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SIMULADO DE MATEMÁTICA 
TURMA AFA-EEAR 
ESTILO AFA 
20 QUESTÕES OBJETIVAS 
DATA 20 DE MARÇO DE 2010 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Considere as retas r e s (r//s) e os ângulos ê, î e â da figura abaixo 
 
Pode-se afirmar que 
a) ê + î + â = 270° 
b) ê + î + â = 180° 
c) ê + î = â 
d) ê + î = â + 90° 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
  ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ180 e 90 i a e i a 270        
 
REFERÊNCIA: EPCAR 2004 
 
 
QUESTÃO 2 
No triângulo ABC, AD é bissetriz interna do ângulo A. Sendo aBC 2 assinale o ponto P sobre AD tal 
que aAP  . Se o60ABC e o80BAC , determine o ângulo PBD. 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 30 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Seja M o ponto médio de BC. Seja E o ponto onde a reta BP encontra AC. Como MCAPAC  e 
MCPA  então ACMP é um trapézio e, portanto, MP é paralelo a AC. Como M é médio de BC então P é 
médio de BE. No triângulo ABE, AP é bissetriz e PEPB  . Logo, AEAB  e a mediana AP é também 
altura. Como o ângulo APB é reto e o80ADB então o10PBD . 
 
REFERÊNCIA: Prof. Eduardo Wagner 
 
 
QUESTÃO 3 
As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que Ĉ90B̂   . As bissetrizes externas dos ângulos  e 
Ĉ cortam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que 
ACCQAP  , determine o ângulo de B̂ . 
a) 12º 
b) 24º 
c) 30º 
d) 36º 
e) 60º 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
 
x
2y 180
2 x 24 y 84
4x y 180

 
   
  
 
x 3
2x x 36
2 2
      
 
 
QUESTÃO 4 
O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(1, 2), B(2, 3) e C(4,7), é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
O ponto médio de BC é  
2 4 3 7
M , 3,5
2 2
  
  
 
. 
O comprimento da mediana é    2 2
AM 1 3 2 5 5      . 
 
 
QUESTÃO 5 
Os vetores a e b são perpendiculares e c forma com a e b ângulos iguais a rd
3

. Se a e c são unitários, 
b 2 e p 3a b c   , então p é igual a: 
a) 5 
b) 2 
c) 15 
d) 2 
e) 2 3 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
   2
22 2
2 2
p p p 3a b c 3a b c 9a a 3a b 3a c 3b a b b b c 3c a c b c c
9 a 3 a b cos 3 a c cos 3 b a cos b b c cos 3 c a cos c b cos c
2 3 2 3 3 3
1
9 1 3 1 2 0 3 1 1 3 2 1 0 2
2
                          
     
         
               21 1 1
2 1 3 1 1 1 2 1 15
2 2 2
p 15
           
 
 
 
 
QUESTÃO 6 
Sejam A e C os vetores a partir da origem O até os pontos A e C, respectivamente, e X o módulo do 
vetor X . Se    
2 2
A C A C A C A C      , então o valor do ângulo ˆAOC é: 
a) 150 
b) 135 
c) 120 
d) 90 
e) 60 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
Lei dos cossenos no AOC : 
  
2 22 2 2 ˆ ˆAC OA OC 2 OA OC cosAOC A C 2 A C cosAOC      
Do enunciado: 
   
2 2 22AC A C A C A C A C A C         
2 2 2 2 1ˆ ˆ ˆA C 2 A C cos AOC A C A C cos AOC AOC 120
2
           
 
REFERÊNCIA: Rusczyk, R. e Lehoczky, S.  The Art of Problem Solving – pg. 183. 
 
 
QUESTÃO 7 
Um arco de medida igual a x é tal que 1530 1620o ox  e 225 144tg x  . O valor de 
12 5cotgx senx cosx  é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 5 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
1530 1620 4 360 90 4 360 180 tg 0          o ox x x 
2 12 5
25 144 tg cotg
5 12
      tg x x x 
2 2 144 169 13 5
sec x 1 tg x 1 sec x cos x
25 25 5 13
           
2 2 25 144 12
sen x 1 cos x 1 sen x
169 169 13
       
5 12 5
12 5 12 5 0
12 13 13
   
            
   
cotg x senx cosx 
 
 
QUESTÃO 8 
Seja a um número real tal que a k
2

   , onde k . Se  0 0x , y é solução do sistema 
   
   
2seca x 3tg a y 2cosa
2 tg a x 3seca y 0
  

 
 
então podemos afirmar que: 
a) 0 0x y 3 2sen a   
b) 
2
2 2
0 0
2 4
x y cos a 2
3 9
 
   
 
 
c) 0 0x y 0  
d) 0 0x y 0  
e) 
2
2 2
0 0
2 4
x y cos a
3 9
 
  
 
 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
     
     
   
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 tg a sec a sec a tg a 1
4sec a x 9 tg a y 12seca tg a xy 4cos a
4 tg a x 9sec a y 12seca tg a xy 0
4 sec a tg a x 9 tg a sec a y 4cos a
2 4
4x 9y 4cos a x y cos a
3 9
    
