Aula 2 - Matematica basica

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Profª Tathiana R. Cidral
Matemática 
básica
Aula 2
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Refere-se que a origem do zero somente
ocorreu em três povos:
❑ babilônios,
❑ hindus e
❑ maias.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hindus
https://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia
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3
Embora a civilização maia já estivesse em declínio na época
da chegada dos espanhóis à América, seu desenvolvimento
em vários campos da ciência, em especial, na matemática e
na astronomia, era notável. Eles possuíam um sistema
numérico avançado e diferente do sistema decimal utilizado
pelas sociedades modernas. A imagem representa o sistema
de numeração maia, que consistia em 20 símbolos
representando os números de 0 a 19.
O número 359 é representado, no sistema de numeração
maia, como
O zero era representado por uma espécie de tigela e todo
número inteiro entre 19 e 360 era escrito em uma coluna
vertical com duas figuras, na qual a superior representava
a quantidade de grupos de 20 unidades e a inferior, a
quantidade de unidades. O número era lido de cima para
baixo e obtido somando-se as quantidades representadas.
Por exemplo:
Questão Área Ano Aplicação Caderno Disciplina Conteúdo
159 Matemática 2020 Reaplicação 
(2ª Aplicação)
Amarelo Matemática Números e 
Álgebra
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Embora a civilização maia já estivesse em declínio na época
da chegada dos espanhóis à América, seu desenvolvimento
em vários campos da ciência, em especial, na matemática e
na astronomia, era notável. Eles possuíam um sistema
numérico avançado e diferente do sistema decimal utilizado
pelas sociedades modernas. A imagem representa o sistema
de numeração maia, que consistia em 20 símbolos
representando os números de 0 a 19.
O número 359 é representado, no sistema de numeração
maia, como
O zero era representado por uma espécie de tigela e todo
número inteiro entre 19 e 360 era escrito em uma coluna
vertical com duas figuras, na qual a superior representava
a quantidade de grupos de 20 unidades e a inferior, a
quantidade de unidades. O número era lido de cima para
baixo e obtido somando-se as quantidades representadas.
Por exemplo:
Questão Área Ano Aplicação Caderno Disciplina Conteúdo
159 Matemática 2020 Reaplicação 
(2ª Aplicação)
Amarelo Matemática Números e 
Álgebra
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Conjunto dos 
números
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O que é o conjunto dos números?
Qualquer reunião de elementos com características comuns.
Tipos:
❑Naturais;
❑Inteiros;
❑Racionais;
❑Irracionais;
❑Reais.
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O que é o conjunto dos números naturais?
O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N.
Possui os seguintes elementos: N = {1;2;3;4;5;...}, ou seja, são todos os números inteiros positivos.
Para representar o conjunto dos números naturais incluindo o zero, deve-se utilizar o símbolo N0.
O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo Z.
Possui os seguintes elementos: Z = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}.
Em determinada altura da história foi necessário representar a noção de perda ou dívida e assim
surgiram os números negativos que se juntaram aos números naturais e formaram os números
inteiros.
O que é o conjunto dos números inteiros?
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O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q.
Possui os seguintes elementos: Q = {-2,5; -1; 0; 1; 7/3; 4,531; ...}, ou seja, são todos os números
inteiros mais as dizimas finitas e infinitas periódicas (números com casas decimais, cuja parte
decimal é infinita, mas aparece repetida, por exemplo , , ...).
O que é o conjunto dos números racionais?
O conjunto dos números reais é representado pelo símbolo R.
Possui os seguintes elementos: R = {√3; π; 10/3; 4,531; 10;...}.
Aqui estão incluídos todos os números dos conjuntos anteriores e mais as
dizimas infinitas não periódicas (Números Irracionais) como é o caso do
famoso π. A principal característica dos irracionais, e que os difere dos
racionais, é que eles não podem ser representados por meio de fração.
O que é o conjunto dos números reais?
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
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Conjunto dos números
N – inteiros positivos
Z – números negativos
que se juntaram aos
números naturais
Q – números inteiros
mais as dizimas finitas e
infinitas periódicas
R – todos os números
dos conjuntos anteriores
e mais as dizimas
infinitas não periódicas
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Subconjunto dos números
Podemos colocar alguns subconjuntos dentro dos conjuntos.
Por exemplo: Subconjuntos dos números naturais
•N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
•Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N (pertence à N): conjunto dos números naturais pares;
•Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares;
•P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.
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Teoria dos Conjuntos
Teoria matemática capaz de agrupar elementos.
I. Diagrama de Euler-Venn
No modelo de Diagrama de Euler-Venn (Diagrama de Venn), os conjuntos são representados graficamente:
II. Relação de Pertinência
Indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado conjunto, por exemplo:
D = {w,x,y,z}
Logo,
w e D (w pertence ao conjunto D)
j ɇ D (j não pertence ao conjunto D)
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III. Relação de Inclusão
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) ou se um
conjunto contém o outro (Ɔ), por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {a,e,i,o,u,m,n,o}
C = {p,q,r,s,t}
Logo,
A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos de A estão em B)
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os elementos do conjuntos são diferentes)
B Ɔ A (B contém A, donde os elementos de A estão em B)
IV. Conjunto Vazio
O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por duas chaves { } ou pelo
símbolo Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os conjuntos.
