vezes
0,444...4
 é igual a 
1 dividido por 
a) 90.000. d) 160.000.
b) 120.000. e) 220.000.
c) 150.000.
5. (ita) sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 – r2 e r1 + r2 + 
r3 são raCionais. das aFirmações:
i. se r1 é raCional ou r2 é raCional, então r3 é raCional.
ii. se r3 é raCional, então r1 + r2 é raCional.
iii. se r3 é raCional, então r1 e r2 são raCionais.
é (são) sempre verdadeira(s):
a) apenas I. d) apenas I e II.
b) apenas II. e) I, II e III.
c) apenas III.
E.O. dissErtAtivO
1. resolva as seguintes operaçõesentre números raCionais:
a) ( 7 ___ 12 + 2 __ 6 ) · 1 __ 2 
b) 
 3 __ 5 + 1 __ 6 
 _____ 
 2 __ 3 
 
c) [ 3 ( 1 __ 2 + 1 __ 3 ) – 4 __ 5 + ] 1 ___ 30 
d) 
 1 __ 2 
 __ 
 3 __ 5 
 – 5 __ 6 
e) 
1,25
 ____ 0,5 + 0,125
f) 
0,001
 _____ 0,25 
2. (CFtCe) a expressão 5 + 1 _________ 
2 + 1 _____ 
1 + 1 __ 3 
 
 
representa uma Fração a __ 
b
 . CalCule a + b.
3. Coloque na Forma deCimal as Frações seguintes:
a) 7 ___ 10 c) 41 ___ 25 
b) –5 ___ 3 d) 7 __ 6 
4. (unb) o matemátiCo grego eratóstenes inventou, no séCulo 
iii a.C., um método para determinar os números primos inFeri-
ores a dado número. a este método dá-se o nome de Crivo de 
eratóstenes. por exemplo, para se determinar os números primos 
até 100, Começa-se Construindo o quadro seguinte.
50  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
no quadro aCima, proCede-se, então, da seguinte maneira:
1.º passo – risCa-se o 1, que não é primo;
2.º passo – risCa-se todo múltiplo de 2, Com exCeção do próprio 
2, que é primo;
3.º passo – risCa-se todo múltiplo de 3, Com exCeção do próprio 
3, que é primo;
4.º passo – risCa-se todo múltiplo de 5, Com exCeção do próprio 
5, que é primo.
o proCedimento é Continuado até que sejam risCados (Crivados) todos 
os números Compostos, isto é, múltiplos de algum primo. os que sobram 
são os números primos. determine qual é o vigésimo primeiro número 
primo, quando os números são listados em ordem CresCente de valor.
5. se x = 0,2, y = –3,2 e z = 0,01, determine o valor de:
a) x · y
b) z2
6. (uFpe) seja A __ B , Com a e b inteiros primos entre si e a Fração 
geratriz da dízima periódiCa 4,373737.... indique a soma dos 
algarismos de a.
7. Complete as sentenças a seguir Com os símbolos apropriados 
(pertinênCia, não pertinênCia, ContinênCia, não ContinênCia, Conti-
do e não Contido), para torná-las todas verdadeiras.
a) 12 __ Z+ d) Z+ __ N
b) –11 __ Z– e) Z+ __ Z
c) Z–* __ Z
8. esCreva em ordem CresCente, utilizando o símbolo > ou <, os 
números raCionais:
 –2 ___ 3 , 4 __ 5 , –7 ___ 8 , –3 ___ 2 , 5 __ 9 , –1 ___ 4 , 7 __ 8 e 7 __ 9 
9. (uFC) se 1/[1/3 + 1/4] = p/q, onde p e q são números inteiros 
positivos relativamente primos, determine p + q.
10. (CFtCe) CalCule o valor da expressão [400 · (0,00036)]/ 
[(0,000016) · 20]
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (unesp) seja r o número real representado pela dízima 0,999...
pode-se aFirmar que:
a) R é igual a 1.
b) R é menor que 1.
c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem nunca chegar.
d) R é o último número real menor que 1.
e) R é um pouco maior que 1.
2. (Fuvest) o número real x, que satisFaz 3 < x < 4, tem uma 
expansão deCimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita 
da vírgula são iguais a 3. os 1.000.001 dígitos seguintes são 
iguais a 2 e os restantes são iguais a zero.
Considere as seguintes aFirmações:
i. x é irraCional.
ii. x ù 10 ___ 3 
iii. x · 102.000.000 é um inteiro par.
então:
a) nenhuma das três afirmações é verdadeira.
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c) apenas a afirmação I é verdadeira.
d) apenas a afirmação II é verdadeira.
e) apenas a afirmação III é verdadeira.
3. (Fuvest) as propriedades aritmétiCas e as relativas à noção de 
ordem desempenham um importante papel no estudo dos números 
reais. nesse Contexto, qual das aFirmações abaixo é Correta?
a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e 
b, é verdadeiro que dXXXXX a + b = dXX a + dXX b .
b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais 
que a2 – b2 = 0, é verdadeiro que a = b.
c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro 
que dXX a2 = a.
d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não 
nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1 __ 
b
 < 1 __ a .
e) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, 
é verdadeiro que a2 < dXX a .
4. (unesp) a soma de quatro números é 100. três deles são pri-
mos e um dos quatro é a soma dos outros três. o número de 
soluções existentes para este problema é:
a) 3. b) 4. c) 2. d) 5. e) 6.
5. (Fuvest) se x e y são dois números inteiros, estritamente posi-
tivos e ConseCutivos, qual dos números abaixo é neCessariamente 
um inteiro ímpar?
a) 2x + 3y d) 2xy + 2
b) 3x + 2y e) x + y + 1
c) xy + 1
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. B 3. E 4. A 5. B
6. D 7. B 8. D 9. D 10. B
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. A 4. A 5. A
6. C 7. C 8. C 9. E 10. D
E.O. Complementar
1. D 2. C 3. C 4. C 5. E
MATEMÁTICA e suas tecnologias  51



 V
O
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M
E 
1
E.O. Dissertativo
1.
a) 11 ___ 24 
b) 23 ___ 20 
c) 52 ___ 30 
d) 0
e) 21 ___ 8 
f) 1 _____ 250 
2. 70
3. 
a) 0,7
b) –1,666...
c) 1,64
d) 1,1666...
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. 
Portanto, o vigésimo primeiro primo é 73.
5. 
a) –0,64
b) 0,0001
6. 10
7. 
a) 
b) 
c) ,
d) ,
e) ,
8. – 3 __ 
2
 < – 7 __ 
8
 < – 2 __ 
3
 < – 1 __ 
4
 < 5 __ 
9
 < 7 __ 
9
 < 4 __ 5 < 7 __ 
8
 
