Matemática em Contexto Função Afim e Quadrática (60)

Prévia do material em texto

Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
É dada a lei da função real que é representada 
pela parábola, que forma a parte interior da taça. 
A projeção da taça em um plano cartesiano mos-
tra que o vértice da parábola intersecta o eixo x 
e o ponto C intersecta o eixo y.
	b) O que se pede?
A medida de comprimento de altura do líquido 
dentro da taça, em centímetros.
2. Planejando a solução 
Observando a projeção da taça no plano cartesia-
no, verifica-se que o vértice da parábola tem coor-
denadas (xV, 0), ou seja, yV 5 0. Usando essa infor-
mação, é possível calcular o valor de C utilizando as 
coordenadas do vértice da parábola 2 2D




V
b
a a2
,
4
, 
chegando a uma equação do 1o grau em que a in-
cógnita será C, que é a medida de comprimento de 
altura do líquido na taça. 
3. Executando o que foi planejado
5
2D
5
2( 2 )
5 ~
~
2 (2 ) 2 ? ?
?
5 ~
y
a
b ac
a
C
V
4
4
4
0
6 4
3
2
4
3
2
0
2
2 











 
~ 
2[ 2 ]
5 ~
2 1
5 ~
C C36 6
6
0
36 6
6
0
~ 2 6 1 C 5 0 ~ C 5 6
4. Verificando
A partir da lei da função F(x) 5 3
2
x2 2 6x 1 6, cal-
culamos o valor de yV:












y
a
b ac
a
V
4
4
4
6 4
3
2
6
4
3
2
36 36
6
0
2
2
5
2D
5
2( 2 )
5
2 (2 ) 2 ? ?
?
5
5
2[ 2 ]
5
 
Esse valor corresponde ao valor obtido a partir do 
enunciado. Assim, fica verificado que o valor de C 
(medida de comprimento de altura do líquido na 
taça) é 6 cm.
5. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa e.
6. Ampliando o problema
	a) Determine as coordenadas do vértice V demar-
cado na figura.
	b) Troque ideias com os colegas sobre a importân-
cia da Matemática na determinação de medidas 
em indústrias, como comprimentos, intervalos 
de tempo, volumes, entre outras grandezas, e 
sobre como elas utilizam essas medidas para ob-
ter o maior rendimento possível na produção.
V(2,0)
Resposta pessoal.
	 7.	Determine a Im( F) e o valor máximo ou mínimo da 
função quadrática dada por F(x) 5 x2 1 4x 2 2.
Resolução
yV 5 
2D
5
2( 1 )
a4
16 8
4
 5 26
a > 0, então a concavidade é para cima e a curva 
é limitada inferiormente; portanto, a função F tem 
valor mínimo.
Im( F) 5 {y é R | y . 26}
Valor mínimo de F: 26.
	 8.	Determine m de modo que a função definida por 
F(x) 5 (3m 2 1)x2 2 5x 1 2 admita valor máximo.
Resolução
Para que a função F admita valor máximo, devemos 
ter a < 0 (concavidade para baixo).
Condição: a < 0 ^ 3m 2 1 < 0
3m 2 1 < 0 ~ 3m < 1 ~ m < 1
3
.
Logo, m pode ser qualquer número real menor do 
que 1
3
.
Resolvida passo a passo
	 9.	(Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, 
conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no 
plano cartesiano da figura, é dada pela lei: 
F(x) 5 3
2
x2 2 6x 1 C, onde C é a medida de altura 
do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-
-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da 
parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na 
taça, em centímetros, é: 
	a) 1. 	b) 2. 	c) 4. 	d) 5. 	e) 6.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/E
n
e
m
, 
2
0
1
3
.
Não escreva no livro.
117
P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 117P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 117 9/1/20 11:46 AM9/1/20 11:46 AM
 49.	Considere a função dada pela lei F(x) 5 ax
2 1 bx 1 
1 c. Os zeros dessa função podem ser encontrados 
a partir das raízes da equação correspondente: x1 5 
5 
b
a2
2 1 D
 e x2 5 
b
a2
2 2 D
.
	a) Desenvolva a expressão xV 5 
x x
2
1 21
 para obter a 
abscissa do vértice em função dos coeficientes a e b.
 b) Utilize a resposta do item anterior e a lei da função 
F para obter a ordenada do vértice em função dos 
coeficientes a, b e c.
Dica 1: Se você obtiver frações com denominadores 
diferentes, calcule o mínimo múltiplo comum.
Dica 2: Lembre-se de que D 5 b2 2 4ac.
Sabendo que o vértice de uma parábola pode ser 
obtido calculando a abscissa e a ordenada do pon-
to médio entre os pontos que indicam os zeros da 
função, vamos ver outra maneira de chegar às coor-
denadas do vértice V
b
a a2
,
4