    
 
    
    
 
      
 
 
 
REFERÊNCIA: ITA 1983 
 
 
QUESTÃO 9 
Sejam a e b constantes reais positivas. Se a equação    3 2cos x a 1 cos x a b cos x b 0      possui 
duas raízes reais distintas no intervalo [0 , /2], devemos ter 
a) 0 < b  a – 1 
b) 0 < b < a + 1 
c) a < b < a + 2 
d) a + 1 < b  a + 2 
e) nda 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
   
  
3 2
2
cos x a 1 cos x a b cos x b 0
cos x 1 cos x a cos x b 0
     
    
 
2a a 4b
cos x 1ou cos x
2
  
   (pois x 0 ) 
Para que a equação possua duas raízes reais distintas em [0 , /2], devemos ter 
2
2a a 4b
0 cos x 1 0 1 0 a a 4b 2
2
  
           
 22 2 2a a 4b a 2 a a 4b a 2 0 b a 1              
Como b > 0, então 0 < b < a + 1. 
 
REFERÊNCIA: ITA 1991 
 
 
QUESTÃO 10 
Quantos pares de números (x, y) satisfazem as duas condições a seguir: 2tg y sen x 0    e 2 2x y 2  ? 
a) 4 
b) 5 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
Como tg y 0  e 2sen x 0  , para que 2tg y sen x 0    deve-se ter 2tg y sen x 0    . 
tg y 0 tg y 0 y       
2sen x 0 sen x 0 x       
Como 2 2x y 2  e x,y , então  x,y 1,0,1  . Logo, há 3 3 9  pontos  x,y que satisfazem à condição do 
enunciado. 
 
REFERÊNCIA: Chinese Mathematics Competitions and Olympiads 1993-2001 - A. Liu – Pg. 3. 
 
 
QUESTÃO 11 
Considere as proposições abaixo. 
I) A soma dos infinitos termos da sequência cujo termo geral é 
n
n
3
, *n , converge para 
3
4
. 
II) Se k
2k
a cos
3
 
  
 
, *k , o valor de 1 2 3 97a a a a    é zero. 
III) Se  3,a,b formam uma progressão geométrica de razão q e  a,b,45 , uma progressão aritmética de 
razão r, com a,b , então 
r
6
q
 . 
Pode-se afirmar que, entre as proposições, 
a) apenas uma é falsa. 
b) apenas duas são falsas. 
c) todas são falsas. 
d) todas são verdadeiras. 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
REFERÊNCIA: AFA 2009 
 
 
QUESTÃO 12 
João Victor e Samuel são dois atletas que competem numa mesma maratona. Num determinado 
momento, João Victor encontra-se no ponto M, enquanto Samuel encontra-se no ponto N, 5 m à sua 
frente. A partir desse momento, um observador passa a acompanhá-los registrando as distâncias 
percorridas em cada intervalo de tempo de 1 segundo, conforme tabelas abaixo. 
 
Sabe-se que os números da tabela acima que representam as distâncias percorridas por João Victor 
formam uma progressão geométrica, enquanto os números da tabela acima que representam as distâncias 
percorridas por Samuel formam uma progressão aritmética. Com base nessas informações, é 
INCORRETO afirmar que ao final do 
a) 5º segundo, João Victor já terá atingido o ponto N 
b) 5º segundo, Samuel percorreu uma distância igual à que os separava nos pontos M e N 
c) 6º segundo, João Victor terá alcançado Samuel. 
d) 8º segundo, João Victor estará mais de 8 metros à frente de Samuel. 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
REFERÊNCIA: AFA 2008-2009 
 
 
QUESTÃO 13 
Sejam 1a , 2a , ... , na números reais positivos e n 1 2 np a a a    . Se p 0 é uma constante real tal que 
2n n
n n
p
p
2

 , então podemos afirmar que os números 1a , 2a , ... , na , nesta ordem: 
a) formam uma progressão geométrica de razão q p e 
2n
n
p
a
2
 . 
b) formam uma progressão geométrica de razão q p e 
n
n
p
a
2
 . 
c) formam uma progressão geométrica de razão 2q p e 
n
n
p
a
2
 . 
d) formam uma progressão geométrica de razão2q p e 
2n
n
p
a
2
 . 
e) não formam uma progressão geométrica. 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
2n n
n 1 2 n n
p
p a a a
2

     
   
 
2 2n 1 n 1 n n
n 1 1 2 n 1 n 1n 1
p p
p a a a
22
   
  
      
2
2
n n n 1 2n
n
n n n nn 1
p p 2 p
a
p 22 p
 

    
 
2n
2n
2 n 1
n 1
a p 2
. p
a 2 p 

  
Logo,  1 2 na ,a , ,a é uma progressão geométrica de razão 2q p e 
2n
n
p
a
2
 . 
 