9. p + q = 19
10. 450
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. E 3. E 4. D 5. C
________________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
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_______________________________________________________
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_______________________________________________________
______________________________________________________
ANOTAÇÕES
52  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
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M
E 
1
GEOMETRIA
 PLANA
CADERNO 
DE E.O.
MATEMÁTICA
54  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
x + 20º
t
r
s
4x + 30º
a) 20°. d) 30°.
b) 26°. e) 35°.
c) 28°.
6. (utFpr) na Figura a seguir temos r//s e t// u//v.
x
t u v
r
64º30’
52º30’
X
Z
Y
s
Com base nos estudos dos ângulos Formados por retas paralelas Cor-
tadas por uma transversal, pode-se aFirmar que:
i. o ângulo x mede 127° 30’.
ii. o ângulo y mede 117°.
iii. o ângulo z mede 64° 30’.
analise as proposições aCima e assinale a alternativa Correta.
a) Somente as afirmaçõesI e II estão corretas.
b) Somente as afirmações I e III estão corretas.
c) Somente a afirmação I está correta.
d) As afirmações I, II e III estão corretas.
e) As afirmações I, II e III estão incorretas.
7. (Cesgranrio) as retas r e s da Figura são paralelas Corta-
das pela transversal t. se o ângulo b é o triplo de a, então 
b – a vale:
t
A r
s
B
a) 90°. c) 80°. e) 60°.
b) 85°. d) 75°.
E.O. AprEndizAgEm
1. (utFpr) a medida de y na Figura, em graus, é:
a) 42°. d) 148°.
b) 32°. e) 24°.
c) 142°.
2. (utFpr) a medida do ângulo y na Figura é:
a) 62º d) 118º 
b) 72º e) 154º
c) 108º 
 3. (etF-rj) sejam a, b e C respeCtivamente as medidas do Com-
plemento, suplemento e replemento do ângulo de 40°, têm-se:
a) A = 30°; B = 60°; C = 90°.
b) A = 30°; B = 45°; C = 60°.
c) A = 320°; B= 50°; C = 140°.
d) A = 50°; B = 140°; C = 320°.
e) A = 140°; B = 50°; C = 320°.
4. (etF-rj) duas retas paralelas Cortadas por uma transver-
sal Formam ângulos alternos externos expressos em graus por 
13x – 8° e 6x + 13°.
a medida desses ângulos vale:
a) 31°.
b) 3° ou 177°.
c) 30° e 150°.
d) 62°.
e) 93°
5. (unaerp) as retas r e s são interCeptadas pela transversal t, 
ConForme a Figura. o valor de x para que r e s sejam paralelas é:
 INTRODUÇÃO À 
GEOMETRIA PLANA
MT
AULAS 
1 E 2 COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MATEMÁTICA e suas tecnologias  55



 V
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M
E 
1
8. (CFtsC) na Figura abaixo, 
 _____
 
›
 OP é bissetriz do ângulo A 
 ̂ 
 O B. 
determine o valor de x e y.
a) x = 13o e y = 49o
b) x = 15o e y = 35o
c) x = 12o e y = 48o
d) x = 17o e y = 42o
e) x = 10o e y = 50o
9. (CFtpr) numa ginCana, a equipe “já ganhou” reCebeu o se-
guinte desaFio:
na Cidade de Curitiba, FotograFar a Construção loCalizada na 
rua mareChal hermes no número igual à nove vezes o valor 
do ângulo
â da Figura a seguir:
r
r//s
65º
Â
75°
29°
s
se a equipe resolver Corretamente o problema, irá FotograFar a 
Construção loCalizada no número:
a) 990. d) 1026.
b) 261. e) 1260.
c) 999.
10. (CFtCe) sabendo-se que a soma de dois ângulos é 78° 
e um deles vale 3/5 do Complemento do outro, os valores dos 
ângulos são:
a) 10° e 68°. d) 18° e 60°.
b) 15° e 63°. e) 20° e 58°.
c) 16° e 62°.
E.O. FixAçãO
1. (unimontes) as proposições abaixo são verdadeiras, exCeto:
a) Se, ao interceptar duas retas com uma transversal, 
os ângulos correspondentes são congruentes, então 
as retas são paralelas.
b) Se duas retas são interceptadas por uma transver-
sal, então, dos oito ângulos formados, quatro deles 
são correspondentes aos outros quatro.
c) Se, ao interceptar duas retas com uma transversal, 
obtêm-se ângulos alternos internos congruentes, en-
tão as retas são paralelas.
d) Se duas retas são interceptadas por uma transversal, 
então os ângulos correspondentes são congruentes.
2. (uFmg) observe esta Figura:
105º
F
A
B
D
28°
57°
C
E
nessa Figura, os pontos F, a e b estão em uma reta e as 
retas 
‹
 
___
 
›
 CB e 
‹
 
___
 
›
 ED são paralelas.
assim sendo, o ângulo a 
 ̂ 
 b C mede:
a) 39°. c) 47°.
b) 44°. d) 48°.
3. (uFmg) observe essa Figura:
P
r
B
Q S
A
O
�
 c
nessa Figura, os segmentos 
 AB e 

 BC são perpendiCulares, res-
peCtivamente, às retas r e s. além disso, AP = PB, BQ = QC e a 
medida do ângulo P 
 ̂ 
 O Q é θ. Considerando-se essas inFormações, 
é Correto aFirmar que a medida do ângulo interno A 
 ̂ 
 O C do 
quadrilátero aoCb é:
a) 2 u. c) 3 u.
b) 5 __ 2 u. d) 3 __ 2 u.
4. (uFes) na Figura, o ângulo a mede, em graus:
2x
a
120°
r s
r//s
3x
a) 142. c) 146.
b) 144. d) 148.
56  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
5. (Fgv-sp) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo pla-
no, Com r//u. o valor, em graus, de 2x + 3y é:
t
r
120º
20º
y
x
s
u
a) 64. c) 520.
b) 500. d) 660.
6. (uFgo) na Figura abaixo, as retas r e s são paralelas. A 
medida do ângulo b é:
120°
b
r
s
2x
4x
a) 20°. c) 100°.
b) 80°. d) 120°.
7. na Figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Considerando 
que a reta t é bissetriz do ângulo p 
 ̂ 
 a q, a medida do ângulo x é:
s
x
P A
130º
50º
Q
t
r
a) 50°. c) 90°.
b) 80°. d) 100°.
8. uma pilha de Folhas de papel retangulares se enContra Como 
mostra a Figura:
x
100º
Considerando os ângulos indiCados na Figura, o valor de x é:
a) 70°. d) 100°.
b) 80°. e) 120°.
c) 90°.
9. na Figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendiCular 
à reta t. a medida, em graus, do ângulo é:
s t
72º
�
r
r’
a) 36°. c) 24°.
b) 32°. d) 18°.
10. na Figura a seguir, temos r//s. nessas Condições, Com relação 
ao número que expressa a medida y, em graus, pode-se aFirmar que 
ele é um:
r3x-11º
2x+6º s
y
a) número ímpar.
b) número divisível por 3.
c) múltiplo de 8.
d) número primo.
e) múltiplo comum de 4 e 35.
E.O. COmplEmEntAr
1. (unirio) as retas r1 e r2 são paralelas. o valor do ângulo , 
apresentado na Figura a seguir, é:
�
130º
r1
r2
a) 40°. d) 65°.
b) 45°. e) 130°.
c) 50°.
2. (Cesgranrio) duas retas paralelas são Cortadas por uma trans-
versal de modo que a soma de dois dos ângulos agudos Formados 
vale 72°. então, qualquer dos ângulos obtusos Formados mede:
a) 142°. d) 150°.
b) 144°. e) 152°.
c) 148°.
3. o ângulo Cujo suplemento exCede em 6° o quádruplo do seu 
Complemento, é:
a) 58°. d) 64°.
b) 60°. e) 68°.
c) 62°.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  57



