Fenômenos de Transporte

Prévia do material em texto

Fenômenos de Transporte 1
AULA 07
21/06/2024
Dinâmica dos fluidos 
Conservação da quantidade 
de movimento
1) Derivação da equação da quantidade de 
movimento
2) Exercícios
• Item 5.2.1. e 5.2.2. do Munson
• Capítulo 5 do Brunetti
CONTEÚDO
• Análise com Volume de Controle
• A segunda lei de Newton para sistemas estabelece que:
A quantidade de movimento de um sistema é igual ao produto 
de sua massa por sua velocidade (𝑃 = 𝑉dm):
𝜮𝑭𝒔𝒊𝒔 = ቤ
𝒅𝑷
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔
=
𝒅
𝒅𝒕
න
𝒔𝒊𝒔
𝑽𝒅𝒎 =
𝒅
𝒅𝒕
න
𝒔𝒊𝒔
𝑽𝝆𝒅𝑽𝒐𝒍 1
𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒔
𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒕𝒖𝒂𝒎
𝒏𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
=
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒂
𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒅𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
• Validade para volume de controle inercial, isto é, um 
VC não acelerado (sistema fixo ou que se desloca 
com velocidade constante)
• Para a quantidade de movimento:
𝑁 = න
𝑠𝑖𝑠
𝜂𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑁 = 𝑃 = 𝑚𝑉, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 𝑉
𝜂 – propriedade por unidade de massa
Conservação da quantidade de movimento
Formulação matemática da 2ª Lei de Newton 
para VC fixos (inerciais) e indeformáveis
𝑑𝑁𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + න
𝑠𝑐
𝜂𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝚺𝑭𝒔𝒊𝒔 = 𝚺𝑭𝑽𝑪 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅𝑽𝒐𝒍 + න
𝒔𝒄
𝑽𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Equação da quantidade de movimento linear
2
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Conservação da quantidade de movimento
0
𝚺𝑭𝒔𝒊𝒔 = 𝚺𝑭𝑽𝑪 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅𝑽𝒐𝒍 + න
𝒔𝒄
𝑽𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨
As componentes nas direções 𝑥,𝑦, e 𝑧 são 𝑉(𝑢, 𝑣,𝑤):
Σ𝐹𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + න
𝑠𝑐
𝑢𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
Σ𝐹𝑦 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑣𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + න
𝑠𝑐
𝑣𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
Σ𝐹𝑧 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑤𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + න
𝑠𝑐
𝑤𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
2
2a
Conservação da quantidade de movimento
𝚺𝑭𝒔𝒊𝒔 = 𝚺𝑭𝑽𝑪 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅𝑽𝒐𝒍 + න
𝒔𝒄
𝑽𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨 2
𝑭𝒔𝒊𝒔
Forças de 
superfície
Pressão
Forças de 
cisalhamento
Forças de 
campo
Forças devido 
à gravidade
Campo 
magnético
Conservação da quantidade de movimento
𝚺𝑭𝒔𝒊𝒔 = 𝚺𝑭𝑽𝑪 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅𝑽𝒐𝒍 + න
𝒔𝒄
𝑽𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎
Para regime permanente:
Ԧ𝛴𝐹𝑉𝐶 = න
𝑠𝑐
𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
Escoamento permanente e incompressível:
Ԧ𝛴𝐹 = 𝜌𝑄𝑉
2
Conservação da quantidade de movimento
EXERCÍCIO 1
• Considere a água que, em um canal aberto, escoa sob uma 
comporta. O escoamento é incompressível, sendo uniforme 
nas seções 1 e 2.
• Determinar a magnitude e o sentido da força exercida sobre 
a comporta pelo escoamento.
𝑦2 = 0,0563 𝑚
𝑉2 = 5,33 𝑚/𝑠
𝑉1 = 0,2 𝑚/𝑠
𝑦1 = 1,5 𝑚
EXERCÍCIO 1 - RESOLUÇÃO
1) Escolha do VC
𝑅𝑥 - força que a comporta exerce sobre o fluido
Diagrama do corpo em equilíbrio
𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝐵𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + න
𝑆𝐶
𝑢𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
EXERCÍCIO 2
Calcular as componentes horizontal e vertical da força que o jato de 
água da figura exerce sobre o desviador.
Dados: 𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3; 𝑄 = 20 𝐿/𝑠; 𝐷𝑗 = 10 𝑐𝑚.
Desprezar a variação da seção do jato e seu peso.
EXERCÍCIO 3 - RESOLUÇÃO
1. Escolha do VC
𝑭
𝐹𝑥
𝐹𝑦
EXERCÍCIO 4 - TAREFA
Um bocal horizontal descarrega água para a atmosfera 
como mostra a figura, com uma vazão de 0,2 𝑚3/𝑠.
Calcule as componentes na direção x e y da força que o 
bocal aplica sobre o fluido.
𝑸 = 𝟎, 𝟐 𝒎𝟑/𝒔
Referências
• Cengel, Y. A.; Cimbala, J. M. 2012. Mecânica dos Fluidos: 
Fundamentos e Aplicações. Porto Alegre: AMGH.
• Fox, R. W.; McDonald, A.T. 1981. Introdução à Mecânica 
dos Fluidos .2 ed. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara.
• Munson, B. R.; Young, D. F.; Okiishi, T. H. 1997. 
Fundamentos da mecânica dos fluidos. São Paulo: Ed. 
Edgard Blücher.
• Steffen, J. L. (2009). Apostila de Fenômenos de 
Transporte. Curso de Engenharia Civil. Universidade 
Federal de Mato Grosso do Sul.