Fenômenos de Transporte

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Gabriela de Jesus
2FENÔMENOS DE TRANSPORTE
SUMÁRIO Esta é uma obra coletiva organizada por iniciativa e direção do CENTRO SUPERIOR DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA – 
Faculdades Ftec que, na forma do art. 5º, 
VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua 
marca e detém os direitos de exploração 
comercial e todos os demais previstos em 
contrato. É proibida a reprodução parcial 
ou integral sem autorização expressa e 
escrita.
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD)
Rafael Giovanella
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera e Gustavo Cunha 
Revisora
INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS
DE TRANSPORTE 4
Níveis de observação 7
Estrutura dos fenômenos de transporte 9
Princípios de conservação 10
TRANSFERÊNCIA DA QUANTIDADE
DE MOVIMENTO 16
Reologia 18
Estática dos fluidos 29
Equação de Bernoulli 35
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 40
Calor 41
Transferência de calor por condução 42
Transferência de calor por convecção 45
Transferência de calor por radiação 46
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 53
Concentrações e velocidades 56
Fluxo 60
Coeficiente de difusão 61
Difusão molecular em regime estacionário 70
REFERÊNCIAS 79
3FENÔMENOS DE TRANSPORTE
INTRODUÇÃO
Prezados alunos, o estudo de mecânica dos f luidos, de 
transmissão de calor e de transferência de massa é denomi-
nado Fenômenos de Transporte. É uma matéria de formação 
básica dos cursos de engenharia. Normalmente, os fenômenos 
de transferência de momento, de calor e de massa são desen-
volvidos independentemente como ramos da física clássica, 
porém seu estudo unificado encontrou lugar como uma das 
ciências fundamentais de engenharia. Essa abordagem é muito 
abrangente, e há cada dia encontra aplicações em novas áreas, 
tais como biotecnologia, microeletrônica, nanotecnologia e 
ciência de polímeros.
Frente à essa evolução, abordar os fenômenos de transporte 
em sua totalidade tem se tornado uma tarefa árdua e muitas 
vezes impossível. Desta forma, o material a seguir tem por 
finalidade servir como um material introdutório, trazendo os 
aspectos fundamentais, de forma que o estudante compreenda 
que os diferentes fenômenos difusivos da mecânica dos f luidos, 
da transmissão de calor e da transferência de massa podem ser 
descritos por um modelo matemático comum, em que a dife-
rença está nas grandezas físicas envolvidas e seus respectivos 
coeficientes de difusão, de forma simples e concisa.
4FENÔMENOS DE TRANSPORTE
INTRODUÇÃO 
AOS FENÔMENOS 
DE TRANSPORTE
Níveis de observação, estrutura dos 
fenômenos de transporte, princípios de 
conservação
Olá alunos! Para iniciarmos nossa disciplina, vale ressaltar 
que o estudo dos fenômenos de transporte está inerentemente 
associado a uma notação detalhada. A seguir será apresentada 
um resumo da notação utilizada neste e-book, para que vocês 
possam consultar sempre que houver necessidade.
5FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Lista de símbolos
a aceleração
A área
c velocidade do som 
C concentração
D diâmetro interno
DAB coeficiente de difusão
Def coeficiente efetivo de difusão
DK coeficiente difusivo de Knudsen
E energia
F força
He número de Henry
K constante de Boltzmann
K condutividade térmica do meio
K índice de consistência
m massa
M massa molar
M número de Mach
N número de mol
P pressão
P quantidade de movimento
P perímetro
Pi pressão parcial
Q calor
Q energia de ativação difusional
r raio
R constante dos gases
Rdⁱf resistência difusiva
Re número de Reynolds
S área superficial
T temperatura
U energia interna
v velocidade
V volume
v ⃗ velocidade média más-
sica
V ⃗ velocidade média molar
w fração mássica
W trabalho
x posição
xAs fração molar da espécie A na interface junto a fase lí-
quida 
y fração molar
yAs fração molar da espé-cie A na interface junto a fase 
gasosa
6FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Δ variação
ρi concentração mássica
ρ massa específica
σ��² diâmetro de colisão (Å)
Ω� integral de colisão (adimensional)
ε�� energia de interação molecular para uma mistura binária
εp porosidade
τ tortuosidade
τ tensão de cisalhamento
ϕ esfericidade
μ viscosidade dinâmica ou absoluta
η viscosidade aparente
υ viscosidade cinemática
Subscritos
abs absoluta
atm atmosférica
cond condução
conv convecção
c ponto crítico
dif difusão
i referente à uma espécie
p poro
Símbolos gregos
7FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Com isso já podemos dar início à nossa disciplina. Mas 
afinal, o que são fenômenos de transporte???
Fenômenos de Transporte é uma área da física aplicada, 
que pode ser subdividida em três áreas:
1. Transferência da quantidade de movimento → também 
denominada mecânica dos fluidos, engloba os fenômenos 
relativos ao transporte da quantidade de movimento (ou 
“momento”);
2. Transferência de calor → engloba os fenômenos relativos ao 
transporte de energia;
3. Transferência de matéria → também denominada transferên-
cia de massa, engloba os fenômenos relativos ao transporte 
de massa (de espécies químicas).
É usual o estudo dos três fenômenos juntos, por diversas 
razões, mas vale ressaltar duas delas:
Níveis de observação
a. Frequentemente acontecem juntos em muitas áreas da indús-
tria, da biologia, do meio ambiente, entre outros (a ocorrência 
de um desses fenômenos isolado é a exceção, não a regra);
b. As equações básicas que descrevem matematicamente os 
três fenômenos estão estreitamente relacionadas, e muitos 
problemas em uma área podem ser resolvidos por analogia 
com resultados obtidos em outra área.
8FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Podemos descrever os fenômenos de transporte em três 
níveis ou escalas de observação.
• Nível macroscópico: a unidade de observação é o equipamen-
to ou a peça do material em estudo. Neste nível os compri-
mentos são medidos em metros (m) ou em centímetros (cm).
• Nível microscópico – a unidade de observação é o elemento 
material (grão, partícula, gota, entre outros) dentro do sistema 
em estudo. Neste nível os comprimentos são medidos em 
milímetros (mm) ou micrometros (μm).
• Nível molecular – a unidade de observação é a molécula (ou 
átomo, ou íon). Neste nível os comprimentos são medidos 
em nanômetros (nm). Todos os fenômenos observados a 
nível microscópico ou macroscópico estão relacionados às 
propriedades e interações em escala molecular. Porém, nesta 
disciplina vamos nos concentrar nos níveis microscópico e 
macroscópico.
(a) Um sistema de escoamento macroscópico que contém N2 e O2; (b) uma região microscópica dentro 
do sistema macroscópico, contendo N2 e O2, que estão escoando; (c) uma colisão entre uma molécula de N2 
e uma molécula de O2.
Fonte: Bird et al., (2004).
A desproporção entre o nível microscópico e o nível mole-
cular permite considerar os fenômenos de transporte no nível 
microscópico como se os sistemas estudados fossem infinita-
mente divisíveis, isto é, contínuos. As variáveis consideradas 
(velocidades, temperaturas, concentrações) podem ser supostas 
como variáveis contínuas da posição no espaço (variável inde-
pendente contínua). Conceitos como o gradiente de uma dessas 
variáveis fazem sentido. Por exemplo:
Q = calor adicionado ao sistema
Wm = trabalho feito no sistema
 pelo ambiente, por meio
 das pás móveis
(a)
(b)
“2”
“1”
(c)
9FENÔMENOS DE TRANSPORTE
é uma quantidade bem definida, qualquer que seja a pre-
cisão nas medições de T ou x.
A aproximação (ou “hipótese”) do contínuo permite uti-
lizar todo o aparelho da análise matemática das funções reais 
na formulação dos problemas de fenômenos de transporte. Os 
princípios e leis físicas se traduzem em equações diferenciais,através de um processo de modelagem matemática do universo 
físico. A solução de complexos problemas físicos fica reduzida 
à solução de equações matemáticas, tornando-se um problema 
bem mais simples, ainda que muitos o considerem complicado 
demais!
Estrutura dos fenômenos de transporte
Os fenômenos de transporte baseiam-se em certos princípios 
ou leis fundamentais, chamados princípios de conservação (de 
movimento, matéria, energia, entre outros). Esses princípios de 
conservação são leis universais da natureza, válidos para todos 
os materiais, em todas as circunstâncias particulares.
Através da modelagem matemática da realidade física, e a 
partir dos princípios de conservação, são estabelecidas certas 
equações diferenciais fundamentais, as equações de variação, 
que relacionam as taxas de variação (mudança) de certas quan-
tidades: velocidade, temperatura, composição, entre outras.
O estudo dos fenômenos de transporte consiste na solu-
ção dessas equações fundamentais para casos particulares. Na 
aplicação das equações de variação a sistemas particulares é 
necessário estabelecer também certas equações (ou relações) 
constitutivas que definem classes de materiais. As equações 
10FENÔMENOS DE TRANSPORTE
constitutivas são equivalentes – em certa forma – às equações 
de estado da termodinâmica. Porém, não relacionam entre si 
variáveis termodinâmicas, mas as taxas de variação (de movi-
mento, calor, matéria) com os gradientes das variáveis corres-
pondentes (velocidade, temperatura, concentração). As equações 
constitutivas não são “leis universais” (como os princípios de 
conservação), pois existem materiais e condições nas quais 
são válidas, e outros casos onde não o são. Na formulação das 
equações constitutivas aparecem certas “constantes” materiais, 
as propriedades de transporte (viscosidade, condutividade tér-
mica, difusividade). No entanto, essas “constantes” nem são 
constantes, nem dependem, em geral, apenas do material ou 
das variáveis (termodinâmicas) de estado, mas também das 
condições dinâmicas do sistema.
Princípios de conservação
Os princípios de conservação expressam-se através de balan-
ços da entidade conservada (A) na forma de taxas (quantidade 
de A por unidade de tempo):
Taxa de aumento de A no sistema= Taxa de entrada de A 
no sistema - Taxa de saída de A no sistema + Taxa de geração 
de A no sistema 
A diferença entre as taxas de entrada e de saída chama-se 
taxa líquida de entrada.
Dessa forma, deve-se definir corretamente a entidade A, 
estabelecer as formas pelas quais A pode entrar e sair através 
dos limites do sistema e estabelecer as formas pelas quais A 
pode ser gerado dentro do sistema.
11FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Princípio de conservação da massa
Este princípio estabelece que a matéria (massa) não pode 
ser criada nem destruída dentro do sistema. Portanto, para um 
sistema aberto:
Taxa de aumento de massa no sistema = Taxa de entrada 
de massa no sistema - Taxa de saída de massa no sistema 
c
Este princípio é uma generalização – para um sistema 
aberto, num meio contínuo e deformável – da chamada segunda 
lei de Newton da mecânica das partículas rígidas.
Lembremos que uma força F aplicada sobre uma partícu-
la rígida de massa m causa uma aceleração a, que é a taxa de 
variação da velocidade instantânea v da partícula na direção 
da força:
que pode ser escrita também como (a massa da partícula 
é constante):
O princípio de conservação da quantidade de movimento 
diz que a variação de momento de um sistema deve ser igual 
à soma de todas as forças que atuam sobre o sistema. Para um 
sistema aberto devem-se considerar as taxas de entrada e saída 
de quantidade de movimento “arrastada” pela matéria que entra 
e sai do sistema (o termo técnico é “por convecção”):
Taxa de aumento de quantidade de movimento no sistema=-
Taxa de entrada de quantidade de movimento no sistema-Taxa 
de saída de quantidade de movimento no sistema+Soma de 
todas as forças aplicadas sobre o sistema
12FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Deve-se levar em consideração todas as forças que atuam 
sobre o sistema: peso, pressão, atrito, entre outros. Vale res-
saltar que tanto a quantidade de movimento quanto as forças 
são quantidades vetoriais. O balanço de momento origina, 
portanto, uma equação vetorial. O espaço ordinário comporta 
três dimensões, e todos os vetores podem ser expressos com 
três componentes independentes num sistema de coordenadas 
ortogonais apropriado. Portanto, correspondem ao balanço de 
momento três equações “normais” (escalares) independentes, 
uma para cada uma das três componentes do vetor quantidade 
de movimento (por exemplo, em coordenadas cartesianas: mvx, 
mvy, mvz).
Princípio de conservação da energia
Este princípio é uma generalização – para um sistema 
aberto, num meio contínuo – da primeira lei da termodinâmi-
ca. Lembremos que a variação de energia ΔE de um sistema 
fechado é igual à soma do calor Q e do trabalho W trocado 
entre o sistema e a vizinhança:
∆E = Q + W 
A energia total do sistema inclui a energia interna (U) e a 
energia cinética (1 ⁄2mv2). Da mesma forma que no balanço de 
quantidade de movimento, para um sistema aberto devem ser 
levadas em consideração as taxas de entrada e saída de energia 
por convecção:
Taxa de aumento de energia total no sistema=Taxa de 
entrada de energia total no sistema-Taxa de saída de ener-
gia total no sistema+Soma do trabalho das forças aplicadas 
sobre o sistema
Deve-se também levar em consideração o trabalho (reversí-
vel ou irreversível) de todas as forças que atuam sobre o sistema.
Princípio de conservação da matéria (massa) para uma 
espécie química
13FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Este princípio, aplicado a cada uma das espécies químicas 
presentes, só - tem sentido em misturas multicomponentes. 
Para a espécie A, na unidade de tempo:
Taxa de acumulação de massa de A no sistema=Taxa de 
entrada de massa de A no sistema-Taxa de saída de massa de A 
no sistema+Taxa de formação de A por reação química dentro 
do sistema (1.9)
É importante saber que a entrada e a saída de uma de-
terminada espécie química do sistema podem acontecer por 
convecção (“acompanhando” a matéria que entra e sai global-
mente do sistema) ou por difusão “molecular” dessa espécie 
em particular.
Além disso, uma espécie química pode ser formada a partir 
de outras (ou desaparecer, transformada em outras) através de 
uma reação química. Note que a soma dos balanços de massa 
para todas as espécies químicas presentes numa mistura é o 
balanço de matéria total, assim:
∑
(i= 
N
1) (taxa de geração de Aⁱ) = 0 
 (onde N é o número total de espécies químicas presentes).
Síntese
Neste capítulo vimos alguns conceitos fundamentais para 
o desenvolvimento da disciplina de fenômenos de transporte. 
Verificamos que os fenômenos de transporte são subdivididos 
em três áreas: transferência da quantidade de movimento, trans-
ferência de calor e transferência de matéria. Também apren-
demos que podemos descrever os fenômenos de transporte em 
três níveis ou escalas de observação: nível macroscópico, nível 
microscópico e nível molecular. Por fim avaliamos o princípio 
de conservação para as três áreas dos fenômenos de transporte.
14FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Exercícios
1. Quais são as áreas em que os fenômenos de transporte estão 
subdivididos?
a. ( ) transferência de movimento, transferência de momento 
e transferência de massa.
b. ( ) transferência de movimento, transferência de momento 
e transferência de calor.
c. ( ) transferência de movimento, transferência de calor e 
transferência de massa.
d. ( ) transferência de momento, transferência de matéria 
e transferência de massa.
e. ( ) transferência de momento, transferência de movimento 
e transferência de matéria.
2. Os fenômenos de transporte baseiam-se em certos princípios 
ou leis fundamentais, denominados:
a. ( ) princípios dos fenômenos.
b. ( ) princípiosde conservação.
c. ( ) princípios constitucionais.
d. ( ) princípios da proporção em massa.
e. ( ) princípios dos transportes.
3. Resumidamente, podemos descrever um balanço de con-
servação como:
a. ( ) Aumento = entrada – saída – geração.
b. ( ) Aumento = entrada + saída – geração.
15FENÔMENOS DE TRANSPORTE
c. ( ) Diminuição = entrada – saída + acumulação.
d. ( ) Aumento = entrada – saída + geração.
e. ( ) Diminuição = entrada + saída + geração.
4. O princípio de conservação da quantidade de movimento 
é baseado na seguinte lei:
a. ( ) Lei de Newton.
b. ( ) Lei da gravidade.
c. ( ) Lei da conservação de massa e energia.
d. ( ) Primeira lei da termodinâmica.
e. ( ) Segunda lei da termodinâmica.
5. O princípio da conservação de energia é uma generalização 
da:
a. ( ) Segunda lei da termodinâmica.
b. ( ) Lei de Newton.
c. ( ) Lei da gravidade.
d. ( ) Lei da conservação de massa e energia.
e. ( ) Primeira lei da termodinâmica.
Gabarito
1. c.
2.b.
3.d.
4.a.
5.e.
16FENÔMENOS DE TRANSPORTE
TRANSFERÊNCIA 
DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
Lei de Newton da Viscosidade, reologia, 
descrição e classificação do movimento dos 
fluidos, estática dos fluidos, equação de 
Bernoulli
A quantidade de movimento é uma quantidade vetorial 
definida por:
P⃗ = mv⃗
onde P é a quantidade de movimento, m é a massa e v é 
a velocidade.
17FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Um fluido está confinado entre duas placas planas, sendo a 
inferior fixa e a superior em movimento. É aplicada uma força 
Fx tangencial que provoca o deslocamento da superfície superior 
com a velocidade v. Devido à condição de não escorregamen-
to, a camada de f luido em contato com uma superfície tem a 
mesma velocidade da superfície. Por isso, a camada superior 
é arrastada juntamente com a placa e suas moléculas colidem 
com as moléculas da camada imediatamente anterior, ocorrendo 
transferência de quantidade de movimento entre as camadas 
do f luido. Devido às diferentes velocidades das camadas de 
f luido, estabelece-se entre elas um atrito intenso chamado de 
tensão de cisalhamento e que tende a se opor ao movimento.
As camadas de f luido, ao escoarem com diferentes veloci-
dades, estabelecem um perfil de velocidades no seio do f luido.
Lei de Newton da Viscosidade
É possível observar que a força aplicada é proporcional à 
velocidade que será impressa à placa superior. Quanto maio 
esta força, também será maior o deslocamento da placa e, 
consequentemente, a deformação do f luido.
Se a força aplicada dF, ou seja, uma força infinitesimal, 
a deformação do f luido φ pode ser medida pela tangente do 
ângulo, uma vez que a deformação também será infinitesimal.
O deslocamento b’-b pode ser medido pela equação:
a a’
dy
dFx du
c d
φ
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
18FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Neste caso, ambos os termos podem ser chamados de taxa 
de deformação angular ou gradiente de velocidade. A tensão de 
cisalhamento que surge entre as camadas de f luido provocada 
pelo movimento relativo das mesmas é proporcional à taxa de 
deformação:
Trocando-se o sinal de proporcionalidade por um sinal de 
igualdade e um coeficiente de proporcionalidade temos:
onde μ é o fator de proporcionalidade – viscosidade dinâ-
mica ou absoluta [Ns/m2].
Portanto, a Lei de Newton da Viscosidade pode ser ex-
pressa como:
Viscosidade absoluta ou dinâmica (μ)
É a medida da resistência do f luido à deformação. É uma 
função da temperatura. As unidades no SI são Pa.s ou kg/m.s. 
Outra unidade muito utilizada é o centipoise. O centipoise é 