 V
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E 
1
4. uma Folha retangular de papel de medidas 287 × 210 mm 
Foi dobrada ConForme a Figura.
os ângulos 
 ̂ 
 x e 
 ̂ 
 y resultantes da dobradura medem, respeCtiva-
mente, em graus:
a) 40 e 90. c) 45 e 45.
b) 40 e 140. d) 45 e 135.
5. (maCkenzie) na Figura abaixo, a e b são retas paralelas.
a aFirmação Correta a respeito do número que expressa, em graus, 
a medida do ângulo é:
a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar.
c) um múltiplo de 4.
d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
E.O. dissErtAtivO
1. determine x, y, z nas Figuras a seguir:
a) 
 
A
P
B
O OP bissetriz3x - 5º
2x + 10º
b) 
 
2x + 10º
x + 20º
y
z
r
P
c) 
 
D
12°
C
B
O A
40° - x
2x
2. dois ângulos são suplementares. os 2/3 do maior exCedem os 
3/4 do menor em 69°. determine esses ângulos.
3. sendo r//s, CalCule o ângulo 
 ̂ 
 m .
r s
t
x
2
m
x + 20º + 70º
4. na Figura a seguir, determine ̂ 
 x sabendo que r//s E s//m.
s
a
b
x
r
40º m
30º
5. na Figura a seguir, r//s e s//t. nestas Condições, determine as 
medidas indiCadas. 
r
s
t
a
60º
130º
e
b c d
6. dois ângulos são Complementares e suas medidas são x e y. 
sabe-se, também, que o dobro da medida do menor ângulo é igual 
à medida do maior aumentada em 30°. CalCule x e y.
7. determine o valor de
4°39’45” + 18°32’43” + 8° – 7°49”
8. na Figura seguinte, identiFique os pares de ângulos:
2̂ 1̂
4̂3̂
6̂ 5̂
1̂ 2
t
^7 8
a) correspondentes
b) alternos internos
c) alternos externos
d) colaterais internos
e) colaterais externos
f) o.p.v.
g) adjacentes
58  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
9. CalCule os ângulos 
 ̂ 
 B e 
 ̂ 
 D ; onde ab//de e bC//dF.
A B
C
3x
D E
F
2x + 5º
10. CalCule:
a) O complemento de 20°57’48’’.
b) O suplemento de 75°30’20’’.
c) 25°8’ × 5.
d) 53°2’15’’ : 5.
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) na Figura adiante, as retas r e s são paralelas, o 
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. a medida, em graus, 
do ângulo 3 é:
r
3
1
2 s
a) 50. d) 80.
b) 55. e) 100.
c) 60.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. D 3. D 4. A 5. B
6. A 7. A 8. E 9. C 10. D
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. A 4. B 5. B
6. C 7. A 8. B 9. D 10. E
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. C 4. D 5. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) x = 15°
b) x = 50° ; y =110° ; z = 70°
c) x = 38°
2. 36° e 144°
3. m = 60°
4. x = 70°
5. a = 60°
b = 120°
c = 50°
d = 130°
e = 50°
6. x = 50°
y = 40°7. 24° 11’ 39’’
8. 
a) 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8
b) 3 e 5, 4 e 6
c) 1 e 7, 2 e 8
d) 3 e 6, 4 e 5
e) 1 e 8, 2 e 7
f) 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8
g) 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 1, 5 e 6, 6 e 7, 7 e 8, 8 e 5
9. O ângulo B vale 105° e o ângulo D vale 75°.
10. 
a) 69° 02’ 12’’
b) 104° 29’ 40’’
c) 125° 40’
d) 10° 36’ 27’’
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E
MATEMÁTICA e suas tecnologias 	 59



 V
O
LU
M
E 
1
5. na Figura, os triângulos abC e bCd estão insCritos na CirCun-
FerênCia. a soma das medidas m + n, em graus, é:
A
D
65º
45º
n
m
CB
a) 70. c) 110.
b) 90. d) 130.
6. (uFes) na Figura, a, b, C e d são pontos de uma CirCunFerên-
Cia, a Corda Cd é bissetriz do ângulo a 
 ̂ 
 C b e as Cordas ab e aC 
têm o mesmo Comprimento. se o ângulo bâd mede 40°, a medida 
a do ângulo bâC é:
�40°
D
B C
A
a) 10°. d) 25°.
b) 15°. e) 30°.
c) 20°.
7. (FateC) na Figura a seguir, o triângulo apb está insCrito na 
CirCunFerênCia de Centro C.
A
23° 45’
66° 15’
B
x
C
P
se os ângulos assinalados têm as medidas indiCadas, então x é 
igual a:
a) 23°45’. d) 62°30’.
b) 30°. e) 66°15’.
c) 60°.
E.O. AprEndizAgEm
1. as retas t e s são paralelas. a medida do ângulo x, em graus, é:
x
t
s
140º
120º
a) 30. d) 60.
b) 40. e) 70.
c) 50.
2. júlia Começou a estudar geometria na sua esCola. Com dúvida 
em um exerCíCio passado pelo proFessor de matemátiCa, ela pediu 
ajuda ao seu tio. o enunCiado era: “as retas r e s são paralelas; 
as retas u E t, duas transversais. enContre o valor do ângulo x 
na Figura abaixo”. portanto, o valor de x é:
a) 120º. d) 135º.
b) 125º. e) 140º.
c) 130º.
3. um triângulo isósCeles tem dois lados Congruentes (de medidas 
iguais) e um outro lado Chamado de base. se, em um triângulo 
isósCeles, o ângulo externo relativo ao vértiCe oposto da base 
mede 130°, então os ângulos internos desse triângulo medem:
a) 10°, 40° e 130°.
b) 25°, 25° e 130°.
c) 50°, 60° e 70°.
d) 60°, 60° e 60°.
e) 50°, 65° e 65°.
4. (ueCe) no triângulo oyz, os lados oy e oz têm medidas 
iguais. se W é um ponto do lado oz tal que os segmentos 
yW, Wo e yz têm a mesma medida, então, a medida do ângulo 
yôz é:
a) 46°. c) 36°.
b) 42°. d) 30°.
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E 
ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
3 E 4
60  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
8. (puC) o ângulo x, na Figura a seguir, mede:
x
35°
45°
a) 60°. b) 80°. c) 90°. d) 100°. e) 120°.
9. a medida do ângulo a 
 ̂ 
 d C insCrito na CirCunFerênCia de Centro 
o é:
O
B35°
D
C
A
a) 125°. b) 110°. c) 120°. d) 100°. e) 135°.
10. (insper) ao projetar um teatro, um arquiteto reCebeu o se-
guinte pedido da equipe que seria responsável pela Filmagem dos 
eventos que lá aConteCeriam:
“é neCessário que seja Construído um trilho no teto ao qual aCo-
plaremos uma Câmera de Controle remoto. para que a Câmera não 
preCise FiCar mudando a Calibragem do FoCo a Cada movimentação, 
o ângulo de abertura Com que a Câmera Captura as imagens do 
palCo deve ser sempre o mesmo, ConForme ilustração abaixo.
por exemplo, dos pontos p1 e p2, a Câmera deve ter o mesmo 
ângulo de abertura a para o palCo.”
das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa 
neCessidade é:
a) b) 
c) d) 
e) 
E.O. FixAçãO
1. (enem) durante seu treinamento, um atleta perCorre metade 
de uma pista CirCular de raio r, ConForme Figura a seguir. a sua 
largada Foi dada na posição representada pela letra l, a Chegada 
está representada pela letra C e a letra a representa o atleta. 
o segmento lC é um diâmetro da CirCunFerênCia e o Centro da 
CirCunFerênCia está representado pela letra F. sabemos que, em 
qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos la e 
aC são perpendiCulares. seja u o ângulo que o segmento aF Faz 
Com segmento FC.
quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento aC medir r 
durante a Corrida?
a) 15 graus d) 90 graus
b) 30 graus e) 120 graus
c) 60 graus
2. (maCkenzie) na Figura, se a CirCunFerênCia tem Centro 
o e bC = oa, então a razão entre as medidas dos ângulos a 
 ̂ 
 o d e 
C 
 ̂ 
 o b é:
a) 5 __ 2 
b) 3 __ 2 
c) 2
d) 4 __ 3 
e) 3
MATEMÁTICA e suas tecnologias  61