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V. União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
A união dos conjuntos, representada pela letra (U), corresponde a união dos elementos de dois conjuntos, por
exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {1,2,3,4}
Logo,
AB = {a,e,i,o,u,1,2,3,4}
A intersecção dos conjuntos, representada pelo símbolo (∩), corresponde aos elementos em comum de dois
conjuntos, por exemplo:
C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d}
Logo,
CD = {b, c, d}
A diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de elementos que estão no primeiro conjunto, e não
aparecem no segundo, por exemplo:
A = {a, b, c, d, e} - B={b, c, d}
Logo,
A-B = {a,e}
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Exercícios de 
fixação
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60
Vamos começar sempre pela interseção (8 acertaram as duas).
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60 Vamos começar sempre pela interseção (8 acertaram as duas).
31 acertaram a primeira. Então, quem acertou somente a primeira será
igual a 31-8=23
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60
Vamos começar sempre pela interseção (8 acertaram as duas).
31 acertaram a primeira. Então, quem acertou somente a primeira será
igual a 31-8=23
Chamaremos de y, quem acertou somente a segunda e de z quemnão
acertou nenhuma. Não sabemos quantos acertaram somente a
segunda, mas sabemos que 35 acertaram somente uma questão, então:
23 + y = 35 y = 12
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60
Vamos começar sempre pela interseção (8 acertaram as duas).
31 acertaram a primeira. Então, quem acertou somente a primeira será
igual a 31-8=23
Chamaremos de y, quem acertou somente a segunda e de z quem não
acertou nenhuma. Não sabemos quantos acertaram somente a
segunda, mas sabemos que 35 acertaram somente uma questão, então:
23 + y = 35 y = 12
Também não sabemos quantos não acertaram nenhuma, mas sabemos
que 40 erraram a segunda. Quem errou a segunda, foi quem errou as
duas e quem só acertou a primeira, então:
23+Z = 40 Z = 17
Agora que sabemos todas as partes, podemos somar para saber o total
de aluno: 23+8+12+17=60 Letra E
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(ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram
somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40
erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova
foi:
a) 43
b) 48
c) 52
d) 56
e) 60
Vamos começar sempre pela interseção (8 acertaram as duas).
31 acertaram a primeira. Então, quem acertou somente a primeira será
igual a 31-8=23
Chamaremos de y, quem acertou somente a segunda e de z quem não
acertou nenhuma. Não sabemos quantos acertaram somente a
segunda, mas sabemos que 35 acertaram somente uma questão, então:
23 + y = 35 y = 12
Também não sabemos quantos não acertaram nenhuma, mas sabemos
que 40 erraram a segunda. Quem errou a segunda, foi quem errou as
duas e quem só acertou a primeira, então:
23+Z = 40 Z = 17
Agora que sabemos todas as partes, podemos somar para saber o total
de aluno: 23+8+12+17=60 Letra E
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(ENEM) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o
pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a
pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas caixas do produto tal
pessoa comprou?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
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(ENEM) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o
pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a
pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas caixas do produto tal
pessoa comprou?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Dados: 
são x caixas e cada caixa com um valor y .
x caixas de valor y = 396 reais
Então ... 
I) x.y = 396
com o desconto de 8 reais por caixa x ... (y-8)
é possível comprar mais 2 caixas .... x + 2 e continua 
o mesmo preço...
Então ...
Teremos :
II) (x+2).(y-8) = xy
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(ENEM) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o
pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a
pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas caixas do produto tal
pessoa comprou?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Dados: 
são x caixas e cada caixa com um valor y .
x caixas de valor y = 396 reais
Então ... 
I) x.y = 396
com o desconto de 8 reais por caixa x ... (y-8)
é possível comprar mais 2 caixas .... x + 2 e continua 
o mesmo preço...
Então ...
Teremos :
II) (x+2).(y-8) = xy
Desenvolvendo ...
(x+2).(y-8) = xy
xy - 8x + 2y - 16 = xy
- 8x + 2y - 16 = 0 
2y = 8x + 16
y = (8x + 16)/2
y = 4x + 8
=========================
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(ENEM) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o
pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a
pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas caixas do produto tal
pessoa comprou?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Dados: 
são x caixas e cada caixa com um valor y .
x caixas de valor y = 396 reais
Então ... 
I) x.y = 396
com o desconto de 8 reais por caixa x ... (y-8)
é possível comprar mais 2 caixas .... x + 2 e continua 
o mesmo preço...
Então ...
Teremos :
II) (x+2).(y-8) = xy
Desenvolvendo ...
(x+2).(y-8) = xy
xy - 8x + 2y - 16 = xy
- 8x + 2y - 16 = 0 
2y = 8x + 16
y = (8x + 16)/2
y = 4x + 8
=========================
x.y = 396
x.(4x+8) = 396
4x² + 8x - 396 = 0
x = [- 8 + - √6 400]/8
x = [- 8 + - 80]/8 ...................... (desconsidero = - 80)
x = [-8 + 80]/8
x = 72/8
x = 9 caixas seriam compradas sem o desconto ...
com o desconto comprou 2 a mais ... (x + 2)
9 + 2 = 11 caixas foram compradas após o desconto.
=============================================