derivado do Poise (0,01 P) 1 poise = 1 g/cm.s.
Reologia
A conceituação mais abrangente de reologia é dada por 
Vinograd e Malkin (1980) que definiram a reologia como a 
ciência que se preocupa com a descrição das propriedades me-
cânicas dos vários materiais sob varias condições de deforma-
ção, quando eles exibem a capacidade de escoar e/ou acumular 
deformações reversíveis.
Objetivos da reologia: a partir da relação entre a tensão 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
19FENÔMENOS DE TRANSPORTE
aplicada sobre um corpo e a resposta deste – a deformação – a 
este esforço, os estudos reológicos terão que decifrar a estru-
tura do material e projetar seu comportamento em situações 
diferentes, do que as usadas durante o teste.
A resposta do material à imposição de um esforço externo 
é a única propriedade confiável para classifica-lo como sendo 
f luido ou sólido. Todavia, nem sempre os resultados desta 
classificação são confiáveis. Segundo Lenk (1978) um f lui-
do, idealmente, é um corpo que se deforma irreversivelmente 
como resultado do escoamento. Entretanto, os metais e outros 
sólidos plásticos escoam e permitem deformações irreversíveis 
e, notadamente, não são f luidos. O que distingue um sólido 
plástico de um f luido é que o segundo não resiste ao próprio 
peso e seu escoamento é majoritariamente viscoso na tempe-
ratura ambiente.
Desta forma, a análise da relação tensão-deformação não 
basta para classificar reologicamente um material, é necessário 
verificar a existência de escoamento em primeiro lugar uma vez 
que não escoando o material é com certeza um sólido, e por 
último um tipo de escoamento verificado, se viscoso ou plás-
tico. Convém ressaltar que outra característica: a recuperação 
espontânea ou deformação reversível, antes só relacionada com 
os sólidos, não pode ser determinante do caráter reológico dos 
materiais, uma vez que também pode ser apresentada por uma 
classe especial de f luidos chamados viscoelásticos.
Fluidos Newtonianos
Este modelo impõe 
que a viscosidade seja uma 
propriedade física mutável 
apenas mediante variação 
da temperatura e pressão. A 
viscosidade não depende do 
cisalhamento aplicado ou do 
tempo de sua aplicação. Taxa de cisalhamento
Fluido Newtoniano
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
20FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Fenômenos não-Newtonianos
Os f luidos que não obedecem à Lei de Newton da Viscosidade são uma parcela significativa dos f luidos reais. Para estes 
f luidos a viscosidade deixa de ser um coeficiente para se tornar uma propriedade que varia de acordo com as condições com as 
quais o f luido se depara. Neste caso passa a ser denominada de viscosidade aparente.
A dependência da viscosidade aparente com a taxa de deformação e/ou com o tempo, bem como as características ineren-
tes aos sólidos (elásticas ou plásticas) quando presentes em f luidos viscosos formam a base do que se convencionou chamar de 
fenômenos não-Newtonianos.
Esses fenômenos são divididos em três categorias:
• Independentesdo tempo;
• Dependentes do tempo;
• Viscoelásticos.
Fluidos
Reopéticos
Dilatantes
Pseudoplásticos
Plásticos de
Bingham
Nerschel-
Bukley
Tixotrópicos
Sem tensão de
cisalhamento
inicial
Com tensão de
cisalhamento
inicial
Newtoniano
Viscoleláticos
Dependentes
do tempo
Independentes
do tempo
Não
Newtoniano
21FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Fenômenos não-Newtonianos independentes do tempo
Os comportamentos independentes do tempo podem ser 
incluídos em duas categorias:
• Fluido essencialmente viscoso, mas sua viscosidade aparente 
varia com a taxa de deformação (ou seja, não é representado 
por uma reta no plano tensão deformação) – fenômenos de 
potência;
• Fluido tem um comportamento plástico antes de escoar 
como um fluido.
1. Fenômenos da Potência: ao examinar determinados fluidos 
sob escoamento cisalhante, Ostwald de Waale verificou que os 
mesmos exibiam um comportamento diferente do proposto 
por Newton no tocante ao comportamento da viscosidade 
frente ao cisalhamento aplicado. Ao contrário dos fluidos 
newtonianos, os fluidos examinados apresentavam uma re-
lação tensão de cisalhamento (τ) versus taxa de deformação 
(dv/dy) não linear em que a inclinação variava também de 
forma não linear com a taxa de deformação. Tomando como 
base a Lei de Newton, Ostwald propôs o seguinte modelo:
onde: n é o índice de comportamento ou de potência e K 
é o índice de consistência.
Observe que a Equação 2.4 se reduz à Equação 2.2 se n=1, 
desta forma K=μ.
K está relacionado com a viscosidade aparente (η) da se-
guinte forma:
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
22FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Quanto mais distante o ín-
dice de comportamento estiver 
de 1, mais distante o f luido es-
tará do comportamento new-
toniano.
Pseudoplasticidade: este é o fenômeno de potência que 
ocorre mais frequentemente. Este fenômeno faz com que a 
viscosidade aparente, que a baixas taxas de cisalhamento tem 
um valor alto, caiam a um valor constante η∞ a partir de um 
valor crítico da tensão de cisalhamento.
Este comportamento pode ser explicado por uma das três 
razoes que se seguem:
• Existência no sistema líquido de partículas assimétricas que 
estando no repouso, orientadas de forma aleatória, assumem 
uma direção preferencial na direção do escoamento;
• Sistemas líquidos constituídos de moléculas grandes e flexí-
veis que passam de uma configuração aleatoriamente enrolada 
no repouso, para uma orientada na direção do escoamento, 
assumindo uma forma quase linear;
• Existência de moléculas que em repouso se encontram alta-
mente solvatadas, tem as camadas de solvatação destruídas 
pela ação do cisalhamento.
Moléculas grandes e f lexíveis, como as moléculas polimé-
ricas, devido ao elevado grau de enrolamento produzem vários 
pontos de contato entre seus segmentos cinéticos ao longo de seu 
comprimento. Estes pontos de contato atuam de forma a evitar 
o livre movimento destas moléculas e/ou de seus segmentos, de 
forma que confere ao sistema uma viscosidade maior em taxas 
de deformação mais baixas. Na medida em que o cisalhamen-
to imposto é capaz de iniciar a eliminação destes pontos de 
contato, alinhando as moléculas na direção do cisalhamento, a 
viscosidade aparente do sistema será paulatinamente diminu-
Taxa de cisalhamento
Newtoniano
Pseudoplástico
Dilatante
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
23FENÔMENOS DE TRANSPORTE
ída até que o equilíbrio seja novamente alcançado. Exemplos: 
suspensões coloidais, polímeros no estado fundido, soluções 
poliméricas, polpa de papel em água.
Dilatância: é o fenômeno oposto à peseudoplasticidade. 
Foi observado pela primeira vez por Reynolds ao observar que 
alguns sistemas se expandiam volumetricamente sob cisalha-
mento. Estudando suspenses concentradas em água, Reynolds 
deduziu que este comportamento anômalo se devia ao fato de 
que estas suspensões, quando em repouso, apresentavam uma 
quantidade mínima de vazio e que o liquido era suficiente apenas 
para preenchê-los. Sob cisalhamento suave, o liquido lubrificava 
as partículas facilitando seus movimentos relativos. Aumen-
tos posteriores na taxa de deformação provocavam expansão 
no material e aumento na quantidade de vazios. Deste ponto 
em diante o líquido não era mais suficiente para lubrificar as 
partículas me movimento. O aumento na viscosidade aparente 
do sistema era então evidenciado pela necessidade de se au-
mentar a tensão de cisalhamento para manter o movimento das 
partículas. É um fenômeno pouco comum, estando associada 
às suspensões concentradas de partículas grandes. Exemplo: 
suspensões de amido e areia. 
2. Viscoplasticidade:
a. Fluido de Bingham: a viscoplaticidade é um fenômeno 
caracterizado pela existência de um valor residual para 
a tensão de cisalhamento, o qual deve ser excedido para 
que o material apresente um f luxo viscoso. Este compor-
tamento é comum às composições altamente concentradas 
em que a interação partícula-partícula desempenha um 
papel importante. Sistemas que são considerados líquidos 
como lamas, polpas de frutas e suspensões concentradas, 
quando têm sua concentração de sólidos elevada além do 
valor crítico, favorecem a formação de um “esqueleto” por 
parte das partículas antes dispersas. Esse “esqueleto” além 
de ser responsável pela elevação na viscosidade do sistema, 
impede que o mesmo flua normalmente. Portanto é neces-
24FENÔMENOS DE TRANSPORTE
sário destruir este “esqueleto” para que o material realize 
um escoamento viscoso.
onde τ0 é a tensão residual. E μ é a viscosidade plástica.
b. Fluido de Herschel-Bulkley (pseudoplástico com tensão 
inicial):
Fenômenos não-Newtonianos dependentes do tempo
O efeito do tempo assume grande importância quando a 
estrutura aleatória dos sistemas líquidos muda de forma gra-
dual frente a um campo de cisalhamento. A heterogeneidade 
no escoamento é caracterizada pela presença de duas ou mais 
fases que interagem entre si e produzem perturbações locais nas 
linhas de fluxo. Dentre os fatores que causam a heterogeneidade 
podem ser citados: forças interfaciais, pontes de hidrogênio e 
outras interações intermoleculares. Além disto existe a tendên-
cia de uma das partes da fase dispersa se cristalizar durante 
o escoamento, aumentando sua fração volumétrica à custa da 
fase contínua que lhe providencia volume livre e lubrificação. 
Estas perturbações aumentam de importância com o aumento 
de concentração, podendo gerar aumento ou diminuição da 
viscosidade aparente do sistema dependendo da forma como 
a estrutura interna do liquido será alterada: se destruída ou 
ampliada. Os processos caracterizados pela destruição estru-
tural pela ação do tempo fazem parte do fenômeno conhecido 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
Taxa de cisalhamento
Fluido de Bingham
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
Taxa de cisalhamento
Fluido de Herschel-Bulkley
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
25FENÔMENOS DE TRANSPORTE
como tixotropia. Os processos contrários recebem o nome de 
não-tixotrópicos.
1. Tixotropia: é um fenômeno caracterizado pela diminuição 
da viscosidade aparente do líquido com o tempo de apli-
cação de uma dada taxa de deformação.
2. Fenômenos não-tixotrópicos - Reopéticos: a antitixotropia 
ou reopexia é perfeitamente explicada pelas teorias aplica-
das à tixotropia, só que no sentido inverso. Todavia deveser acrescentado que as partículas da fase dispersa devem 
possuir uma tendência à aglomeração, a qual é aumentada 
pela ação do cisalhamento imposto.
Fenômenos viscoelásticos
São f luidos que têm características viscosas e elásticas. 
Ou seja, quando submetidos a uma tensão de cisalhamento 
deformam-se, mas recuperam-se parcialmente da deformação 
ao cessar o esforço. Exemplo deste tipo de f luidos são as massas 
e as geleias.
Descrição e classificação do movimento dos f luidos
Os diferentes tipos de escoamento considerados são clas-
sificados pelas características do modo de escoamento e das 
propriedades do f luido. O campo de escoamento é uma repre-
sentação do movimento no espaço em diferentes instantes. A 
propriedade que descreve o campo de escoamento é a velocidade 
v(x, y, z, t). note que a velocidade é uma quantidade vetorial e 
tem componentes na direção x, y e z e pode também várias com 
o tempo. A representação visual de um campo de escoamento 
é obtida pela introdução de um material de rastreamento no 
escoamento e pela sua fotografia (tintas coloridas em água e 
fumaça no ar). Estas fotografias fornecem as linhas de corrente 
definidas como uma linha continua que é tangente aos vetores 
velocidade ao longo do escoamento num dado instante. Como 
consequência desta definição. Não há escoamento cruzando uma 
26FENÔMENOS DE TRANSPORTE
linha de corrente. Portanto, a superfície solida ou parede que 
delimita o escoamento também é uma linha corrente. Quando 
se observa o caminho de uma dada articula f luida em função 
do tempo, tem-se a trajetória da partícula. 
Experiência de Reynolds – Escoamento laminar e turbulento
Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos 
reais pode ocorrer de dois modos diferentes: o escoamento 
laminar e o escoamento turbulento. As características destes 
regimes foram inicialmente descritas por Reynolds, com um 
dispositivo como o descrito abaixo. A água escoa de um tanque 
através de um tubo de vidro com abertura em forma de sino, 
sendo o escoamento controlado pela válvula. Um tubo fino pro-
veniente de um reservatório de corante, termina no interior da 
entrada do tubo de vidro. Reynolds verificou que, para pequenas 
velocidades de escoamento no tubo de vidro, forma-se um fila-
mento estreito e paralelo ao eixo do tubo. Entretanto, abrindo-se 
mais a válvula, e atingindo-se velocidade maiores, o filamento 
de corante torna-se ondulado e se interrompe, difundindo-se 
através da água que escoa no tubo. Reynolds verificou que a 
velocidade media para a qual o filamento de corante começa a 
se interromper (chamada velocidade crítica) depende do grau 
de estabilidade da água no tanque. Uma vez que o movimento 
caótico das partículas fluidas durante o escoamento produzia 
difusão do filamento, Reynolds deduziu de sua experiencia que 
em velocidades baixas isto não deveria ocorrer, e verificou que 
as partículas fluidas se movimentavam em camadas paralelas, 
ou laminas, escorregando através de laminas adjacentes, mas 
não se misturando entre si, este movimento denomina-se esco-
amento laminar. Mas para velocidades superiores, o filamento 
do corante se difunde através do tubo, tornando-se aparente o 
movimento caótico das partículas fluidas, e neste caso, dizemos 
que o escoamento é turbulento.
Reynolds generalizou as conclusões tiradas de sua experien-
cia com a introdução de um termo adimensional Re, definido 
pela relação:
27FENÔMENOS DE TRANSPORTE
onde v é a velocidade nédia no tubo, D é o diâmetro interno 
do tubo, μ é a viscosidade absoluta ou dinâmica do f luido, υ 
é a viscosidade cinemática do f luido e ρ é a massa específica 
do f luido.
Reynolds inferiu que certos números podem delimitar a 
transição entre o regime laminar e o regime turbulento para 
qualquer f luido. O numero de Reynolds crítico é função da 
geometria dos contornos. Para:
• Dutos cilíndricos – Lc (dimensão característica) 
= D → Rec = 2300;
• Escoamento entre paredes paralelas – Lc 
= distância entre as paredes → Rec = 1000;
• Escoamento em canal aberto – Lc 
= profundidade da água → Rec = 500;
• Ao redor de uma esfera – Lc = diâmetro da esfera → Rec = 1.
Quando temos outros tipos de seção transversal, pode-se 
utilizar o conceito de Diâmetro Hidráulico (DH).
onde As é a área da seção formada pelo f luido e P é o 
perímetro.
O número de Reynolds é uma relação entre forças de inercia 
e forças viscosas. As forças de inercia são perturbadoras, en-
quanto as forças viscosas são amortecedoras das perturbações.
Escoamento uni, bi e tridimensionais
Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensio-
nal em função do número de coordenadas espaciais necessárias 
para se especificar o campo de velocidade.
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
28FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Escoamento compressível e incompressível
Os escoamentos em que as variações na massa especifica 
são desprezíveis denominam-se incompressíveis. São usual-
mente escoamentos de líquidos ou de gases com transferência 
de calor desprezível, desde que as velocidades sejam pequenas 
quando comparadas com a velocidade do som. A razão entre a 
velocidade do escoamento e a velocidade do som (c) é definida 
como número de Mach.
Para M < 0,3 as variações de massa especifica são inferiores 
a 5% e o escoamento pode ser tratado como incompressível. 
Escoamentos com M > 0,3 devem ser tratados como compres-
síveis (para o ar a velocidade critica é aproximadamente 100 
m/s). escoamentos compressíveis acontecem com frequência em 
aplicações da engenharia. Exemplo: sistemas de ar comprimido, 
tubulações com gases a altas pressões, controle pneumático, 
entre outros. Normalmente o escoamento de um liquido será 
considerado incompressível, uma vez que as velocidades do 
som nos líquidos são grandes, por exemplo, a velocidade do 
som na água é cerca de 1500 m/s.
Escoamento permanente e não-permanente
Escoamento permanente ou estacionário é o escoamento 
em que as propriedades não mudam com o tempo. Para esco-
amento permanente:
No escoamento permanente, qualquer propriedade pode 
variar de um ponto a ponto no campo de escoamento, mas todas 
as propriedades permanecerão constantes com o tempo, em 
cada ponto. Escoamento não-permanente, não-estacionário ou 
transiente é o escoamento em que as propriedades são função 
do tempo. Em escoamento em regime permanente, as linhas 
de corrente e as trajetórias são coincidentes. Se o escoamento 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
29FENÔMENOS DE TRANSPORTE
for uma função do tempo, transiente, as linhas de corrente e 
as trajetórias são diferentes.
Estática dos fluidos
Fluido é uma substância que se deforma continuamente 
sob a ação de uma tensão de cisalhamento, por menor que seja 
esta tensão.
O f luido é considerado estático se todas as partículas não 
tiverem movimento ou tiverem a mesma velocidade relativa em 
relação a um referencial de inercia. São considerados estáticos, 
os f luidos em repouso ou em movimento de corpo rígido. Não 
há tensão de cisalhamento, só atuam tensões normais – pressão.
Equação fundamental da estática dos fluidos 
Objetivo: determinar o campo de pressões de um f luido.
Considerar um campo de f luido de massa dm e lados dx, 
dy e dz, estacionário em relação ao sistema de coordenadas 
retangulares.
Existem dois tipos de força que podem atuar sobre o f luido:
• Forças de campo ou de corpo: são forças desenvolvidas sem 
o contato físico. Exemplo: gravitacional, magnética.
• Forças de superfície ou de contato: incluem todas as forças 
que agem sobre a superfície do meio através do contato 
direto (pressão e cisalhamento).
Forças de campo ou de corpo:
Gravitacional
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
30FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Forças de contato ou de superfície:
A pressão total que atua sobre o elemento é dada pela soma 
de pressões que atuam nas seis faces do elemento. As forças de 
pressão são dadas pelo produto dos três itens a seguir: mag-
nitude da pressão, área da face onde atua a pressão e o vetor 
unitário para indicar direção e sentido.
• Direção x
O mesmo ocorre nas direções y e z.
Somando os termos dados nas três direções, obtém-se a 
força de superfície resultante atuando sobre o elemento de 
volume. Cancelando os termos comuns com sinais opostos e 
reagrupando temos:
o termo entre parênteses é o gradiente de pressão ou ∇P 
(operador vetorial).
Como no fluido estático atuam somente as forças de campo 
(gravitacional) e de superfície (pressão), pode-se combinar as 
Equações 1.12 e 1.15:
dF = (ρg - ∇P) dx . dy . dz
Se o f luido é estático, a somatória das forças atuantes sobre 
o corpo é zero. Para a força ser igual a zero, um dos termos 
da Equação 1.16 deve ser zero. Como o volume não pode ser 
zero (dx.dy.dz = dV), então:
(ρg - ∇P) = 0
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
∝
 