 V
O
LU
M
E 
1
3. na Figura, a reta t é tangente, no ponto p, ao CírCulo de Centro 
o. a medida do arCo 
 
»
 
 ab é 100º e a do arCo 
 
»
 
 bCp é 194º. o valor 
de x, em graus, é:
a) 53. d) 64.
b) 57. e) 66.
c) 61.
4. (uFes) na Figura, os segmentos de reta 
‹
 
___
 
›
 ap e 
‹
 
___
 
›
 dp são 
tangentes à CirCunFerênCia, o arCo 
 
»
 
 abC mede 110 graus e o ân-
gulo C 
 ̂ 
 a d mede 45 graus. a medida, em graus, do ângulo a 
 ̂ 
 p d é:
A
D
P
C
B
a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35.
5. (uFmg) observe a Figura.
C
B
D E
A
nessa Figura, bd é um diâmetro da CirCunFerênCia CirCunsCrita 
ao triângulo abC, e os ângulos a 
 ̂ 
 b d e a 
 ̂ 
 e d medem, respeCtiva-
mente, 20° e 85°.
assim sendo, o ângulo C 
 ̂ 
 b d mede:
a) 25°. b) 35°. c) 30°. d) 40°.
6. (Cesgranrio) em um CírCulo de raio 5 está insCrito um 
quadrilátero abCd. sobre a soma dos ângulos opostos b 
 ̂ 
 a d e 
b 
 ̂ 
 C d, podemos aFirmar que vale:
a) 5 × 180°. d) 180°.
b) 3 × 180°. e) 90°.
c) 2 × 180°.
7. (iFCe) na Figura a seguir, r, s e t são pontos sobre a CirCunFerênCia 
de Centro o. se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 42° 
são as medidas dos ângulos r 
 ̂ 
 t s e r 
 ̂ 
 o s, respeCtivamente, pode-se 
dizer que:
a) a = 30° e b = 60°. d) a = 40° e b = 80°.
b) a = 80° e b = 40°. e) a = 30° e b = 80°.
c) a = 60° e b = 30°.
8. (Fgv) na Figura, 

 ab e 

 ae são tangentes à CirCunFerênCia nos 
pontos b e e, respeCtivamente, e b 
 ̂ 
 a e = 60°.
se os arCos 
 
»
 
 bpC , 
 
»
 
 Cqd e 
 
»
 
 dre têm medidas iguais, a medida do 
ângulo bêC, indiCada na Figura por , é igual a:
a) 20°. b) 40°. c) 45°. d) 60°. e) 80°.
9. (CFtmg) na Figura, os segmentos 
 pb e 
 pd são seCantes à 
CirCunFerênCia, as Cordas ad e bC são perpendiCulares e ap = ad. 
a medida x do ângulo b 
 ̂ 
 p d é:
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60°
10. (uFF) o triângulo mnp é tal que o ângulo 
 ̂ 
 m = 80° e o 
ângulo 
 ̂ 
 p = 60°.
a medida do ângulo Formado pela bissetriz do ângulo interno n 
Com a bissetriz do ângulo externo p é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
E.O. COmplEmEntAr
1. (maCkenzie) na Figura a seguir, os arCos 
 
»
 
 qmp e 
 
»
 
 mtq medem, 
respeCtivamente, 170° e 130°. então, o arCo 
 
»
 
 msn mede:
N
S M
P
Q
T
a) 60°. b) 70°. c) 80°. d) 100°. e) 110°.
62  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
2. na Figura, ab = aC e Ce = CF. a medida de β é:
A
E
40º
C
�
B
a) 90°. b) 120°. c) 110°. d) 130°. e) 140°.
3. na Figura abaixo, o ângulo x, em graus, pertenCe ao intervalo:
3x
4x 6x
2x
5x
a) [0°, 15°]. c) [20°, 25°].
b) [15°, 20°]. d) [25°, 30°].
4. sejam α, β, γ, λ e θ as medidas em graus dos ângulos b 
 ̂ 
 a C, a 
 
^ 
 b C, C 
 ̂ 
 d F, C 
 ̂ 
 e F e d 
 ̂ 
 F e da Figura,respeCtivamente.
F
C
D
A
E
B
a soma α + β + γ + λ + θ é igual a:
a) 120°. b) 150°. c) 180°. d) 210°. e) 240°.
5. os ângulos a e b na Figura a seguir medem:
� �
60° 80° 80°
CBA
a) a = 20°, b = 30°.
b) a = 30°, b = 20°.
c) a = 60°, b = 20°.
d) a = 20°, b = 20°.
e) a = 10°, b = 20°.
E.O. dissErtAtivO
1. um quadrilátero abCd está insCrito numa CirCunFerênCia. 
sabendo que os arCos ab, bC e Cd valem, respeCtivamente, 80°, 
110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero.
2. CalCule o valor de x na Figura a seguir:
0
75°
x
3. um ângulo insCrito é Formado por uma Corda e um diâmetro. o 
arCo subentendido pela Corda é o dobro do arCo Compreendido entre 
os lados. determineo ângulo insCrito.
4. CalCule o valor de x na Figura a seguir
A X B C 80º D
5. seja o pentágono pqrst da Figura insCrito na CirCunFerênCia 
de Centro 0. sabe-se que poq mede 70°. Chamando de x E y os 
ângulos pts e qrs, respeCtivamente, determine x + y.
70º
y
R S
P
Q x T
0
6. na Figura a seguir, o triângulo abC é isóCeles e 
 _____
 
›
 bd é a bissetriz 
do ângulo de vértiCe b. CalCule a medida dos ângulos internos 
do triângulo abC.
D
C
35º
x
A
B
7. na Figura abaixo, ab = aC, Cb = Cd e 
 ̂ 
 a = 36°.
A
36º
D B
C
MATEMÁTICA e suas tecnologias  63