2 2D
.
	50.	Considere uma função quadrática da forma F(x) 5 
5 ax
2 1 bx 1 c, com a = 0, tal que os pontos apresenta-
dos na tabela a seguir pertencem ao gráfico da função.
x 23 22 0 2 3
y 18 8 0 8 18
Observe as coordenadas desses pontos. Depois, mar-
que-os no plano cartesiano, identifique o eixo de sime-
tria da parábola dessa função e determine a lei dela.
	51.	Escreva no caderno a lei da função, na forma F(x) 5 
5 ax
2 1 bx 1 c, correspondente ao gráfico dado em 
cada plano cartesiano.
	a)
	b)
	c)
As respostas encontram- 
-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
50. O gráfico encontra-se nas Orientações didáticas deste Manual.
F(x) 5 2x2
y
x
1
2
3
0
F(x) 5 x2 2 2x 1 3
y
x
2
3
1
0
F(x) 5 x2 1 2
y
x
4
21 2 4
0
F(x) 5 2x2 1 4x
Atividades Não escreva no livro.
 52.	Esboce no plano cartesiano o gráfico da função qua-
drática F que passa pelos pontos (3, 22) e (0, 4) e tem 
vértice (2, 24). Em seguida, verifique qual das seguin-
tes sentenças corresponde a essa função.
	a) F(x) 5 22x
2 2 8x 1 4
	b) F(x) 5 2x
2 2 8x 1 4
	c) F(x) 5 2x
2 1 8x 1 4
	53.	Os golfinhos são um dos mamíferos mais inteligentes 
do mundo animal. Conseguem se comunicar e sociali-
zar de maneira parecida com a dos seres humanos. Os 
saltos deles são bonitos e graciosos e quase sempre 
têm um formato de parte de uma parábola. O salto de 
um golfinho pode durar até 3 segundos, aproximada-
mente.
Considere que o salto de um golfinho formou parte de 
uma parábola e que a medida de intervalo de tempo 
do salto, entre sair da água e entrar de volta nela, foi 
de 2 segundos. Após quantos segundos ele chegou ao 
ponto mais alto da trajetória?
	54.	Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de 
certo produto é dado por C 5 x2 2 80x 1 3 000. Nes-
sas condições, calcule:
	a) a quantidade de unidades produzidas para que o 
custo seja mínimo;
	b) o valor mínimo de custo.
	55.	Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a medida de 
comprimento de altura h, em metros, t segundos após o 
lançamento, seja h 5 2t
2 1 4t 1 6. No caderno, deter-
mine:
	a) o instante em que a bola atinge a medida de com-
primento de altura máxima;
	b) a medida de comprimento de altura máxima atingi-
da pela bola;
	c) quantos segundos depois do lançamento a bola 
toca o solo.
	56.	Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. 
A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$ 
2,00 por lugar vago. Qual é o número de passageiros 
para que a rentabilidade da empresa seja máxima?
	57.	Uma vacina é um preparo biológico que contém o vírus 
enfraquecido da doença para a qual se deseja a imuni-
dade. Como esse vírus está fragilizado, o corpo conse-
gue combatê-lo facilmente e registrar a informação para 
enfrentá-lo na forma natural, em uma situação posterior.
1 segundo.
40 unidades.
R$ 1.400,00
2 s
10 m
310 s
15 passageiros.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
52. O gráfico encontra-se nas Orientações específicas deste 
Manual.
Alternativa b.
K
a
te
ry
n
a
 K
o
n
/S
c
ie
n
c
e
 P
h
o
to
 
L
ib
ra
ry
/F
o
to
a
re
n
aEstrutura do vírus da imunodeficiência 
humana (HIV), vírus causador da aids. 
Ele ataca o sistema imunológico do 
hospedeiro, impedindo que as células 
de defesa protejam o corpo. Imagem 
sem proporção e em cores fantasia.
118
P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 118P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 118 9/1/20 11:46 AM9/1/20 11:46 AM