 
=
′ −
 
= 
Então ( ′ − ) = . . Assim: 
.
∝ → = 
∝ ∝ 
 = − 
 ⃗ =
⃗
− 
 = 
= 
 =
−1
 
= 0 + 
= = 
= 4 
= 
= 0 = 0 
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ 
= . . . ⃗
+ = − ( + ) . . ⃗
 
= − ( ⃗ + ⃗ + ⃗) . . 
31FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A Equação acima tem três componentes escalares que 
devem ser satisfeitos individualmente. É comum escolher um 
sistema de eixos coordenados de tal modo que o vetor g esteja 
alinhado com um dos eixos. Supondo g na direção z (mas em 
sentido contrário): gx = 0 e gy = 0.
Se o f luido é incompressível, temos que ρ é constante e 
considerando g também constante, chega-se à equação funda-
mental da estática dos f luídos:
P = ρgh + P₀
Escalas para a medida de pressões 
As pressões podem ser expressas de duas formas: manomé-
trica e absoluta. Quando a medida da pressão é expressa como 
sendo a diferença entre seu valor e o vácuo absoluto (ausência 
total de matéria), será chamada de pressão absoluta. Quando 
a medida da pressão é expressa como sendo a diferença entre 
seu valor e o valor da pressão atmosférica local é chamada de 
pressão efetiva ou pressão manométrica.
Pªbs = Pmªⁿ + Patm
Manometria
Uma técnica padrão para a medição da pressão envolve a 
utilização de colunas de líquidos verticais ou inclinadas. Os 
dispositivos para a medida de pressão baseados nesta técnica 
são denominados manômetros. O barômetro de mercúrio é um 
exemplo deste tipo de manômetro, mas existem muitas outras 
configurações que foram desenvolvidas em função da aplicação. 
Os três tipos usuais de manômetros são o tubo piezométrico, 
o manômetro em U e o com tubo inclinado.
= = 0 = − 
 