 V
O
LU
M
E 
1
a) Calcule os ângulos D 
 ̂ 
 C B e A 
 ̂ 
 D C.
b) Prove que AD = BC
8. Considere o triângulo abC da Figura.
A 50º
CB
se a bissetriz interna do ângulo 
 ̂ 
 b Forma, Com a bissetriz externa 
do ângulo 
 ̂ 
 C , um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo 
interno 
 ̂ 
 a .
9. na Figura abaixo, temos que ab = bC = Cd = de e a = 20°.
CalCule a medida do ângulo 
 ̂ 
 d .
20º
A
B
C
D E
10. na Figura, temos ab = aC e ae = ad. sabendo que o ângulo 
b 
 ̂ 
 a d mede 40°, CalCule a medida do ângulo C 
 ̂ 
 d e.
A
E
C D B
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) os pontos a, b e C pertenCem a uma CirCunFerênCia 
γ e aC é lado de um polígono regular insCrito em γ. sabendo-se 
que o ângulo a 
 ̂ 
 b C mede 18° podemos ConCluir que o número de 
lados do polígono é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
2. (Fuvest) na Figura, b, C e d são pontos distintos da CirCun-
FerênCia de Centro o, e o ponto a é exterior a ela. além disso,
1. a, b, C, e a, o, d, são Colineares;
2. ab = ob;
3. Côd mede α radianos.
 
nessas Condições, a medida de a 
 ̂ 
 b o, em radianos, é igual a:
a) π – (α/4) d) π – (3α/4)
b) π – (α/2) e) π – (3α/2)
c) π – (2α/3)
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. E 3. E 4. C 5. A
6. C 7. E 8. B 9. A 10. E
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. D 4. B 5. A
6. D 7. A 8. B 9. A 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
1. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95°
2. x = 75°
3. O ângulo inscrito vale 30°
4. x = 20°
5. x + y = 215°
6. 70°, 70° e 40°
7. 
a) A 
 ̂ 
 D C = 108° e D 
 ̂ 
 C B = 36°
b) A 
 ̂ 
 C D = 36°. Com isso, temos que o triângulo ADC 
é isóceles, logo 

 AD = 

 CD . Porém, como BCD também 
é isóceles, temos que 

 CD = 

 BC , portanto:
 

 AD = 

 CD e 

 CD = 

 BC à 

 AD = 

 BC 
8. 100°
9. 60°
10. 20°
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. C
64  MATEMÁTICA e suas tecnologias



	V
O
LU
M
E 
1
4. (puC-rj) uma reta paralela ao lado bC de um triângulo abC 
interCepta os lados ab e aC do triângulo em p e q, respeCtiva-
mente, onde aq = 4, pb = 9 e ap = qC. então, o Comprimento 
de ap é:
a) 5. b) 6. c) 8. d) 2. e) 1.
5. o jardineiro do sr. artur Fez um Canteiro triangular Composto 
por Folhagens e Flores onde as divisões são todas paralelas à base 
ab do triângulo abC, ConForme Figura.
sendo assim, as medidas x e y dos Canteiros de Flores são, 
respeCtivamente:
a) 30 cm e 50 cm.
b) 28 cm e 56 cm.
c) 50 cm e 30 cm.
d) 56 cm e 28 cm.
e) 40 cm e 20 cm.
6. (uFF) o CirCuito triangular de uma Corrida está esquematizado 
na Figura a seguir:
as ruas tp e sq são paralelas. partindo de s, Cada Corredor 
deve perCorrer o CirCuito passando, suCessivamente, por r, q, p, t, 
retornando, Finalmente, a s.
assinale a opção que indiCa o perímetro do CirCuito.
a) 4,5 km d) 22,5 km
b) 19,5 km e) 24,0 km
c) 20,0 km
E.O. AprEndizAgEm
1. 
a) 7. b) 9. c) 12. d) 14.
2. para melhorar a qualidade do solo em uma Fazenda, aumentando 
a produtividade do milho e da soja, é Feito o rodízio entre essas 
Culturas e a área destinada ao pasto. Com essa Finalidade, a área 
produtiva da Fazenda Foi dividida em três partes ConForme a Figura.
Considere que:
os pontos a, b, C e d estão alinhados;
os pontos h, g, F e e estão alinhados;
os segmentos 
 ah , 

 bg , 

 CF e 
 de são, dois a dois, paralelos entre si;
ab = 500 m, bC = 600 m, Cd = 700 m e he = 1980 m.
nessas Condições, a medida do segmento 

 gF é, em metros:
a) 665. d) 650.
b) 660. e) 645.
c) 655.
3. Considere a Figura em que r // s // t .
o valor de x é:
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
 RAZÃO PROPORCIONAL E TEOREMAS 
DE TALES E DA BISSETRIZ INTERNA
MT
AULAS 
5 E 6 COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9 e 14
MATEMÁTICA e suas tecnologias  65



 V
O
LU
M
E 
1
7. (Fgv) na Figura, abC é um triângulo Com aC = 20 cm, 
ab = 15 cm e bC = 14 cm.
sendo aq e bp bissetrizes interiores do triângulo abC, o quoCi-
ente QR ___ AR é igual a:
a) 0,3. b) 0,35. c) 0,4. d) 0,45. e) 0,5.
8. (uFsm) a Crise energétiCa tem levado as médias e grandes 
empresas a busCarem alternativas na geração de energia elétriCa 
para a manutenção do maquinário. uma alternativa enContra-
da por uma FábriCa Foi a de Construir uma pequena hidrelétriCa, 
aproveitando a Correnteza de um rio que passa próximo às suas 
instalações. observando a Figura e admitindo que as linhas retas 
r, s e t sejam paralelas, pode-se aFirmar que a barreira mede:
a) 33 m. b) 38 m. c) 43 m. d) 48 m. e) 53 m.
9. Considere 3 retas Coplanares paralelas, r, s E t, Cortadas por 
2 outras retas, ConForme a Figura.
os valores dos segmentos identiFiCados por x e y são, 
respeCtivamente:
a) 3 ___ 20 e 3 ___ 40 . d) 11 e 6.
b) 6 e 11. e) 20 ___ 3 e 40 ___ 3 .
c) 9 e 13.
10. (ueCe) o ponto p é interior a um segmento de reta, Cuja 
medida é x = 2m, e o divide em dois segmentos Cujas medidas são 
y e z e satisFazem a relação y2 = xz. a razão x/y (denominada de 
número de ouro ou razão áurea) é igual a:
a) 1 + dXX 3 ______ 2 . b) 1 + dXX 5 ______ 2 .
c) –1 + dXX 3 _______ 2 . d) –1 + dXX 5 _______ 2 .
E.O. FixAçãO
1. (uFr-rj) pedro está Construindo uma Fogueira representada 
pela Figura abaixo. ele sabe que a soma de x Com y é 42 e que as 
retas r, s E t são paralelas.
a diFerença x – y é:
a) 2. b) 4. c) 6. d) 10. e) 12.
2. no triângulo abaixo, a medida do segmento 
 ab é:
a) 2. b) 3. c) 5. d) 8. e) 10.
3. (uFrgs) na Figura 1, 

 bC é paralelo a 
 de e, na Figura 2, 

 gh 
é paralelo a  ij . então, x e y valem, respeCtivamente:
a) ab e a __ 
b
 d) b __ a e ab
b) ab e b __ a e) ab e 1 __ 
b
 