REFERÊNCIA: ITA 1985 
 
 
QUESTÃO 14 
Considere a função real  f x 100 x  e analise as proposições abaixo: 
I) O maior valor de  f x é 10. 
II) Se  f p existe, então o maior valor de p é 100. 
III) Se  f x é igual a 10 , então x é igual a 90. 
IV) O gráfico de  f x intercepta o eixo das ordenadas no ponto  0,10 . 
O número de proposições VERDADEIRAS é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
RESPOSTA: d (FVVV) 
 
RESOLUÇÃO: 
I) Falsa: um contra-exemplo é  f 44 12  
II) Verdadeira:  fD ,100  
III) Verdadeira:          f x 100 x 10 100 x 10 x 90 
IV) Verdadeira:   f 0 10 
 
 
QUESTÃO 15 
Seja f uma função definida para todo real, satisfazendo as seguintes condições: 
f (3) 2
f (x 3) f (x) f (3)


  
. 
Então     f 3 f 0 vale 
a) –6 
b) 1 
c) 
2
1 
d) 
2
3 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
         x 0 f 0 3 f 0 f 3 2 f 0 2 f 0 1          
         
1
x 3 f 3 3 f 3 f 3 1 f 3 2 f 3
2
               
   
1 3
f 3 f 0 1
2 2
      
 
REFERÊNCIA: AFA 2002 
 
 
QUESTÃO 16 
Seja f uma função real que satisfaz as seguintes propriedades: 
I) f(0) = 1; 
II) 0 < f(1) < 1; e 
III) f(x + y) = f(x)f(y), x, y  
Então, a expressão f(0) +f(1) +f(2) +f(3) +...+ f(9) é equivalente a 
a) 
1)1(f
1)]1(f[ 9

 
b) 
1)1(f
1)]1(f[ 10

 
c) 
1)1(f
)1(f)]1(f[ 9

 
d) 
1)1(f
)1(f)]1(f[ 10

 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
          
               
               
               
  
 
2
2 3
8 9
10
2 9
f 1 1 f 1 f 1 f 2 f 1
f 2 1 f 2 f 1 f 3 f 1 f 1 f 1
f 8 1 f 8 f 1 f 9 f 1 f 1 f 1
f 1 1
f 0 f 1 f 2 f 9 1 f 1 f 1 f 1
f 1 1
    
      
      

          

 
 
REFERÊNCIA: AFA 1997 
 
 
QUESTÃO 17 
Com relação à função real f definida por 
x
5
1x
9x
1x
12
5x
)x(f






 é correto afirmar que 
a) o domínio de f é – {–5, –1, 0} 
b) f(x) = 0  x = –1 ou x = 7 
c) f(x) > 0  –7 < x < –5 ou x > 0 
d) f(x) < 0  x < –7 ou –5 < x < 0 e x 1  
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
 
   
2
2
12 x 6x 5 12
x 5
x 1 x 1f (x)
x 9 5 x 9x 5x 5
x 1 x x x 1
x 7 x 1
   
  
  
     
 
  

x 1
 x x 1

   x 5 x 1  
 x x 7
x 5



 
x 0 
x 1 0 x 1     
  
 
x 9 5 x 5 x 1
0 0
x 1 x x x 1
   
    
 
  x 5  ou x 1 
a) F:  fD 5, 1,0,1    
b) F:  f x 0 x 7    
c) F:    f x 0 7 x 5 x 0 x 1         
d) V:    f x 0 x 7 5 x 0 x 1           
 
REFERÊNCIA: AFA 2003 
 
 
QUESTÃO 18 
Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que n(AB) = 24, n(AB) = 4, 
n(BC) = 16, n(A  C) = 11 e n(B  C) = 10, assinale a alternativa FALSA: 
 
a) n(A  B) = 8 
b) n(ABC) = 1 
c) n(B  (CA)) = 7 
d) n((AB)  C) = 3 
e) n(B  (AB)) = 13 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
n(BC) = 16  n(B) = 16 
         n A B n A n B n A B n A 24 16 4 12          
a) V      n A B n A n A B 12 4 8       
b) V: n(A) = 12 e n(A  C) = 11     n A C 1 n A B C 1      
c) V:        n B C A n B C n A B C 10 3 7          
d) V: n(A  C) = 11 e n(A  B) = 8    n A B C 3   
e) F: n(AB) = 4    n B A B 16 4 12     
 
 
QUESTÃO 19 
Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A B é x, o número de elementos de A C 
é y e o número de elementos de A B C  é z. Então, o número de elementos de  A B C  é: 
a) x+y+z 
b) x+yz 
c) xy+z 
d) xyz 
e) x+y2z 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
     A B C A B A C      
             n A B C n A B A C n A B n A C n A B C x y z                
 
 
QUESTÃO 20 
Se , então x + y é igual a: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
  
2
2 2 x
x x 1 y y 1 1     
21 x 
2
2
y
x 1 x

 
21 y    
     
 
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x y 1 y 1
y 1 y
xy x y 1 y x 1 x 1 y 1 1
xy x y 1 y x 1 x 1 y 1 1
2xy 2 x 1 y 1 2 x 1 y 1 1 xy
x y x y 1 1 2xy x y x 2xy y 0 x y 0 x y 0
      
 
        

        
        
                

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