+
2
2
+ = [m²/s²=J/kg] +
2
2
+ = [m] 
32FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Tubo piezométrico
O tipo mais simples de manômetro consiste num tubo 
vertical aberto no topo e conectado ao recipiente no qual de-
sejamos conhecer a pressão. A pressão no ponto A é dada por:
PA = ρ₁gh₁
Na equação fundamental 
da estática dos f luidos temos 
um termo p0 (pressão de refe-
rência). Neste caso, p0 foi des-
prezado ou igualado a zero, o 
que vai determinar que a pres-
são medida no ponto A seja 
uma pressão manométrica ou 
relativa. Se desejarmos a pres-
são em A com valor absoluto, 
então utilizamos a Equação P = ρgh + P₀
Apesar do tubo piezométrico ser muito simples e preciso, 
ele apresenta muitas desvantagens. Ele é apropriado nos casos 
onde a pressão no recipiente é maior que a pressão atmosférica 
(se não ocorreria sucção do ar para o interior do recipiente) e 
não muito grande para que a altura da coluna seja razoável. 
Note que só é possível usar este dispositivo se o f luido do re-
cipiente foi liquido.
Manômetro de tubo em U
Para superar alguns inconvenientes do tubo piezométrico, 
foi desenvolvido o tubo em U. O f luido que se encontra no 
tubo do manômetro é chamado de f luido manométrico. Para 
determinar a pressão PA em função das alturas das várias co-
lunas aplicamos o Princípio de Pascal:
Todos os pontos de um f luido em repouso que estão à 
mesma altura, estão submetidos à mesma pressão.
33FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Pelo principio de Pascal, P2 = P3. Observe que não podemos 
dizer que P1 é igual a pressão na coluna ao lado, no ponto de 
mesma elevação, porque temos f luidos diferentes.
Podemos então dizer:
P₂ = ρA gh₁ + PA e / P₃ = ρm gh₂ + P₀
Igualando P2 e P3 e definindo P0 = Patm=0
PA = -ρA gh₁ + ρm gh₂
Existe uma regra prática que nos permite calcular a pressão 
em um manômetro de colunas liquidas levando-se em conta 
que quando nos movemos para cima numa coluna liquida, a 
pressão cai e quando nos movemos para baixo a pressão sobe.
Comece pela pressão na extremidade qualquer do manôme-
tro e vá somando todas as colunas ao descer e subtraindo todas 
as colunas ao subir, igualando à pressão da outra extremidade.
Se o manômetro estive com um dos ramos aberto para a 
atmosfera, podemos igualar esta pressão a zero, desta forma 
estaremos obtendo uma medida de pressão manométrica na 
outra extremidade; ou então igualar ao valor da pressão baro-
métrica, neste caso estaremos obtendo uma medida da pressão 
absoluta.
O manômetro a seguir também é um manômetro dife-
rencial, mas não tem nenhum ramo aberto para a atmosfera. 
Portanto não é possível determinar o valor da pressão A ou da 
h1
(1)
aberto
(2)
ɣ2
(�uido
de calibre)
ɣ1
(3)
h2
34FENÔMENOS DE TRANSPORTE
pressão B, apenas a diferença entre ambas as pressões. Apli-
cando o principio de Pascal, temos que P2 = P3.
P₂ = ρ₁ gh₁ + PA e P₃ = ρ₂ gh₂ + ρ₃ gh₃ + PB
Portanto, PA - PB = ρ₂ gh₂ + ρ₃ gh₃ - ρ₁ gh₁
Manômetro de tubo inclinado
São utilizados para medir pequenas variações de pressão. 
Uma perna é inclinada de um ângulo θ e a leitura I2 é medida 
ao longo do tubo inclinado.
Nestas condições a diferença de pressão será:
PA + ρ₁ gh₁ - ρ₂ gI₂ sinθ - ρ₃ gh₃ = PB
Observe que a distância vertical entre os pontos 1 e 2 é I₂ 
sinθ. Assim, para ângulos relativamente pequenos, a leitura 
diferencial ao longo do tubo inclinado pode ser feita mesmo 
que o diferencial de pressão seja pequeno. O manômetro de 
tubo inclinado é sempre utilizado para medir pequenas dife-
renças de pressão em sistemas que contém gases. Nestes casos:
PA - PB = ρ₂ gI₂ sinθ
A equação pode ser simplificada porque as contribuições 
das colunas de gases podem ser desprezadas.
(1)
ɣ
12
ɣ2
ɣ2
3
A
B
(2) Gás
Gás
θ
35FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Equação de Bernoulli
Em volumes de controle onde as condições abaixo sejam 
satisfeitas, pode-se aplicar a equação de Bernoulli.
• Escoamento em regime permanente;
• Não há trabalho de eixo;
• Não há troca de calor;
• Escoamento invíscido (não viscoso – sem perdas);
• Não há variação de temperatura (variação de energia interna 
= 0);
• Se o fluxo é incompressível.
Modificações das hipóteses fundamentais de Bernoulli
= = 0 =− 
 
+
2
2
+ = [m²/s²=J/kg] +
2
2
+ = [m] 
1. No escoamento de um gás, como em um sistema de ventila-
ção, onde a variação de pressão é apenas uma pequena fração 
da pressão absoluta, o gás pode ser considerado incompres-
sível. A equação é utilizada aplicando-se um ρ médio.
2. Para um escoamento não permanente, cujas condições variam 
gradualmente, como o lento esvaziamento de um reservatório, 
a equação de Bernoulli pode ser aplicada sem erro apreciável.
3. A equação é utilizada na analise de fluidos reais, despre-
zando em primeira aproximação as tensões viscosas para 
obter resultados teóricos. A equação resultante pode então 
ser modificada por um coeficiente determinado experimen-
talmente, que corrige a equação teórica para que fique em 
conformidade com o caso real.
36FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Síntese
Neste capítulo vimos alguns conceitos fundamentais que 
utilizaremos no estudo da mecânica dos f luidos. Alguns de-
les são: como descrever os escoamentos, forças (de superfície 
e de campo) e tensões (cisalhante e normal), tipos de f luidos 
(newtonianos, não newtonianos — dilatante, pseudoplástico, 
tixotrópico, reopético, plástico de Bingham e viscosidade (ci-
nemática, dinâmica e aparente). Tipos de escoamento (viscoso/
invíscido, laminar/turbulento, compressível/incompressível). 
Vimos também dois grupos adimensionais muito úteis — o 
número de Reynolds e o número de Mach. Revisamos os 
conceitos básicos de estática dos f luidos, que inclui a dedução 
das equações básicas de estática dos f luidos na forma vetorial 
e aplicação dessas equações para calcular a variação de pressão 
em um fluido estático.
37FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Exercícios
1. Um fluido real apresenta taxa de deformação desde que haja 
tensão cisalhante. A razão entre a tensão cisalhante aplicada 
e a correspondente taxa de deformação é uma propriedade 
importante na descrição do escoamento de fluidos (viscosida-
de). A forma de comportamento desta razão pode ser usada 
para classificar os diversos fluidos, e nomes como fluidos 
newtonianos e não newtonianos, fluidos pseudoplásticos, 
fluidos tixotrópicos, entre outros, são utilizados.
Um fluido que apresenta a razão entre a tensão cisalhante 
e a taxa de deformação constante, cujo valor aumenta com o 
aumento da temperatura, sendo independente do tempo, é 
um(a):
a. ( ) Fluido tixotrópico.
b. ( ) Suspensão dilatante.
c. ( ) Líquido Newtoniano.
d. ( ) Gás Newtoniano.
e. ( ) Mistura pseudoplástica.
2. A viscosidade é um parâmetro característico de um fluido, e 
seu valor depende de várias condições. Sobre a viscosidade 
de um fluido, constata-se que
a. ( ) a viscosidade de um f luido não varia em função da 
temperatura.
b. ( ) em uma temperatura constante, a viscosidade de um 
f luido formado pela mistura de dois outros f luidos puros 
é maior que os valores de viscosidade dos f luidos puros.
c. ( ) a viscosidade de um f luido formado pela mistura de 
dois outros f luidos puros depende da quantidade presente 
de cada um dos f luidos que compõem essa mistura.
d. ( ) gases não possuem viscosidade.
e. ( ) um f luido formado por moléculas mais polares tem 
menor viscosidade do que um fluido formado por moléculas 
menos polares.
38FENÔMENOS DE TRANSPORTE
3. Em relação ao comportamento reológico de fluidos, analise 
as proposições a seguir:
I A viscosidade de um fluido sempre diminui com o aumento 
da temperatura.
II Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é propor-
cional ao quadrado da taxa de deformação são ditos f luidos 
não newtonianos. 
III Um fluido plástico de Bingham não escoa quando submetido 
a uma tensão de cisalhamento inferior a um determinado 
valor limite. 
IV Há f luidos não newtonianos nos quais a viscosidade apa-
rente varia com o tempo.
São corretas APENAS as proposições
a. ( ) I e II.
b. ( ) II e III.
c. ( ) I, II e IV.
d. ( ) III e IV.
e. ( ) II, III e IV.
4. Ao se analisar as condições de escoamento de fluidos no 
interior de tubulações, o número adimensional de Reynol-
ds é um parâmetro importante pois classifica a natureza 
do escoamento quanto ao regime laminar e turbulento. As 
grandezas relacionadas ao número de Reynolds são:
a. ( ) Diâmetro do tubo, perda de carga e velocidade do 
f luido.
b. ( ) Perda de carga, viscosidade dinâmica e velocidade do 
f luido.
c. ( ) Velocidade do f luido, viscosidade dinâmica, diâmetro 
do tubo e perda de carga.
d. ( ) Diâmetro do tubo, densidade, velocidade do f luido e 
viscosidade dinâmica.
e. ( ) Diâmetro do tubo, densidade, velocidade do f luido e 
perda de carga.
39FENÔMENOS DE TRANSPORTE
5. Em um tubo em U, colocam-se dois fluidos imiscíveis de 
densidades distintas, d1 > d2, como na Figura.
 Dadas as diferenças de níveis de altura h1 e h2, qual a 
razão entre as densidades d1/d2?
a. ( ) 2h2/h1.
b. ( ) 1+h2/h1.
c. ( ) 1+h1/h2.
d. ( ) (1+h2+h1)/2.
e. ( ) 1+h2h1.
6. A figura abaixo representa um manômetro em forma de U, 
que utiliza o mercúrio como líquido, ρHg = 13,6 g/cm3. 
Sendo a equação que relaciona a pressão, P, com a altura, z, 
para um fluido estático incompressível, submetido à acele-
ração da gravidade constante, g = 10 m/s2 , dada por dP/
dz = -ρg, e considerando o eixo "z" vertical e para cima, a 
Pressão manométrica no ponto A é de:
a. ( ) 780 Pa.
b. ( ) 1360 Pa.
c. ( ) 2720 Pa.
d. ( ) 2000 Pa.
e. ( ) 4000 Pa.
Gabarito
1. d.
2. c.
3. d.
4. d.
5. b.
6. c.
40FENÔMENOS DE TRANSPORTE
TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR
Calor, transferência de calor por condução, 
transferência de calor por convecção, 
transferência de calor por radiação.
A troca e a transformação de energia são fenômenos que 
ocorrem constantemente na natureza. Basta esfregarmos as 
nossas mãos para percebermos o aumento da temperatura delas. 
Nesse caso, temos uma transformação da energia mecânica em 
calor. Esse é só um dos muitos exemplos que ocorrem frequen-
temente ao nosso redor.
Mas o que é CALOR?
41FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Calor
Calor é uma forma de energia, portanto, no Sistema In-
ternacional de Unidades, a unidade de calor ou quantidade 
de calor, cujo símbolo é Q , é a própria unidade de energia, o 
joule (J). Entretanto, na prática, é usada uma outra unidade 
de calor, muito antiga (da época do calórico), denominada 1 
caloria = 1cal. Por definição, 1 cal é a quantidade de calor que 
deve ser transferida a 1 grama de água para que sua tempera-
tura se eleve de 1ºC.
Joule estabeleceu a relação entre estas duas unidades, en-
contrando,
1 cal = 4,18 J
Por experiência, sabemos que um objeto quente que entra 
em contato com um frio torna-se mais frio, enquanto o objeto 
frio é aquecido. Uma visão razoável é que algo é transferido 
do objeto quente para o frio, e chamamos isto de calor (Q ). 
Assim, dizemos que o calor sempre f lui de uma temperatura 
mais alta para uma mais baixa. Isso leva ao conceito de tem-
peratura como força motriz para a transferência de energia na 
forma de calor. A taxa de transferência de calor de um corpo 
para outro é proporcional à diferença de temperaturas entre 
os dois corpos; quando não há diferença de temperaturas, não 
há transferência líquida de calor. Os processos adiabáticos 
são aqueles onde não ocorre transferência de calor. Como o 
trabalho, o calor é uma função de linha e apresenta diferencial 
inexata (δ).
∫1² δQ = Q₂ - Q₁
Calor é a energia transferida de um corpo para outro em 
virtude, unicamente, de uma diferença de temperatura entre 
eles. Esse trânsito de energia pode ser processado de três mo-
dos diferentes: transferência de calor por condução, convecção 
e radiação.
42FENÔMENOS DE TRANSPORTE
CONDUÇÃO
Comida
Panela
Fogão
Atomos
TRANSFERÊNCIA
DE CALOR
Condução:
A transferência de calor para
o material por contato direto 
CALOR Cabo
Transferência de calor por condução
Na menção da palavra condução, devemos imediatamente 
visualizar conceitos das atividadesatômicas e moleculares, pois 
são processos nesses níveis que mantêm este modo de transfe-
rência de calor. A condução pode ser vista como a transferência 
de energia das partículas mais energéticas para as menos ener-
géticas de uma substância devido às interações entre partículas.
O mecanismo físico da condução é mais facilmente ex-
plicado através da consideração de um gás e do uso de ideias 
familiares vindas da termodinâmica. Considere um gás no 
qual exista um gradiente de temperatura e admita que não 
haja movimento global, ou macroscópico. O gás pode ocupar 
o espaço entre duas superfícies que são mantidas a diferentes 
temperaturas. Associamos a temperatura em qualquer ponto à 
energia das moléculas do gás na proximidade do ponto. Essa 
energia está relacionada ao movimento de translação aleatório, 
assim como aos movimentos internos de rotação e de vibração 
das moléculas.
Temperaturas mais altas estão associadas a energias mo-
leculares mais altas. Quando moléculas vizinhas se chocam, 
como o fazem constantemente, uma transferência de energia 
das moléculas mais energéticas para as menos energéticas 
deve ocorrer. Na presença de um gradiente de temperatura, 
transferência de energia por condução deve, então, ocorrer 
no sentido da diminuição da temperatura. Isso seria verdade 
43FENÔMENOS DE TRANSPORTE
mesmo na ausência de colisões, como está evidente na figura 
abaixo a seguir. 
Processos de transferência de calor podem ser quantifica-
dos através de equações de taxa apropriadas. Essas equações 
podem ser usadas para calcular a quantidade de energia sendo 
transferida por unidade de tempo. Para a condução térmica, 
a equação da taxa é conhecida como lei de Fourier. Para a 
parede plana unidimensional mostrada na Figura 6. com uma 
distribuição de temperaturas T(x), a equação da taxa é escrita 
na forma:
A taxa de transferência de 
calor por condução, qx (W), 
através de uma parede plana 
com área A, é, então, o pro-
duto do f luxo e da área, Q 
= q″x · A. Sendo assim, para 
uma placa plana unidimen-
sional a transferência de calor 
por condução é dada por:
onde k é a condutividade térmica (W/m·K).
Caso geral:
onde ∇ é o operador de soma de vetores.
T1
qn qn qn
Superfície, T1
Superfície, T2
qn
T1 > T2 T3 > T ∞T2
T2 2
1
Fluido em
movimento, T ∞
Condução através de um sólido
ou de um fluido estacionário
Convecção de uma superfície
para um fluido em movimento
Troca líquida de calor por
radiação entre duas superfícies
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
T1
T2
T(x)
T
x
L
qnX
44FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas cilíndricas:
onde:
• r: coordenada radial;
• z: coordenada axial;
• ϕ: coordenada circunferencial.
Coordenadas esféricas:
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
45FENÔMENOS DE TRANSPORTE
onde:
• r: coordenada radial;
• z: coordenada axial;
• ϕ: coordenada circunferencial.
Transferência de calor por convecção
O modo de transferência de calor por convecção abrange 
dois mecanismos. Além de transferência de energia devido ao 
movimento molecular aleatório (difusão), a energia também é 
transferida através do movimento global, ou macroscópico, do 
f luido. O termo convecção é costumeiramente usado para fazer 
referência a esse transporte cumulativo e o termo advecção se 
refere ao transporte devido ao movimento global do f luido.
Descrevemos o modo de transferência de calor por con-
vecção como a transferência de energia ocorrendo no interior 
de um f luido devido aos efeitos combinados da condução e do 
escoamento global ou macroscópico do f luido. Tipicamente, 
a energia que está sendo transferida é a energia sensível, ou 
térmica interna, do f luido. Contudo, em alguns processos 
convectivos há também troca de calor latente. Essa troca de 
calor latente é geralmente associada a uma mudança de fase 
entre os estados líquido e vapor do f luido. 
A taxa de transferência de calor por convecção é função 
do contato térmico entre a superfície e o meio que escoa e, 
portanto, inf luenciado pela natureza do escoamento (Lei do 
resfriamento de Newton).
46FENÔMENOS DE TRANSPORTE
onde h é o coeficiente de transferência de calor por con-
vecção (W/m²·K).
• Convecção forçada: meio externo movimentando o fluido.
• Convecção livre: sem meio externo movimento o fluido e 
há diferença de densidade.
Transferência de calor por radiação
Radiação térmica é a energia emitida pela matéria que 
se encontra a uma temperatura diferente de zero. Ainda que 
voltemos nossa atenção para a radiação a partir de superfícies 
sólidas, a emissão também ocorre a partir de gases e líquidos. 
Independentemente da forma da matéria, a emissão pode ser 
atribuída a mudanças nas configurações eletrônicas dos átomos 
ou moléculas que constituem a matéria. A energia do campo de 
radiação é transportada por ondas eletromagnéticas (ou, alter-
nativamente, fótons). Enquanto a transferência de energia por 
condução ou convecção requer a presença de um meio material, 
a radiação não necessita dele. Na realidade, a transferência por 
radiação ocorre mais eficientemente no vácuo.
A taxa de transferência de calor por radiação se dá através 
da transmissão de energia no espaço na forma de ondas ele-
tromagnéticas, sendo uma fração da taxa de emissão de um 
corpo negro perfeito, baseado na Lei de Stefan-Boltzmann:
onde ε é a emissividade (adimensional) e é a constante 
de Stefan Boltzmann (5,6697 × 10-8 W/m² K4).
 Pode ocorrer de duas formas:
1º Caso – sólido livre
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
47FENÔMENOS DE TRANSPORTE
2º Caso – sólido confinado
Comparação entre o calor e o trabalho
• Ambos são fenômenos transientes. Sistemas jamais possuem calor ou trabalho. Calor e trabalho simplesmente atravessam as 
fronteiras quando um sistema muda de estado.
• Ambos são observados somente na fronteira de sistemas e ambos representam energia atravessando fronteiras.
• Ambos são funções de linha (caminho) e tem diferenciais inexatas.
"
=
1− 2
=
∆
 