c) a __ 
b
 e ab
4. no triângulo abC a seguir, os segmentos am e bn são bis-
setrizes internas dos ângulos 
 ̂ 
 a e 
 ̂ 
 b , respeCtivamente. sabendo 
disso, o valor de y é:
a) 3 __ 
2
 . c) 8 __ 
3
 .
b) 3. d) 4.
66  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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1
5. no triângulo abC a seguir, temos que os segmentos ap e aq 
dividem o ângulo 
 ̂ 
 a em três ângulos Congruentes. sabendo disso, 
a medida de x é:
a) 5. c) 42 ___ 5 .
b) 38 ___ 5 . d) 46 ___ 5 .
6. na Figura a seguir, sendo ad bissetriz do ângulo 
 ̂ 
 a , o Compri-
mento do segmento bd é:
a) 6. d) 9.
b) 7. e) 10.
c) 8.
7. no triângulo abC da Figura, Cd é a bissetriz do ângulo in-
terno em C. se ad = 3cm, db = 2cm e aC = 4 cm, então o lado 
bC mede:
a) 3 cm. d) 8 __ 3 cm.
b) 5 __ 2 cm. e) 4 cm.
c) 7 __ 2 cm.
8. o perímetro de um triângulo abC é 100 cm. a bissetriz interna do 
ângulo 
 ̂ 
 a divide o lado oposto bC em dois segmentos de 16 cm e 
24 cm. as medidas de todos os lados do triângulo, em 
Centímetros, são:
a) 40, 40, 20. 
b) 40, 30, 30. 
c) 40, 36, 24. 
d) 40, 32, 28.
9. no triângulo abC a seguir, o segmento de é paralelo a bC e 
am é bissetriz do ângulo interno 
 ̂ 
 a . a soma x + y é:
a) 6. d) 15 ___ 2 .
b) 9 __ 2 . e) 21 ___ 2 .
c) 11 ___ 2 .10. observe a Figura a seguir:
Considerando am = 8 cm, bm = 12 cm, an = 6 cm e mn para-
lelo à bC, a medida do segmento aC é:
a) 9 cm c) 13 cm
b) 10 cm d) 15 cm
E.O. COmplEmEntAr
1. (unirio)
no desenho anterior apresentado, as Frentes para a rua a dos 
quarteirões i e ii medem, respeCtivamente, 250 m e 200 m, e a 
Frente do quarteirão i para a rua b mede 40 m a mais do que a 
Frente do quarteirão ii para a mesma rua. sendo assim, pode-se 
aFirmar que a medida, em metros, da Frente do menor dos dois 
quarteirões para a rua b é:
a) 160. d) 220.
b) 180. e) 240.
c) 200.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  67
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2. (universidade objetivo) as retas r, s e t são paralelas e o triângulo 
eFg é equilátero.
se ab é Congruente a bC e a medida do segmento de é 5 cm, 
então a medida de Fg é:
a) 7 cm. b) 3 cm. c) 5 cm. d) 2,5 cm. e) 10 cm.
3. a Figura representa um perFil de um reservatório d´água Com 
lado ab paralelo a Cd.
se a é o menor primo e b é 50% maior que a, então, o valor de 
x é:
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10.
4. (maCkenzie) na Figura, temos r//r’ E s//s’. então, para todo 
a > 1, o valor da absCissa x é:
a) 2a. d) a + 1.
b) a². e) √
__
 a + 1.
c) (a + 1)².
5. (uFrn) phidias, um arquiteto grego que viveu no séCulo v a.C., 
Construiu o parthenon Com medidas que obedeCeram à proporção 
áurea, o que signiFiCa dizer que ee’h’h é um quadrado e que os 
retângulos eFgh e e’Fgh’ são semelhantes, ou seja, o lado maior 
do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângu-
lo, assim Como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado 
menor do segundo retângulo. veja a Figura abaixo.
assim, podemos aFirmar que a razão da medida da base do parthenon 
pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio:
a) x2 + x + 1 c) x2 – x – 1
b) x2 + x – 1 d) x2 – x + 1
E.O. dissErtAtivO
1. uma reta paralela ao lado 

 bC de um triângulo abC, deter-
mina sobre o lado 
 ab segmentos de 3 cm e 12 cm. CalCule as 
medidas dos segmentos que essa reta determina sobre o lado 

 aC , 
de medida 10 cm.
2. um Feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três 
segmentos ConseCutivos que medem 5 cm, 6 cm, 9 cm. CalCule 
os Comprimentos dos segmentos determinados pelo Feixe noutra 
transversal, sabendo que o segmento desta, Compreendido entre a 
primeira e a quarta paralela, é de 60 cm.
3. os segmentos ab, Cd, mn, pq, Formam, nessa ordem, uma 
proporção.
se mn = 2 cm, pq = 5 cm e ab + Cd = 28 cm, determine 
ab e Cd.
4. no ΔabC da Figura a seguir, de//bC. nessas Condições, 
determine:
a) a medida x.
b) o perímetro do ΔABC.
5. o número de ouro, também ConheCido Como proporção áurea, 
tem sido utilizado durante séCulos por pintores e arquitetos. 
hoje, sabemos que f está presente em algumas Curvas que apa-
reCem na natureza, Como na margarida, no girassol e na ConCha 
do molusCo náutilo.
dizemos que um ponto p (Figura 1) divide um segmento ab na 
razão de ouro, se (ap)/ (pb) = (ab)/(ap).
a razão (ab)/(ap) é Chamada razão de ouro e é representada 
pela letra grega f (lê-se Fi). seu valor é Constante, independen-
temente da medida do segmento ab.
a) Admitindo que o segmento AB (figura 2) tenha 
comprimento, determine o comprimento do segmen-
to AP de tal modo que (AP)/(PB) = (AB)/(AP).
b) Determine a razão de ouro f.
c) Na figura 3, temos o famoso desenho de Leonardo 
da Vinci conhecido como o Homem Vitruviano. Leon-
ardo utilizou a razão áurea na construção do desenho 
em vários momentos. Por exemplo, o segmento que 
68  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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
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1
une o ponto A (extremidade da cabeça) ao ponto B 
(pé) está dividido na razão áurea pelo ponto P (um-
bigo), sendo PB maior que AP. Sabendo que o lado 
do quadrado CDEF mede 16,2 cm, utilize a razão de 
ouro para calcular o comprimento do segmento PB (a 
distância do umbigo até o pé). Considere, somente 
neste item, que dXX 5 ≈ 2,24.
Figura 3
6. o triângulo abC da Figura tem Cm Como bissetriz. determine 
os lados do triângulo.
7. (uniCamp) a Figura a seguir mostra um segmento ad dividido 
em três partes: 
ab = 2 cm, bC = 3 cm e Cd = 5 cm. o segmento ad’ mede 
13 Cm e as retas bb’ e CC’ são paralelas a dd’. determine os 
Comprimentos dos segmentos ab’, b’C’ e C’d’.
8. na Figura a seguir, 
 ad é a bissetriz inteira de 
 ̂ 
 a . CalCule as 
medidas de 
 bd e 