= − 
″ = − ∇ 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗ + ⃗ ) 
″ = − (⃗ + ⃗
1
+ ⃗
1
sin
) 
= ℎ ∆ 
=
4
 
=
4
 
= (
4
−
4
) 
48FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Síntese
Neste capítulo vimos alguns conceitos fundamentais sobre calor, que é uma energia em trânsito, e como esse trânsito de 
energia pode ser processado de três modos diferentes:transferência de calor por condução, convecção e radiação. A transferência 
de calor por condução ocorre quando dois corpos estão em contato direto, a convecção abrange dois mecanismos: movimento 
molecular aleatório (difusão) e movimento global, ou macroscópico, ou seja, ocorre entre um sólido e um f luido. E por fim, a 
transferência de calor por radiação, onde a radiação térmica é a energia emitida pela matéria que se encontra a uma temperatura 
diferente de zero. Também vimos que o entendimento da equação da taxa de condução, lei de Fourier, é essencial. Você deve 
estar ciente da importância das propriedades termofísicas; com o tempo, você desenvolverá uma percepção dos valores das pro-
priedades de muitos materiais reais. Do mesmo modo, você deve reconhecer que a equação do calor é obtida através da aplicação 
do princípio da conservação de energia em um volume de controle diferencial e que ela é usada para determinar distribuições de 
temperaturas no interior da matéria. A partir do conhecimento da distribuição, a lei de Fourier pode ser usada para determinar 
as taxas de transferência de calor correspondentes. É vital uma forte compreensão dos vários tipos de condições de contorno 
térmicas que são utilizadas em conjunto com a equação do calor. Também analisamos temas fundamentais relacionados aos 
fenômenos do transporte convectivo e radiação. 
49FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Exercícios
1. Um recipiente cilíndrico de vidro tem área da base relativa-
mente pequena se comparada com sua altura. Ele contém 
água em temperatura ambiente até quase a sua borda e é 
colocado sobre a chama de um fogão. A transmissão do calor 
por meio das moléculas da água durante seu aquecimento 
ocorre apenas por:
a. ( ) condução.
b. ( ) convecção.
c. ( ) irradiação.
d. ( ) condução e convecção.
e. ( ) convecção e irradiação.
2. Calor é energia térmica em trânsito. A propagação de calor 
está sempre ocorrendo a nossa volta. Ao abrirmos a geladei-
ra, colocarmos gelo em um refrigerante, ao andarmos pelas 
ruas, ao estarmos em um local refrigerado. A propagação de 
calor entre dois corpos, isolados termicamente do ambiente 
externo, se fará do corpo com:
a. ( ) maior energia térmica para o corpo de menor ener-
gia térmica, até que se atinja o equilíbrio térmico, sendo 
a quantidade de calor recebida por um dos corpos igual a 
que foi transmitida pelo outro.
b. ( ) menor energia térmica para o corpo de maior ener-
gia térmica, até que se atinja o equilíbrio térmico, sendo 
a quantidade de calor recebida por um dos corpos igual a 
que foi transmitida pelo outro.
50FENÔMENOS DE TRANSPORTE
c. ( ) maior temperatura para o corpo de menor temperatura, 
até que se atinja o equilíbrio térmico, sendo a quantidade 
de calor recebida por um dos corpos igual a que foi trans-
mitida pelo outro.
d. ( ) menor temperatura para o corpo de maior temperatura, 
até que se atinja o equilíbrio térmico, sendo a quantidade 
de calor recebida por um dos corpos igual a que foi trans-
mitida pelo outro.
e. ( ) maior temperatura para o corpo de menor tempera-
tura, até que a quantidade de calor dos dois corpos atinja 
o equilíbrio térmico.
3. Preparar um bom churrasco é uma arte e, em todas as famílias, 
sempre existe um que se diz bom no preparo. Em algumas 
casas, a quantidade de carne assada é grande e se come no 
almoço e no jantar. Para manter as carnes aquecidas o dia 
todo, alguns utilizam uma caixa de isopor revestida de papel 
alumínio. Considerando o exposto, assinale a alternativa 
correta que completa as lacunas das frases a seguir:
A caixa de isopor funciona como recipiente adiabático. O 
isopor tenta ______ a troca de calor com o meio por ________ 
e o alumínio tenta impedir _________.
a. ( ) impedir – convecção – radiação.
b. ( ) facilitar – condução – convecção.
c. ( ) impedir – condução – radiação.
d. ( ) facilitar – convecção – condução.
e. ( ) impedir – radiação – condução.
51FENÔMENOS DE TRANSPORTE
4. Marque a alternativa correta a respeito dos processos de 
transferência de calor.
a. ( ) Os processos de propagação de calor por condução e 
convecção ocorrem em todos os tipos de meios.
b. ( ) O processo de radiação ocorre somente no vácuo.
c. ( ) A convecção é o processo de propagação de calor que 
proporciona o efeito das brisas marítimas.
d. ( ) A condução térmica ocorre somente em líquidos.
e. ( ) A radiação é um processo de transferência de calor 
que ocorre por meio de ondas eletromagnéticas pertencentes 
ao espectro visível.
5. A transferência de calor por convecção só é possível:
a. ( ) no vácuo.
b. ( ) nos sólidos.
c. ( ) nos líquidos.
d. ( ) nos gases.
e. ( ) nos f luidos em geral.
6. Sobre a transferência de calor por condução, é correto afirmar:
a. ( ) ocorre somente nos sólidos.
b. ( ) pode ocorrer no vácuo.
c. ( ) ocorre somente nos líquidos.
d. ( ) caracteriza-se pela transmissão de calor entre partí-
culas em razão da diferença de temperatura.
e. ( ) caracteriza-se pelo transporte de matéria entre regiões 
de um f luído em razão da diferença de densidade.
52FENÔMENOS DE TRANSPORTE
7. Observe as afirmações a seguir:
O Sol aquece a Terra por meio do processo de 
_____________ térmica;
As panelas são feitas de metal porque esses materiais têm maior 
capacidade de transmissão de calor por _______________;
Os aparelhos de ar-condicionado devem ficar na parte superior 
de uma sala para facilitar o processo de __________________.
As palavras que completam as frases acima corretamente de 
acordo com os princípios físicos dos processos de transmissão 
de calor são, respectivamente:
a. ( ) condução, convecção, radiação;
b. ( ) convecção, radiação, condução;
c. ( ) radiação, convecção, condução;
d. ( ) radiação, condução, convecção;
e. ( ) condução, irradiação, convecção.
8. O fluxo de calor que atravessa um isolante térmico, de es-
pessura 0,25 cm, condutividade térmica do isolante 0,1 
W/m. °C, com temperatura interna de 150 °C e externa de 
30 °C é de:
a. ( ) 4,8 kW/m2
b. ( ) 0,03 kW/m2
c. ( ) 12,0 kW/m2
d. ( ) 3,0 kW/m2
e. ( ) 1,2 kW/m2
Gabarito
1. b.
2.c.
3.c.
4.c.
5.e.
6.d.
7.d.
8.a.
53FENÔMENOS DE TRANSPORTE
TRANSFERÊNCIA 
DE MASSA
Concentrações e velocidades, fluxo, 
coeficiente de difusão, difusão molecular em 
regime estacionário. 
A transferência de massa pode ocorrer em uma mistura 
de gás, em uma solução líquida, ou uma solução sólida. Sem-
pre que há um desequilíbrio em um meio, a natureza tende a 
redistribuí-lo até que seja estabelecida uma nova condição de 
equilíbrio. Se definirmos a concentração de uma espécie como 
a variável de análise do sistema, podemos dizer ocorrerá um 
f luxo da espécie a partir da região de alta concentração para a 
região de baixa concentração, para que seja alcançada a condição 
de equilíbrio. Essa tendência é muitas vezes referida como a 
força motriz. a seguir apresenta a transferência de uma espécie 
(sal) de uma região de alta, para uma de baixa concentração.
54FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A força motriz para a transferência de calor é a diferença de 
temperatura. Em contraste, a força motriz para a transferência 
de massa é a diferença de concentração. Se não há diferença de 
temperatura entre duas regiões, então não ocorrerá transferência 
de calor. Da mesma 
forma, se não há 
nenhuma diferença 
entre as concentra-
ções de uma espécie 
em diferentes par-
tes de um meio, não 
haverá transferência 
de massa.
O calor é transferido por condução, convecção e radiação. 
Massa, no entanto, é transferida somente por condução (difusão 
mássica) e convecção. A taxa de condução de calor em uma 
direção x é proporcional ao gradiente de temperatura dT/dx 
nesse sentido, sendo expressa pela lei de Fourier.
onde k é a condutividade térmica do meio e A é a área 
normal a direção da transferência de calor. Da mesma forma, 
a taxa de difusãomássica de uma espécie química num meio 
estacionário na direção x é proporcional ao gradiente de con-
centração dC/dx nesse sentido, sendo expressa pela lei de Fick.
onde DAB é o coeficiente de difusão entre as espécies pre-
sentes na mistura e CA é a concentração da espécie na mistura. 
A Figura 4.3 representa o perfil de temperatura e concentração 
durante a transferência de calor e massa.
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
55FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A convecção é o mecanis-
mo de transferência de calor 
que envolve tanto a condução 
de calor (difusão molecular), 
quanto o movimento de f lui-
dos. O movimento do f luido 
aumenta consideravelmente a 
transferência de calor. No caso 
limite de o f luido não apresen-
tar movimento junto à superfície, a convecção se reduz a con-
dução. Da mesma forma, a convecção mássica (ou transferência 
de massa convectiva) é o mecanismo de transferência de massa 
entre uma superfície e um fluido em movimento que a envolve. 
O movimento do f luido também aumenta consideravelmente a 
transferência de massa, da região de alta concentração (junto à 
superfície) para a região de baixa concentração (seio da solução 
f luida). A taxa de calor por convecção é expressa por:
onde hconv é o coeficiente de transferência de calor e (Ts-
T∞) é a diferença de temperatura através da camada limite 
térmica. Da mesma forma, a taxa de convecção mássica pode 
ser expressa como:
onde hmass é o coeficiente de transferência de massa. Este 
coeficiente também pode ser representado pelo símbolo k.
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
56FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Concentrações e velocidades
Em base de massa, a concentração é expressa em termos 
de concentração mássica (ρi), que é a massa por unidade de 
volume. Considerando-se um pequeno volume V no interior da 
mistura, as concentrações mássicas de uma espécie (subscrito 
i) e da mistura (sem subscrito) são dadas por:
Portanto, a concentração 
mássica de uma mistura em uma 
posição é igual à soma das con-
centrações mássicas dos seus cons-
tituintes naquele local. A concen-
tração mássica pode também ser 
expressa na forma adimensional, 
em termos de fração mássica (w):
Em base molar, a concentração é expressa em termos de 
concentração molar, que é a quantidade de matéria (mol) por 
unidade de volume. Mais uma vez considerando-se um peque-
no volume V em um local dentro da mistura, a concentração 
molar de uma espécie (subscrito i) e da mistura (sem subscrito) 
nesse local são dadas por:
Portanto, a concentração molar de uma mistura em uma 
posição é igual à soma das concentrações molares dos seus 
constituintes naquele local. A concentração molar também 
pode ser expressa na forma adimensional em termos fração 
molar da espécie i (yi):
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
57FENÔMENOS DE TRANSPORTE
As concentrações mássica e molar estão relacionadas entre si por:
M é massa molar da mistura, definida como:
Assim, as frações mássica e molar estão relacionadas por:
A baixas pressões, um gás ou mistura de gases pode ser 
convenientemente aproximada como um gás ideal com erro 
desprezível. A pressão total (P) da mistura de gases é igual à 
soma das pressões parciais (Pi) para os diferentes gases pre-
sentes na mistura, sendo expressa por:
Para uma mistura gasosa a fração molar da espécie i (yi) 
pode ser obtida por:
A concentração molar de uma espécie (Ci), em uma mistura 
gasosa ideal, pode ser obtida a partir de:
A velocidade média mássica de uma mistura (v ⃗) é defi-
nida por:
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
̇ = − 
ṁ = − 
̇ = ℎ ( − ∞) 
ṁ = ℎ ( − ∞) 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= = ∑ = ∑ 
= =
⁄
⁄
= 
= 
= 
= =
∑
= ∑ = ∑ 
=
∑
 =
∑
 
= ∑ 
=
⁄
⁄
= = 
= 
⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
58FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Enquanto a velocidade média molar de uma mistura (V⃗) 
é dada por:
Embora a temperatura seja contínua através de uma inter-
face (fronteira) gás-líquido, as concentrações são geralmente 
descontínuas. Para a determinação das concentrações em uma 
interface gás-líquido vamos considerar a situação apresentada 
na Figura 4.4, onde yAs representa a fração molar da espécie A 
na interface junto a fase gasosa, enquanto xAs denota a fração 
molar da espécie A na interface junto a fase líquida.
A fração molar de A para a fase gasosa ideal está relacio-
nada com a sua pressão parcial pela lei de Dalton (Equação 
4.16). Para a fase líquida, considerando-a uma solução ideal, a 
condição na interface é dada pela lei de Raoult:
A pressão de vapor pode ser obtida por uma equação tipo 
Antoine (apresentada abaixo).
onde:
• T: temperatura absoluta (K);
• Pivap: pressão de vapor (kPa);
• A, B, C: constantes específicas para cada substância.
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
59FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Na hipótese de equilíbrio termodinâmico na interface gás-
-líquido, considerando ambas as fases ideais, as equações (4.16) 
e (4.20) são igualadas, resultando na equação de Raoult-Dalton:
A equação de Raoult-Dalton pode ser aplicada para gases 
muito solúveis em líquidos, tais como amônia em água.
Considerando que a fase líquida seja composta somente de 
A (xAs =1) a fração molar da espécie A na interface será dada por:
Para soluções diluídas (xAs ≈ 0), ou seja, para gases pouco 
solúveis, a lei de Henry pode ser utilizada para determinar a 
fração molar da espécie A na interface junto a fase líquida. A 
referida lei estabelece que a fração molar da espécie i junto à 
fase líquida é proporcional à sua fração molar junto à fase gás, 
sendo a constante de proporcionalidade o número de Henry 
(He). Para cada espécie i temos:
O número de Henry é inversamente proporcional à pressão 
total e é também uma função da temperatura. O produto do 
número de Henry e da pressão total é a constante de Henry 
(CHe), que para uma determinada espécie é uma função da 
temperatura.
Constantes de Henry (CHe) para soluções aquosas diluídas a 
pressões moderadas (Pivap/xi,s em atm, ou em bar = 105 Pa)
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
Soluto
H2S
CO2
O2
H2
CO
Ar
N2
290 K
440
1280
38000
67000
51000
62000
16000
300 K
560
1710
45000
72000
60000
74000
89000
310 K
700
2170
52000
75000
67000
84000
101000
320 K
830
2720
57000
76000
74000
92000
110000
330 K
980
3220
61000
77000
80000
99000
118000
340 K
1140
–
65000
76000
84000
104000
124000
60FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Fluxo
O fluxo pode ser definido por:
Imaginando o escoamento de n espécies químicasem uma 
solução líquida ou em uma mistura gasosa, existem 3 veloci-
dades relacionadas:
(i) velocidade da solução ou mistura (V ⃗ )
(ii) velocidade da espécie química A (�A 
⃗)
(iii) velocidade de difusão (�A 
⃗ --- V ⃗ )
O f luxo total da espécie A(NA 
⃗), relacionado a um eixo es-
tacionário, está relacionado a uma contribuição difusiva (JA
 ⃗ ) e 
outra convectiva (JA
 ⃗ ) , como segue:
[f luxo total da espécie A]=[contribuição difusiva]+[contri-
buição convectiva]
A 1ª lei de Fick relaciona o f luxo molar difusivo (JA
 ⃗ ) , com 
o gradiente de concentração da espécie A (∇CA). A constante 
de proporcionalidade DAB é o coeficiente de difusão.
Como a concentração total da solução (C) é constante 
(Equação 4.10), a 1ª lei de Fick pode ser expressa por:
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
c
61FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A contribuição convectiva está relacionada à diferença de 
densidade resultante da variação de concentração ao longo do 
caminho de difusão, podendo ser representada por:
Para uma mistura binária:
Assim, f luxo total da espécie A fica:
Para a difusão ocorrendo somente na direção z, temos:
Coeficiente de difusão
Gases
Hirschfelder, utilizando a teoria cinética dos gases, propôs 
a Equação 4.34 para a determinação do coeficiente de difusão 
em uma mistura binária gasosa, considerando os gases apolares 
e não reagentes.
Onde:
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
62FENÔMENOS DE TRANSPORTE
• T: temperatura absoluta (K);
• MA, MB: massa molar (g/mol);
• P: pressão absoluta (atm);
• σAB2: diâmetro de colisão (Å);
• ΩD: integral de colisão (adimensional).
A integral de colisão é uma função da temperatura T e da 
energia de interação molecular para uma mistura binária (εAB).
Onde k é a constante de Boltzmann (1,38.10-16 ergs/K). 
Os valores de εA⁄k e s são conhecidos como parâmetros de 
Lennard-Jones, e são disponíveis para diversos gases. Para uma 
mistura binária composta de gases apolares estes parâmetros 
podem ser obtidos a partir das seguintes equações empíricas:
Todavia os dados para os referidos parâmetros não são 
disponíveis para todos os gases. Alternativamente podem ser 
obtidos através das seguintes relações empíricas:
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗=1
∑ =1
= ∑ ⃗=1 
= 
ln = −
( + )
 
= 
= 
= ,
,
 
= ( ) 
[ ] = [ çã ][ ] = [
 
] [ ] = [
 
] 
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗ ) + ⃗⃗ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗⃗ ⃗ = − ∇ 
⃗⃗ =
∑ ⃗⃗⃗⃗=1
∑ =1
 
⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗) = (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ∇ + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
⃗⃗⃗⃗⃗ = − + (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
=
0,001858
3
2[
1
+
1
]
0,5
2 Ω
 
Ω = (
ε
) 
σ =
+
2
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
63FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Onde Vb é o volume molar no ponto normal de ebulição 
(cm3/mol); Vc é volume molar critico (cm3 /mol); Tc é a tem-
peratura critica (K), Tb é a temperatura normal de ebulição 
(K); e Pc é a pressão crítica (atm).
Para determinar o coeficiente de difusão a partir de um 
valor conhecido a uma determinada temperatura e pressão 
pode-se utilizar a seguinte relação:
A correlação de Fuller foi proposta para estimar o coe-
ficiente de difusão para sistemas gasosos binários apolares a 
baixas pressões:
Para determinar os termos em v utilizam-se valores ta-
belados para algumas moléculas simples, ou ainda, através da 
análise individual dos elementos presentes na molécula. 
Brokaw sugeriu um método para estimar o coeficiente 
de difusão em misturas contendo gases polares. Utiliza-se a 
equação de Hirschfelder, porém a integral de colisão é obtida 
a partir da seguinte equação:
onde:
Sendo μp o momento dipolar em debyes. Ainda:
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
64FENÔMENOS DE TRANSPORTE
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
= √ 
= 1,18
1
3
⁄
 
= 0,841
1
3
⁄
 
= 2,44 ( )
1
3
⁄
 
= 0,77 
= 1,15 
2, 2
=
1, 1
(
1
2
) (
2
1
)
3
2
⁄
Ω , 1
Ω , 2
 
=
0,001
1,75
[
1
+
1
]
0,5
[(∑ )
1
3
⁄
+(∑ )
1
3
⁄
]
2 
Ω = Ω
0
+
0,196
2
∗
 
 δ = ( )
0,5
 
=
1,94×10
3 2
 
∗
= 
= ( )
0,5
 
= 1,18(1 + 1,3
2) 
Ω
0
=
( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
+
exp ( ∗)
 
σ = √ 
= (
1,585
1+1,3 2
)
1
3
⁄
 
Onde:
Com:
A=1,06036; B=0,15610; C=0,19300; D=0,47635; E=1,03587; 
F=1,52996; G=1,76474; H=3,89411.
O diâmetro de colisão (σ��) é determinado por:
Com cada componente individual definido por:
A transferência de massa em misturas gasosas de diversos 
componentes pode ser avaliada através da seguinte equação:
Onde:
• D1-mistura: coeficiente de difusão do componente 1 na 
mistura gasosa.
• D1-n: coeficiente de difusão do componente 1 difundindo 
através do componente n.
• y’ⁿ: fração molar do componente n na mistura gasosa, ava-
liado em base livre do componente 1, por exemplo:
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
65FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Líquidos
Duas teorias são propostas para descrever a difusão de solutos não eletrolíticos em soluções a baixas concentrações, a teoria 
de Eyring e a teoria hidrodinâmica. Um soluto não eletrolítico é aquele que, em contato com uma solução líquida, não se de-
compõe em íons. Os resultados obtidos podem ser arranjados atravésda seguinte forma geral:
Onde f(V) é uma função do volume molecular do 
soluto. Correlações empíricas têm sido propostas a partir 
da Equação 4.55. A tabela a seguir apresenta algumas das 
correlações propostas:
Tabela a seguir: Correlações para determinação do 
coeficiente de difusão em líquidos
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
66FENÔMENOS DE TRANSPORTE
O volume molar no ponto normal de ebulição (Vb) pode 
ser estimado a partir das características da molécula. A tabela 
abaixo apresenta a contribuição dos átomos presentes na mo-
lécula.
Quando certas estruturas estão envolvidas na molécula, 
correções devem ser feitas para a determinação volume molar 
no ponto normal de ebulição (Vb). As seguintes correções são 
recomendadas:
Sólidos
A difusão em um meio sólido é dividida em dois campos 
de interesse: a difusão de gases ou líquidos em poros do só-
lido e a interdifusão de constituintes sólidos por movimento 
atômico. A primeira classe é mais relevante para a Engenharia 
Química devido a sua aplicação em catálise heterogênea. A 
segunda classe é importante para a área da metalurgia, onde 
se estuda a difusão de átomos no interior de sólidos (exemplo 
o endurecimento superficial do aço pela penetração de átomos 
de carbono).
A difusão de líquidos e gases através dos poros do sólido 
pode ocorrer por três mecanismos: Difusão de Fick, Difusão 
de Knudsen e Difusão Configuracional.
Difusão de Fick (ou ordinária)
Ocorre quando o livre caminho médio das moléculas di-
Elemento
Bromo
Carbono
Cloro
Hidrogênio
Iodo
Nitrogênio (cadeia dupla)
Nitrogênio (amina primária)
Elemento
Nitrogênio (amina secundária)
Oxigênio (exceto os casos abaixo)
Oxigênio em ésteres metílicos
Oxigênio em éteres metílicos
Oxigênio em ácidos
Enxofre
Volume
atômico
(cm3/mol)
27,0
14,8
21,6
3,7
37,0
15,6
10,5
Volume
atômico
(cm3/mol)
12,0
7,4
9,1
9,9
12,0
25,6
Piridina
Anel benzênico
Anel naftalénico
Anel antracênico
Descontar 6
Descontar 8,5
Descontar 30
Descontar 47,5
67FENÔMENOS DE TRANSPORTE
fundentes é bem menor que o diâmetro dos poros. Num gás 
o livre caminho médio é da ordem de 1000 Å a 1 atm. Nesta 
condição em poros de 5.000 a 10.000 Å os choques entre as 
moléculas são muito mais frequentes do que com as paredes 
do poro, o que caracteriza a difusão de Fick. Assim a difusão 
é descrita pela 1a lei de Fick, com o coeficiente efetivo de 
difusão (Def).
O coeficiente efetivo de difusão é função da temperatura 
e pressão, que inf luenciam o coeficiente de difusão (DAB), 
porém também varia com as propriedades do sólido poroso, 
tais como a porosidade (εp), a tortuosidade (τ) e a esfericidade 
(ϕ). Assim, o coeficiente efetivo de difusão é dado por:
A tabela ao lado apresenta alguns dados sobre sólidos 
porosos.
A porosidade da partícula varia entre 0,3 e 0,8. A partir 
de dados experimentais com diversos catalisadores industriais 
observou-se que em geral τ está entre 3 e 4. Na ausência de 
informações utilizar tortuosidade igual a 4 e porosidade igual 
a 0,5. A tortuosidade também pode ser estimada pela seguinte 
equação:
Difusão de Knudsen
Ocorre em sólidos com poros menores (entre 10 e 1000 
Å), onde o soluto irá colidir preferencialmente com as paredes 
do poro, de forma que é desprezível o efeito decorrente das 
colisões entre as moléculas. O coeficiente difusivo de Knudsen 
(DK) é dado por:
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada parasoluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
Sólidos
Pellets de alumina
Sílica gel
Sílica alumina
Vidro
Gases
N2, He, CO2
C2H6
He, Ne, Ar, N2
He, Ne, Ar, N2
T(K)
303
323-473
273-323
298
εp
0,812
0,486
0,4
0,31
τ
0,85
3,35
0,725
5,9
rp×1010(m)
96
11
16
30,6
68FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Onde: 
• T:temperatura absoluta(K);
• MA: massa molar do soluto (g/mol);
• rp: raio do poro (cm);
• DK: coeficiente difusivo de Knudsen (cm2/s).
O raio do poro (rp) pode ser obtido por:
onde:
• S: área superficial da matriz porosa (cm2/g);
• B: massa específica da partícula (g/cm3);
Tal como na difusão ordinária, deve ser feita uma corre-
ção no coeficiente difusivo de Knudsen (DK) em função das 
propriedades do sólido:
Em função da diversidade dos poros presentes em um 
sólido podemos ter os dois tipos de difusão ocorrendo simul-
taneamente. Assim o coeficiente efetivo de difusão (DAef) 
será dado por:
Difusão Configuracional
Ocorre em poros de dimensões moleculares, comuns em 
zeólitas, de forma que os coeficientes de difusão são várias 
ordens de grandeza inferiores aos relacionados à difusão or-
dinária ou de Knudsen. A difusão em zeólitas ocorre devido 
aos saltos energéticos do soluto através dos microporos, que 
são dependentes da temperatura.
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
D1− =
1
2
′
1−2
+
3
′
1−3
+⋯+
′
1−
 
2
′
=
2
2+ 3+⋯+
 
= ( ) 
= − 
= 
=
(2− )
 
= 9,7 × 10
3
( )
0,5
 
=
2
 
= 
=
7,4 × 10
−8( )0,5
0,6
 
=
8,52 × 10
−8( )0,5
1
3
⁄
[1,4 ( )
1
3
⁄
+ ( ) ] 
= 1,25 × 10
−8 0,52 1+
[(
1
0,19
) − 0,292] 
=
9,58
− 1,12 
= 9,89 × 10
−8 0,093
(
0,265
0,45
) 
= 2,98 × 10
−7
1
0,5473 0,026
 
= 1,096 × 10
−9 0,7 0,2
0,2
0,4
 
0 = [
(| 1| + | 2|) 1 2
(| 1| 1 + | 2| 2)
] 
Wilke e 
Chang
Autor Equação Observações
Difusão não-eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Difusão de eletrólitos em soluções líquidas diluídas
Lusis e 
Ratccli�
Hayduk e 
Minhas
Siddiqi e Lucas
Siddiqi e Lucas
Hayduk e Minhas
Φ: parâmetro de associação do solvente.
Φ=2,6 (água)
Φ=1,9 (metanol)
Φ=1,5 (etanol)
Φ=1 (demais solventes)
Recomendada nas
situações onde o soluto
são gases dissolvidos, ou
quando se trabalha com
soluções aquosas.
Indicada para solventes
orgânicos. Inadequada
para água como soluto.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes orgânicos.
Indicada para
soluções aquosas.
Indicada para
solventes polares.R: raio de giro
z: valência dos
cátions e ânions
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
69FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Difusão em Sólidos Cristalinos
Em processos siderúrgicos muitas vezes é necessária a 
adição de determinados componentes a ligas metálicas para o 
ajuste de suas propriedades. Nos sólidos cristalinos os átomos 
estão arranjados em redes cristalinas, tais como as apresentadas 
abaixo:
A difusão em sólidos cristalinos ocorre devido à energia 
vibracional dos átomos (teoria de Eyring). O coeficiente de 
difusão (DAB) pode ser definido como:
onde:
• D0:coeficiente de difusão dependente somente da interação 
soluto-átomo da matriz cristalina (cm2/s);
• Q: energia de ativação difusional (cal/mol);
• R: constante dos gases (1,987 cal/mol.K);
• T: temperatura (K).
Alguns dados sobre os difundentes e os sólidos cristalinos 
são apresentados a seguir:
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
Difundente
Carbono
Carbono
Ferro
Ferro
Níquel
Manganês
Raio atômido
difundente (Å)
0,77
0,77
1,26
1,24
Sólido cristalino
Ferro cfc
Ferro cfc
Ferro ccc
Ferro cfc
Ferro ccc
Ferro cfc
D0 (cm2/s)
0,21
0,0079
0,58
5,8
0,5
0,35
Q (cal/mol)
33.800
18.100
67.900
59.700
66.000
67.500
70FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Difusão molecular em regime estacionário
Difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado
Muitas aplicações de engenharia envolvem a evaporação 
na presença de gases não condensáveis, tais como as torres de 
resfriamento. Neste processo ocorre a difusão de vapor através 
de um filme gasoso estagnado. A figura ao lado representa 
esquematicamente o processo.
O tubo, parcial-
mente preenchido 
com água, é mantido 
a temperatura e pres-
são constantes. O ar 
que escoa na superfí-
cie superior do tubo possui solubilidade limitada em água, além 
de ser quimicamente inerte. O vapor de água difunde através 
do ar estagnado presente acima da sua superfície. O f luxo 
molar de água (NA,z), referenciado a um eixo estacionário, é 
dado pela equação abaixo:
Tendo em vista que o f luxo molar de A é constante no 
caminho de difusão (z2-z1), podemos escrever:
Tendo em vista que NB,z=0, a equação anterior fica:
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
71FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Substituindo :
Considerando que a concentração total (C) é constante, e a 
difusão independente da concentração do soluto, a equação fica:
Que está sujeita as seguintes condições de contorno:
z = z₁ yA = yA₁
z = z₂ yA = yA₂
Integrando duas vezes obtêm-se:
- ln(1 - y� ) = C₁ z + C₂
Integrando duas vezes obtêm-se:
Por tratar-se de uma mistura binária: yA+yB=1. Desta 
forma podemos apresentar a equação (4.67) da seguinte forma:
O f luxo molar global de A (NA,z) pode ser obtido pela 
integração da equação (4.64), considerando que : yA+yB=1. 
Assim obtemos:
Como o f luxo molar, a concentração total e a difusividade 
são constantes no caminho de difusão, obtêm-se:
A concentração média logarítmica do componente B (yB,lm) 
é dada por:
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
72FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Substituindo em (4.70) chega-se a equação do f luxo de A 
na direção z:
Esta equação pode ser escrita em termos de pressão parcial. 
Considerando o soluto como um gás ideal, a equação (4.72) 
fica da seguinte forma:
Difusão em Estado Pseudo-Estacionário
Na difusão através de um filme estagnado consideramos 
que não havia variação do caminho de difusão (ΔZ) durante 
o processo. Porém com o consumo do soluto haverá uma mu-
dança no caminho de difusão. Caso a modificação no caminho 
de difusão seja pequena, em um longo período de tempo, o 
modelo de difusão pseudo-estacionário pode ser adotado. A 
figura abaixo apresenta um capilar semi-preenchido por um 
líquido volátil (A).
Supondo que sobre este líquido exista um filme gasoso 
estagnado, deseja-se avaliar a difusividade de A ao longo do 
capilar (caminho de difusão). Após um intervalo de tempo 
considerável, observa-se uma variação do nível do líquido, a 
partir do topo do capilar, segundo:
t = t₀ z = z₁(to)
t = t₁ z = z₁(t1)
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
73FENÔMENOS DE TRANSPORTE
O fenômeno difusivo ocorre na fase gasosa. O nível do 
líquido delimita a região de transferência de massa, portanto 
este nível é a fronteira. Na fronteira a concentração do soluto 
(A) estará sempre referenciada a sua pressão de vapor (proprie-
dade independente do tempo). Assim o f luxo global de matéria 
é dado pela equação (4.72).
A variação temporal do f luxo de matéria do soluto (A) é 
dada por:
Igualando as equações (4.72) e (4.74), separando e inte-
grando obtemos:
Resultando em:
Contradifusão Equimolar
Considere dois grandes reservatórios ligados por um canal 
de comprimento L, como mostrado na figura abaixo:
O sistema contém uma mistura binária de gases A e B, a 
temperatura (T) e pressão (P) uniformes. As concentrações de 
espécies são mantidas constantes em cada um dos reservatórios 
de tal forma que você, yA0>yAL e yB0<yBL. Os gradientes de 
concentração resultantes farão com que a espécie A difunda-se 
no sentido x positivo e a espécie B na direção oposta. Supondo 
que os gases possuam comportamento ideal, a concentração 
molar total da mistura (C) permanecerá constante, ou seja:
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
1
=
1
+
1
 
= 0
−
 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ( ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
, = 0 
, = −
1−
 
(−
1−
) = 0 
(−
1
1−
) = 0 
(
1−
1− 1
) = (
1− 2
1− 1
)
− 1
2− 1
 
(
1
) = (
2
1
)
− 1
2− 1
 
∫ ,
2
1
= ∫ 2
1
 
, =
2− 1
ln ( 2
1
) 
, =
2− 1
ln( 2
1
)
 
, =
2− 1
ln ( 2− 1
,
) 
, = ( 2− 1)
ln ( 2− 1
,
) 
, = 
∫0 =
,
( 2− 1)
∫ 1( 1)
1( 0)
 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
74FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Isto exige que, para cada molécula A que se desloca para a 
direita, uma molécula B irá deslocar-se para a esquerda. Desta 
forma, o f luxo molar das espécies A e B devem ser iguais em 
magnitude e opostos em direção, isto é:
Assim a equação (4.33) pode ser expressa como:
As condições de contorno são as seguintes:
z = z₁ CA = CA₁
z = z₂ CA = CA₂
Separando e integrando, obtemos:
O perfil de concentração para a contradifusão equimolar 
pode ser obtido através da substituição da equação (4.79) na 
equação diferencial abaixo, que indica que o f luxo molar de A 
na direção z é constante.
Integrando duas vezes, com as condições de contorno apre-
sentadas acima, obtemos:
A destilação, caso os calores latentes de vaporização sejam 
equivalentes, é uma operação unitária onde a contradifusão 
equimolar pode ser aplicada.
As equações (4.80) e (4.82) podem ser aplicadas em qual-
quer situação onde a contribuição convectiva é nula. Em alguns 
casos esta contribuição é insignificante, como na difusão de 
um soluto através de um sólido, ou ainda de um líquido, onde 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
75FENÔMENOS DE TRANSPORTE
a concentração do soluto (CA) é muito menor que a concen-
tração total do meio (C). A difusão mássica unidimensional 
da espécie A através de uma parede plana é representada na 
figura abaixo:
Pode-se observar que o perfil 
de concentração de A é linear ao 
longo do caminho de difusão, con-
forme previsto pela equação (4.82). 
A resistência difusiva (Rdif ) é 
dada por:
Rearranjando a equação (4.80) podemos encontrar a taxa 
molar (NA ) do soluto através de uma parede plana, segundo 
a equação:
As equações abaixo são obtidas para a difusão unidimen-
sional, em estado estacionário e sem reação química, de uma 
espécie A através de um meio sólido. A equação (4.85) des-
creve a difusão através de uma superfície cilíndrica, enquanto 
a equação (4.86) é usada para uma superfície esférica.
onde:
• L: comprimento do cilindro;
• r1: raio interno;
• r2:raio externo;
A figura ilustra a difusão através de uma superfície esférica.
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
Massa
Água
Massa
Água
salgada
Sal
Concentração de calor
70°C
10°C
70%
10%
CO₂
Concentração de massa
Gradiente de
Temperatura
A
�� � � � −= �� ��
�t
�
Gradiente de
Concentração
de espécies A
A
−= �B ��
�C�ṁ� �� D A
ṁ� �� ,A
Mistura A + B
A
V=VA=VB
m=mA+mB
p=pA+pB
c=cA+cB
B
YAs
XAs
Fase
gasosa
Fase
líquida
Fronteira
Cúbica de corpo
centrado (ccc)
Cúbica de face
centrada (cfc)
YA = YA2
NAs
NAs = 0
Água
Mistura
gasosa
A + B
YA>YB
Mistura
gasosa
A + B
YA<YB
Ar
estagnado
ar
z = z2
z = z1
∆z
YA = YA1
T, P T, P
r₂
r₁
WA, 1
B
WA, 2
76FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A concentração de um gás i (Ci) na interface, junto ao 
sólido, é proporcional à pressão parcial (Pi) da espécie i nos 
gases, sendo expressa por:
onde:
• ζ : solubilidade (kmol. /m3.bar)
A tabela abaixo apresenta a solubilidade de alguns gases 
em sólidos.
Síntese
Neste capítulo, o transporte de massa foi apresentado. Como 
a difusão mássica ocorre em misturas, relações fundamentais 
foram apresentadas para concentrações e velocidades das espé-
cies individuais, bem como para a mistura. A propriedade de 
transporte molecular, DAB, coeficiente de difusão em sistemas 
gasosos, líquidos e sólidos, foi discutida e equações para sua 
estimativa foram apresentadas. Os conceitos que embasam o 
coeficiente de difusão efetivo de gases e de líquidos no inte-
rior de materiais também foram apresentados e métodos para 
estimar esse coeficiente, em sistemas diluídos, foram descritos.
=
,
( 2− 1)
(
1( 1)
2
−
1( 0)
2
2
) 
+ = 
= − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( 2− 1)
(
1 + 2) 
, = 0 
− 1
1− 2
=
− 1
( 1− 2)
 
= =
( 2− 1)
 
̇ =
( 1− 2) =
( 1− 2)
 
, ̇ = 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
= 2
( 1− 2)
ln( 2
1
)
 