 dC , sabendo que ( 

 bC ) = 8 cm.
9. (uFrrj) observe a Figura a seguir que demonstra um padrão 
de harmonia, segundo os gregos.
há muito tempo, os gregos já ConheCiam o número de ouro 
f = 1+ dXX 5 _____ 
2
 , que é aproximadamente 1,618. tal número Foi du-
rante muito tempo “padrão de harmonia”. por exemplo, ao se 
tomar a medida de uma pessoa (altura) e dividi-la pela medida que 
vai da linha umbiliCal até o Chão, vê-se que a razão é a mesma que 
a da medida do queixo até a testa, em relação à medida da linha 
dos olhos até o queixo, e é igual ao número de ouro. Considere a 
Cantora ivete sangalo, harmoniosa, segundo os padrões gregos.
assumindo que a sua distânCia da linha umbiliCal até o Chão é 
igual a 
22( dXX 5 -1)
 _____ 
25
 metros.
determine a altura da mesma.
10. as ruas amor, bondade e Caridade são paralelas e as aveni-
das paz e FeliCidade são transversais a essas ruas.
arthur mora na esquina da rua amor Com a avenida paz indiCada 
na Figura pelo ponto a.
a) Para ir à videolocadora situada na esquina da rua 
Caridade com a avenida Paz, indicada pelo ponto B, 
quantos metros, no mínimo, Arthur percorre?
b) Arthur faz uma caminhada de 200 metros em 3 
minutos. Para ir à sua escola, situada na esquina da rua 
Caridade com a avenida Felicidade, indicada pelo ponto 
C, ele anda pela avenida Paz e vira na rua Caridade. 
Quanto tempo Arthur demora para chegar à escola?
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. B 3. B 4. B 5. B
6. B 7. C 8. B 9. E 10. B
E.O. Fixação
1. C 2. C 3. A 4. C 5. C
6. C 7. D 8. C 9. E 10. D
MATEMÁTICA e suas tecnologias  69
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E.O. Complementar
1. A 2. C 3. B 4. B 5. C
E.O. Dissertativo
1. As medidas dos segmentos são 8 cm e 2 cm.
2. x = 15; y = 18; y = 27
3. AB = 8 cm
CD = 20 cm
4. 
a) 5
b) 36
5. 
a) 
dXX 5 -1 ____ 
2
 
b) 
dXX 5 +1 ____ 
2
 
c) 10 cm
6. 11, 11, 12
7. AB’ = 2,6 cm ; B’C’ = 3,9 cm ; C’D’ = 6,5 cm.
8. x = 11 ___ 
2
 ; y = 5 __ 
2
 
9. 1,76 m
10. 
a) 300 m
b) 9,9 min ou 9 min 54 seg
70  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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c) o incentro se encontra na região externa do triân-
gulo MNP.
d) o circuncentro se encontra na região interna do 
triângulo MNP.
4. em relação a um triângulo qualquer abC, quais pontos 
notáveis estão posiCionados neCessariamente na região interna do 
triângulo?
a) Baricentro e ortocentro.
b) Incentro e circuncentro.
c) Baricentro e circuncentro.
d) Incentro e ortocentro.
e) Baricentro e incentro.
5. (Fgv) na Figura, an e bm são medianas do triângulo abC. 
se bm é igual a 12 cm, a medida do segmento gm é igual a:
G
A
M
CNB
a) 10. b) 9. c) 8. d) 6. e) 4.
6. em um triângulo retângulo, o ponto de interseCção das media-
trizes dos lados se enContra:
a) na região interior do triângulo.
b) na região exterior do triângulo.
c) em um dos catetos.
d) na hipotenusa.
e) no vértice que contém o ângulo reto.
7. no triângulo abC a seguir, temos ap = bp e 
aq = Cq. sendo assim, os valores de x e y são, respeCti-
vamente, iguais a:
A
P
B C
10
x 8
y
Q
E.O. AprEndizAgEm
1. no triângulo abC abaixo, temos bm = Cm, b 
 ̂ 
 a p = p 
 ̂ 
 a C e ah 
perpendiCular a bC e os pontos m, p e h não são CoinCidentes. 
podemos aFirmar que:
B
A
M P H
C
i. am é uma mediana e ah é uma altura
ii. ap é uma mediatriz
iii. ap é uma bissetriz
iv. ah é uma altura e am é uma mediatriz
a) II e IV são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) I e II são verdadeiras.
d) III e IV são verdadeiras.2. um ponto o equidista dos vértiCes de um triângulo abC. po-
demos aFirmar que ponto o é:
a) baricentro do triângulo ABC.
b) incentro do triângulo ABC.
c) circuncentro do triângulo ABC.
d) ortocentro do triângulo ABC.
3. no triângulo obtusângulo mnp da Figura, podemos 
aFirmar que:
M
PN
a) o baricentro se encontra na região externa do 
triângulo MNP.
b) o ortocentro se encontra na região externa do 
triângulo MNP.
 PONTOS NOTÁVEIS 
DE UM TRIÂNGULO
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
7 E 8
MATEMÁTICA e suas tecnologias  71