,
̇ = 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
= 4 1 2
( 1− 2)
1− 2
 
, ó = , á 
Gás
O2
N2
CO2
He
H2
Sólido
Borracha
Borracha
Borracha
SiO2
Ni
T [K]
298
298
298
293
358
ζ [kmol/m3.bar]
0,00312
0,00156
0,04015
0,00045
0,00901
77FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Exercícios
1. A taxa de difusão mássica é baseada na:
a. ( ) Lei de Newton.
b. ( ) Lei de Fourier.
c. ( ) Lei de Fick.
d. ( ) Lei de Knudsen.
e. ( ) Lei de Reynolds.
2. A secagem tem a finalidade de eliminar um líquido volátil 
contido em um corpo não volátil, fenômeno devido à exis-
tência de uma força motriz para transferência de massa. Em 
relação a esse assunto, julgue o item que se segue.
Durante a transferência de massa molecular que ocorre 
na operação de secagem, o líquido volátil f lui por convecção 
do interior do sólido até a superfície, onde o meio é mais con-
centrado.
a. ( ) A alternativa é correta.
b. ( ) A alternativa é incorreta.
3. Considerando uma mistura binária dos gases A e B, sendo 
a massa molar de B o dobro da de A, se a composição dos 
gases varia ao longo do eixo x,
a. ( ) a difusividade de A em B é o dobro da de B em A.
b. ( ) a difusividade de B em A é igual à de A em B.
c. ( ) a difusividade de A em B é quatro vezes maior que 
a difusividade de B em A.
d. ( ) a difusividade de B em A é duas vezes maior que a 
de A em B.
e. ( ) a difusividade de A em B é a metade da de B em A.
78FENÔMENOS DE TRANSPORTE
4. Acerca dos processos físicos que ocorrem por difusão de 
massa, julgue o item seguinte.
Em geral, a conservação de massa total requer que o so-
matório dos f luxos difusivos de todas as espécies seja maior 
que um.
a. ( ) A alternativa é correta.
b. ( ) A alternativa é incorreta.
5. Acerca dos processos físicos que ocorrem por difusão de 
massa, julgue o item seguinte.
De acordo com a lei de Fick de difusão binária unidimen-
sional, a estimativa do fluxo mássico de uma substância é obtida 
pela soma do f luxo volumétrico ponderado (bulk motion) com 
o valor de difusão molecular dessa substância.
a. ( ) A alternativa é correta.
b. ( ) A alternativa é incorreta.
6. Acerca dos processos físicos que ocorrem por difusão de 
massa, julgue o item seguinte.
Em uma mistura binária, o coeficiente de difusão, expresso 
em m² /s, tem grande dependência da temperatura e é inver-
samente proporcional à pressão do gás.
a. ( ) A alternativa é correta.
b. ( ) A alternativa é incorreta.
Gabarito
1.c.
2.b.
3.b.
4.a.
5.a.
6.a.
79FENÔMENOS DE TRANSPORTE
REFERÊNCIAS
BERGMAN, Theodore L.; LAVINE, Adrienne S.; INCROPE-
RA, Frank P.; DEWITT, David P.. Fundamentos de transferência de 
calor e de massa. Tradução de Eduardo Mach Queiroz, Fernando Luiz 
Pellegrini Pessoa. 7ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
BIRD, R. Byron; STEWART, Warren E.; LIGHTFOOT, Edwin 
N.. Fenômenos de Transporte. 2ª Edição. Tradução de Affonso Silva 
Telles, Carlos Russo, Ricardo Pires Peçanha, Verônica Calado. Rio de 
Janeiro: LTC, 2004. 
BRAGA FILHO, Washington. Fenômenos de Transporte para 
Engenharia. 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M.. Mecânica dos f luidos: 
fundamentos e aplicações. Tradução Fábio Saltara, Jorge Luis Baliño, 
Karl Peter Burr. 3ª edição. Porto Alegre: AMGH, 2015. 
CANEDO, Eduardo L.. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip 
J.; MITCHELL, John W.. Introdução à mecânica dos f luidos. Tradu-
ção Ricardo Nicolau Nassar Koury, Luiz Machado. 9ª edição. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. 
KREITH, Frank.; MANGLIK, Raj M.; BOHN, Mark S.. Prin-
cípios de transferência de calor. Tradução de Noveritis do Brasil. São 
Paulo: Cengage Learning, 2014. 
LIVI, Celso P.. Fundamentos de Fenômenos de Transporte: um 
texto para cursos básicos. 2ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
POTTER, Merle C.; WIGGERT, David C.. Mecânica dos f luidos. 
Tradução Antônio Pacini, Ali Tasks Laguage Technology. 3ª Edição. 
São Paulo: Cengage Learning, 2009. 
WHITE, Frank M.. Mecânica dos f luidos. Tradução José Carlos 
Cesar Amorin, Nelson Manzanares Filho. 8ª edição. Porto Alegre: 
AMGH, 2018. 
ZABADAL, Jorge S.; RIBEIRO, Vinicius G.. Fenômenos de Trans-
porte: fundamentos e métodos. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 
80FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 557
A
Apêndice
Propriedades Gerais
TAbelA A.1
Fatores de Conversão
Área (A)
1 mm2 = 1,0 × 10−6 m2
1 m2 = 10,7669 ft2
1 ft2 = 144 in2
1 ft2 = 0,092903 m2
Capacidade térmica (Cp, Cv, C) , entropia específica (s)
1 kJ/(kg × K) = 0,238846 Btu/(lbm × R) 1 Btu/(lbm × R) = 4,1868 kJ/(kg × K)
Coeficiente de transferência de calor (h)
1 W/(m2 × K)= 0,17611 Btu/(h × ft2 × R) 1 Btu/(h × ft2 × R) = 5,67826 W/(m2 × K)
Comprimento (L)
1 mm = 0,001 m = 0,1 cm
1 m = 3,28084 ft = 39,370 in
1 in = 0,0254 m
1 ft = 12 in
Condutividade térmica (k)
1 W/(m × K) = 0,577789 Btu/(h × ft × R) 1 Btu/(h × ft × R) = 1,730735 W/(m × K)
Constante universal dos gases
R– = N0k = 8,31451 kJ/kmol × K
 = 1,98589 kcal/kmol × K
 = 82,0578 atm × L/kmol × K
R– = 1.98589 Btu/lbmol × R
 = 1545,36 lbg × ft/lbmol × R
 = 0,73024 atm × ft3/lbmol × R
 = 10,7317 (lbg/in2) × ft3/lbmol × R
Energia (E, U)
1 J = 1 N × m = 0,737562 lbf × ft
1 cal (Int.) = 4,1868 J
1 lbf × ft = 1,355818 J = 1,28507 × 10−3 Btu
1 Btu (Int.) = 1,055056 kJ = 778,1693 lbf × ft
Energia cinética específica (1/2V 2)
1 m2s2 = 0,001 kJ/kg
1 kJ/kg = 1000 m2/s2
1 ft2/s2 = 3,9941 × 10–5 Btu/lbm
1 Btu/lbm = 25037 ft2/s2
Energia potencial específica (Zg)
1 m × gstd = 9,80665 × 10–3 kJ/kg
 = 4,21607 × 10–3 Btu/lbm
1 ft × gstd = 1,0 lbf/lbm
 = 0,001285 Btu/lbm
 = 0,002989 kJ/kg
Energia específica (e, u)
1 kJ/kg = 0,42992Btu/lbm 1 Btu/lbm = 2,326 kJ/kg
termo 18.indd 557 06.04.09 10:29:12
558 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.1
Fatores de Conversão (continuação )
Fluxo de calor (por unidade de área)
1 W/m2 = 0,316998 Btu/(h × ft2) 1 Btu/(h × ft2 ) = 3,15459 W/m2
Força (F)
1 N = 0,224809 lbf 
1 kgf = 9,80665 N
1 lbf = 4,448222 N
Gravidade
g = 9,80665 m/s² g = 32,17405 ft/s²
Massa (m)
1 kg = 2,204623 lbm 1 lbm = 0,453592 kg
Massa específica (r)
1 kg/m3 = 0,06242797 lbm/ft3 1 lbm/ft3 = 16,01846 kg/m3
Momento (Torque, T) 
1 N × m =0,737562 lbm × ft 1 lbm × ft/s = 1,355818 N × m
Potência (Q
·
, W
·
)
1 W = 1 J/s = 0,737562 lbf × ft/s
1 kW = 3412,14 Btu/h
1 hp (métrico) = 0,735499 kW
1 tonelada de refrigeração = 3,51685 kW
1 lbf × ft/s = 1,355818 W = 4,62624 Btu/h
1 Btu/s = 1,055056 kW
1 hp (britânico) = 0,7457 kW
1 tonelada de refrigeração = 12 000 Btu/h
Pressão (P)
1 Pa = 1 N/m2
1 bar = 1,0 × 105 Pa = 100 kPa
1 atm = 101,325 kPa
1 lbf × (pol)2 = 1 lbf × in2 = 6,894757 kPa
1 atm = 14,69594 lbf × in2
1 torr = 1 mm Hg [0 °C]
Quantidade de movimento (mV)
1 kg × m/s = 7,23294 lbm × ft/s
 = 0,224809 lbf × s
1 lbf × ft = 0,138256 kg × m/s
Temperatura (T)
1 K = 1 °C
TC = TK − 273,15
TK = TR/1,8
1 R = (5/9) K
TF = TR − 459,67
TR = 1,8 TK
Velocidade (V) 
 1 m/s = 3,6 km/h
 = 3,28084 ft/s
 = 2,23694 mi/h
1 km/h = 0,27778 m/s
 = 0,91134 ft/s
 = 0,62137 mi/h
 1 ft/s = 0,681818 mi/h
 = 0,3048 m/s
 = 1,09728 km/h
1 mi/h = 1,46667 ft/s
 = 0,44704 m/s
 = 1,609344 km/h
Volume (V )
1 m3 = 35,3147 ft3
1 litro = 0,001 m3/kg
1 galão (britânico) = 4,546090 × 10−3 m3
1 ft3 = 2,831685 × 10−2 m3
1 galão (US) = 3,785412 × 10−3 m3
Volume específico (v ) 
1 cm3/g = 0,001 m3/kg
1 ft3/lbm = 0,062428 m3/kg
1 m3/kg = 16,01846 ft3/lbm
termo 18.indd 558 06.04.09 10:29:12
Anexo
 Apêndice A – Propriedades Gerais 557
A
Apêndice
Propriedades Gerais
TAbelA A.1
Fatores de Conversão
Área (A)
1 mm2 = 1,0 × 10−6 m2
1 m2 = 10,7669 ft2
1 ft2 = 144 in2
1 ft2 = 0,092903 m2
Capacidade térmica (Cp, Cv, C) , entropia específica (s)
1 kJ/(kg × K) = 0,238846 Btu/(lbm × R) 1 Btu/(lbm × R) = 4,1868 kJ/(kg × K)
Coeficiente de transferência de calor (h)
1 W/(m2 × K)= 0,17611 Btu/(h × ft2 × R) 1 Btu/(h × ft2 × R) = 5,67826 W/(m2 × K)
Comprimento (L)
1 mm = 0,001 m = 0,1 cm
1 m = 3,28084 ft = 39,370 in
1 in = 0,0254 m
1 ft = 12 in
Condutividade térmica (k)
1 W/(m × K) = 0,577789 Btu/(h × ft × R) 1 Btu/(h × ft × R) = 1,730735 W/(m × K)
Constante universal dos gases
R– = N0k = 8,31451 kJ/kmol × K
 = 1,98589 kcal/kmol × K
 = 82,0578 atm × L/kmol × K
R– = 1.98589 Btu/lbmol × R
 = 1545,36 lbg × ft/lbmol × R
 = 0,73024 atm × ft3/lbmol × R
 = 10,7317 (lbg/in2) × ft3/lbmol × R
Energia (E, U)
1 J = 1 N × m = 0,737562 lbf × ft
1 cal (Int.) = 4,1868 J
1 lbf × ft = 1,355818 J = 1,28507 × 10−3 Btu
1 Btu (Int.) = 1,055056 kJ = 778,1693 lbf × ft
Energia cinética específica (1/2V 2)
1 m2s2 = 0,001 kJ/kg
1 kJ/kg = 1000 m2/s2
1 ft2/s2 = 3,9941 × 10–5 Btu/lbm
1 Btu/lbm = 25037 ft2/s2
Energia potencial específica (Zg)
1 m × gstd = 9,80665 × 10–3 kJ/kg
 = 4,21607 × 10–3 Btu/lbm
1 ft × gstd = 1,0 lbf/lbm
 = 0,001285 Btu/lbm
 = 0,002989 kJ/kg
Energia específica (e, u)
1 kJ/kg = 0,42992 Btu/lbm 1 Btu/lbm = 2,326 kJ/kg
termo 18.indd 557 06.04.09 10:29:12
81FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 559
TAbelA A.2
Constantes críticas
Substância Fórmula Peso molecular
Temperatura 
K
Pressão 
MPa
Volume 
m3/kg
Amônia NH3 17,031 405,5 11,35 0,00426
Argônio Ar 39,948 150,8 4,87 0,00188
Bromo Br2 159,808 588 10,30 0,000796
Dióxido de carbono CO2 44,01 304,1 7,38 0,00212
Monóxido de carbono CO 28,01 132,9 3,50 0,00333
Cloro Cl2 70,906 416,9 7,98 0,00175
Flúor F2 37,997 144,3 5,22 0,00174
Hélio He 4,003 5,19 0,227 0,0143
Hidrogênio (normal) H2 2,016 33,2 1,30 0,0323
Criptônio Kr 83,80 209,4 5,50 0,00109
Neônio Ne 20,183 44,4 2,76 0,00206
Óxido nítrico NO 30,006 180 6,48 0,00192
Nitrogênio N2 28,013 126,2 3,39 0,0032
Dióxido de nitrogênio NO2 46,006 431 10,1 0,00365
Óxido nitroso N2O 44,013 309,6 7,24 0,00221
Oxigênio O2 31,999 154,6 5,04 0,00229
Dióxido de enxofre SO2 64,063 430,8 7,88 0,00191
Água H2O 18,015 647,3 22,12 0,00317
Xenônio Xe 131,30 289,7 5,84 0,000902
Acetileno C2H2 26,038 308,3 6,14 0,00433
Benzeno C6H6 78,114 562,2 4,89 0,00332
n-Butano C4H10 58,124 425,2 3,80 0,00439
Difluorcloroetanoa (142b) CH3CCLF2 100,495 410,3 4,25 0,00230
Difluorclorometano (22) CHCLF2 86,469 369,3 4,97 0,00191
Diclorofluoretanoa (141) CH3CCL2F 116,95 481,5 4,54 0,00215
Diclorotrifluoretanoa (123) CHCL2CF3 152,93 456,9 3,67 0,00182
Difluoretanoa (152a) CHF2CH3 66,05 386,4 4,52 0,00272
Difluormetanoa (32) CF2H2 52,024 351,3 5,78 0,00236
Etano C2H6 30,070 305,4 4,88 0,00493
Álcool etílico (etanol) C2H5OH 46,069 513,9 6,14 0,00363
Etileno C2H4 28,054 282,4 5,04 0,00465
n-Heptano C7H16 100,205 540,3 2,74 0,00431
n-Hexano C6H14 86,178 507,5 3,01 0,00429
Metano CH4 16,043 190,4 4,60 0,00615
Álcool metílico (metanol) CH3OH 32,042 512,6 8,09 0,00368
n-Octano C8H18 114,232 568,8 2,49 0,00431
Pentafluoretano (125) CHF2CF3 120,022 339,2 3,62 0,00176
n-Pentano C5H16 72,151 469,7 3,37 0,00421
Propano C3H8 44,094 369,8 4,25 0,00454
Propeno C3H6 42,081 364,9 4,60 0,00430
Refrigerante misto R-410A 72,585 344,5 4,90 0,00218
Tetrafluoretano (134a) CF3CH2F 102,03 374,2 4,06 0,00197
termo 18.indd 559 06.04.09 10:29:12
560 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.3
Propriedades de alguns sólidos a 25 ºC
Sólido Cp, kJ/kg K ρ, kg/m
3
Aço (AISI304) 0,46 7820
Acrílico 1,44 1180
Alumínio 0,9 2700
Areia (seca) 0,8 1500
Asfalto 0,92 2120
Borracha (macia) 1,67 1100
Carbono, diamante 0,51 3250
Carbono, grafite 0,61 2000–2500
Carvão 1,26 1200–1500
Chumbo 0,128 11340
Cobre 0,42 8300
Concreto 0,88 2200
Estanho 0,22 7304
Ferro fundido 0,42 7272
Gelo (0 °C) 2,04 917
Granito 0,89 2750
Lã 1,72 100
Lã de vidro 0,66 20
Latão, 60−40 0,38 8400
Madeira dura 1,26 720
Madeira mole (pinho) 1,38 510
Magnésio, 2% Mn 1,00 1778
Neve, firme 2,1 560
Níquel, 10% Cr 0,44 8666
Ouro 0,13 19300
Papel 1,2 700
Poliestireno 2,3 920
Prata, 99,9% 0,24 10524
PVC 0,96 1380
Sal, rocha 0,92 2100–2500
Silício 0,70 2330
Sódio 1,21 970
Tijolo (comum) 0,84 1800
Tungstênio 0,13 19300
Vidro 0,8 2500
Zinco 0,39 7144
TAbelA A.4
Propriedades de alguns líquidos a 25 ºC
(ou à temperatura de fusão, caso seja maior que 25 ºC)
Líquido Cp, kJ/kg K ρ, kg/m
3
Água 4,184 997
Amônia 4,8 602
Benzeno 1,72 879
Butano 2,469 556
CCL4 0,83 1584
CO2 2,9 680
Estanho, Sn 0,24 6950
Etanol 2,46 783
Gasolina 2,08 750
Glicerina 2,42 1260
Metanol 2,55 787
n-octano 2,23 692
Óleo (leve) 1,8 910
Óleo de motor 1,9 885
Propano 2,54 510
Querosene 2,0 815
R-12 0,971 1310
R-125 1,41 1191
R-134a 1,43 1206
R-22 1,43 1206
R-32 1,94 961
R-410A 1,69 1059
Metais líquidos
Bismuto, Bi 0,14 10040
Chumbo, Pb 0,16 10660
Mercúrio, Hg 0,14 13580
Na/K (56/44) 1,13 887
Potássio, K 0,81 828
Sódio, Na 1,38 929
Zinco, Zn 0,50 6570
termo 18.indd 560 06.04.09 10:29:13
82FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 561
TAbelA A.5
Propriedades de vários gases ideais a 25 °C e 100 kPa*
Gás Fórmula
química
Peso
molecular
R
kJ/kg K
ρ
(kg/m³)
Cp0
kJ/kg K
Cv0
kJ/kg K
k = Cp /Cv
Acetileno C2H2 26,038 0,3193 1,05 1,699 1,380 1,231
Água (vapor) H2O 18,015 0,4615 0,0231 1,872 1,410 1,327
Ar 28,97 0,287 1,169 1,004 0,717 1,400
Amônia NH3 17,031 0,4882 0,694 2,130 1,642 1,297
Argônio Ar 39,948 0,2081 1,613 0,520 0,312 1,667
Butano C4H10 58,124 0,1430 2,407 1,716 1,573 1,091
Dióxido de Carbono CO2 44,01 0,1889 1,775 0,842 0,653 1,289
Monóxido de Carbono CO 28,01 0,2968 1,13 1,041 0,744 1,400Etano C2H6 30,07 0,2765 1,222 1,766 1,490 1,186
Etanol C2H5OH 46,069 0,1805 1,883 1,427 1,246 1,145
Etileno C2H4 28,054 0,2964 1,138 1,548 1,252 1,237
Hélio He 4,003 2,0771 0,1615 5,193 3,116 1,667
Hidrogênio H2 2,016 4,1243 0,0813 14,209 10,085 1,409
Metano CH4 16,043 0,5183 0,648 2,254 1,736 1,299
Metanol CH3OH 32,042 0,2595 1,31 1,405 1,146 1,227
Neônio Ne 20,183 0,4120 0,814 1,03 0,618 1,667
Nitrogênio N2 28,013 0,2968 1,13 1,042 0,745 1,400
Óxido nítrico NO 30,006 0,2771 1,21 0,993 0,716 1,387
Óxido nitroso N2O 44,013 0,1889 1,775 0,879 0,690 1,274
n-Octano C8H18 114,23 0,0727 0,092 1,7113 1,638 1,044
Oxigênio O2 31,999 0,2598 1,292 0,9216 0,662 1,393
Propano C3H8 44,094 0,1886 1,808 1,679 1,490 1,126
R-12 CCl2F2 120,914 0,06876 4,98 0,616 0,547 1,126
R-22 CHClF2 86,469 0,09616 3,54 0,658 0,562 1,171
R-32 CF2H2 52,024 0,1598 2,125 0,822 0,662 1,242
R-125 CHF2CF3 120,022 0,06927 4,918 0,791 0,722 1,097
R-134a CF3CH2F 102,03 0,08149 4,20 0,852 0,771 1,106
Dióxido de enxofre SO2 64,059 0,1298 2,618 0,624 0,494 1,263
Trióxido de enxofre SO3 80,053 0,10386 3,272 0,635 0,531 1,196
* ou na pressão de saturação se esta for menor que 100 kPa
termo 18.indd 561 06.04.09 10:29:13
562 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.6
Calor específico a pressão constante de vários gases ideais em função da temperatura
Cp0 = C0 + C1θ + C2θ 2 + C3θ 3 kJ/kg K θ = T (Kelvin)/1000
Gás Fórmula C0 C1 C2 C3 Intervalo K
Acetileno C2H2 1,03 2,91 −1,92 0,54 50−1200
Água (vapor) H2O 1,79 0,107 0,586 −0,20 50−1200
Amônia NH3 1,60 1,40 1,00 −0,7 50−1200
Ar 1,05 −0,365 0,85 −0,39 50−1200
Argônio Ar 0,52 0 0 0 50−1200
Butano C4H10 0,163 5,70 −1,906 −9,049 50−1200
Dióxido de carbono CO2 0,45 1,67 −1,27 0,39 250−1200
Dióxido de enxofre SO2 0,37 1,05 −0,77 0,21 250−1200
Etano C2H6 0,18 5,92 −2,31 0,29 250−1200
Etanol C2H5OH 0,20 −4,65 −1,82 0,03 250−1200
Etileno C2H4 1,36 5,58 −3,00 0,63 250−1200
Hélio He 5,193 0 0 0 250−1200
Hidrogênio H2 13,46 4,6 −6,85 3,79 250−1200
Metano CH4 1,2 3,25 0,75 −0,71 250−1200
Metanol CH3OH 0,66 2,21 0,81 −0,89 250−1200
Monóxido de carbono CO 1,10 −0,46 1,00 -0,454 250−1200
Neônio Ne 1,03 0 0 0 250−1200
Nitrogênio N2 1,11 −0,48 0,96 −0,42 250−1200
n-octano C8H18 −0,053 6,75 −3,67 0,775 250−1200
Óxido nítrico NO 0,98 −0,031 0,325 −0,14 250−1200
Óxido nitroso N2O 0,49 1,65 −1,31 0,42 250−1200
Oxigênio O2 0,88 −0,0001 0,54 −0,33 250−1200
Propano C3H8 −0,096 6,95 −3,60 0,73 250−1200
R-12 CCl2F2 0,260 1,47 −1,25 0,36 250−500
R-22 CHClF2 0,200 1,87 −1,35 0,35 250−500
R-32 CF2H2 0,227 2,27 −0,93 0,041 250−500
R-125 CHF2CF3 0,305 1,68 −0,284 0 250−500
R-134a C F3CH2F 0,165 2,81 −2,23 1,11 250−500
Trióxido de enxofre SO3 0,24 1,70 −1,50 0,46 250−1200
As funções pressão relativa Pr e volume relativo vr 
são dependentes da temperatura, calculadas com duas 
constantes A1 e A2.
 