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1
a) 30 e 24. d) 8 e 10.
b) 20 e 4. e) 4 e 8.
c) 5 e 16.
8. no triângulo abC abaixo, temos que bs é bissetriz do ângulo 
a 
 ̂ 
 b C e ah é altura relativa à base bC. além disso, temos que 
bâh = 30° e b 
 ̂ 
 s a = 40°. CalCule o ângulo b 
 ̂ 
 C a.
A
S
CB H
a) 10°. b) 20°. c) 30°. d) 45°. e) 60°.
9. (FateC) dada a Figura:
A
60° 45°
60°
E C
D
B
sobre as sentenças
i. o triângulo Cde é isósCeles.
ii. o triângulo abe é equilátero.
iii. ae é bissetriz do ângulo bâd.
é verdade que:
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) são todas falsas.
e) são todas verdadeiras.
10. um triângulo abC tem ângulos a = 40º e b = 50º. qual 
é o ângulo Formado pelas alturas relativas aos vértiCes a e b 
desse triângulo?
a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º
E.O. FixAçãO
1. no paralelogramo abCd, o ponto m é o ponto médio do lado 
Cd. se an mede 12 cm, pode-se aFirmar que mn mede:
D
B
N
M C
A
a) 6 cm. d) 8 cm.
b) 5 cm. e) 7 cm.
c) 4 cm.
2. se i é inCentro do triângulo abC abaixo, os ângulos â , 
 ̂ 
 b e 
 ̂ 
 C 
são, respeCtivamente, iguais a:
120°
110°
A
B
C
I
a) 30°, 60° e 90°. d) 100°, 60° e 20°.
b) 55°, 65° e 60°. e) 65°, 55° e 60°.
c) 40°, 80° e 60°.
3. (uFes) um dos ângulos internos de um triângulo isósCeles 
mede 100°. qual é a medida do ângulo agudo Formado pelas 
bissetrizes dos outros ângulos internos?
a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 140°
4. (unitau) o segmento da perpendiCular traçada de um vértiCe de 
um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado:
a) mediana. d) altura.
b) mediatriz. e) base.
c) bissetriz.
5. na Figura abaixo, de é paralelo a bC e Contém o inCentro do 
triângulo abC. se ab = 10 cm, aC = 14 cm e bC = 17 cm, 
CalCule o perímetro do triângulo ade.
E
CB
D
A
a) 20 cm d) 26 cm
b) 22 cm e) 41 cm
c) 24 cm
6. na Figura abaixo, abC é um triângulo retângulo em â, m é 
ponto médio de bC e n é ponto médio de aC. se bC = 18 cm, a 
medida de ap é, em Centímetros, igual a:
M
C
N
A B
P
a) 3. d) 12.
b) 6. e) 15.
c) 9.
72  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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7. um ponto p pertenCe à região interna de um triângulo abC, 
equidistante aos lados desse triângulo. o ponto p é:
a) O baricentro do triângulo ABC.
b) O incentro do triângulo ABC.
c) O circuncentro do triângulo ABC.
d) O ortocentro do triângulo ABC.
8. qual dos pontos notáveis do triângulo pode CoinCidir Com um 
de seus vértiCes?
a) baricentro
b) incentro
c) circuncentro
d) ortocentro
9. um aluno preCisa loCalizar o Centro de uma moeda CirCular e, 
para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma Folha de papel, de 
uma régua não graduada, de um Compasso e da moeda.
nessas Condições, o número mínimo de pontos distintos neCessári-
os de serem marCados na CirCunFerênCia desCrita pela moeda para 
loCalizar seu Centro é:
a) 3. b) 2. c) 4. d) 1. e) 5.
10. (uFpi) no triângulo abC (Figura abaixo), os lados ab, 
aC e bC medem, respeCtivamente, 5 cm, 7 cm e 9 cm. se p é o 
ponto de enContro das bissetrizes dos ângulos b e C e pq//mb, 
pr//nC e mn//bC, a razão entre os perímetros dos triângulos 
amn e pqr é:
A
NM
B Q R
P
C
a) 10 ___ 9 . d) 4 __ 3 .
b) 9 __ 8 . e) 7 __ 
5
 .
c) 7 __ 
6
 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (uFC) na Figura a seguir, temos dois triângulos 
equiláteros abC e a’b’C’ que possuem o mesmo bariCentro, 
tais que ab // a’b’, aC // a’C’ e bC // b’C’. se a medida dos 
lados de abC é igual a 3 dXX 3 cm e a distânCia entre os lados para-
lelos mede 2 cm, então a medida das alturas de a’b’C’ é igual a:
C
C’
B’
BA
A’
a) 11,5 cm. d) 8,5 cm.
b) 10,5 cm. e) 7,5 cm.
c) 9,5 cm.
2. em um triângulo aCutângulo não equilátero, os três pontos 
notáveis (ortoCentro, CirCunCentro e bariCentro) estão alinha-
dos. dado que a distânCia entre o ortoCentro e o CirCunCentro 
é k, pode-se ConCluir que a distânCia entre o CirCunCentro e o 
bariCentro será:
a) 5k ___ 2 . d) k __ 2 .
b) 4k ___ 3 . e) k __ 
3
 .
c) 4k ___ 5 .
3. (puC-mg) na Figura, o triângulo abC é equilátero e está 
CirCunsCrito ao CírCulo de Centro 0 e raio 2 cm. ad é altura 
do triângulo. sendo e o ponto de tangênCia, a medida de ae, em 
Centímetros, é:
A
E
0
B D C
a) 2 dXX 3 . d) 5.
b) 2 dXX 5 . e) dXXX 26 .
c) 3.
4. (CFtCe) a altura e a mediana traçadas do vértiCe do ângulo 
reto de um triângulo retângulo Formam um ângulo de 24°. 
sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são:
a) 33° e 57°. d) 36° e 54°.
b) 34° e 56°. e) 37° e 53°.
c) 35° e 55°.
5. em um triângulo isóCeles abC, de base bC, h é o ortoCentro e 
g é o bariCentro. sendo hg maior que a altura relativa à base bC, 
podemos aFirmar que:
a) o triângulo é obtusângulo
b) o triângulo é acutângulo
c) o triângulo é retângulo
d) o triângulo é equilátero
MATEMÁTICA e suas tecnologias  73



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E.O. dissErtAtivO
1. (uFg) gerard stenley haWkins, matemátiCo e FísiCo, nos anos 
1980, envolveu-se Com o estudo dos misteriosos CírCulos que 
apareCeram em plantações na inglaterra. ele veriFiCou que Certos 
CírCulos seguiam o padrão indiCado na Figura a seguir, isto é, três 
CírCulos Congruentes, Com Centros nos vértiCes de um triângulo 
equilátero, tinham uma reta tangente Comum.
nessas Condições, e Considerando-se uma CirCunFerênCia maior que 
passe pelos Centros dos três CírCulos Congruentes, CalCule a razão 
entre o raio da CirCunFerênCia maior e o raio dos CírCulos menores.
2. três Canos de Forma CilíndriCa e de mesmo raio r, dispostos 
Como indiCa a Figura adiante, devem ser ColoCados dentro de out-
ro Cano CilíndriCo de raio r, de modo a FiCarem presos sem Folga. 
expresse o valor de r em termos de r para que isso seja possível.
r
3. (puC-rj) seja abC um triângulo equilátero de lado 1 cm 
em que o é o ponto de enContro das alturas. quando mede o 
segmento ao?
4. (uFpe) na Figura a seguir, o triângulo ΔabC é equilátero Com 
lados de Comprimento 2 cm.
os três CírCulos C1, C2 e C3 têm raios de mesmo Comprimento igual 
a 1 cm e seus Centros são os vértiCes do triângulo ΔabC. seja 
r > 0, o raio do CírCulo C4 interior ao triângulo ΔabC e simul-
taneamente tangente aos CírCulos C1, C2 e C3, CalCule 9(1 + r)2.
A
B C
C1
C2
C4
C3
5. no triângulo abC da Figura, a seguir, a 
 ̂ 
 b h = 60º e 
a 
 ̂ 
 C h = 20º. qual o valor do ângulo hâs Formado pela altura 
e a bissetriz ?
A
CB H S
6. um triângulo retângulo abC, reto em a, possui hipotenusa 
medindo 10 Cm e o ângulo 
 ̂ 
 b medindo 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa ao lado BC?
b) Qual a medida do ângulo agudo formado por essa 
mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
7. CalCule o valor do ângulo interno relativo ao vértiCe a na 
Figura, sabendo que o ângulo agudo Formado pelas bissetrizes dos 
vértiCes b e C Formam 70°.
70º
A
B C
8. o triângulo abC da Figura a seguir é isóCeles de base bC. o 
ponto m é ponto médio do lado ab e ah é a altura relativa à 
base bC. sabendo que o ângulo bâh é 60° e o lado ab mede 
10 cm, CalCule:
M
A
P
CHB
a) a altura relativa à base BC
b) o comprimento do segmento PH
9. em um triângulo abC, as alturas relativas ao lado ab e aC 
Formam um ângulo agudo de medida k. determine o valor do 
ângulo interno relativo ao vértiCe a em Função de k.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. B 4. E 5. E
6.D 7. C 8. A 9. E 10. D
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. B 4. D 5. C
6. B 7. B 8. D 9. A 10. D
E.O. Complementar
1. B 2. E 3. A 4. A 5. A
74  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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E 
1
E.O. Dissertativo
1. O raio do círculo maior é igual a 4/3 do raio dos círculos 
menores.
2. R = r · 2 dXX 3 +3 ______ 
3
 
3. AO = 
dXX 3 ___ 
3
 cm
4. 12
5. 20º
6.
a) 5 cm
b) 25°
7. 40°
8. 
a) 5 m
b) 5 __ 
3
 m
9. Â = k