Pr = exp sT
0 R− A1⎡⎣ ⎤⎦ ; vr = A2t /pR
De modo que para um processo isoentrópico 
(s1 = s2):
 
P2
P1
=
Pr2
Pr1
=
e
sT2
0 / R
e
sT1
0 / R
≈
T2
T1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Cp / R
 
e
 
v2
v1
=
vr2
vr1
≈
T1
T2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Cv / R
Em que as aproximações se devem à hipótese de 
calor específico constante. 
termo 18.indd 562 06.04.09 10:29:13
83FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 563
TAbelA A.7
Propriedades termodinâmicas do ar (gás ideal; pressão de referência para a entropia é 0,1 MPa ou 1 bar)
T [K] u kJ/kg h kJ/kg s0T kJ/kg × K Pr vr
200 142,77 200,17 6,46260 0,2703 493,47
220 157,07 220,22 6,55812 0,3770 389,15
240 171,38 240,27 6,64535 0,5109 313,27
260 185,70 260,32 6,72562 0,6757 256,58
280 200,02 280,39 6,79998 0,8756 213,26
290 207,02 290,43 6,83521 0,9899 195,36
298,15 213,04 298,62 6,86305 1,0907 182,29
300 214,36 300,47 6,86926 1,1146 179,49
320 228,73 320,58 6,93413 1,3972 152,73
340 243,11 340,70 6,99515 1,7281 131,20
360 257,53 360,86 7,05276 2,1123 113,65
380 271,99 381,06 7,10735 2,5548 99,188
400 286,49 401,30 7,15926 3,0612 87,137
420 301,04 421,59 7,20875 3,6373 77,003
440 315,64 441,94 7,25607 4,2897 68,409
460 330,31 462,34 7,30142 5,0233 61,066
480 345,04 482,81 7,34499 5,8466 54,748
500 359,84 503,36 7,38692 6,7663 49,278
520 374,73 523,98 7,42736 7,7900 44,514
540 389,69 544,69 7,46642 8,9257 40,344
560 404,74 565,47 7,50422 10,182 36,676
580 419,87 586,35 7,54084 11,568 33,436
600 435,10 607,32 7,57638 13,092 30,561
620 450,42 628,38 7,61090 14,766 28,001
640 465,83 649,53 7,64448 16,598 25,713
660 481,34 670,78 7,67717 18,600 23,662
680 496,94 692,12 7,70903 20,784 21,818
700 512,64 713,56 7,74010 23,160 20,155
720 528,44 735,10 7,77044 25,742 18,652
740 544,33 756,73 7,80008 28,542 17,289
760 560,32 778,46 7,82905 31,573 16,052
780 576,40 800,28 7,85740 34,851 14,925
800 592,58 822,20 7,88514 38,388 13,897
850 633,42 877,40 7,95207 48,468 11,695
900 674,82 933,15 8,01581 60,520 9,9170
950 716,76 989,44 8,07667 74,815 8,4677
1000 759,19 1046,22 8,13493 91,651 7,2760
1050 802,10 1103,48 8,19081 111,35 6,2885
termo 18.indd 563 06.04.09 10:29:14
564 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.7
Propriedades termodinâmicas do ar (continuação)
T [K] u kJ/kg h kJ/kg s0T kJ/kg × K Pr vr
1100 845,45 1161,18 8,24449 134,25 5,4641
1150 881,21 1219,30 8,29616 160,73 4,7714
 1200 933,37 1277,81 8,34596 191,17 4,1859
 1250 977,89 1336,68 8,39402 226,02 3,6880
 1300 1022,75 1395,89 8,44046 265,72 3,2626
 1350 1067,94 1455,43 8,48539 310,74 2,8971
 1400 1113,43 1515,27 8,52891 361,62 2,5817
 1450 1159,20 1575,40 8,57111 418,89 2,3083
 1500 1205,25 1635,80 8,61208 483,16 2,0703
 1550 1251,55 1696,47 8,65185 554,96 1,8625
 1600 1298,08 1757,33 8,69051 634,97 1,6804
 1650 1344,83 1818,44 8,72811 723,86 1,52007
 1700 1391,80 1879,76 8,76472 822,33 1,37858
 1750 1438,97 1941,28 8,80039 931,14 1,25330
 1800 1486,33 2002,99 8,83516 1051,05 1,14204
 1850 1533,87 2064,88 8,86908 1182,9 1,04294
 1900 1581,59 2126,95 8,90219 1327,5 0,95445
 1950 1629,47 2189,19 8,93452 1485,8 0,87521
 2000 1677,52 2251,58 8,96611 1658,6 0,80410
 2050 1725,71 2314,13 8,99699 1847,1 0,74012
 2100 1774,06 2376,82 9,02721 2052,1 0,68242
 2150 1822,54 2439,66 9,05678 2274,8 0,63027
 2200 1871,16 2502,63 9,08573 2516,2 0,58305
 2250 1919,91 2565,73 9,11409 2777,5 0,54020
 2300 1968,79 2628,96 9,14189 3059,9 0,50124
 2350 2017,79 2692,31 9,16913 3364,6 0,46576
 2400 2066,91 2755,78 9,19586 3693,0 0,43338
 2450 2116,14 2819,37 9,22208 4046,2 0,40378
 2500 2165,48 2883,06 9,24781 4425,8 0,37669
 2550 2214,93 2946,86 9,27308 4833,0 0,35185
 2600 2264,48 3010,76 9,29790 5269,5 0,32903
 2650 2314,13 3074,77 9,32228 5736,7 0,30805
 2700 2363,88 3138,87 9,34625 6236,2 0,28872
 2750 2413,73 3203,06 9,36980 6769,7 0,27089
 2800 2463,66 3267,35 9,39297 7338,7 0,25443
 2850 2513,69 3331,73 9,41576 7945,1 0,23921
 2900 2563,80 3396,19 9,43818 8590,7 0,22511
 2950 2613,99 3460,73 9,46025 9277,2 0,21205
 3000 2664,27 3525,36 9,48198 10007,0 0,19992
termo 18.indd 564 06.04.09 10:29:14
84FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 565
TAbelA A.8 
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entropias a O,1 × MPa) base mássica
Nitrogênio, Diatômico (N2)
R = 0,2968 kJ/kg × K M = 28,013 kg/kmol
Oxigênio, Diatômico (02)
R = 0,2598 kJ/kg × K M = 31,999 kg/kmol
T (K) u (kJ/kg) h (kJ/kg) S 0T (kJ/kg × K) u (kJ/kg) h (kJ/kg) S 0T (kJ/kg × K)
200 148,39 207,75 6,4250 129,84 181,81 6,0466
250 185,50 259,70 6,6568 162,41 227,37 6,2499
300 222,63 311,67 6,8463 195,20 273,15 6,4168
350 259,80 363,68 7,0067 228,37 319,31 6,5590
400 297,09 415,81 7,1459 262,10 366,03 6,6838
450 334,57 468,13 7,2692 296,52 413,45 6,7954
500 372,35 520,75 7,3800 331,72 461,63 6,8969
550 410,52 573,76 7,4811 367,70 510,61 6,9903
600 449,16 627,24 7,5741 404,46 560,36 7,0768
650 488,34 681,26 7,6606 441,97 610,86 7,1577
700 528,09 735,86 7,7415 480,18 662,06 7,2336
750 568,45 791,05 7,8176 519,02 713,907,3051
800 609,41 846,85 7,8897 558,46 766,33 7,3728
850 650,98 903,26 7,9581 598,44 819,30 7,4370
900 693,13 960,25 8,0232 638,90 872,75 7,4981
950 735,85 1017,81 8,0855 679,80 926,65 7,5564
1000 779,11 1075,91 8,1451 721,11 980,95 7,6121
1100 867,14 1193,62 8,2572 804,80 1090,62 7,7166
1200 957,00 1313,16 8,3612 889,72 1201,53 7,8131
1300 1048,46 1434,31 8,4582 975,72 1313,51 7,9027
1400 1141,35 1556,87 8,5490 1062,67 1426,44 7,9864
1500 1235,50 1680,70 8,6345 1150,48 1540,23 8,0649
1600 1330,72 1805,60 8,7151 1239,10 1654,83 8,1389
1700 1426,89 1931,45 8,7914 1328,49 1770,21 8,2088
1800 1523,90 2058,15 8,8638 1418,63 1886,33 8,2752
1900 1621,66 2185,58 8,9327 1509,50 2003,19 8,3384
2000 1720,07 2313,68 8,9984 1601,10 2120,77 8,3987
2100 1819,08 2442,36 9,0612 1693,41 2239,07 8,4564
2200 1918,62 2571,58 9,1213 1786,44 2358,08 8,5117
2300 2018,63 2701,28 9,1789 1880,17 2477,79 8,5650
2400 2119,08 2831,41 9,2343 1974,60 2598,20 8,6162
2500 2219,93 2961,93 9,2876 2069,71 2719,30 8,6656
2600 2321,13 3092,81 9,3389 2165,50 2841,07 8,7134
2700 2422,66 3224,03 9,3884 2261,94 2963,49 8,7596
2800 2524,50 3355,54 9,4363 2359,01 3086,55 8,8044
2900 2626,62 3487,34 9,4825 2546,70 3210,22 8,8478
3000 2729,00 3619,41 9,5273 2554,97 3334,48 8,8899
termo 18.indd 565 06.04.09 10:29:14
566 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.8 (continuação) 
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entropias a O,1 × MPa) base mássica
Dióxido de carbono (CO2)
R = 0,1889 kJ/kg × K M = 44,010 kg/kmol
Água (H2O)
R = 0,4615 kJ/kg × K M = 18,015 kg/kmol
T (K) u (kJ/kg) h (kJ/kg) S 0T (kJ/kg × K) u (kJ/kg) h (kJ/kg) S 0T (kJ/kg × K)
200 97,49 135,28 4,5439 276,38 368,69 9,7412 
250 126,21 173,44 4,7139 345,98 461,36 10,1547 
300 157,70 214,38 4,8631 415,87 554,32 10,4936 
350 191,78 257,90 4,9972 486,37 647,90 10,7821 
400 228,19 303,76 5,1196 557,79 742,40 11,0345 
450 266,69 351,70 5,2325 630,40 838,09 11,2600 
500 307,06 401,52 5,3375 704,36 935,12 11,4644 
550 349,12 453,03 5,4356 779,79 1033,63 11,6522 
600 392,72 506,07 5,5279 856,75 1133,67 11,8263 
650 437,71 560,51 5,6151 935,31 1235,30 11,9890 
700 483,97 616,22 5,6976 1015,49 1338,56 12,1421 
750 531,40 673,09 5,7761 1097,35 1443,49 12,2868 
800 579,89 731,02 5,8508 1180,90 1550,13 12,4244 
850 629,35 789,93 5,9223 1266,19 1658,49 12,5558 
900 676,69 849,72 5,9906 1353,23 1768,60 12,6817 
950 730,85 910,33 6,0561 1442,03 1880,48 12,8026 
1000 782,75 971,67 6,1190 1532,61 1994,13 12,9192 
1100 888,55 1096,36 6,2379 1719,05 2226,73 13,1408 
1200 996,64 1223,34 6,3483 1912,42 2466,25 13,3492 
1300 1106,68 1352,28 6,4515 2112,47 2712,46 13,5462 
1400 1218,38 1482,87 6,5483 2318,89 2965,03 13,7334 
1500 1331,50 1614,88 6,6394 2531,28 3223,57 13,9117 
1600 1445,85 1748,12 6,7254 2749,24 3487,69 14,0822 
1700 1561,26 1882,43 6,8068 2972,35 3756,95 14,2454 
1800 1677,61 2017,67 6,8841 3200,17 4030,92 14,4020 
1900 1794,78 2153,73 6,9577 3432,28 4309,18 14,5524 
2000 1912,67 2290,51 7,0278 3668,24 4591,30 14,6971 
2100 2031,21 2427,95 7,0949 3908,08 4877,29 14,8366 
2200 2150,34 2565,97 7,1591 4151,28 5166,64 14,9712 
2300 2270,00 2704,52 7,2206 4397,56 5459,08 15,1012 
2400 2390,14 2843,55 7,2798 4646,71 5754,37 15,2269 
2500 2510,74 2983,04 7,3368 4898,49 6052,31 15,3485 
2600 2631,73 3122,93 7,3917 5152,73 6352,70 15,4663 
2700 2753,10 3263,19 7,4446 5409,24 6655,36 15,5805 
2800 2874,81 3403,79 7,4957 5667,86 6960,13 15,6914 
2900 2996,84 3544,71 7,5452 5928,44 7266,87 15,7990 
3000 3119,18 3685,95 7,5931 6190,86 7575,44 15,9036 
termo 18.indd 566 06.04.09 10:29:14
85FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 567
TAbelA A.9
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Nitrogênio diatômico (N2)
h–0f, 298 = 0 kJ/kmol
M = 28,013 kg/kmol
Nitrogêno monatômico (N)
h–0f, 298 = 472 680 kJ/kmol
M = 14,007 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –8670 0 –6197 0 
100 –5768 159,812 –4119 130,593 
200 –2857 179,985 –2040 145,001 
298 0 191,609 0 153,300 
300 54 191,789 38 153,429 
400 2971 200,181 2117 159,409 
500 5911 206,740 4196 164,047 
600 8894 212,177 6274 167,837 
700 11937 216,865 8353 171,041 
800 15046 221,016 10431 173,816 
900 18223 224,757 12510 176,265 
1000 21463 228,171 14589 178,455 
1100 24760 231,314 16667 180,436 
1200 28109 234,227 18746 182,244 
1300 31503 236,943 20825 183,908 
1400 34936 239,487 22903 185,448 
1500 38405 241,881 24982 186,883 
1600 41904 244,139 27060 188,224 
1700 45430 246,276 29139 189,484 
1800 48979 248,304 31218 190,672 
1900 52549 250,234 33296 191,796 
2000 56137 252,075 35375 192,863 
2200 63362 255,518 39534 194,845 
2400 70640 258,684 43695 196,655 
2600 77963 261,615 47860 198,322 
2800 85323 264,342 52033 199,868 
3000 92715 266,892 56218 201,311 
3200 100134 269,286 60420 202,667 
3400 107577 271,542 64646 203,948 
3600 115042 273,675 68902 205,164 
3800 122526 275,698 73194 206,325 
4000 130027 277,622 77532 207,437 
4400 145078 281,209 86367 209,542 
4800 160188 284,495 95457 211,519 
5200 175352 287,530 104843 213,397 
5600 190572 290,349 114550 215,195 
6000 205848 292,984 124590 216,926 
TAbelA A.9 (continuação)
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Oxigênio diatômico (O2)
h–0f, 298 = 0 kJ/kmol
M = 21,999 kg/kmol
Oxigênio monatômico (O)
h–0f, 298 = 249 170 kJ/kmol
M = 16,00 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –8683 0 –6725 0 
100 –5777 173,308 –4518 135,947
200 –2868 193,483 –2186 152,153
298 0 205,148 0 161,059
300 54 205,329 41 161,194
400 3027 213,873 2207 167,431
500 6086 220,693 4343 172,198
600 9245 226,450 6462 176,060
700 12499 231,465 8570 179,310
800 15836 235,920 10671 182,116
900 19241 239,931 12767 184,585
1000 22703 243,579 14860 186,790
1100 26212 246,923 16950 188,783
1200 29761 250,011 19039 190,600
1300 33345 252,878 21126 192,270
1400 36958 255,556 23212 193,816
1500 40600 258,068 25296 195,254
1600 44267 260,434 27381 196,599
1700 47959 262,673 29464 197,862
1800 51674 264,797 31547 199,053
1900 55414 266,819 33630 200,179
2000 59176 268,748 35713 201,247
2200 66770 272,366 39878 203,232
2400 74453 275,708 44045 205,045
2600 82225 278,818 48216 206,714
2800 90080 281,729 52391 208,262
3000 98013 284,466 56574 209,705
3200 106022 287,050 60767 211,058
3400 114101 289,499 64971 212,332
3600 122245 291,826 69190 213,538
3800 130447 294,043 73424 214,682
4000 138705 296,161 77675 215,773
4400 155374 300,133 86234 217,812
4800 172240 303,801 94873 219,691
5200 189312 307,217 103592 221,435
5600 206618 310,423 112391 223,066
6000 224210 313,457 121264 224,597
termo 18.indd 567 06.04.09 10:29:15
568 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.9 (continuação)
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Dióxido de carbono (CO2)
h–0f, 298 = –393 522 kJ/kmol
M = 44,01 kg/kmol
Monóxido de carbono (CO)
h–0f, 298 = 110 527 kJ/kmol
M = 28,01 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –9364 0 –8671 0 
100 –6457 179,010 –5772 165,852
200 –3413 199,976 –2860 186,024
298 0 213,794 0 197,651
300 69 214,024 54 197,831
400 4003 225,314 2977 206,240
500 8305 234,902 5932 212,833
600 12906 243,284 8942 218,321
700 17754 250,752 12021 223,067
800 22806 257,496 15174 227,277
900 28030 263,646 18397 231,074
1000 33397 269,299 21686 234,538
1100 38885 274,528 25031 237,726
1200 44473 279,390 28427 240,679
1300 50148 283,931 31867 243,431
1400 55895 288,190 35343 246,006
1500 61705 292,199 38852 248,426
1600 67569 295,98442388 250,707
1700 73480 299,567 45948 252,866
1800 79432 302,969 49529 254,913
1900 85420 306,207 53128 256,860
2000 91439 309,294 56743 258,716
2200 103562 315,070 64012 262,182
2400 115779 320,384 71326 265,361
2600 128074 325,307 78679 268,302
2800 140435 329,887 86070 271,044
3000 152853 334,170 93504 273,607
3200 165321 338,194 100962 276,012
3400 177836 341,988 108440 278,279
3600 190394 345,576 115938 280,422
3800 202990 348,981 123454 282,454
4000 215624 352,221 130989 284,387
4400 240992 358,266 146108 287,989
4800 266488 363,812 161285 291,290
5200 292112 368,939 176510 294,337
5600 317870 373,711 191782 297,167
6000 343782 378,180 207105 299,809
TAbelA A.9 (continuação)
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Água (H2O)
h–0f, 298 = –241 826 kJ/kmol
M = 18.015 kg/kmol
Hidroxila (OH)
h–0f, 298 = 38 987 kJ/kmol
M = 17,007 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –9904 0 –9172 0 
100 –6617 152,386 –6140 149,591
200 –3282 175,488 –2975 171,592
298 O 188,835 0 183,709
300 62 189,043 55 183,894
400 3450 198,787 3034 192,466
500 6922 206,532 5991 199,066
600 10499 213,051 8943 204,448
700 14190 218,739 11902 209,008
800 18002 223,826 14881 212,984
900 21937 228,460 17889 216,526
1000 26000 232,739 20935 219,735
1100 30190 236,732 24024 222,680
1200 34506 240,485 27159 225,408
1300 38941 244,035 30340 227,955
1400 43491 247,406 33567 230,347
1500 48149 250,620 36838 232,604
1600 52907 253,690 40151 234,741
1700 57757 256,631 43502 236,772
1800 62693 259,452 46890 238,707
1900 67706 262,162 50311 240,556
2000 72788 264,769 53763 242,328
2200 83153 269,706 60751 245,659
2400 93741 274,312 67840 248,743
2600 104520 278,625 75018 251,614
2800 115463 282,680 82268 254,301
3000 126548 286,504 89585 256,825
3200 137756 290,120 96960 259,205
3400 149073 293,550 104388 261,456
3600 160484 296,812 111864 263,592
3800 171981 299,919 119382 265,625
4000 183552 302,887 126940 267,563
4400 206892 308,448 142165 271,191
4800 230456 313,573 157522 274,531
5200 254216 318,328 173002 277,629
5600 278161 322,764 188598 280,518
6000 302295 326,926 204309 283,227
termo 18.indd 568 06.04.09 10:29:15
86FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Apêndice A – Propriedades Gerais 569
TAbelA A.9 (continuação)
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Hidrogênio (H2)
h–0f, 298 = 0 kJ/kmol
M = 2.016 kg/kmol
Hidrogênio monatômico (H)
h–0f, 298 = 217 999 kJ/kmol
M = 1,008 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –8467 0 –6197 0 
100 –5467 100,727 –4119 92,009
200 –2774 119,410 –2040 106,417
298 0 130,678 0 114,716
300 53 130,856 38 114,845
400 2961 139,219 2117 120,825
500 5883 145,738 4196 125,463
600 8799 151,078 6274 129,253
700 11730 155,609 8353 132,457
800 14681 159,554 10431 135,233
900 17657 163,060 12510 137,681
1000 20663 166,225 14589 139,871
1100 23704 169,121 16667 141,852
1200 26785 171,798 18746 143,661
1300 29907 174,294 20825 145,324
1400 33073 176,637 22903 146,865
1500 36281 178,849 24982 148,299
1600 39533 180,946 27060 149,640
1700 42826 182,941 29139 150,900
1800 46160 184,846 31218 152,089
1900 49532 186,670 33296 153,212
2000 52942 188,419 35375 154,279
2200 59865 191,719 39532 156,260
2400 66915 194,789 43689 158,069
2600 74082 197,659 47847 159,732
2800 81355 200,355 52004 161,273
3000 88725 202,898 56161 162,707
3200 96187 205,306 60318 164,048
3400 103736 207,593 64475 165,308
3600 111367 209,773 68633 166,497
3800 119077 211,856 72790 167,620
4000 126864 213,851 76947 168,687
4400 142658 217,612 85261 170,668
4800 158730 221,109 93576 172,476
5200 175057 224,379 101890 174,140
5600 191607 227,447 110205 175,681
6000 208332 230,322 118519 177,114
TAbelA A.9 (continuação)
Propriedades de várias substâncias (gases ideais, entro-
pias a O,1 × MPa) base molar
Óxido nítrico (NO)
h–0f, 298 = 90 291 kJ/kmol
M = 30,006 kg/kmol
Dióxido de nitrogênio (NO2)
h–0f, 298 = 33 100 kJ/kmol
M = 46,005 kg/kmol
T (K) (h
––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
(h––h–0f, 298)
kJ/kmol
s– 0T
kJ/kmol K
0 –9192 0 –10186 0
100 –6073 177,031 –6861 202,563
200 –2951 198,747 –3495 225,852
298 0 210,759 0 240,034
300 55 210,943 68 240,263
400 3040 219,529 3927 251,342
500 6059 226,263 8099 260,638
600 9144 231,886 12555 268,755
700 12308 236,762 17250 275,988
800 15548 241,088 22138 282,513
900 18858 244,985 27180 288,450
1000 22229 248,536 32344 293,889
1100 25653 251,799 37606 298,904
1200 29120 254,816 42946 303,551
1300 32626 257,621 48351 307,876
1400 36164 260,243 53808 311,920
1500 39729 262,703 59309 315,715
1600 43319 265,019 64846 319,289
1700 46929 267,208 70414 322,664
1800 50557 269,282 76008 325,861
1900 54201 271,252 81624 328,898
2000 57859 273,128 87259 331,788
2200 65212 276,632 98578 337,182
2400 72606 279,849 109948 342,128
2600 80034 282,822 121358 346,695
2800 87491 285,585 132800 350,934
3000 94973 288,165 144267 354,890
3200 102477 290,587 155756 358,597
3400 110000 292,867 167262 362,085
3600 117541 295,022 178783 365,378
3800 125099 297,065 190316 368,495
4000 132671 299,007 201860 371,456
4400 147857 302,626 224973 376,963
4800 163094 305,940 248114 381,997
5200 178377 308,998 271276 386,632
5600 193703 311,838 294455 390,926
6000 209070 314,488 317648 394,926
termo 18.indd 569 06.04.09 10:29:15
570 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.10
Entalpia de formação e entropia absoluta de várias substâncias a 25ºC e 100 kPa
Substância Fórmula M Estado h– 0f
kJ/kmol
s– 0f
kJ/kmol K
Acetileno C2H2 26,038 gás +226 731 200,958
Água H2O 18,015 gás −241 826 188,834
Água H2O 18,015 líquido −285 830 69,950
Amônia NH3 17,031 gás −45 720 192,572
Benzeno C6H6 78,114 gás +82 980 269,562
Butano C4H10 58,124 gás −126 200 306,647
Carbono (grafita) C 12,011 sólido 0 5,740
Dióxido de carbono CO2 44,010 gás −393 522 213,795
Dióxido de enxofre SO2 64,059 gás −296 842 248,212
Enxofre S 32,06 sólido 0 32,056
Etano C2H6 30,070 gás −84 740 229,597
Etanol C2H5OH 46,069 gás −235 000 282,444
Etanol C2H5OH 46,069 líquido −277 380 160,554
Eteno C2H4 28,054 gás +52 467 219,330
Heptano C7H16 100,205 gás −187 900 427,805
Hexano C6H14 86,178 gás −167 300 387,979
Metano CH4 16,043 gás −74 873 186,251
Metanol CH3OH 32,042 gás −201 300 239,709
Metanol CH3OH 32,042 líquido −239 220 126,809
Monóxido de carbono CO 28,011 gás −110 527 197,653
Nitrometano CH3NO2 61,04 líquido −113 100 171,80
n-Octano C8H18 114,232 gás −208 600 466,514
n-Octano C8H18 114,232 líquido −250 105 360,575
Óxido de Nitrogênio N2O 44,013 gás +82 050 219,957
Ozônio O3 47,998 gás +142 674 238,932
Pentano C5H12 72,151 gás −146 500 348,945
Peróxido de hidrogênio H2O2 34,015 gás −136 106 232,991
Propano C3H8 44,094 gás −103 900 269,917
Propeno C3H6 42,081 gás +20 430 267,066
Trióxido de enxofre SO3 80,058 gás −395 765 256,769
T-T-Diesel C14,4H24,9 198,06 líquido −174 000 525,90
termo 18.indd 570 06.04.09 10:29:16
87FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 
A
p
ên
d
ice A
 – Pro
p
ried
ad
es G
erais 5
7
1
TAbelA A.11
Logaritmos na base e da constante de equilíbrio K 
Para a reação vAA + vBB  vCC + vDD, a constante de equilíbrio K é definida por:
Temp K H2  2H O2  2O N2  2N 2H2O  2H2 + O2 2H2O  H2 + 2OH 2CO2  2CO + O2 N2 +O2  2NO N2 + 2O2  2NO2
298 –164,003 –186,963 –367,528 –184,420 –212,075 –207,529 –69,868 –41,355
500 –92,830 –105,623 –213,405 –105,385 –120,331 –115,234 –40,449 –30,725
1000 –39,810 –45,146 –99,146 –46,321 –51,951 –47,052 –18,709 –23,039
1200 –30,878 –35,003 –80,025 –36,363 –40,467 –35,736 –15,082 –21,752
1400 –24,467 –27,741 –66,345 –29,222 –32,244 –27,679 –12,491 –20,826
1600 –19,638 –22,282 –56,069 –23,849 –26,067 –21,656 –10,547 –20,126
1800 –15,868 –18,028 –48,066 –19,658 –21,258 –16,987 –9,035 –19,577
2000–12,841 –14,619 –41,655 –16,299 –17,406 –13,266 –7,825 –19,136
2200 –10,356 –11,826 –36,404 –13,546 –14,253 –10,232 –6,836 –18,773
2400 –8,280 –9,495 –32,023 –11,249 –11,625 –7,715 –6,012 –18,470
2600 –6,519 –7,520 –28,313 –9,303 –9,402 –5,594 –5,316 –18,214
2800 –5,005 –5,826 –25,129 –7,633 –7,496 –3,781 –4,720 –17,994
3000 –3,690 –4,356 –22,367 –6,184 –5,845 –2,217 –4,205 –17,805
3200 –2,538 –3,069 –19,947 –4,916 –4,401 –0,853 –3,755 –17,640
3400 –1,519 –1,932 –17,810 –3,795 –3,128 0,346 –3,359 –17,496
3600 –0,611 –0,922 –15,909 –2,799 –1,996 1,408 –3,008 –17,369
3800 0,201 –0,017 –14,205 –1,906 –0,984 2,355 –2,694 –17,257
4000 0,934 0,798 –12,671 –1,101 –0,074 3,204 –2,413 –17,157
4500 2,483 2,520 –9,423 0,602 1,847 4,985 –1,824 –16,953
5000 3,724 3,898 –6,816 1,972 3,383 6,397 –1,358 –16,797
5500 4,739 5,027 –4,672 3,098 4,639 7,542 –0,980 –16,678
6000 5,587 5,969 –2,876 4,040 5,684 8,488 –0,671 –16,588
Fonte : Consistente com JANAF Thermochemical Tables, 3a edição, Thermal Group, Dow Chemical U.S.A., Mid., MI, 1985.
term
o 18.indd 571
06.04.09 10:29:16
88FENÔMENOS DE TRANSPORTE
572 Fundamentos da Termodinâmica
TAbelA A.12
Funções de escoamento compressível para escoamento isoentrópico unidimensional (gás ideal com calor específico e massa molecular 
constantes; k = 1,4).
M M* A/A* P/P0 r/r0 T/T0
 0,0 0,00000  1,00000 1,00000 1,00000
 0,1 0,10944 5,82183 0,99303 0,99502 0,99800
 0,2 0,21822 2,96352 0,97250 0,98028 0,99206
 0,3 0,32572 2,03506 0,93947 0,95638 0,98232
 0,4 0,43133 1,59014 0,89561 0,92427 0,96899
 0,5 0,53452 1,33984 0,84302 0,88517 0,95238
 0,6 0,63481 1,18820 0,78400 0,84045 0,93284
 0,7 0,73179 1,09437 0,72093 0,79158 0,91075
 0,8 0,82514 1,03823 0,65602 0,73999 0,88652
 0,9 0,91460 1,00886 0,59126 0,68704 0,86059
 1,0 1,0000 1,00000 0,52828 0,63394 0,83333
 1,1 1,0812 1,00793 0,46835 0,58170 0,80515
 1,2 1,1583 1,03044 0,41238 0,53114 0,77640
 1,3 1,2311 1,06630 0,36091 0,48290 0,74738
 1,4 1,2999 1,11493 0,31424 0,43742 0,71839
 1,5 1,3646 1,17617 0,27240 0,39498 0,68966
 1,6 1,4254 1,25023 0,23527 0,35573 0,66138
 1,7 1,4825 1,33761 0.20259 0,31969 0,63371
 1,8 1,5360 1,43898 0,17404 0,28682 0,60680
 1,9 1,5861 1,55526 0,14924 0,25699 0,58072
 2,0 1,6330 1,68750 0,12780 0,23005 0,55556
 2,1 1,6769 1,83694 0,10925 0,20580 0,53135
 2,2 1.7179 2,00497 0,93422E-01 0,18405 0,50813
 2,3 1,7563 2,19313 0,79973E-01 0,16458 0,48591
 2,4 1,7922 2,40310 0,68399E-01 0,14720 0,46468
 2,5 1,8257 2,63672 0,58528E-01 0,13169 0,44444
 2,6 1,8571 2,89598 0,50115E-01 0,11787 0,42517
 2,7 1,8865 3,18301 0,42950E-01 0,10557 0,40683
 2,8 1,9140 3,50012 0,36848E-01 0,94626E-01 0,38941
 2,9 1,9398 3,84977 0,31651E-01 0,84889E-01 0,37286
 3,0 1,9640 4,23457 0,27224E-01 0,76226E-01 0,35714
 3,5 2,0642 6,78962 0,13111E-01 0,45233E-01 0,28986
 4,0 2,1381 10,7188 0,65861E-02 0,27662E-01 0,23810
 4,5 2,1936 16,5622 0,34553E-02 0,17449E-01 0,19802
 5,0 2,2361 25,0000 0,18900E-02 0,11340E-01 0,16667
 6,0 2,2953 53,1798 0,63336E-03 0,51936E-02 0,12195
 7,0 2,3333 104,143 0,24156E-03 0,26088E-02 0,09259
 8,0 2,3591 190,109 0,10243E-03 0,14135E-02 0,07246
 9,0 2,3772 327,198 0,47386E-04 0,81504E-03 0,05814
10,0 2,3905 535,938 0,23563E-04 0,49482E-03 0,04762
  2,4495  0,0 0,0 0,0
termo 18.indd 572 06.04.09 10:29:16
 Apêndice A – Propriedades Gerais 573
TAbelA A.13
Funções de choque normal para escoamento compressível unidimensional (gás ideal com calor específico e massa molecular constan-
tes; k = 1,4).
Mx My Py /Px ry /rx Ty /Px P0y /P0x P0y /Px
 1,00 1,00000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00000 1,8929
 1,05 0,95313 1,1196 1,0840 1,0328 0,99985 2,0083
 1,10 0,91177 1,2450 1,1691 1,0649 0,99893 2,1328
 1,15 0,87502 1,3763 1,2550 1,0966 0,99669 2,2661
 1,20 0,84217 1,5133 1,3416 1,1280 0,99280 2,4075
 1,25 0,81264 1,6563 1,4286 1,1594 0,98706 2,5568
 1,30 0,78596 1,8050 1,5157 1,1909 0,97937 2,7136
 1,35 0,76175 1,9596 1,6028 1,2226 0,96974 2,8778
 1,40 0,73971 2,1200 1,6897 1,2547 0,95819 3,0492
 1,45 0,71956 2,2863 1,7761 1,2872 0,94484 3,2278
 1,50 0,70109 2,4583 1,8621 1,3202 0,92979 3,4133
 1,55 0,68410 2,6362 1,9472 1,3538 0,91319 3,6057
 1,60 0,66844 2,8200 2,0317 1,3880 0,89520 3,8050
 1,65 0,65396 3,0096 2,1152 1,4228 0,87599 4,0110
 1,70 0,64054 3,2050 2,1977 1,4583 0,85572 4,2238
 1,75 0,62809 3,4063 2,2791 1,4946 0,83457 4,4433
 1,80 0,61650 3,6133 2,3592 1,5316 0,81268 4,6695
 1,85 0,60570 3,8263 2,4381 1,5693 0,79023 4,9023
 1,90 0,59562 4,0450 2,5157 1,6079 0,76736 5,1418
 1,95 0,58618 4,2696 2,5919 1,6473 0,74420 5,3878
 2,00 0,57735 4,5000 2,6667 1,6875 0,72087 5,6404
 2,05 0,56906 4,7362 2,7400 1,7285 0,69751 5,8996
 2,10 0,56128 4,9783 2,8119 1,7705 0,67420 6,1654
 2,15 0,55395 5,2263 2,8823 1,8132 0,54105 6,4377
 2,20 0,54706 5,4800 2,9512 1,8569 0,62814 6,7165
 2,25 0,54055 5,7396 3,0186 1,9014 0,60553 7,0018
 2,30 0,53441 6,0050 3,0845 1,9468 0,58329 7,2937
 2,35 0,52861 6,2762 3,1490 1,9931 0,56148 7,5920
 2,40 0,52312 6,5533 3,2119 2,0403 0,54014 7,8969
 2,45 0,51792 6,8363 3,2733 2,0885 0,51931 8,2083
 2,50 0,51299 7,1250 3,3333 2,1375 0,49901 8,5261
 2,55 0,50831 7,4196 3,3919 2,1875 0,47928 8,8505
 2,60 0,50387 7,7200 3,4490 2,2383 0,46012 9,1813
 2,70 0,49563 8,3383 3,5590 2,3429 0,42359 9,8624
 2,80 0,48817 8,9800 3,6636 2,4512 0,38946 10,569
 2,90 0,48138 9,6450 3,7629 2,5632 0,35773 11,302
 3,00 0,47519 10,333 3,8571 2,6790 0,32834 12,061
 4,00 0,43496 18,500 4,5714 4,0469 0,13876 21,068
 5,00 0,41523 29,000 5,0000 5,8000 0,06172 32,653
10,00 0,38758 116,5 5,7143 20,387 0,00304 129,22
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89FENÔMENOS DE TRANSPORTE
	Introdução aos fenômenos de transporte
	Níveis de observação
	Estrutura dos fenômenos de transporte
	Princípios de conservação
	Transferência da quantidade de movimento
	Reologia
	Estática dos fluidos
	Equação de Bernoulli
	Transferência de calor
	Calor
	Transferência de calor por condução
	Transferência de calor por convecção
	Transferência de calor por radiação
	Transferência de massa
	Concentrações e velocidades
	Fluxo
	Coeficiente de difusão
	Difusão molecular em regime estacionário
	REFERÊNCIAS